代数命题逻辑
用于逻辑的逻辑和其他逻辑的EQ'-AlgebraiC语义可以是Quasivarify的eq-代数语义（具有eq和eq'不同）。 例如，由于Glivenko的定理（参见直觉逻辑的条目），Heyting代数的类是{¬¬P≈1}的典型逻辑，它是标准{p≈1直觉逻辑的武力语义。 此外，不同的代数来代数可以是相同逻辑的EQ-代数语义。 众所周知，存在拟序列性，其适当地包括各种布尔代数，其也是经典命题逻辑的{p≈1} - algebraic语义。 还已知一种具有代数语义的一些逻辑（相对于某些方程式），对应于逻辑的自然类的代数不是它的代数语义（对于任何一组方程）。 这种情况持有的一个示例在局部正常模态逻辑LK中。 最后，有没有任何代数语义的逻辑。
这些事实突出了对一对（k，eq）的良好标准的需要，以便在某些情况下为逻辑L提供天然代数语义。 一个这样的标准是L是具有（K，EQ）作为代数语义的代数逻辑。 另一种是K是与逻辑L相关联的代数的自然类。将在第8节和第9节中的代数逻辑的概念中讨论逻辑系统的自然类别的概念。
感兴趣的读者可以检查Blok＆Rebagliato 2003，用于致力于逻辑和Moraschini的代数语义的研究，即将出于最近的主题结果（本文有一个证据，即自然类的代数局部正常模态逻辑LK，即模态代数的类不是代数语义（对于任何一组方程））。
具有特定和重要的逻辑，具有包括古典和直觉逻辑的代数语义。 它是所谓的断言逻辑的类。
让K成为代数语言中的一类代数，持续术语为k，即公式φ（p1，...，pn），使得对于每个代数a∈k和元素a1，...，b1，...，bn a，φa[a1，...，a1] =φa[b1，...，bn]，即，在k中的每个代数中，φ采用相同的值，无论我们解释Aφ的φ中的变量。我们表示该值φa。 因此，φ用作常数（相对于K）的常数（相对于K），并且可以将φa（对于a∈K）作为指定元件。
给定一类以代数语言的代数k，持续术语φ用于k，则是分子逻辑L
φ
k
（k，φ）由
γ⊢l
φ
k
φIFF对于每一个a∈K（l）和每个估值v，如果v（ψ）=φa，则为v（φ）=φa。
逻辑系统L当存在L的代数语言的代数k和k的恒定项φ中时是分子的，使得l = l
φ
k
。
最近对各种逻辑的研究是Albuquerque等人。 2018年，我们将读者解决了本文，其中，讨论了我们在后面的部分中存在的逻辑系统中的逻辑系统中的断言逻辑和若干示例的分类。
6.逻辑矩阵
在最后一节中，我们看到，提供一个带有代数语义的逻辑，我们需要在许多情况下需要考虑一组指定元素而不是单个指定的元素。 在我们讨论的示例中，通过一个方程可以在代数中定义一组指定元件。 这激发了第5节中代数语义的定义。对于许多逻辑，以获得类似于代数语义的语义，这些语义使用与它们自然相关的代数自然相关的代数一组不能是指定的元素仅使用代数语言的等式定义，或者仅使用此语言甚至不定义。 正如我们已经提到的那样，这种情况发生在常规模态逻辑K的局部后果。此外，还记得有没有代数语义的逻辑。
为了将每个逻辑与代数类型的语义一起考虑，至少可以考虑与一组指定元素一起的代数，而不需要使用相应的代数语言的可定定性。 这些对是逻辑矩阵。 tarski在20世纪20年代定义了逻辑矩阵的一般概念，但概念已经在以前的工作中由Łukasiewicz，伯纳，帖子和其他人在独立证明中使用真实表或定义与古典逻辑不同的逻辑。 逻辑矩阵是一对⟨a，d⟩，其中a是一个代数和d宇宙的子集; d的元素称为矩阵的指定元素，因此d被称为指定元素集（并且一些作者称之为矩阵的真实集）。 首先用作特定逻辑系统定理的模型，例如在麦肯锡和Tarski的工作中，以及将具有与逻辑系统的定理集的集合的相似的公式定义了一组公式。在替代实例下关闭。 这是Łukasiewicz的N值逻辑和他无限值逻辑的情况。 它是Trsski首先将逻辑矩阵视为定义这种集合的常规工具。
本入口中解释的逻辑矩阵的一般理论主要是由于罗克·逻辑学家，以Łoń1949年开始，并继续在林登布省建立以前的工作。 在Łoń和苏斯科的纸质矩阵中首次使用逻辑系统（在感觉中）和定义这些类型的模型。
