归纳逻辑_科学系列()

归纳逻辑是一种推理系统，可以阐明证据证明对假设的真实性的原因。与任何逻辑一样，它通过参数的评估来实现这一点。每个论点包括前提陈述和结论声明。逻辑雇用原则和规则来评估论证的前提陈述的真实性的程度支持其结论声明的真实性。

在演绎逻辑中，一个好的论证的场所的真相保证了其结论的真相。良好的演绎论点被称为减少有效; 据说他们的房屋逻辑上需要得出结论，在那里逻辑蕴涵意味着每个逻辑上可能的事态，使房屋成为真实情况也会结束。在归纳逻辑中，一个好的论证的场所的真实性支持其结论的真相，以适当的学位。也就是说，论证的房屋的真实性为其结论的真实提供了适当的支持。通常在数值上测量这些载体。通过比喻与演绎逻辑征集的概念，可以采取适当的归纳支持程度的概念来意味着这样的意思：在逻辑上可能的事务状态下，使房屋属实是真实的，所以结论是正确的。

本文近年来阐述了逻辑学家和认识论家最广泛研究的感应逻辑。逻辑采用条件概率函数来表示参数的房屋支持其结论的程度。这种方法通常被称为贝叶斯归纳逻辑，因为称为贝叶斯定理的概率理论的定理在阐述了阐述了证据索赔的识别方面的核心作用中起着核心作用。

最终，任何充足的归纳逻辑都应提供一种机制，即证明可以合法地反驳假假设，以批准真正的机制。也就是说，任何合法的归纳逻辑都应该至少提供归因于Sherlock Holmes的最着名的认识论言论的谦虚版本：

当你消除了这一切，这是不可能的，那么无论剩下的东西都是不可能的，必须是真理。

虽然这一评论夸大了归纳逻辑通常可以实现的，但基本的想法基本上是正确的。也就是说，证据支持的逻辑渴望支持以下更为适度的原则：

当一个严谨的证据表明，通过比较极不可能对假设的所有可信替代品非常不可能，但剩下的假设最初是难以置疑的，必须非常可能是真实的。

这一想法是通过破坏其竞争对手来支持假设的真实性的，是贝叶斯支持的贝叶斯逻辑的工作核心。本文将详细描述这种贝叶斯归纳逻辑工作原理。

第1节阐述了贝叶斯归纳逻辑最重要的推断规则。这些规则阐述了如何组合一些概率论证，以确定证据重量或反对假设的程度（如其他概率争论表达）。第2节提供了这些推理规则的应用的示例。

1.证据支持逻辑的主要推理规则

1.1逻辑符号

1.2支持功能的逻辑公理

1.3归纳逻辑推理规则的要素

1.4推理规则RB：贝叶斯定理的比例形式

1.5推理规则ob：贝叶斯定理的赔率形式

1.6贝叶斯间隔估计的推理规则

1.7关于辅助假设的认知状态

2.例子

2.1用统计证据测试科学假设

2.2用于医疗测试的应用：Covid-19自检

2.3不精确的可能性

2.4贝叶斯估计替代假设的障碍

2.5贝叶斯估计用于连续替代假设的估计

参考书目

学术工具

其他互联网资源

相关条目

1.证据支持逻辑的主要推理规则

本节列出了概率（贝叶斯）归纳逻辑的基本要素。我们首先制定适当的符号，并为条件概率函数指定逻辑公理。这些条件概率函数将用于表示归纳参数。接下来，我们简要介绍了贝叶斯归纳推论的推理规则中的两个最基本的组件论点：（1）证据可能性，以及（2）假设的先前合理性评估。然后，我们介绍这种归纳逻辑的四个最重要的推断规则，从似然参数和先前的合理性参数中使用概率值的规则，以确定来自证据前提到假设的参数的概率值。

在本文的主体中，我们将讨论概率归纳逻辑的历史起源。有关原产地概述，请参阅附录历史起源和概率感应逻辑的解释，以及关于概率感应逻辑性质的简要摘要。

1.1逻辑符号

在概率论证中，在条件概率函数P的方面表达了前提陈述D支持结论语句C的真实或误的程度。表格P [C | D] = R表示前提D支持结论C的索赔R，其中R是0到1之间的实数。注意，结论C放置在条件概率表达的左侧，然后是右侧的前提d。这扭转了在Defultive Logical Intailment的标准表达式中使用的前提和结论的顺序，其中结论C由前提d的逻辑征用通常是由表达式d⊨c表达的表示。

