代数命题逻辑

原始武器逻辑的类是逻辑矩阵理论在逻辑矩阵理论中的逻辑阶级，即通用代数的许多结果都有对这些逻辑的减少矩阵模型的等级以及许多通用方法的同步代数可以适应其研究; 因此，使用其矩阵语义的原始武器逻辑的代数研究已被广泛，非常果树追求。 但是，正如我们将看到的那样，一些有趣的逻辑不是原始武器。

通过莱布尼兹算子的行为，原始杂志的重要表征。 以下条件等同于：

l是天然堡。

Leibniz运算符ωfml在夹杂物关系的L-理论集上单调，即如果t⊆t'是L-理论，那么ωfml（t）⊆ωfml（t'）。

对于每个代数A，Leibniz运算符ωa在相对于包含关系的A一组L滤波器上是单调的。

由于Leibniz运算符的单调性属性，对于每个原始地区逻辑L，Alglas Alg * L类在子二级产品下关闭，因此它等于ALGL。 因此，对于原始武器逻辑，我们遇到的两种方式与我们已经提到的逻辑产生了一类与逻辑产生的代数，相同的结果。

Leibniz运算符的行为还有等效和有限等效逻辑的特征。 读者称为Czelakowski 2001和Font＆Jansana＆Pigozzi 2003。

在他的raftery 2006b中，raftery研究条件7在定义后的代数逻辑的属性列表中。 条件说：

对于每一个a∈alg* l为l的减少矩阵模型是{⟨a，eq（a）⟩：a∈alg* l}，其中eq（p）是L的定义方程集。

具有这一属性的一组方程式eq（p）的逻辑，即为每一个a∈alg* l为L的减少矩阵模型的类是{⟨a，eq（a）⟩：a∈alg* l}，称为真理等成，在raftery 2006b中引入的名称。 一些真实实际逻辑是原始武器，但其他真实的逻辑是没有。 我们稍后会看到最后一个例子。

实际上是实际实际的原始杂志实际上是Czelakowski＆Jansana 2000中已经研究过的弱代言逻辑。每个代数逻辑都是弱代数的。 实际上，代数逻辑是实际等效逻辑。 但并非每个弱代数逻辑都是等效的。 一个例子是由ortholattics确定的逻辑，即由矩阵的类，{1}⟩，其中a是ortholattice，1是它最大的元素（参见Czelakowski＆Jansana 2000和Malinowski 1990）。

到目前为止，我们考虑的逻辑类是所谓的Leibniz层次结构中的主要类，因为其成员是逻辑类别，可以以Leibniz运算符的行为为特征。 我们仅描述了层次结构中最重要的逻辑类别。 读者称为Czelakowski 2001，Font，Jansana＆Pigzzi 2003，Font 2016和2022，了解更多信息。 特别是，Czelakowski 2001广泛收集关于其出版物时尚和2016年字体的不同类别的Leibniz层次结构的信息是抽象代数逻辑的介绍，非常适合学习最重要的事实关于Leibniz等级和一般的抽象代数逻辑。

在本条目中考虑的Leibniz层次类别之间的关系总结在下图中：

四个级别1的图：带有指向级别2对象的箭头的“有限代数”：'有限等同的'和“代数”; 这两个都有指向3级对象'等效'的箭头，后者也有一个指向级别的级别3对象'弱代数'的箭头，两个级别3对象都有箭头到级别4对象：'protoalgebraic'和第二个也指向“真实”公正的

图。 莱布尼兹等级

最近，Leibniz层次结构已经在Cintula＆Noguera 2016年被精炼。该想法是考虑而不是一组等价公式δ（对应于奇迹）一组公式[p⇒q]通常条件（→）的几个属性。 在这些属性中，我们在原始山地逻辑的定义中具有（r⇒）和（mp⇒）。 SET [p⇒q]应该使其Symeterization [p⇒q]∪[q⇒p]是一组等价公式。 设置[p⇒q]具有单个元素时出现新课程。 广泛的信息可以在最近的一本书Cintula和Noguera 2021中找到。本书也可以作为从暗示角度写的抽象代数逻辑的介绍。

11.更换原则

在抽象的代数逻辑中已经广泛研究了莱布尼兹层次的两类逻辑。 它们是由莱布尼兹运营商行为提供的完全不同的角度来定义，即从替换原则给出的角度来看，逻辑可能享受。

逻辑系统L可能具有最强的更换原理，例如通过古典逻辑，直觉逻辑和所有公理扩展，所述逻辑，直观逻辑和所有公理扩展，所述逻辑系统表示，对于任何组型γ，任何公式φ，ψ，Δ和任何变量p

