代数命题逻辑

algl = {一个/ω

〜

一种

L（f）：a是l-algebra，f是a}的L滤波器。

如今，此类占据了抽象的代数逻辑，作为与L相关联的自然代数，它称为其代数对应物。

对于任意逻辑L，类ALGL和ALG * L之间的关系是ALG1是在子二号产品下关闭ALG * L，特别是ALG *l⊆algl。 通常，这两个类可能不同。 例如，如果L是经典命题逻辑的（∧，∨） - Algl是各种分配格子（始终被认为是与L的自然代数的类别，而ALG * L正确包括在其中 - 事实上ALG * L不是拟核感觉。 尽管如此，对于许多逻辑L，特别是对于在下一节中讨论的代数和原始识别器，而且当ALG * L是各种时，ALGL和ALG * L等于等于。 这一事实可以解释为什么在20世纪80年代，在认为非原子上的代数研究被认为是值得追求的，两种定义之间的概念差异是不需要的，因此，它不被认为（甚至发现）。

9.当逻辑是代数，这是什么意思？

代数识别的逻辑被声称是具有最强可能与其代数对应的逻辑的逻辑。 这一要求要求逻辑的代数对应物应该是代数语义，但需要比该代数和代数对应物之间更强大的连接。 这种更强大的连接存在于已知的最佳表现特定的逻辑中。 数学上精确的代数逻辑的概念表征了这种类型的链接。 Blok和Pigozzi介绍了Blok＆Pigozzi 1989年的基本概念及其引言可被认为是20世纪80年代抽象代数逻辑领域的统一和增长的起点。 Blok和Pigozzi仅限于合同逻辑的代数逻辑的概念。 后来，Czelakowski和Herrmann将其概括为任意逻辑，并且在定义中也削弱了一些条件。 我们在这里展示了广义的概念。

我们在第7节中说，粗略地说，当1）时，逻辑L是代数，即代数语义，即一类代数k和一组方程式eq（p），使得k是eq- L，2）代数语义可以通过使用Lindenbaum-Tarski方法略微广义，而且，3）k⊆alg* l可以证明这一事实。 Lindenbaum-tarski方法的泛化（如我们在第7节中所描述的那样）包括允许步骤（5）（如在代数语义的定义中的定义）中的一组方程式eq（p）在一个变量中而不是单个等式δ（P）≈≈≈≈≈α（p）在大多数两个变量中以类似的方式允许一组公式Δ（p，q），以在理论的同等的定义中发挥公式p↔q的作用。 然后，给定理论T，关系θ（t），它必须是与T（即Leibniz的T）兼容的公式代数中最大的同时定义，由此定义

⟨φ，ψ⟩∈θ（t）IFFδ（p /φ，q /ψ）⊆t。

我们需要一些符合符合的符合法定的代数逻辑的精确定义。 在一个变量和公式φ中给定一组方程式eq（p），让eq（φ）是通过在eq变量p的所有方程中替换φ中的所有方程而获得的等式。 如果γ是一组公式，请让

eq（γ）：=

⋃

φ∈γ

eq（φ）。

类似地，给定两个变量δ（p，q）和等式Δ≈Ε中的一组公式，让Δ（δ，ε）表示通过在δ中的所有公式中替换pΔ和q获得的一组公式。。 此外，如果EQ是一组方程，则让

δ（eq）=

⋃

δ≈ε∈eq

δ（δ，ε）。

给定两个变量的一组方程式eq（p，q），这个集合在每个代数上定义了一个二进制关系，即，一组对eq（p，q）中的所有方程式满足的元素的一组元素（p，q）。 在标准模型 - 理论符号中，这套是关系

{⟨a，b⟩：a，b∈a和a⊨eq（p，q）[a，b]}。

代数逻辑的正式定义如下。 如果存在一类代数k，则在一个变量中有一组代数k和两个变量中的一组公式Δ（p，q），则逻辑l是代数k

K是L的EQ-代数语义，即

每一个a∈Lφfff为每个a∈K和每个估值v，如果v [γ]⊆eq（a），那么v（φ）∈eq（a）。

对于每个A∈K，两个变量Eq（Δ（p，q））中的等式中所定义的关系是A的身份关系。

据说具有这两个性质的等级（p）和δ（p，q）的一类代数k，据说是L的等效代数语义。该组式δ称为一组等价公式和集合等式EQ一组定义方程式。

定义的条件意味着：

P使用该组δ（EQ）在L中互动，即

δ（EQ）⊢lp和p⊢lδ（EQ）。

对于每个L-TOORITION T，Leibniz的⟨fml，t⟩是由Δ（P，Q）定义的关系，即

⟨φ，ωfm（t）IFFδ（P /φ，Q /ψ）⊆t。

如果δ和δ'是两组等效式公式，δ⊢lδ'和δ'⊢lδ。 同样，如果EQ（P）和EQ'（P）是两组定义方程，则每个代数a∈k，EQ（A）= EQ'（A）。

代数ALG * L的类也满足条件（1）和（2），因此它是L的等效代数语义。此外，它是SP级别，并包括每个等于等同代数的所有其他代数L的语义。因此，它被称为L.最大的等效代数语义。

