归纳逻辑

从Collection H中选择任何K假设，其中每个k个HI，HI，嗨，似然值P [e|hi⋅c⋅b]＞0。 将这些K假设标记为（您希望的任何顺序）作为“H1”，'H2'，......，'HK'。 然后将H（以无论您希望的顺序）标记所有剩余的假设，如'HK + 1'，'HK + 2'，...，'Hz'。

鉴于H中的假设标记，让（h1∨......∨hk）表示从H中选择的第一K假设的分离，（HK +1∨......∨hz）代表H.其中剩余假设的分离表达式（h1∨......∨hz）代表了H中所有假设的脱位。此外，让我们依靠地依靠H是真正的假设 - 即，B逻辑地需要所有替代方案的分离H：b⊨（h1∨...∨hz）的假设。 所以，P [（h1∨......∨hz）||c⋅b] = 1和p [（h1∨...∨hz）||c⋅e⋅b] = 1。

然后，（h1∨...∨hk）的后验概率满足以下形式的贝叶斯定理：

p [（h1∨...∨hk）|c⋅e⋅b] =

σ

k

j = 1

p [e|hj⋅c⋅b]×p [hj|c⋅b]

σ

z

我= 1

p [e|hi⋅c⋅b]×p [hi|c⋅b]

。

在已知所有先前概率的值P [HIκB]的情况下，或者可以紧密地近似地，该方程式足以为后验概率的参数强度r提供值，p [（h1∨...∨hk）|c⋅e⋅b] = r。 但是，当没有前方的精确值可用时，可以导出后续概率上的界限的有用估计。

让K是（你的最佳估计）对现有概率比的比例的上限，P [HIκB] / p [HJαb]在{H1，H2，...，...，HK}中的所有HJ和{HK + 1，HK + 2，...，Hz}。 也就是说，无论{H1，H2，...，HK}中的一个HJ都具有最小的P [HJαB]值，以及{HK + 1，HK + 2，...，Hz}中的HI中的哪个HI具有最大的P [嗨|hi|c⋅b，让k是一个足够大的真实数字，即K≥P[hiκB] / p [hjhj|c⋅b]。

然后，

ω[¬（h1∨...∨hk）|c⋅e⋅b]≤k×[

1

σ

k

j = 1

p [e|hj⋅c⋅b]

σ

z

我= 1

p [e|hi⋅c⋅b]

-1]。

因此，通过公式给出（h1∨...∨hk）的相关后概率的下限

p [（h1∨...∨hk）|c⋅e⋅b]≥

1

1 + k×[

1

σ

k

j = 1

p [e|hj⋅c⋅b]

σ

z

我= 1

p [e|hi⋅c⋅b]

-1]

。

关于这条规则的几点值得注意。 首先，请注意术语σ

k

j = 1

p [e|hj⋅c⋅b] /σ

z

我= 1

p [e|hi⋅c⋅b]是第一个k个可能性的总和与h的所有可能性的总和的比率，尽管该规则适用于由z替代假设组成的任何集合H，但它是最多的当脱位中包含的每个假设hj（h1∨h2∨...∨hk）具有更大的可能性值，p [e|hj⋅c⋅b]时，P [e|hj⋅c⋅b]，这通常是最有趣的案例其中，在后验概率下界限，P [（h1∨......HK）||c⋅e⋅b]进行评估。 因为，当这些k可能性产生的总和大于H中的其他假设的可能性，然后该比率术语可以接近1，这反过来又驱动后概率下限，P [（h1∨......∨hk）|c⋅e⋅b]，接近1.我们将看到在2.4节中的一个例子中如何发生这种情况。

请注意，当所有先前概率相等时，k的值将为1.在这种情况下，最终公式可以被平等取代，

p [（h1∨...∨hk）|c⋅e⋅b] =

σ

k

j = 1

p [e|hj⋅c⋅b]

σ

z

我= 1

p [e|hi⋅c⋅b]

。

当第一K假设的每个先前概率至少与剩余z-k假设的任何先前概率一样大时，k的值必须小于或等于1.在这种情况下，以下版本的最终公式保持：

p [（h1∨...∨hk）|c⋅e⋅b]≥

1

1 + k×[

1

σ

k

j = 1

p [e|hj⋅c⋅b]

σ

z

我= 1

p [e|hi⋅c⋅b]

-1]

≥

σ

k

j = 1

p [e|hj⋅c⋅b]

σ

z

我= 1

p [e|hi⋅c⋅b]