如果γ，φ⊢lψ和γ，χlφ，那么γ，δ（p /φ）⊢lδ（p /ψ）和γ，δ（p /∞）⊢lδ（p /φ），

其中δ（p /φ）和δ（p /ψ）是通过分别代替φ和α在δ中获得的公式。 这种替代财产是由一些作者作为弗赖吉的正式对应于真理的组成性原则。 满足这种强大替代品的逻辑被称为Foneean Foneean 1996，并在Czelakowski＆Pigozzi 2004a，2004b中彻底研究。

许多重要的逻辑不满足强大的替代财产，例如莫代尔家族的几乎所有逻辑（本地或全球），但是一些，如常规模态逻辑的局部后果关系，满足更弱的更换原理：对于所有公式φ，ψ，Δ，

如果φ⊢lψ和ψ⊢lφ，则δ（p /φ）⊢lδ（p /ψ）和δ（p /ψ）⊢lδ（p /φ）。

满足这种较弱的替代财产的逻辑被Wójcicki（例如，在Wójcicki1969,1988）和Humberstone 2005中的一致性称为Selfextensional。我们将使用第一个术语，因为它似乎更常见 - 至少在抽象的代数逻辑文献中。 必须提到的是，自我延伸逻辑的所有碎片都是张贴的，并且类似的事实也适用于FreeGean逻辑。 此外，自我延伸和作为Freeean之间的差异不仅遇到了正常模态逻辑的局部后果关系，而且在非原子上的逻辑之类中遇到的原始武器逻辑。 Belnap和Dunn的四维逻辑（参见信息1997的信息）是自我延伸，非原子造物和非游脂。

自我延伸逻辑有几个观点的良好行为。 他们的系统研究在Wójcicki1969年开始，并在Font＆Jansana 1996中的抽象代数逻辑上继续存在; Jansana 2005,2006; 和Jansana＆Palmigiano 2006。

在Leibniz层次结构的任何一个类中也有一个自我延伸和非自我延伸逻辑，也是非原始武器逻辑类别中的。 这些事实表明，导致莱布尼兹等级中课程的视角以及导致自我延伸和食物逻辑定义的视角，作为一个整体的研究的逻辑类别是一个大的范围不同。 尽管如此，今天在抽象代数逻辑中的研究趋势之一是确定两个观点之间的相互作用，并研究交叉时出现的逻辑类别。 事实上，替代原则与苏斯科同时之间存在联系（因此与Leibniz同时表示）。 逻辑L如果只有每个L-TOORITION T ITS SUSZOKO同时是相对于T的相互关系，即才能满足强的替换原理}。 并且逻辑L且仅当L的定理集合的苏斯科均衡是相互激活关系的{⟨φ，ψ⟩：φί}和ψ⊢lφ}时，逻辑L满足弱替换原理。

从替换原则的角度来看逻辑系统的研究导致我们所谓的弗赖特层次，我们在第14节中阐述。

12.超越原子上的博物馆

并非所有有趣的逻辑都是原始武器。 在本节中，我们将简要讨论一个非原始武器逻辑的四个例子：结合和分离的逻辑，正模态逻辑，LK和visser的严格含义片段。 所有这些都是自我延伸的。 在下一节中，我们将阐述抽象逻辑和广义矩阵的语义，该语义用于开发逻辑系统代数的真正一般理论。 正如我们将看到的，从逻辑矩阵模型理论所采取的角度来看，透视变化。

12.1结合逻辑和分离的逻辑

这个逻辑是典型命题逻辑的{∧，∨，⊥，⊤}。 因此，它的语言是SET {∧，∨，⊤，⊥}及其后果关系

γ⊢φγ⊢cplφ。

事实证明，它也是直觉命题逻辑的{∧，∨，⊥，⊤}。 让我们用l {∧，∨}表示它。

逻辑L {∧，∨}不是原始武器，但它是feegean。 Algebras Algl {∧，∨}的类是各种有界分布式格子，这是自然预期的代数等于与L {∧，∨}相关联，但ALG级* L {∧，∨}严格包含在其中。 事实上，这个最后一类代数不是拟查，但仍然足以成为一阶可定义。

因此，逻辑L {∧，∨}是逻辑的自然示例，其中其减少矩阵模型的代数类不是预期对应的正确代数的正确等级（参见逻辑的字体和verdú1991）。 这个例子的属性及其在Font＆Verdú的治疗1991的动机激励了Brown＆Suszko 1973中考虑的句子逻辑类型的Font＆Jansana 1996的系统研究，即抽象逻辑。