对于每一个a∈alg* l，恰好有一个L滤波器F使得矩阵⟨a，f⟩减小，并且该过滤器是集合EQ（A）。 或者，为了将其放入其他术语，L的减少矩阵模型L是{⟨a，eq（a）⟩：a∈alg* l}。

Blok和Pigozzi在Blok和Pigzzi 1989中的代数逻辑的定义仅为合理逻辑给出，而且，它们强加了定义方程和等同式公式的集合应该是有限的。 今天我们说，如果等效式公式δ和定义方程式eq的相位Δ和均可接受有限情况，则代数型逻辑是有限的代数。 我们说，如果它是合理和有限的代数，则逻辑是Blok-Pigozzi代数（BP-agraizable）。

如果L是合理的，并且是有限的代数，那么Alg * L不仅是SP类，而且是一种酶促，它是由任何类别的代数K产生的拟序列，这是L的等同代数语义。

我们刚刚看到，在代数逻辑中，Algbras Alg的类别扮演着突出的角色。 此外，在这些逻辑中，通过两种概括Lindenbaum-tarski方法获得的代数类别，即，ALG * L = ALGL - 这是由于任何代数逻辑L，ALG的事实* L在子二号产品下关闭。 因此，对于每个代数对应的逻辑L，Algl是其最大的等效代数语义，无论采用Lindenbaum-tarski方法的概括。

（1）和（2）的代数逻辑定义（实例化到Alg * L）编码了代数逻辑L及其类别的代数之间存在非常强大的联系。这类代数反映了AlGl代数性能的L的气体性质。

可以在与任何等效代数语义K相关联的逻辑与实际后果关系之间的翻译方面，同等地说明代数逻辑的定义，无论是什么相同的我们选择的代数语义。

一类代数K的实际后果如下定义。

{φi≈ψi：i∈i}⊨kφ≈ψiff为每个a∈K和每个估值v，如果v（φi）= v（ψi），对于所有i∈I，那么v（φ）= v（ψ）。

所需的翻译是由定义方程和该组等价公式给出的翻译。 一个变量中的一组等式EQ（P）定义了从公式到等式的转换：每个公式被翻译成等式EQ（φ）。 类似地，两个变量中的一组公式Δ（p，q）定义了与公式组的方程的转换：每个等式φ≈ψ被翻译成一组公式δ（φ，ψ）。

条件（1）在代数逻辑的定义中可以重新重整为

γ⊢lφ（γ）⊨keq（φ）

和条件（2）为

p≈q⊨keq（δ（p，q））和eq（δ（p，q））⊨kp≈q。

这两个条件意味着

{φi≈ψi：i∈i}⊨kφ≈ψiffδ（{φi≈ψi：i∈i}）⊢lδ（φ，ψ）

和上面的条件（3）是

p⊢lδ（等式（P））和δ（EQ（P））⊢lp。

因此，通过将公式的转换成一组定义方程给出的方程组和等式的公式（条件（1））忠实地解释了代数尺寸逻辑L.在其等效代数语义（条件（1））中忠实地解释其等效代数语义的逻辑通过方程的平移到由等效的公式组给出的公式组中，忠实地解释了逻辑L（条件（9））。 此外，两个翻译是彼此的逆相反（条件（2）和（3））模数逻辑等价。 通过这种方式，我们看到L及其最大的等效代数语义之间的联系非常强，而L的性质应该转化为相关的公权后果关系的性质。 这一关系实际上的属性当然取决于代数ALGL类的属性。

给定逻辑L的代数语义（k，eq），一种强调它在代数语义中的差异的方式，并且是一种代数语义，使得l代数提名是公式的翻译由一组等式方程式给出的等式是在有意义的意义上是可逆的，例如，在满足上述条件（9）的两种变量中的一组公式中的一组公式中的公式中存在翻译的意义上是可逆的，使得等式Δ和δ提供相互逆转录翻译（即条件（2）和（3）持有）。

由定义方程集和该组等同公式组给出的代数逻辑L及其最大的等效代数语义之间的链接允许我们证明一系列将L的属性与ALGL的属性相关联。 这些类型的定理被称为频繁的桥梁定理。 我们将作为其中三个样本提到。

第一个涉及扣除定理。 为了证明具有代数属性的扣除定理的存在的通用定理首先需要定义适用于任何逻辑的扣除定理概念。 如果有有限的公式σ（p，q），则逻辑L具有推导脱离性能，使得对于每组公式γ和所有公式φ，ψ

