归纳逻辑
2.假设的先前符号：先验概率是对B [HK |b]或P [HKhk|c⋅b]的假设的概率论点，其中B或（C 1B）所载的信息不包含种类的信息证据成果E，HK表达了可能性。 这些概率论证不需要是假设HK的先前论据，因为有些人建议。 也不需要他们只是表达个人对个人的主观意见。 相反，这些论点的价值观应基于一系列相关考虑因素代表假设的合理性评估，包括未证明的可能性而非捕获的广泛经验事实。 例如，这种合理性参数可能涉及对假设的简单性的考虑，无论是过度临时的，无论是否提供（或至少与）合理的因果机制等。 （这种关于贝叶斯概率的性质，特别是先前概率，最接近的贝叶斯人，杰弗里斯和杰恩斯的传统最密切关注。或者，许多贝贝斯人，在Ramsey，De Finetti的传统中，野蛮人，占据所有贝叶斯概率，包括前锋，表达个人主观的信仰程度。然而，贝叶斯逻辑本身的数学规则并不是以任何方式依赖于关于贝叶斯概率的概念性质的解决问题。所以我们可以在这里将此问题设置在一起。）
在许多情况下，这种初始合理性评估不会通过精确的数值表示。 但是，事实证明，下面提出的归纳推理规则只需要借鉴Priosu的值U：
u = p [hi|c⋅b] / p [hj|c⋅b]。
这些比率表示比替代假设Hj更合理的假设Hi，鉴于它们的比较简单，临时，因果生存能力等，并且包括与特定领域相关的广泛经验因素这些假设相关的询问。
此外，这种比较合理性评估通常可能过于模糊，以通过精确的数值表示。 相反，它们通常最好用数字间隔代表：
u≥p[hi|c⋅b] / p [hj|c⋅b]≥v，
对于实数U和v。
再一个点。 尽管由C的观察/实验条件的描述，但是由C而体现的，但通常与先前概率值（在没有结果e的情况下），但概率逻辑本身不会自动允许解雇可包含在C中的信息。 相反，逻辑要求具体地解决C的相关性。 然而，如果不存在结果E，条件c与HI和HJ同样相关，则概率逻辑允许丢弃，产生以下形式的比较合格性比率：
u≥p[hi|b] / p [hj|b] = p [hi|c⋅b] / p [hj|c⋅b]≥v。
因此，尽管下面描述的归纳推论规则将继续在现有概率参数中包含语句C，但读者应记住C通常与这些参数无关，并且可以从它们中删除。
证据支持的逻辑结合了这两种因素的数值，以产生对载体程度的评估，P [HKhk|c⋅e⋅b]，用于假设。 要了解这项工作，首先返回以下形式的贝叶斯定理，适用于每个假设HK：
p [hk|c⋅e⋅b] =
p [e|hk⋅c⋅b]×p [hk|c⋅b]
p [e|c⋅b]
。
术语P [ee|c⋅b]的值，其发生在这种贝叶斯定理的分母中，通常难以评估（甚至不可能）。 因此，考虑对竞争假设对的比较支持通常更有用。 将贝叶斯定理应用于一对假设，HI和HJ，然后采取比率，通过其后验概率的比率来评估其对比支持的以下公式：
p [hi|c⋅e⋅b]
p [hj|c⋅e⋅b]
=
p [e|hi⋅c⋅b]×p [hi|c⋅b]
p [e|hj⋅c⋅b]×p [hj|c⋅b]
。
以下两部分突出了这种比例形式的贝叶斯定理，并展示了它如何捕获贝叶斯归纳推理的基本特征。
1.4推理规则RB：贝叶斯定理的比例形式
在本节中，接下来，我们看看两个密切相关的贝叶斯定理版本，因为它适用于竞争的假设。 本节致力于最基本的版本，比率形式的贝叶斯定理。 这是。
规则RB：贝叶斯定理的比例形式
让H1，H2，......是两个或多个替代假设的列表，替代方案中的任何两个（hi⋅hj）的结合在逻辑上不一致（即，其中两个都可以是真的）：⊨¬（hi⋅hj）。 让C成为可能结果的观察或实验条件。 并且假设B是相关辅助假设和合理性考虑的结合。
让HJ从列表中的任何假设是p [e|hj⋅c⋅b]＞0和p [hjκb]＞0。
然后p [hjhj|c⋅e⋅b]＞0，以及每个Hj的替代方案中的嗨，
p [hi|c⋅e⋅b]
p [hj|c⋅e⋅b]
=
p [e|hi⋅c⋅b]
p [e|hj⋅c⋅b]
×