。

以下附录：两个贝叶斯估计规则，规则BE-D和规则BE-C中，提供了两个贝叶斯估计规则，规则BE-D和规则BE-C（将在下一个子部分中描述）的衍生（将在下一个子部分中描述）提供。

1.6.2推理规则BE-C：贝叶斯估计用于连续范围的替代假设

类似于BE-D的规则适用于连续的竞争假设范围。 例如，声称“这个硬币的折叠的机会r在.63和点.81之间的机会r为0.81”包括竞争假设的连续（析取）间隔。 因此，以下规则的声明紧密相似，该声明为-D。 其应用程序的示例是第2.5节提供的。

规则BE-C：贝叶斯估计的持续范围的替代假设

让H成为替代假设HQ的连续区域，其中Q是实数，并且任何两个假设的结合在逻辑上都不一致。 让C成为观察或实验条件，其中E描述了一个可能的结果之一。 并且假设B是相关辅助假设和合理性考虑的结合。 对于H中的每个点假设HQ，我们将P [e`hqīcəb]占用适当的可能性。

让P [HQhq|c⋅b]和p [HQhq|c⋅e⋅b]在h上是概率密度函数，其中这两个密度函数如下所示：

p [hq|c⋅e⋅b]×p [e|c⋅b] = p [e|hq⋅c⋅b]×p [hq|c⋅b]。

我们在整个Q的先前概率密度P [hq|c⋅b]＞Q.

现实点假设HR位于可测量区域R中的现有概率

P [HRhr|c⋅b] =∫rp[hrhr|c⋅b] dr，其中p [hhhh|c⋅b] =∫hp[hq|c⋅b] dq = 1。

真实点假设HR位于可测量区域R中的后验概率

p [hrhr|c⋅e⋅b] =∫rp[hrhr|c⋅e⋅b] dr，其中p [hhhh|c⋅e⋅b] =∫hp[hq|c⋅e⋅b] dq = 1。

然后，后验概率满足每个可测量区域R的以下等式：

p [hr|c⋅e⋅b] =

∫rp[e|hr⋅c⋅b]×p [hr|c⋅b] dr

∫hp[e|hq⋅c⋅b]×p [hq|c⋅b] dq

。

在现有概率密度的精确模型P [HQhq|c⋅b]的情况下，该方程足以提供后验概率的值P [HRhr|c⋅e⋅b]。 然而，当没有可用的前沿的精确模型时，可以通过以下方式评估后验概率值的界限。

让K是（你的最佳估计）对概率密度值的比率的上限，对区域R和HQ中的每个HR（H-R）中的每个HR的P [hq|c⋅b] / p [hrb1b]。 也就是说，对于R中的任何HR具有P [HRhr|c⋅b]的最小值，对于（H-R）的哪个总HQ具有最大的P [HQhq|c⋅b]，让K是一个真实的数字，使得k≥p[HQhq|c⋅b] / p [hr gikb]。

然后，

ω[¬hr|c⋅e⋅b]≤k×[

1

∫rp[e|hr⋅c⋅b] dr

∫hp[e|hq⋅c⋅b] dq

-1]。

因此，通过公式给出了HR的相关后概率的下限

p [hr|c⋅e⋅b]≥

1

1 + k×[

1

∫rp[e|hr⋅c⋅b] dr

∫hp[e|hq⋅c⋅b] dq

-1]

。

在贝叶斯统计数据中，评估后概率的这种间隔假设称为可信的间隔。 这种间隔的后部概率通常由通过明确已知的（或假设的）现有概率密度函数来治理的先前概率分布。 通常，假设的密度函数由P [HQαb] = 1给出，在H中的所有HQ上给出，在这种情况下，所述案例被认为具有平坦的分布。 当前面是平坦的，k = 1的值，并且区域（间隔）R的后验概率的精确值由公式给出，

p [hr|c⋅e⋅b] =

∫rp[e|hq⋅c⋅b] dr

∫hp[e|hq⋅c⋅b] dq

。

规则BE-C与贝叶斯估计原则（Edwards，Lindman，Savage，1963）密切相关，但有点更简单，更易于申请。 其应用程序的示例在第2.5节中提供。

1.7关于辅助假设的认知状态

如已经注意到，假设与可能性所表达的证据之间的逻辑连接通常需要辅助假设的调解。 当竞争假设时，HI和HJ分别在不同，不兼容的辅助假设，AI和AJ上绘制这些助剂不能收集到常见的背景中索赔B. 相反，必须证实，它们与其绘制的假设一起进行评估。 在这种情况下，规则RB适用如下：

p [（hi⋅ai）|c⋅e⋅b]

p [（hj⋅aj）|c⋅e⋅b]