在本节的其余部分，我们介绍了使用现代术语的逻辑矩阵理论的相关概念。
给定逻辑L，逻辑矩阵⟨a，d⟩是l如果在任何γ⊢lφ的情况下，那么将γ的元素映射到某些指定值（即d）的每个估值v也是映射φ到指定值。 当⟨a，d⟩是l的模型时，D是代数A的L滤波器。代数A的L滤波器在逻辑系统的代数理论中起着至关重要的作用。 我们稍后会来到这一点。
据说一个类逻辑矩阵是逻辑L的矩阵语义
（*）
γ⊢lφ为每个⟨a，d⟩∈m和a上的每个估值v，如果v [γ]⊆d，则v（φ）∈d。
从左到右的暗示表明l相对于m声音，另一个含义表示它是完整的。 换句话说，M是L如果m中的每个矩阵是l的型号，而且对于每一个γ和φ，例如γ⊬lφ，则为⟨a，d⟩，l在m中的型号，所以在目睹的情况下是对模型的估值，该模型将γ中的公式发送到指定元素和φ到未指定的元素。
逻辑矩阵也用于语义定义逻辑。 如果m =⟨a，则d‖是一个逻辑矩阵，所定义的关系
γ⊢mφ对于所有估值V（ψ）∈d的每个估值v（ψ）∈d，那么v（φ）∈d
是一种替代不变的关系; 因此，⟨l，⊢m⟩是逻辑系统。 类似地，我们可以通过将条件（*）作为后果关系的定义来定义一类矩阵M的逻辑。 在许多值逻辑上的条目中，读者可以找到以这种方式定义的几个逻辑。
每个逻辑（独立于其定义）都具有矩阵语义。 此外，每个逻辑都有一个矩阵语义，其元素具有以下意义上减少的属性：如果没有以相同方式行事的两个不同元素，则减小矩阵⟨a。 我们说A，b∈a在⟨a，d⟩如果每个公式φ（q，p1，...，pn）和所有元素d1，...，dn∈a的情况下表现相同的方式
φA[a，d1，...，dn]∈diffφa[b，d1，...，dn]∈d。
因此，如果存在公式φ（Q，P1，...，PN）和元素D1，...，dn∈a，则b∈a表现不同地，使得φA[a，d1，...，dn]和φa[b，d1，...，dn中的一个。]属于D但不是两者。 在⟨a，d⟩中以相同方式行事的关系是A的一致性关系。这一关系在Blok＆Pigozzi 1986,1986，1989年以1989年作为矩阵⟨a，d⟩的leibniz同时表示了ωa（d）。 它可以表征为A与D兼容的最大的同时关系，即，没有在D中的元素中的元素内的元素联系在一起。莱布尼斯同时的概念在地代数的总理理论中起着基本作用。逻辑系统在20世纪80年代开发的Blok和Pigozzi。 读者称为Font，Jansana和Pigozzi 2003和Czelakowski 2001，提供了关于此期间莱布尼斯同时概念的发展的广泛信息。
每个矩阵M可以通过识别其leibniz同时相关的元素来变为缩小的矩阵。 该矩阵称为M的减少，通常由M *表示。 矩阵及其减少是相同逻辑系统的模型，因为减小的矩阵没有冗余元素，因此通常被视为逻辑系统矩阵语义的减少矩阵的类别作为应得研究的矩阵类别; 它们更适合于代数术语编码，使其成为其矩阵语义的逻辑属性。
每个逻辑系统具有减小的矩阵语义（即，由减小矩阵组成的矩阵语义）的证据如下。 让我成为逻辑系统。 考虑矩阵⟨fml，在公式代数上，其中t是L的理论。这些矩阵被称为L的Lindenbaum矩阵。不难看出这些矩阵的类是L的矩阵语义。矩阵及其减少是相同逻辑的模型，Lindenbaum矩阵的延续的矩阵也构成了L的矩阵语义，并且实际上是一个减少的矩阵语义。 此外，包括L的Lindenbaum矩阵的L的任何类别的矩阵模型是L的完整矩阵语义。特别地，L的所有减小的矩阵模型的类是L的完整矩阵语义。我们表示这一类rmatr（l）。
上述证据可以被视为Lindenbaum-Tarski方法的概括，以证明我们将在下一节讨论的代数完整性定理。
RMATR（L）中矩阵的代数的类在逻辑的代数理论中起着突出的作用，它由ALG * L表示。 已经考虑了很长时间的自然类等级，其必须与给定的逻辑L作为其代数对应物相关联。 例如，在上面考虑的等于不同逻辑的代数语义（布尔代数，Heyting代数等）上上面考虑的等类中，恰好是相应逻辑L的类ALG * L.实际上是类ALG * L与所花款的是所有逻辑L所采取的自然级数符合1990年代的逻辑。 在20世纪90年代，由于以前没有研究过几个逻辑的知识，一些作者提出了另一种方法来定义必须被称为与给定逻辑L相关联的代数对应的代数类别。对于许多逻辑L，它完全引导到类别类别* l，但对于其他人来说，它给出了一个延伸它的类。 我们将在第8节中讨论。
