代数命题逻辑

上面的同构定理（4）是我们前面遇到的成像定理的推广是代数逻辑的概念。 这里有趣的是定理适用于每个逻辑系统。 上面使用（2），定理（4）需要具有合理和有限的代数逻辑的同构定理。 因此，定理（4）可以被视为数学逻辑现象的最常见制定，这些现象是在某个类别中提到的代数的同时性定理和我们第9节中提到的某种子集之间提出了同构逻辑定理。

作为逻辑系统的模型的使用，使用广义矩阵和抽象逻辑已经证明，对于一般来说，对自我延伸逻辑的研究非常有用，更具体地用于研究不是原始遗传识别的自我延伸逻辑，例如第12节中讨论的逻辑。特别是，他们已经证明非常有用，对单个术语的扣除分支属性的联合和各种合成的自我延伸逻辑研究非常有用，例如单个术语，说p→q; 最后课程中的逻辑是Protoogalgebraiic。 如果有两个变量φ（p，q）的公式，则逻辑L具有连词

φ（p，q）⊢lp，φ（p，q）⊢lq，p，q⊢lφ（p，q）。

这两个类中的逻辑具有以下属性：每个完整G模型⟨a的tarski关系，c⟩是{⟨a，b⟩∈a×a：c（a）= c（b）}。 一种说法是说，就这些逻辑定义了自我扩展的属性，即邻斜率条件是每个完整G模型的同时，升降或转移。 具有此属性的自我延伸逻辑被称为完全自我延伸。 这个概念是在“强烈的自我延伸”的名义下的字体和Jansana 1996中引入。 所考虑的所有自然自我延伸逻辑达到1996年是完全张开的，特别是讨论第12节中讨论的逻辑，但是BabyOnyshev显示（BaYOnyshev 2003）一个自封逻辑的ad hoc示例，这些逻辑是不是完全张开的。 在稍后发现的自然逻辑的一个更加自然的例子，这些逻辑并不完全自我延伸是仅否定的片段和古典逻辑的常数⊤。

对单个术语进行结合或扣除分支属性的完全自介质逻辑的有趣结果是他们的代数Algl总是各种各样的。 它看起来很奇怪，许多合理和有限的代数逻辑具有各种各样的代数语义，当代数逻辑理论一般来说只证明了一定数量的同质代数语义和有限的代数逻辑是一种拟核感觉。 结果解释了它适用的合法和有限的代数逻辑的这种现象。 对于许多其他合法和有限的代数逻辑来寻找令人信服的解释仍然是一个开放的研究领域。

每个抽象逻辑A =⟨a，c⟩确定A上的准阶（反身和传递关系）。它是所定义的关系

a≤abffc（b）⊆c（a）iffb∈c（a）。

因此，如果B属于所属的每个C闭合集，则才≤AB。 对于一个完全自我延伸的逻辑L，该准阶命令变成了减少的全G模型中的部分顺序，实际上是简化的基本完整G模型，即抽象逻辑⟨a，fila⟩与a∈algl。 因此，在一个完全张开的逻辑L中，每个代数a∈algl就L滤光器的家族提供部分阶定期。 如果逻辑与结合完全自我延伸，则这种部分顺序可通过L-代数语言的等式可定义，因为在这种情况下，对于每个代数a∈algl，我们有：

a≤biff c（b）⊆c（a）iff c（a∧ab）= c（a）iffa∧ab= a，

其中C是与闭合设置系统FILA对应的抽象后果操作，并且∧a是由公式定义的操作，该操作是逻辑L的结合。

一个类似的情况对于单个术语具有扣除分支属性的完全自我延伸性逻辑，例如，P→Q，然后为每个代数a∈algl

一个≤biffc c（b）⊆c（a）iff c（a→ab）= c（∅）= c（a→aa）iff a→ab = a→aa。

这些观察使我们能够通过使用L-在ALGL中可定义的顺序可定义的逻辑作为逻辑来观察与逻辑的连续术语和带有Degutaition-Detachment属性的合成拆卸属性的合同完全自介质逻辑L.代数语言。 与此相关，以下结果是已知的。

定理8。

具有连词的合同逻辑L是完全自我延伸的IF且才有才有一类代数k，因为每一个A =⟨a，∧a⟩是遇到的半理由，如果≤是半统一的顺序，那么

φ1，...，φn⊢lφ，适用于所有a∈K，每个估值v（φ1）∧a...∧av（φn）≤v（φ）

和

所有Aa∈k的⊢lφ为所有a∈K，每个AA≤V（φ）上的每个估值V.