p [hi|c⋅b]
p [hj|c⋅b]
。
该比率还提供了P [HIhi|c⋅e⋅b]的上限，从而提供了
p [hi|c⋅e⋅b]≤
p [hi|c⋅e⋅b]
p [hj|c⋅e⋅b]
。
这种比率形式的贝叶斯定理是从上述公理中衍生出条件概率功能的直接衍生。
在规则RB的任何应用中，似然比载有证据（c⋅e）的全面进口。 证据不别的方式影响假设的评估。 在许多科学环境中，每个假设（与辅助者一起）为证据索赔的可能性提供了精确的价值。 在这种情况下，可以计算似然比的确切值。 实际上，在任何给定的认知环境中，RB仅用在上下文中的每对假设HI和HJ中，仅当对每对假设HI和HJ的引起的推断是有用的，其似然比的（或至少合理界限）的值是可确定的或可计算。
在规则RB中，影响后概率比率的唯一其他因素是其相关的先前概率的比率。 这些前锋比率起到了核心作用。 因此，对于对电感逻辑的推断进行有用的规则Rb，这些前提比的比例的值必须是可评估的或可计算的 - 或者必须在它们上进行至少可信的上限和下限。
对于某些类型的假设，可以可用的可合理精确值，因此可以计算前提孔比率的数值。 然而，在许多认知背景中，个别假设的现有概率值模糊不清，难以确定。 在这些背景下，它通常更容易地评估前瞻的比率，因为它代表了更多（或更少）合理的一个假设的评估比另一个的评估。 实际上，对比较招避的可靠上限和下限的评估足以就规则RB提供的归纳推论。 对于鉴于大量证据，对比较证书的广泛界限的相关似然比通常会产生相当狭窄的后验概率的缩小。
请注意，规则RB意味着，如果p [e|hi⋅c⋅b] = 0或p [hihi|c⋅b] = 0，则p [hi|c⋅e⋅b] = 0。
当p [hihi|c⋅e⋅b] = 0由于p [e|hi⋅c⋅b] = 0时，我们有一个延长版本的假设的伪造概念。 伪造通常通过证据与假设的演绎驳斥相关。 也就是说，当（hi⋅c⋅b）⊨e*时，但实际的结果e与e *逻辑上是不兼容的，所以它遵循（hi⋅c⋅b）⊨¬e。 然后，减少，它还遵循（c⋅e⋅b）⊨¬hi，并且据说HI被给予b（c⋅e）伪造b。
规则RB捕获此思想，因为当（hi⋅c⋅b）⊨¬e时，概率理论产生P [¬e|hi⋅c⋅b] = 1，所以p [e|hi⋅c⋅b] = 0，在这种情况下，规则Rb产生p [嗨，hi|c⋅e⋅b] = 0。 并且，根据RB，P [e|hi⋅c⋅b] = 0足以p [hiκeb] = 0，所以请遵循p [¬hi|c⋅e⋅b] = 1。
规则RB通过展示证据可能会强烈反驳假设嗨，而不是完全伪造的证据。 现在假设P [HJhj|c⋅b]＞0和P [HIhi|c⋅b]＞0。 然后，无论与HJ相比，无论HJ相比如何才能遵循卓越或令人难以置信的嗨，如果HJ是令人难以难以妨碍的，那么与HJ相比，如果证据e足够不太可能，则规则RB表示HI的后验概率关于该证据，也必须非常接近0。
更正式地，假设P [HIκB] / p [hj|c⋅b]≤k，其中k可能是一些非常大的数字。 这代表了最初被认为是比hj更合理的k倍的想法。 让ε是一些非常少的数字，如您所希望的靠近0。 然后，根据规则RB，为了获得0的ε内的p [hiκeb]的值0，它足以让Hj的证据归因于Hi的强烈足够强烈，P [e|hi⋅c⋅b] ＜（ε/ k）×p [e|hj⋅c⋅b]。 也就是说，通过规则RB：
何时
p [hi|c⋅b]
p [hj|c⋅b]
≤k，如果
p [e|hi⋅c⋅b]
p [e|hj⋅c⋅b]
＜
ε
k
，
然后p [hihi|c⋅e⋅b]＜ε。
如果所有但是最极度难以置信的假设HJ的替代品以这种方式受到证据（c⋅e）的强烈驳斥，那么HJ，P [HJhj|c⋅e⋅b]的后验概率应该接近1.因此，May HJ可能很强烈证据支持。 下一个规则将更充分地支持这个想法。
1.5推理规则ob：贝叶斯定理的赔率形式
规则RB有助于更全面的推理规则，适用于竞争假设的集合。 这种更全面的规则采用了众所周知的概率的赔率概念。 根据定义，给定B写入ω[A ||]的次数与公式的给定B的概率有关：