=

p [e|（hi⋅ai）⋅c⋅b]

p [e|（hj⋅aj）⋅c⋅b]

×

p [（hi⋅ai）|c⋅b]

p [（hj⋅aj）|c⋅b]

。

但是，当两个竞争假设在相同的助剂A上绘制时，逻辑将它们视为“给予”那些假设的比较支持。 要了解概率逻辑如何认可此处理，请考虑规则RB在每个组合到相同的辅助（或辅助的连词）时，如何对一对假设应用。 首先说明规则RB适用于如上所述的（hi⋅a）经文（hj⋅a）的比较支持。 （这里我们让D包含除A之外的背景和助剂，以便之前的后台索赔B现在包括联合（a⋅d））：

p [（hi⋅a）|c⋅e⋅d]

p [（hj⋅a）|c⋅e⋅d]

=

p [e|（hi⋅a）⋅c⋅d]

p [e|（hj⋅a）⋅c⋅d]

×

p [（hi⋅a）|c⋅d]

p [（hj⋅a）|c⋅d]

。

考虑以下概率上有效的规则 - 用于条件概率的公理的Axiom 5：

p [（a⋅b）|c] = p [a|b⋅c]×p [b|c]。

将此规则应用于前后的后源率的前后概率

p [（hi⋅a）|c⋅e⋅d]

p [（hj⋅a）|c⋅e⋅d]

=

p [hi|a⋅c⋅e⋅d]×p [a|c⋅e⋅d]

p [hj|a⋅c⋅e⋅d]×p [a|c⋅e⋅d]

=

p [hi|c⋅e⋅（a⋅d）]

p [hj|c⋅e⋅（a⋅d）]

同样地，将此规则应用于以前的Priors产量的前一次概率

p [（hi⋅a）|c⋅d]

p [（hj⋅a）|c⋅d]

=

p [hi|a⋅c⋅d]×p [a|c⋅d]

p [hj|a⋅c⋅d]×p [a|c⋅d]

=

p [hi|c⋅（a⋅d）]

p [hj|c⋅（a⋅d）]

。

现在，将这些等同的后差和相同的现有比例替换为（hi⋅a）和（hi⋅a）产量的先前版本

p [hi|c⋅e⋅（a⋅d）]

p [hj|c⋅e⋅（a⋅d）]

=

p [e|hi⋅c⋅（a⋅d）]

p [e|hj⋅c⋅（a⋅d）]

×

p [hi|c⋅（a⋅d）]

p [hj|c⋅（a⋅d）]

。

因此，当通过竞争假设中使用助剂A时，它们可以被扫描到该实施例中的常见背景B（即，成为（a⋅d））。

与任何逻辑一样，归纳支持的逻辑仅告诉我们给定的房屋收集意味着各种结论。 可能很可能发生辅助副主体（c⋅e）（c⋅e）均暗示，通过似然比，该假设Hj强烈支持Hi，

p [e|hi⋅c⋅（a⋅d）]

p [e|hj⋅c⋅（a⋅d）]

«1，

而竞争对手辅助AR与同一证据一起可以通过似然比来告诉我们，嗨，HJ强烈支持，

p [e|hi⋅c⋅（ar⋅d）]

p [e|hj⋅c⋅（ar⋅d）]

»1。

这种在另一个假设的助理之间切换到另一个假设之间的能力似乎令人信服地怀疑。 逻辑允许认知代理商只是雇用无论助剂都可以最好地帮助他们自己最喜欢的假设吗？

不，不是完全的。 与任何逻辑一样，只有真实房屋的争论只需要结论为真实，或者对于归纳逻辑，或者更少可能是真实的。 因此，如果我们可以确定哪个替代助剂，A或AR是真的，那么，提供了证据（c⋅e）也是如此，问题将解决问题。 我们最好的评估哪个替代假设，HJ或喜，最可能是真实的，应该借鉴自己真实的场所（证据和助剂）。 但我们如何确定哪些辅助是真的？ 根据基于证据和反对的证据组评估他们可能的真理。

也就是说，辅助假设本身须经证据，这可能会强烈支持（真相），其中一个人在其竞争对手上。 此外，这种对助剂的证据支持又可以影响吸引它们的假设的支持。 要了解如何发生这种情况，请再次考虑两个替代辅助（或替代的连词助理）A和AR。 假设大量证据（c *⋅e*），熊在A及其竞争对手上，而这一证据体系强烈支持他们每个人。 特别地，假设根据规则RB，这一证据机构对对竞争对手的竞争对手提供了非常强大的支持：

p [ar|c *⋅e*⋅d]

p [a|c *⋅e*⋅d]