γ∪{φ}γ⊢lς（φ，ψ）。

请注意，这是标准扣除定理的概括（上面表达式的方向）和Modus Ponens（相当于从右到左侧的含义），几种逻辑对于连接→。 在那些情况下，σ（p，q）= {p→q}。

定理1。

如果Algl中的代数主要相同是可定义的，则是一项有关的和有限的代数逻辑L.仅当Alggras的主要相对同时是可定义的。

第二本定理是指克雷格插值。 几个插值概念适用于任意逻辑。 我们只考虑其中一个。 如果每当γ⊢lφ和φ的变量集具有与γ中的γ变量的集差，逻辑L具有克雷格插值属性，则具有非空的交叉点，有一个有限的公式组γ'集变量包括在由φ和γ中的γ中的公式中共享的变量集中包括在γ⊢lγ'和γ'⊢lφ中的变量集中。

定理2。

让L成为具有推导脱离性质的合法和有限的代数逻辑。 如果且仅在Algl具有汞缩性的情况下，则L具有CRAIG插值属性。

最后，第三个定理涉及Beth可定义财产。 感兴趣的读者可以在Font，Jansana＆Pigozzi 2003中找到定义。在我们进入的一般环境中，该物业也涉及到这里陈述。

定理3。

如果且仅当Algl和态态在Algr和态态的类别的所有关系类别的所有句形上，则是贝特财产的偏离，并且仅当Algl和态氏术中的所有句形术都是来说同性恋。

其他结果与其自然类代数的属性有关的其他结果可以在2013年的raftery中找到。他们分别关注有扣除脱离财产的财产的概括和概括不一致的财产古典和直觉逻辑的lemmas。 此外，还提出了具有格拉斯科的定理等定理的摘要，并在托伦2008年的代数逻辑的情况下提出并与代数属性有关。最近椽子2016年展示了与可接受规则和结构完整性和Lávička等人相关的桥梁定理。 2021研究弱排斥中间的桥梁定理。

对于几个类别的代数，这是一些代数逻辑的等同代数语义，它已知很长一段时间，对于课堂上的每个代数都有一个同构之间的同构之间的相同位代数和代数的亚群晶格，具有重要的代数意义。 例如，在布尔代数和Heyting代数中，这些子集是晶格过滤器，在模态代数中，它们是在解释◻的操作下关闭的晶格滤光片。 在所有这些情况下，该组正是相应的代数逻辑L的L滤波器。

代数逻辑的特征是，在其代数对应物的代数上的同时和逻辑过滤器之间存在这种同构的特征。 阐明这个特征，我们需要几个定义。 让我成为一个逻辑。 代数A（相对于L）上的Leibniz运算符是来自A的L滤波器的地图，该组的一组A组发送到其Leibniz同时ωa（d）的每个L滤波器d。 我们说，逻辑L的leibniz运算符在k类中的代数之间的同态之间的逆转，如果每个同性恋h从代数a∈k到代数b∈k，每个l滤光器d B，H-1 [ωb（d）] =ωa（H-1 [D]）。

定理4。

逻辑L是代数，如果只有每个代数a∈alglleibniz运算符在Algl中的代数之间的同态之间通勤，并且是所有L滤器的集合之间的同构通过包含的，通过包含的一组同时θ的一组，即通过包含来排序A /θ∈algl。

定理提供了上面提到的已知成像的逻辑解释，以及用于其他类别的类似代数的相似之处。 例如，可以通过存在组成逻辑L的同时和群体之间的同构，其中类别的类别是其最大的等效代数语义和正常子组的存在一组是它的L-过滤器。

代数逻辑的不同但相关的表征是这样的：

定理5。

如果只有在Formulas FML的代数上，则逻辑L是代数，即将每个理论T发送到其Leibniz同时的地图与FML对FML的同性恋逆转录，并且它是一个通过包含的L，由包含的L的设定TH（L）之间的同构，以及FML的组合θ，使得FML /θ∈algl，也通过包含排序。

10.逻辑分类

不幸的是，不是每个逻辑都是代数。 非成像逻辑的典型示例是普通模态逻辑K的局部后果。让我们讨论这个例子。

局部模态逻辑LK和相应的全球一个GK不仅不同，而且它们的金属性质不同。 例如，LK具有→：

γ∪{φ}⊢lkψγ⊢lkφ→ψ。

但GK没有推导 - 脱离财产（根本）。

逻辑GK是代数，LK不是。 GK的等效代数语义是模态代数的品种MA，该组等价公式是集合{p↔q}，并且定义方程集是{p≈⊤}。 有趣的是，LK和GK具有相同的代数对应物（即，ALGLK = ALGGK），即莫代尔代数的各种。