ω[a|b] =
p [a|b]
p [¬a|b]
。
然而，为了我们的目的，利用赔率的逆比将更有用，对给定B的赔率是：
ω[¬a|b] =
p [¬a|b]
p [a|b]
=
1-p [a|b]
p [a|b]
。
从赔率的定义来看，它遵循：
p [a|b] =
1
1 +ω[¬a|b]
。
以下是贝叶斯归纳逻辑的赔率如何发挥作用。 通过规则RB给出的贝叶斯定理的比率版本，在假设HJ的一系列替代方案中。 这产生了贝叶斯定理的赔率形式。 从中，我们可以计算后部概率的单个值。
规则ob：贝叶斯定理的赔率形式
让H = {H1，H2，...，HN}是两个或多个替代假设（即N≥2）的集合，其中任意两个的结合在逻辑上不一致，⊨¬（hi⋅hj）。 让C成为可能结果的观察或实验条件。 并且假设B是相关辅助假设和合理性考虑的结合。
让HJ从P [HJhj|c⋅b]＞0和P [e|hj⋅c⋅b]＞0的列表中是任何假设。
然后p [hjhj|c⋅e⋅b]＞0和每个Hj的替代方案，
ω[¬hj|c⋅e⋅b⋅（hi∨hj）] =
p [hi|c⋅e⋅b]
p [hj|c⋅e⋅b]
=
p [e|hi⋅c⋅b]
p [e|hj⋅c⋅b]
×
p [hi|c⋅b]
p [hj|c⋅b]
。
此外，
ω[¬hj|c⋅e⋅b⋅（h1∨h2∨...∨hn）]
=
n
σ
我= 1，我≠j
ω[¬hj|c⋅e⋅b⋅（hi∨hj）]
=
n
σ
我= 1，我≠j
p [e|hi⋅c⋅b]
p [e|hj⋅c⋅b]
×
p [hi|c⋅b]
p [hj|c⋅b]
。
最后，HJ的相关后概率，前提的程度（c⋅e⋅b⋅（h1∨h2∨......∨hn））支持结论hj，由公式给出
p [hj|c⋅e⋅b⋅（h1∨h2∨...∨hn）]
=
1
1 +ω[¬hj|c⋅e⋅b⋅（h1∨h2∨...∨hn）]
。
因此，规则OB表明，针对有限的替代品评估的假设的可能性仅取决于后验概率的比率，其中每个比率完全来自贝叶斯定理的比率形式，规则RB规定。 对于假设的后验概率，同样的概率，因为它的价值完全导出了对抗它的可能性。 因此，贝叶斯定理的比例形式捕获了贝叶斯评估假设的基本特征。 它表明如何通过概率比率捕获的证据的影响如何与先前概率的比率捕获的假设捕获的比较合理性评估结合在一起，以便在比赛中驳回驳回假设或支持的净评估他们的竞争对手。
我们在评论中得出关于为什么规则OB提供的后赔率和后验概率的评论，通常需要对替代假设的有限剖钉进行依赖，（h1∨h2∨......∨hn）。
首先注意到在任何特定的认知背景下，其中N个替代假设的收集，{H1，H2，......，HN}包括关于主题在问题上的所有可能的替代方案，如果背景声明B所说的话（即，如果b⊨（即）h1∨h2∨...∨hn）），然后可以从规则OB中的方程式中删除假设的明确使用。 因为，在那种情况下，
ω[¬hj|c⋅e⋅b] =ω[¬hj|c⋅e⋅b⋅（h1∨h2∨...∨hn）]。
然而，在许多认知环境中，调查人员可能无法了解关于主题的所有可能的替代假设或理论。 例如，医学界可能没有发现可能困扰患者的所有可能的疾病或疾病。 此外，在一些背景下，甚至可能无法制定所有可能的替代假设或理论 - 例如。 关于时空的基本性质和宇宙起源的所有可能的替代理论。 在这种情况下，我们能做的最好的是评估迄今为止制定的那些假设的证据支持，总是记住，替代方案列表可能会扩大到其他替代方案。
现在，只是一个进一步的观点。 假设N个替代品列表包含到目前为止所制定的相关的认知社区的所有替代假设，但其他不明的替代方案仍然可能。 我们是否可以吸引以下贝叶斯的结果来绕过必要的必要性，以便目前制定的替代假设的脱位？ 毕竟，该结果也是概率理论的定理。
对于p [e|hj⋅c⋅b]＞0和p [hjhj|c⋅e⋅b]＞0，
ω[¬hj|c⋅e⋅b]
=
n
σ
我= 1，我≠j