在Deftuctive Logic的应用中，主要挑战是确定是否逻辑征兆，d⊨c，持有由处所D和结论C的参数。类似地，概率归纳逻辑中的主要挑战是确定适当的值r使得p [c |d] = r保持由房屋d和结论c组成的参数。概率式公式p [c |d] = r可以以两种方式中的任一种读取：从字面上读取给定的概率d是r; 另外，APROPOS概率函数p的应用来表示参数优势，d由d支持的程度是r。

在我们讨论中，我们使用共同的逻辑符号来争论，障碍和否定。我们在句子之间使用圆点（a⋅b），代表他们的联合，（a和b）; 我们使用句子之间的楔形（a∨b），表示它们的分离，（a或b）。脱位被带到包容性：（a∨b）表示a或b中的至少一个是真实的。我们在句子前使用的不是符号¬表示其否定：¬c意味着它不是c的情况。

1.2条件概率函数的逻辑公理

以下是条件概率的标准逻辑公理。它们为概率支持功能提供最小规则。也就是说，支持功能应至少满足这些公理，也许也许是一些额外的规则。

让L是一种兴趣的语言 - 即，任何感兴趣的感觉论点的语言可以表达 - 并且让⊨是这种语言的逻辑征集关系。条件概率函数（即概率支持函数）是函数p，其函数p对L到满足（至少）以下公理的实数。

有陈述U，v，x和y，使p [U19]≠p [x |y]

此非活动公理规定了将概率值1分配给每个参数的函数p;

对于所有陈述A，B和C在L中：

0≤p[a|b]≤1

房屋支持结论到0到1之间的实数测量的一定程度;

如果b⊨a，那么p [a |b] = 1

逻辑意外的场所支持其结论1;

如果c⊨b和b⊨c，则p [a g] = p [a ge]

逻辑上等同的房屋支持结论到相同的程度;

如果c⊨¬（aəb），则p [（a∨b）'= p [a |c] + p [b | c]，除非每个陈述d为p [d ub] = 1;

p [（a⋅b）|c] = p [a|（b⋅c）]×p [b|c]。

这些公理不会预先假定逻辑上等效的语句具有相同的概率。相反，可以从这些公理中证明。

公理1-4应该如上所述清除。 Axiom 5表明，当c⊨¬（a⋅b）（即，当c逻辑上时，不需要A和b不能为true），C的支持强度（a∨b）必须单独为每个人的支持强度的总和等于其支持优势。当C支持每个语句D度为1度时，发生此添加率条件的唯一异常。例如，当C逻辑上不一致时，由于（根据标准演绎逻辑）逻辑上不一致的陈述必须逻辑地留下每个语句D.

以下四条规则遵循公理2,3和5：

P [¬A|c] = 1-P [A |c]，除非每个陈述D对于P [D NUEC] = 1。

if（c 1b）⊨a，然后p [a |c]≥p[b.com]。

if（c 1b）⊨a和（c⋅a）⊨b，那么p [a |c] = p [b .c]。

让A1，A2，......，一个是N个语句，使得对于每对对它们和AJ，c⊨¬（ai⋅aj）。然后p [（a1∨a2∨......∨an）|c] = p [a1 g] + p [a2bc] + ... + p [ANκC]，除非每个陈述D的p [D否认] = 1。

这些结果衍生在附录，公理和一些定理中的条件概率。本附录还包括一种替代方法来减少条件概率，其借助于大量较弱的公理到达相同的结果（即，所有上述公理和定理可从这些弱道衍生出来）。

Axiom 6表示有条件概率之间的基本关系。想一想。致电逻辑上可能的状态的集合，其中语句C是C状态的真实状态。考虑C的C州也是B的比例P态：P [B |c] = p。那些（b⋅c）状态的一定部分F也是一种状态：p [a |（b⋅c）] = f。然后，（A 1B）状态p [（a 1b）]的C状态的比例应该是比例P的馏分f，其由f×p给出。也就是说，（a⋅b）国家的缔约国的比例应该是（b⋅c）所在的一部分，也是B州的C州的比例，P：

p [（a⋅b）|c] = f×p = p [a|（b⋅c）]×p [b|c]。

从公理6，与公理3和5一起，一种简单的贝叶斯定理形式遵循：如果p [b |c]＞0，那么

p [a|（b⋅c）] =

p [b|（a⋅c）]×p [a|c]

p [b|c]

。

要了解贝叶斯定理如何代表有关证据支持的推理规则，通过一些假设H代替一些假设H，通过一些相关的证据E替换B，并且允许C表示背景和辅助条件的一些适当的结合，包括任何实验或观察条件（A.K.A.初始条件）可能需要将H链接到E（更重要的是）。然后，适当版本的贝叶斯定理采取以下形式：如果p [e |c]＞0，那么

p [h|（e⋅c）] =

p [e|（h⋅c）]×p [h|c]

p [e|c]