此外，在这种情况下，Algebras Algl类是由K.产生的品种。

可以获得类似的结果，用于单个术语的推导分离属性的自我延伸逻辑。 读者提到了Jansana 2006，用于将自我延伸逻辑与联合的研究，并向Jansana 2005进行单一术语的扣除分支物业进行自我延伸逻辑。

具有连词的自我延伸逻辑类别包括所谓的逻辑，保存在子结构逻辑和多种值逻辑的字段中研究的真相。 读者可以看看Bou等人。 2009年和其中的参考文献。

14.弗雷格层次结构

在第11节中讨论的替换原则上，而不是关于莱布尼斯同时行为的逻辑系统的层次也在抽象代数逻辑中考虑。 它被称为弗赖特层次结构。 它的课程是自助逻辑，完全自我延伸的逻辑，FreeGean逻辑和我们现在定义的完全资料逻辑类的课程。

与完全自我延伸的逻辑是享受其每一个完整G模型的自介质逻辑系统的自我延伸逻辑系统，它的抽象版本的特征属性定义了自信地拥有的属性，完全是FreeGean逻辑是每一个中的FreeGean逻辑他们的完整G模型的抽象版本的特色属性定义为Feegean Holds。 接下来可以作为最佳理解的定义。

逻辑系统L是完全freeegean，当其每一个基本的G-Models⟨a，fila⟩，为每个f∈fila，suszko同级ω

〜

一种

L（f）与延长F的Fila的相同元素的关系恰逢其易于看出完全食边逻辑是十字食之物，并且它们是完全张开的。

完全资助逻辑的示例是古典和直观的逻辑，也是12.1中讨论的结合和分离的逻辑。 以前提到的古典逻辑的否定和常量的片段是不是完全十字收的食边逻辑。

我们将读者介绍了Font 2016A的第7章，以便介绍弗雷格层次结构的主要事实，以及弗雷格层次系列家族中的逻辑系统的示例。 关于与分子逻辑相关的弗雷格和莱布尼兹层次结构的讨论可以在Albuquerque等人找到。 2018年，讨论并分类了几个逻辑系统示例。

三级1级的图：“完全freeean”，箭头指向2级对象：'freegean逻辑'和'完全自我延伸'; 这两者都有指向1级对象'自我延伸'的箭头

图。 弗雷格层次结构

读者可以讨论讨论在莱布尼兹·et alt的莱布尼兹和弗雷格层次结构中分类的逻辑的几个自然例子。 2017。

15.延长设置

已经扩展了前一节中描述的逻辑系统的研究，以涵盖超出命题逻辑的其他后果关系，如公式逻辑，以及使用序列Calculi的命题语言可定义的公式建造的顺序之间的后果关系。 感兴趣的读者可以咨询优秀的纸张raftery 2006a。

这项研究导致需要更加抽象的发展后果关系理论的方式。 它导致逻辑系统理论的重新制定（在一个类别 - 理论上），如本条目中所述。 这项工作主要由G. Voutsadakis在一系列论文中完成，例如，Voutsadakis 2002. Voutsadakis的方法使用Fiadeiro和Sernadas引入的PI-Institution的概念，作为他类别 - 理论设置中逻辑系统的模拟。 在这个方向上的一些工作也在Gil-Férez2006中找到。在加拉多斯和Tsinakis 2009中发现了包括为逻辑系统和序列计算所做的工作的研究的概括研究的概括的不同方法; Gil-Férez2011也在这一行中。 这两篇论文提出的工作起源于Blok＆Jónsson2006. Galatos-Tsinakis方法最近延长了这一方式，也包括在Galatos＆Gil-Férez2017的voutsadakis的环境。

另一个扩展本条目中描述的框架的最近研究发展了许多排序逻辑系统的代数理论，而不是代数自然类的自然等级的自然等行为等等后果（来自计算机科学的概念）和较弱的概念而不是代数逻辑：行为地代数逻辑。 见Caleiro，Gonçalves和Martins 2009。