p [hi|c⋅e⋅b]
p [hj|c⋅e⋅b]
+
p [（¬h1⋅¬h2⋅...⋅¬hn）|c⋅e⋅b]
p [hj|c⋅e⋅b]
=ω[¬hj|c⋅e⋅b⋅（h1∨h2∨...∨hn）] +
p [（¬h1⋅¬h2⋅...⋅¬hn）|c⋅e⋅b]
p [hj|c⋅e⋅b]
，
最终术语由等式给出，
p [（¬h1⋅¬h2⋅...⋅¬hn）|c⋅e⋅b]
p [hj|c⋅e⋅b]
=
p [e|（¬h1⋅¬h2⋅...⋅¬hn）⋅c⋅b]
p [e|hj⋅c⋅b]
×
p [（¬h1⋅¬h2⋅...⋅¬hn）|c⋅b]
p [hj|c⋅b]
。
这个想法的问题是它借鉴了表单p [e |（¬h1⋅¬h2⋅......⋅¬hn-hn）⋅c⋅b]的可能性。 此类可能性几乎从未具有明确的可确定或可计算的值。 因此，来自绘制这种可能性的公式的ω[¬hj|c⋅e⋅b]和p [hj|c⋅e⋅b]的值也必须无法确定或可计算。 因此，这种追溯到（h1∨h2∨......∨hn）的这种方法是通过互感逻辑在可用的电感推理规则方面进行交叉。
然而，规则OB提供的ω[¬hj|c⋅e⋅b⋅（h1∨h2∨...∨hn）]的可分析值将在非分离 - 相对的后赔率的值中屈服于显式限制后概率。 对于，概率逻辑需要以下关系：
ω[¬hj|c⋅e⋅b]≥ω[¬hj|c⋅e⋅b⋅（h1∨h2∨...∨hn）]，
所以
p [hj|c⋅e⋅b]≤p[hj|c⋅e⋅b⋅（h1∨h2∨...∨hn）]。
因此，如果证据推动P [HJhj|c⋅e⋅b⋅（h1∨h2∨......∨hn）]接近0，那么它也必须推动P [HJhj|c⋅e⋅b]接近0.但是，虽然推动P [HIhi|c⋅e⋅b⋅（h1∨h2∨...∨hn）]接近所有（n-1）Hj的竞争对手的0，结果为p [hjhj|c⋅e⋅b⋅（h1∨h2∨...∨hn）]至1，不需要导致这种方法非分离 - 依次依次依次依次依次释放，1.对于，有些尚未被忽视的替代假设可能会比目前可用的证据（c⋅e⋅b）更好地比HJ更好。 贝叶斯推理的逻辑不排除这种可能性。
1.6贝叶斯间隔估计的推理规则
本节规定了贝叶斯归纳逻辑的两个额外推理规则。 它们是贝叶斯定理的专门版本 - 基本扩展的规则ob。 这两项规则在间隔估计的情况下特别有用，其中证据持有真正的假设是否在某些特定索赔间隔内。 这两项规则中的第一个将在证据支持上对假设的抗衡性的支持表示。 本规则的确切陈述不会预先假定它地址的假设在某些值间隔内; 相反，它适用于对假设的任何有限分离的支持。 然而，其一个重要的应用是替代假设的分离间隔的证据支持。 在第2.4节中提供了替代假设的拆除间隔的示例应用程序。
第二条规则适用于竞争假设的支持，该假设范围在不断的实数的间隔内。 例如，考虑形式的每个假设，“这个特殊（可能偏置的）硬币的折叠的头部的机会是R”，其中R必须在0到1之间具有一些实数值。或许对于该特定硬币的R的真实值是.72。 但是，证据通常不会阐明这个确切的机会假设。 相反，我们通常可以做的最好的是使用证据来缩小R的真实值在其内的间隔中非常驻留（例如，r的后验概率在..67和.77之间是.95，基于证据）。 第二个间隔估计规则的声明将与第一规则的陈述相比非常类似于第一个规则的陈述，而是修改它申请连续的价值间隔。 第2.5节提供了一个例子。
1.6.1推理规则BE-D：假设障碍的贝叶斯估计
以下规则提供了替代假设的剖钉后概率的下限。 它从上述公理获取有条件概率，没有额外的假设超出规则本身明确说明的那些。 虽然本规则的陈述是一般的，但其最常见的应用是对假设的抵消关于密切间隔数量的假设。
规则BE-D：替代假设障碍的贝叶斯估计
让H成为Z替代假设，Z≥2的集合，其中任何两个的结合都是逻辑上不一致的。 让C成为观察或实验条件，其中E描述了一个可能的结果之一。 并且假设B是相关辅助假设和合理性考虑的结合。 对于H中的每个假设HI，使其先前的概率是非零：P [HIκB]＞0。