从该示例中汲取的课程是逻辑L的代数对手ALG1不一定完全编码L的属性。模态代数类别编码GK的属性，因为该逻辑是代数，因此之间的链接GK和Alggk尽可能强大。 但是，Alglk，模态代数的类别本身不能完全编码LK的性质。

导致GK和LK之间的这种差异是GK的减少矩阵模型的差异是

{⟨a，{1a的}⟩：a∈ma}，

但是，LK的减少矩阵模型包括该类，使得对于一些代数a∈ma，除了{1a}有一些带有⟨a的其他lk滤波器f，则减小。 这一事实提供了一种方法来表明LK不能通过代数不能代替代数，从而从代数中没有成立可定义; 如果它们在哪里，那么对于每一个a∈alglk存在恰好一个LK过滤器F，使得⟨a，f⟩减小。

尽管如此，我们可以在逻辑LK中执行Lindenbaum-Tarski方法的一些步骤。 我们可以通过在两个变量中使用公式来定义每个LK理论的Leibniz同时。 但在这种特殊情况下，一组公式必须是无限的。 让Δ（p，q）= {◻n（p↔q）：n一个自然数}，在每个公式φ，χ0φ是n＞0的φ和◻nφ的0是前面的n盒序列的公式φ（◻...◻φ）。 然后，对于每个LK理论T所定义的关系θ（t）

⟨φ，ψ⟩∈θ（t）IFF {◻n（φ↔ψ）：n自然数}⊆t

是莱布尼斯的一致性的t。在这种情况下，它发生在这种情况下，它发生了两种不同的LK理论，具有相同的Leibniz同时，不持有GK的东西。

逻辑L具有有一组公式（可能无限）δ（p，q）的属性，其中两个变量在每个L-toy ith的leibniz同时定义，即所有L-Formulasφ，ψ它持有

⟨φ，ωfm（t）IFFδ（φ，ψ）⊆t，

被称为等级逻辑。 如果Δ（p，q）是有限的，则逻辑被认为是有限的等效。 一个集合Δ（p，q）在每个l-theogion中定义的Δ（p，q）被称为L的一组等价公式。很明显，每个代数逻辑都是等效的，并且每一个有限的代数逻辑都是有限等量。

逻辑LK是根据定义，等效的，并且可以显示它不是有限的等效。 本地模态逻辑LS4是有限等级的非代数义逻辑的示例。 LS4的一组等价公式是{◻（p↔q）}。

对于逻辑L的一组等价公式应该被视为广义的biconditional，从此表示集体中的公式具有奇迹的相关性，例如在古典逻辑中，这使其适合定义leibniz其理论的同时。 从以下对等当量公式的句法表征的情况下显然出来了。

定理6。

L-Formulas的集合Δ（P，Q）是逻辑L的一组等价公式，如果且仅当

（rδ）

⊢lδ（p，p）（mpδ）

p，δ（p，q）⊢lq（sδ）

δ（p，q）⊢lδ（q，p）（tδ）

δ（p，q）∪δ（q，r）⊢lδ（p，r）（reδ）

Δ（p1，Q1）∪...△δ（pn，qn）⊢lδ（* p1 ... pn，* q1 ... qn），对于arity n的每个连接*更大。

定理中有一些冗余。 条件（Sδ）和（tδ）从（rδ），（mpδ）和（reδ）遵循。

等效逻辑首先被认为是一类值得在Prucnal＆Wroński1974学习的逻辑，他们在Czelakowski 1981中进行了广泛的研究; 另见Czelakowski 2001。

我们已经提到了代数逻辑是等级的。 在代数逻辑的以下句法表征中可以看到等效逻辑和代数的差异：

定理7。

如果逻辑L是代数，如果且仅存在L-Formulas的集合Δ（P，Q）和L-arequation的集合EQ（P），使得上述条件（RΔ） - （REΔ）保持Δ（p，q）和

p⊢lδ（等式（P））和δ（EQ（P））⊢lp。

定理中的集合Δ（P，Q）是L和集合EQ（P）一组定义方程式的等效式集合。

有没有等效的逻辑，但具有一组公式[p⇒q]的属性，这些属性在许多逻辑中具有含义→在许多逻辑中具有非常弱的感觉。 即，具有在一组等价公式的句法表征中具有属性（Rδ）和（MPδ），即，即，

（r⇒）

⊢l[p⇒p]（mp⇒）

p，[p⇒q]⊢lq

如果逻辑是合法的并且具有具有这些属性的一组公式，则总是存在具有相同属性的有限子集。 上面具有上述属性（1）和（2）的一组公式（有限或不）的逻辑被称为原始武器。 因此，每个等效逻辑和每个代数逻辑都是原始武器。

首先由Czelakowski研究了ProtoalgeBraiC逻辑，他在Blok和Pigozzi 1986中呼吁他们非病理学，略微以后略高于Blok和Pigozzi。标签'ProtoalgeBraic Logic'是由于这些两个作者。