12.2正模态逻辑

正模态逻辑是局部正常模态逻辑LK的{∧，∨，◻，◊，⊥，⊤} - -fragment。 我们通过pml表示它。 这种逻辑对计算机科学有一些兴趣。

逻辑PML不是天然困境，它不是真理等等，它是一个自我延伸，而不是十字形。 其代数对手algPML是DUNN 1995年DUNN引入的正模态代数的类。从抽象代数逻辑的角度来看，逻辑在Jansana 2002中研究。 AlgPML类与ALG * PML不同。

12.3 visser的子管逻辑

此逻辑是直觉逻辑语言的逻辑，其具有最小的常规模态逻辑k，即直觉逻辑对普通模态逻辑S4的相同关系。 它是在visser 1981（根据基本命题逻辑的名称）中引入，并已被几个作者研究，例如Ardeshir，Alizadeh和Ruitenburg。 它不是原始困境，它是真实的等级，这是十字收（因此也是自我延伸）。

12.4本地模态逻辑LK的严格含义片段

使用◻操作员和材料含义→定义了模态逻辑语言的严格含义。 我们将使用⇒严格的含义。 其定义是φ⇒ψ：=◻（φ→ψ）。 逻辑丝的语言，我们称之为本地模态逻辑LK的严格含义片段，是语言L = {∧，∨，⊥，⊤，⇒}。 我们可以通过系统地更换在L型φ上的L-公式φ的每种子均比度中，通过◻（ψ→Δ）并重复该过程，将L对模态语言的公式转换为模态语言的公式。 让我们表示φ*的φ和γ*的翻译γ中的γ中的翻译集。 然后丝绸后果关系的定义是：

γ⊢silkφiffγ*⊢lkφ*。

逻辑丝不是原始武器，而不是真实实践。 这是一个自我密度，但它不是feegean。 其代数对手藻石是具有二进制操作的有界分布式格子的类，具有严格的LK含义的性质。 这类代数在Celani＆Jansana 2005中引入和研究，其成员称为弱良好的代数。 Algsilk与ALG *丝绸不一致。

逻辑丝绸属于visser的逻辑，到所谓的子管逻辑的家庭。 参考关于这些逻辑信息的信息是Celani＆Jansana 2003。

读者可以在Albuquerque et Alt中找到更多有关有趣的非原子根逻辑逻辑的更多信息。 2017。

13.抽象逻辑和广义矩阵

给定逻辑的逻辑矩阵模型可以被认为是其理论的代数概括，更精确地是其林龄酶的矩阵。 它们来自围绕逻辑理论的局部视角，它是一个逐个被认为的逻辑理论及其类似物的逻辑过滤器（也逐一拍摄）。 但是，正如我们将看到的，逻辑的属性一般取决于其作为一堆理论集合的全球行为; 或者放弃它 - 就其后果关系而言。 对此全球行为的考虑介绍了关于逻辑系统语义设计的全球视角。 与逻辑矩阵相比，我们将定义的抽象逻辑与逻辑矩阵相比，作为逻辑本身及其扩展的代数概括。 当一个人认真对待全球视角时，它们是要考虑的自然对象。

让我成为一个命题语言。 L-Abstract逻辑是一对A =⟨a，⟩，其中A是L-Algebra和C对A的抽象后果操作。

给定逻辑系统L，L-抽象逻辑A = =⟨a，c⟩是L如果每组公式γ和每个公式φ的模型

对于A，V（φ）∈c（V [γ]）的每个估值V的γ⊢lφ。

该定义在封闭的C组方面具有相同的C：摘要逻辑A =⟨a，c⟩是L的模型，如果仅对于每个C闭合的SET X，X∈是L（即，X是L滤波器）的模型。

此观察结果导致另一个对抽象逻辑的观点作为逻辑系统的模型。 它将它们转换为相同代数的逻辑矩阵（由封闭的集合给出），或者更简单地将其更加简单地进入一对，b⟩，其中B是A的子集的集合。在文献中调用这种类型的结构的一个广义矩阵（Wójcicki1973）更新最近，它已被称为Dunn＆Handemrem 2001中的地图集。据说是逻辑系统L的模型，如果每个Xx∈b，⟨a，x⟩是L的矩阵模型。

逻辑系统L =⟨l，⊢l⟩直接向我们提供了等效的抽象逻辑⟨fml，c⊢l⟩和等效的广义矩阵⟨fml，th（l）⟩，其中th（l）是c⊢l关闭的集合公式（即，L-理论）。 我们将自由地从一个自由移动。