=

p [e *|ar⋅c*⋅d]

p [e *|a⋅c*⋅d]

×

p [ar|c *⋅d]

p [a|c *⋅d]

=ε，

对于一些非常小的ε值。

因此，根据这一证据，一个比AR更容易真实。 直观地，这提供了良好的认识原因，以便在评估假设HJ Verses Hi的评估中使用A而不是AR。 当证据强烈支持一个辅助假设时，它会在最强烈支持的辅助中汲取良好的认识意义。 实际上，可以显示贝叶斯逻辑以充满明智的方式加强这种直觉。 以下附录通过建立这一索赔的定理的技术细节来工作。

在支持良好支持的辅助假设上绘制的认知优势

2.例子

贝叶斯电感逻辑捕获了对各种科学假设的证据支持的结构，从简单的诊断索赔（例如，“患者被SARS-COV-2病毒感染”）到复杂的科学理论世界的基本性质，如量子理论和相对论的理论。 正如我们所看到的那样，逻辑基本上是比较的。 对假设的评估取决于证据如何支持它的竞争对手假设。 在本节中，我们将这种逻辑的若干应用视为科学假设和理论的证据评估。

我们已经看到假设的后验概率的比较取决于仅仅两种因素：（1）当辅助辅助和证据初始条件和证据初始条件连体时，证据结果E c，p [e|hk⋅c⋅b]; （2）每个假设的现有概率，P [HKhk|c⋅b]。 可能性捕获假设的说法是关于世界的证据方面如何结果（如果假设是真的）。 现有概率代表评估假设评估如何在未被证据可能性所捕获的理由上进行评估。

假设和理论的合理性评估总是在科学中发挥着重要的，合法的作用。 合理性评估通常因广泛的论据而受到支持，可能会借鉴有力的概念考虑，以及证据似然性而没有捕获的广泛实证索赔。 科学家们经常带来合理性论据，以评估竞争意见。 虽然这种论点通常远非决定性，但它们可能会使科学界与一些逻辑可能的替代方案的象征性达成广泛共享的协议。 这似乎是思想实验的主要认知作用。 例如，考虑已经涉及量子理论的各种解释（例如，与测量问题有关的各种解释的合理性参数。 这些论点转向概念问题的核心，这是理论的原始发展的核心。 这些问题中的许多问题是由那些对量子理论的发展的最大贡献的科学家提出了最大的贡献，试图在理论上得到概念持有的思考及其影响。

此外，鉴于任何证据，它很容易烹饪逻辑上可能的替代假设，完全占证据。 这些熟食，可以构建临时假设，以便逻辑上依靠所有已知的证据，以便为可用证据的整体提供等于1的似然值。 虽然大多数这些熟练的假设都会令人思想令人难以征求，但没有科学家会给他们一个时刻的通知，证据性可能无法统治它们。 只有通过现有概率代表的合理性考虑因素为归纳逻辑提供了一种抵情的地方，以带来这种令人难以承受的考虑因素。

在那些不可熟悉的假设中，先前合理性评估的贡献可以基本上“洗掉”，因为足够强大的证据可以获得。 因此，如果真正假设的先前概率没有评估为太接近零，则在证据积累时，现有概率的值的影响将非常逐渐消失。 各种贝叶斯融合结果为此建立了合理的条件。 因此，事实证明，在可能性所代表的区分证据仍然疲软时，先验的合理性评估发挥了最重要的作用。 以下一些示例说明了这个想法。

2.1。 用统计证据测试科学假设

牛顿着重理论（NGT）占据了大规模尸体的“汇集在一起”，在他们之间的吸引力方面，这些巨大的身体产生的重力的力量。 根据相对论的一般理论（GTR），身体之间没有引力的力。 而是，在大型体内的空间时间附近是弯曲的。 空时曲率导致大量物体之间的距离减小，因为它们通过时空遵循这些弯曲路径。 GTR和NGT之间这种差异的一个结果是它们需要不同的路径，以便在阳光表面附近到地球的途中的光束。

GTR需要非常接近太阳表面的遥远恒星的光从直线路径偏转。 这种偏转将使明星从地球观察，看起来比往常不同的位置与往往的背景恒星，其光线不会通过如此接近太阳的表面。 根据GTR，在太阳表面附近的光束的预测偏转角度为1.75弧度（其中1个弧度是1/3600的程度的角度）。