。

因此，贝叶斯定理代表了对假设的证据支持的强度，P [H |（e⋅c）]的方法可以从三个其他概率争论的强度计算：P [E |（h⋅c）]，P [H | C]和P [E |c]。用这种方式说明，贝叶斯定理可能看起来不像推理规则。因此，让我们更准确地阐明如何将这样的等式解释为推理规则。它代表了一种规则，它借鉴了三个概率论点的优势，以推断出进一步论证的强度。因此，作为推理规则，贝叶斯定理可以表示如下：

如果：

从C到e的参数的力量是q，对于q＞0

（即p [e |c] = q＞0），和

（h⋅c）到e的论证的力量是r

（即P [E |（h⋅c）] = r），和

从c到h的论证的力量是s

（即p [H |c] = s），

然后：

来自（e⋅c）到h的参数的强度是t = r×s / q

（即P [H |（e⋅c）] = t，其中t = r×s / q）。

本文提出的Idiential支持的归纳逻辑的每个推理规则是基于这种基本的贝叶斯思想。然而，它通常证明，参数P [E |c] = Q的强度的数值q尤为难以评估。因此，在本文的剩余部分提供的贝叶斯推理规则不依赖于表单P [e |c] = q的概率论。此外，形式P [H |c] = S的争论的强度S通常模糊或不确定。当我们继续时，这个问题将得到特别关注。

我们现在继续考虑四个贝叶斯推断的基本规则，对感应逻辑。这些规则中的每一个都从上述公理中遵循。但是，在进入规则本身之前，我们需要先仔细调查这些规则中的每一个将采用的两种争论部件：P [E |（h⋅c）] = R和P [H | C] = s。

1.3归纳逻辑推理规则的组件

在几乎所有概率感应逻辑的应用中，兴趣的论据涉及评估可观察或可检测证据E讲述或反对假设及其竞争替代方案的程度。让H1，H2，H3，...等代表两个或多个竞争替代假设的集合。假设算作竞争替代品，当他们解决相同的主题时，但不同意至少一些关于该主题的索赔。因此，我们从收集，嗨和hj中获取任何两个替代假设，逻辑上不兼容：⊨¬（hi⋅hj） - 即它在逻辑上是真的，¬（hi⋅hj）。

如果有史以来，如果有的话，关于假设的可能真理或虚假的证据的承担很少被评估。一方面，证据结果E关于假设HJ的轴承取决于所做观察的条件，或者如何建立和进行实验。让C代表描述观察或实验条件（有时称为初始条件）的语句（有时称为初始条件），其引起由（结合）陈述e描述的证据结果。

此外，证据条件的轴承及其结果（c⋅e）在假设HJ上通常依赖于辅助假设 - 例如，辅助索赔关于测量装置如何在C等条件下产生与HJ相关的结果。让B代表所有这些辅助权利要求的结合，其将每个竞争假设，HI，HJ等连接到结果C的结果C. 例如，假设各种假设提出可能涉及特定患者的替代医学障碍。条件C可以描述对患者进行的医学测试体（例如血液绘制并提交给各种特定测试），并且E可以说明这些测试的精确结果（例如，白细胞计数，血糖水平，AFP水平等的精确值）。然而，医学试验的描述及其结果只能根据辅助假设的方式重量或反对存在疾病的紊乱，这些疾病HJ可能影响那些测试结果的方式（例如，每种可能的病症如何影响白细胞计数，血糖水平，AFP水平等）。用于背景技术权利要求的表达式B表示这种辅助的结合。（B中的许多索赔本身应该在他们与他们自己主题的替代索赔中竞争的背景下进行证据支持。更多在稍后。）

对假设的可能真相的全面评估也应依赖于一些合理性考虑因素 - 根据在将证据持有的证据前的考虑，在替代品，享受更多（或更少）的合理性HJ。合理的归纳逻辑应该反映非凡索赔需要非凡证据的想法。也就是说，使非凡权利要求的假设需要特别强有力的证据来克服其初步令人难以判断。因此，在考虑证据之前，逻辑应该有一种良好的方法可以容纳更多或多或少合理的一个假设而不是替代方案。例如，在诊断医疗疾病时，考虑到患者所属的最相关的亚群中的每种替代疾病发生普遍（或很少），它具有良好的意义。这被称为相关子群中疾病的基本税率。我们很快就会看到这种考虑因素如何进入感应逻辑的推理规则。为了描述逻辑的目的，我们还允许符号B代表任何相关的合理性考虑所带来的结合，以及采用任何相关的辅助假设。