7. Lindenbaum-tarski方法，用于证明代数完整性定理
我们现在讨论最常用的方法，以证明一类代数K是逻辑L的δ（p）≈≈ε（p）algebraic语义，即Lindenbaum-tarski方法。 它是用于证明第5节中提到的示例的代数的类别的标准方法是相应逻辑的代数语义。
Lindenbaum-tarski方法在两个方面贡献，赋予了逻辑代数理论中重要观念的重要观念。 它是Blok和Pigozzi对代数逻辑的概念，并反映了它为每个逻辑定义的某些方法，一类代数可以是提供自然班级的合理性。 我们将在第8节中考虑这个问题。
Lindenbaum-Tarski方法可以如下概述。 为了证明一类代数k是Δ（p）≈≈逻辑L的译名：逻辑L首先，显示k给出L的声音δ（p）≈≈≈≈≈L的-Semantics，即L，即L，即L如果γ⊢lφ，则对于每个a∈K和每个估值V，如果γ的公式的值Δε≈Ε（p），则φ的值也是如此。 其次，通过适当称为Lindenbaum-tarski方法的方法证明了另一个方向，即完整性部分。 该方法使用L的理论来获得公式的代数上的矩阵，然后减少这些矩阵，以便获得其代数在k处的矩阵并且其指定元素集是满足Δ的代数的组元件集（p）≈≈Εα（p）。 我们继续逐步描述该方法。
让L成为第5节示例中讨论的逻辑之一。设k是我们考虑的相应代数等级，并且Δ（p）≈≈≈≈≈≈≈涉及声音和完整性定理中的一个变量的等式。 为了证明完整性定理，因此需要如下所需。 给定任何一组公式γ：
考虑到T的γ的理论Cl（γ）= {φ：γ⊢lφ}，并且使用公式p↔q定义了该组式公式组上的二进制关系θ（t），如下：
⟨φ，ψ⟩∈θ（t）IFFφt。
结果表明，θ（t）是对FML的同时关系。 与公式φ的公式的设置[φ]由θ（t）称为φ的等同类。
通过识别由θ（t）相关的公式来获得新的矩阵⟨fm/θ（t），t /θ（t）⟩，即fm /θ（t）是fm moduloθ（t）的商代价和t /θ（t）是t的等效类的集合。回想一下，即商代数的代数操作由以下定义：
* fm /θ（t）（[φ1]，...，[φn]）= [*φ1...φn]和†fm /θ（t）= [†]
结果表明，θ（t）是与t，即，如果⟨φ，ξθ（t）和φνt，则ψ∈t。 这意味着
φ∈t[φ]⊆t[φ]∈t/θ（t）。
证明了矩阵⟨fm/θ（t），t /θ（t）⟩减小，该fm /θ（t）属于k，并且t /θ（t）是满足的fm /θ（t）的一组元素。公式δ（p）≈≈≈θ（p）。
完整性定理的证明如下所示。 （4）和（5）暗示，对于每个公式ψ，γ⊢lψ，如果才能才满足代数FM /θ（t）中的等式Δ（p）。 因此，考虑到将每个变量p映射到其等效类[p]的估值ID，其扩展ID到所有公式的集合是每个公式φ的ID（φ）= [φ]，我们为每个公式ψ，
γ⊢lψID（ψ）满足FM /θ（t）中的等式Δ（p）≈≈≈≈≈ε（p）。
因此，由于乘（5），Fm /θ（t）∈k，如果γ⊬lφ，则存在代数a∈k（即fm /θ（t））和估值V（即ID），使得元件v [γ]满足但V（φ）上的等式不满足。
Lindenbaum-tarski方法，当成功时，表明代数的类{fm /θ（t）：t是l}的理论是l的δ（p）≈≈L的译世中it also shows that every class of algebras K which isδ(p)≈ε(p)-soundfor L and includes the set{Fm/θ(T):Tis a theory of L} is also aδ(p)≈ε(p) - L.Algebraic语义
让我们在刚刚描述的Lindenbaum-tarski方法上发表一些评论。 第一个对于导致与逻辑相关的代数类的概括非常重要。 其他人，以获得代数逻辑概念的定义中的条件。
条件（4）和（5）暗示θ（t）实际上是⟨fml，t⟩的leibniz同时。