通用矩阵⟨a，b⟩对应于抽象逻辑的具有以下两个属性：A 1B和B在任意非空港的交叉点下关闭。 具有这两个属性的集合A的子集的一个家庭B被称为闭合系统，也是封闭系统。 在A上的SET和闭合系统上的抽象后果操作之间存在双对应关系。给定抽象后果操作C，C闭合集的集合CC是闭合设置系统，并且给定闭合系统C由CC（x）定义的操作CC（x）=⋂{y∈c：x⊆y}，对于每个X∈A，是一种抽象的后果操作。 通常，每个广义矩阵⟨a，b⟩可以通过添加到b∪{a}任意onempty subfamilies的交叉点来转换为闭合系统，因此进入抽象逻辑，我们通过⟨a表示，cb⟩。 在这种情况下，我们说B是CB的基础。 很明显，抽象逻辑可以有多个基础。 任何封闭式套装的家庭，每个封闭式集合是家庭元素的交叉点是基地。 对逻辑理论的封闭系统基础的基础通常在其研究中起重要作用。 例如，在古典逻辑中，其理论家庭的一个重要基础是最大一致理论和直觉逻辑的家庭的主要理论。 以类似的方式，逻辑的广义矩阵模型的基础的系统研究变得重要。

为了使博览会顺利，我们现在将从抽象逻辑移动到广义矩阵。 让a =⟨a，b⟩是广义矩阵。 与B中的所有集合相兼容，存在最大的一致性; 它被称为A的tarski同时。我们用ω表示它

〜

一种

（b）并使用Leibniz运算符具有以下特征

ω

〜

一种

（b）=

⋂

x∈b

ωa（x）。

它也可以通过条件来表征：

⟨a，b⟩∈ω

〜

一种

（b）每一个φ（p，q1，...，qn），每个c1，...，cn∈a和所有xīb

φa[一个，c1，...，CN]∈x⇔φa[b，c1，...，CN]∈x

或等效

⟨a，b⟩∈ω

〜

一种

（b）IFF用于每一个φ（p，q1，...，qn）和每个c1，...，cn∈a，cb（φa[a，c1，cn]）= cb（φa[b，c1，cn]）。

如果其tarski同时性是身份，则减少了广义矩阵。 每一个广义矩阵⟨a，b⟩可以通过识别其tarski同时相关的元素来变为等效的减少。 结果是商广泛矩阵⟨a/ω

〜

一种

（b），b /ω

〜

一种

（b）⟩，其中b /ω

〜

一种

（b）= {x /ω

〜

一种

（b）：x∈b}和x∈b，设定x /ω

〜

一种

（b）是X的要素的等价类。

正如我们已经说过的，逻辑L的属性取决于其理论家庭的全球行为。 在某些逻辑中，这种行为反映在其定理集的行为中，与扣除分支属性引起的古典和直觉逻辑，但这绝不是最普遍的情况，因为它由本地和全球示例见证普通模态逻辑K的模态逻辑。两个具有相同的定理，但不共享相同的属性。 回想一下，当地逻辑有扣除分支属性，但全球逻辑没有。 以类似的方式，如果我们在代数上考虑代数上的L滤波器的家庭，则逻辑的属性通常更好地编码在代数上的L滤波器的家庭，因为我们考虑单个L滤波器，因为它在逻辑矩阵模型理论中完成。

自然地吸引了对逻辑代数的研究中的大部分注意的广义矩阵模型是⟨a，fila⟩形式的广义矩阵，其中fila是A的所有L滤波器的集合。逻辑属性的一个例子在L-AlgeBras的L滤波器的晶格的结构中编码是，对于每个有关原样布拉克逻辑L，L，L，如果只有每个代数A的连接，那么由有限产生的L-过滤器组成的A的所有L过滤器的晶格都是静脉的; 请参阅Czelakowski 2001。

形式⟨a，fila1的广义矩阵称为L的基本全G模型（字母'G'代表广义矩阵）。 这些模型的兴趣导致对逻辑L的广义矩阵模型的思考，其中与他们的Tarski同时的商是一个基本的全G模型。 这些广义矩阵（及其相应的抽象逻辑）称为全G模型。 在Font＆Jansana 1996中开发了任意逻辑的完整G模型理论，其中介绍了完整G模型和基本全G模型的概念。 我们将提到那里获得的一些主要结果。

让我成为逻辑系统。

l是Protoalgebraiic，如果只有每个完整的G模型⟨a，C 1只有一个L滤波器f，例如c = {g∈fila：f⊆g}。

如果L是合理的，则仅在A的每个代数A和每个L滤波器F的情况下都是有限的代数，如果a，广义矩阵⟨a，{g∈fila：f⊆g}⟩是完整的g模型和ALGL是一种酶促。

Algl类是L和类别{A：⟨a，fila⟩的阶级矩阵模型的代数的类别。

对于每个代数A，在这样的闭合系统C的家庭之间存在同构⟨a，c⟩是L的完整G模型和A /θ∈algl的同时θ。 同构由Tarski运算符给出，该算子向其Tarski同时发送通用矩阵。