在这些术语中表达，概率感应逻辑的主要目标是通过形式（c⋅e⋅b）的前提是评估每个竞争假设Hj的（或反对）的竞争程度（c⋅e⋅b），其可观察结果包括可观察结果E，与相关的辅助假设和合理性索赔，否则均可介绍b。也就是说，目的是确定表单P [hj|c⋅e⋅b] = t的概率参数的数值t。这种表达通常称为假设Hj的后验概率（c⋅e），给定背景b。因此，逻辑的主要目标是评估这种证据参数的后验概率的值t。

贝叶斯支持的最基本的推理规则是性质上的比较。也就是说，这种最基本的规则不直接为单个后验概率提供值。相反，它提供了竞争假设的后验概率（参数权重）的比率比较。

让HI和HJ是来自竞争替代品列表的任何两个不同的假设。对于这两个假设的比较 - 载体由数值q为其后验概率的比例给出：P [HIhi|c⋅e⋅b] / p [hj|c⋅e⋅b] = q。该比率测量更强烈的（或更少）的前提（c⋅e⋅b）支持HI，而不是它支持HJ。逻辑中最基本的规则说明了计算价值Q的直接方法以获得这种比率; 它确实在不提供各个后验概率的值，P [HIhi|c⋅e⋅b]和p [hj|c⋅e⋅b]本身。我们将在下一个小节中介绍相关推理规则时，我们会看到这是如何工作的。

用于确定后概率率的值Q的推理规则仅吸引了两个不同类型的概率参数：

1.根据各种假设的证据的可能性：可能性是表单p [ee|hk⋅c⋅b] = r的概率论证。它是从场所（hk⋅c⋅b）到结论的概率论证。这个论点表达了一个假设的HK所说，关于证据证明e应该是真的，当B中的证据条件C和辅助索赔也是如此时，应该是真的。可能性表达了假设的经验内容，它将是世界上可观察的部分可能就像。为了使两个假设，HI和HJ，在经验含量（给定B）的不同之处，必须存在一些可能的证据条件c，其可能结果是其中两个假设不同意的可能性：

p [e|hi⋅c⋅b] = r≠s = p [e|hj⋅c⋅b]。

事实证明，贝叶斯归纳推理规则不会直接依赖于各个可能性的价值，而是仅依赖于可能性比率的v：

v = p [e|hi⋅c⋅b] / p [e|hj⋅c⋅b]。

这些似然比（A.K.A.贝叶斯因子）代表了更有（或更少）的可能性，如果假设HI是真的，那么如果替代假设HJ是真的。它们体现了经验内容证明在两个竞争假设之间的手段。

在许多科学环境中，各个可能性的确切值是可计算的，通常通过一些明确的统计模型，其中假设与助剂一起，（hk⋅b），绘制。显然，在似然性的确切值可算的背景下，这些似然比的确切值也是可计算的。然而，即使在单个假设，HI和Hj的情况下，提供关于个体似然的值的稍微模糊或不精确的信息，也可以评估上下界限的合理估计在其似然比上。我们将会看到似然比的界限如何可以为归纳推理规则提供重要的证据输入。

当证据组成了M个不同的实验或观察结果和结果时，（c1⋅e1），...，（cm⋅em），我们使用术语c代表这些实验或观察条件的结合（c1⋅c2⋅......⋅cm），我们使用术语E来代表各自的结果的结合（e1⋅e2⋅......⋅em）。对于符号的便利性，我们可以使用术语CM来缩写M实验条件的结合，并且我们使用术语EM缩写其结果的相应结合。鉴于特定的假设HK与相关的辅助剂B一起B，这些独特的实验或观察的证据结果通常彼此概括，并且也将独立于彼此的结果的实验条件。在这种情况下，可能性p [e|hk⋅c⋅b]分解为以下术语：

p [e|hk⋅c⋅b] = p [em|hk⋅cm⋅b]

= p [e1|hk⋅c1⋅b]×p [e2|hk⋅c2⋅b]×⋯×p [em|hk⋅cm⋅b]。

因此，当可能性代表由M个不同的概率独立实验（或观察）的集合组成的证据以及它们各自的结果组成时，可能性比例可以采取以下形式：

p [e|hi⋅c⋅b]

p [e|hj⋅c⋅b]

p [em|hi⋅cm⋅b]

p [em|hj⋅cm⋅b]

p [e1|hi⋅c1⋅b]

p [e1|hj⋅c1⋅b]

p [e2|hi⋅c2⋅b]

p [e2|hj⋅c2⋅b]

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