当Lindenbaum-tarski方法成功时，它通常在每个代数a∈K中保持该等式所定义的关系
δ（p↔q）≈ε（p↔q），
这是在δ（p）≈≈≈≈≈×Q×Q的结果，该方法p↔q定义了一个理论的同时关系，是对A的身份关系。
对于每个公式φ，公式δ（p /φ）νε（p /φ）和φ在l（即φ1δ（p /φ）νε（p /φ）和δ中是可间转的）↔ε（p /φ）⊢lφ）。
Blok和Pigzzi引入的代数逻辑的概念，我们将在第9节中讨论，这可以通过说逻辑L是代数语义（K，EQ），使得（1）k包括在与L和LINDENBAUM-TINSKI方法略微泛化的情况下证明（K，EQ）是代数语义的实际代数类别的自然类。
8.逻辑系统的代数的自然类
我们现在将讨论被认为是提供与逻辑L相关的自然类代数的两个定义。这两个定义都可以看出，从Lindenbaum-tarski方法的抽象中出现，我们遵循这条路径介绍它们。 这些抽象的共同特征是，在Lindenbaum-tarski方法中定义关系θ（t）的具体方式被忽略。
必须备注的是，对于许多逻辑来说，这两个定义都会导致同一类。 从两个定义中获得的类已经在许多特定逻辑的代数研究中拍摄（对于某些逻辑，其他人，另一个逻辑）作为应得的自然阶级。
我们已经遇到第6节中的第一个泛化，当我们显示每个逻辑具有缩小的矩阵语义时。 它导致代数alg * l的类。 其定义是Lindenbaum-Tarski方法的概括，从而实现了与L-理论相关的关系θ（t），在使用Lindenbaum-tarski方法的文献中的不同完整性证明中定义实际上，矩阵⟨fml，t⟩的leibniz同时，因此矩阵⟨fm/θ（t），t /θ（t）⟩是其减少。 正如我们在第6节中提到的那样，对于每个逻辑L，每个L-Sound类的矩阵M包含所有矩阵⟨fm/ωfml（t），t /ωfml（t）⟩，其中t是l理论，是一个完整的减少的矩阵语义从这个角度来看，矩阵的Leibniz概念的概念可以作为来自Lindenbaum-tarski程序的思想的任意矩阵的概括，这是来自Lindenbaum-tarski程序的思考。 在这一推理过程之后，逻辑L的减少矩阵模型的代数的类ALG * L是一个非常自然的代数，与L相关联。这是班级
{A /ωa（f）：a是l-algebra，f是a}的l滤波器。
揭穿Lindenbaum-tarski方法的第二种方式使用不同的事实，即在第3节中讨论的示例中，关系θ（t）也是关系ω
〜
fml
（t）由条件定义
⟨φ，ψ⟩∈ω
〜
fml
（t）IFF。∀t'∈th（l），
∀p∈v，
∀γ（p）∈fml（t⊆t'⇒（γ（p /φ）∈t'⇔γ（p /ψ）∈t'））。
对于每个逻辑L和每个L-TOORITION T关系Ω
〜
fml
（t）以这种方式定义是与延伸T的所有L-理论兼容的最大一致性。因此，它拥有这一点
ω
〜
fml
（t）=
⋂
t'∈th（l）t
ωfml（t'），
其中th（l）t = {t't'tth（l）：t⊆t'}。 关系ω
〜
fml
（t）被称为T（W.R.T.1）的苏斯科累。 Suszko定义了它 - 在1977年的同等方式。
对于每个逻辑L，苏斯科的概念概念可以扩展到其矩阵模型。 矩阵模型的Suszko同时⟨a，l（w.r.t.1）的d⟩是最大的兼容兼容的兼容，其中包括D的每个L滤波器，即，它是所提供的关系
ω
〜
一种
l（d）=
⋂
德∈fil（一）d
ωa（d'）
其中fil（a）d = {d'：d'是a和d⊆d'}的L滤波器。 请注意，与Leibniz同时的内在概念不同，L矩阵模型的苏斯科常规不是矩阵的内在：它取决于所考虑的逻辑上的一致方式。 Czelakowski 2003年苏斯科斯基斯科队的理论在Czelakowski 2003中开发，并在Albuquerque＆Font Jansana 2016年开发。
以同样的方式使Leibniz同时的概念导致减少矩阵的概念，Suszko同时的概念导致苏斯科减少矩阵的概念。 如果其苏斯科的一致性是身份，则L的矩阵模型是苏斯科 - 减少。 然后逻辑L的苏斯科减少矩阵模型的代数类是另一类代数，被作为与L相关联的自然类代数。它是班级
