代数命题逻辑

3.4全球正常模态逻辑

另一种后果关系自然地与每个正常模态逻辑λ相关联，由具有作为λ公式的微积分和推理模式的规则和模态概括的规则。 由此后果关系给出的逻辑系统称为λ的全局后果，并将由gλ表示。 它具有与本地Lλ相同的定理，即λ的元素。 Lλ和Gλ之间的差异在于它们允许从非空的房屋组中绘制的后果。 例如，我们有p⊢gk◻p但p⊬lk◻p。 这种差异对他们的代数行为产生了巨大影响。

有关模态逻辑的更多信息，请参阅模态逻辑上的条目。 读者可以在2006年Kracht 2006中找到有关模态逻辑的特定信息。

3.5无需指数的直观线性逻辑

我们作为直觉线性逻辑的语言，没有指数{∧，∨，→，*，0,1，⊤，⊥}，其中∧，∨，→，*是二进制连接和0,1，⊤，⊥命题常数。 我们用生病表示逻辑。 以下推理的原理和规则提供了这种逻辑的Hilbert风格的公理化。

公理：

l1的。

1

二级。

（φ→ψ）→（（ψ→δ）→（φ→δ））第3层。

（φ→（ψ→δ））→（ψ→（φ→δ））腰4。

φ→（ψ→（φ*ψ））l5。

（φ→（ψ→δ））→（（φ*ψ）→δ）l6。

1→（φ→φ）l7。

（φ∧ψ）→φl8。

（φ∧ψ）→ψl9。

ψ→（φ∨ψ）l10。

φ→（φ∨ψ）l11。

（（φ→ψ）∧（φ→δ））→（φ→（ψ∧δ））l12。

（（φ→δ）∧（ψ→δ））→（（φ∨ψ）→δ）l13。

φ→⊤l14。

⊥→ψ

推理规则：

φ，φ→ψ/ψ

φ，ψ/φ∧ψ

0-ary连接0用于通过¬φ：=φ→0定义否定。 没有特定的Axiom架构处理0。

有关更多信息，请参阅线性逻辑上的条目。

3.6相关性逻辑的系统r

我们认为的语言是集合{∧，∨，→，¬}，其中∧，∨，→是二进制连接和一致连接。 用于R的Hilbert风格的公理化可以通过直觉的线性逻辑规则给出，没有指数和该逻辑的逻辑的指数和公理L2，L3，L7-L12与公理

（φ→（φ→ψ））→（φ→ψ）

（φ→¬ψ）→（ψ→¬ψ）

（φ∧（ψ∨δ））→（（φ∧ψ）∨φ∧δ））

¬¬φ→φ

有关更多信息，请参阅相关性逻辑的条目。

4.代数

特定逻辑的代数研究必须使用其使用一类代数的代数语义来提供首先，该代数被利用以了解逻辑具有哪个属性。 在本节中，我们介绍了命题逻辑的正式语言是如何给予代数解释。 在下一节中，我们解决了逻辑系统的代数语义是什么问题。

首先，通过描述命题逻辑的代数研究中涉及的前两个步骤。 两者都需要与代数解释一起赋予命题语言。 阐述它们我们将遵循一阶逻辑的知识（参见古典逻辑和一阶模型理论的条目），我们将调用代数一阶语言，或简单地代数语言，具有平等的一阶语言，没有任何关系符号，使这些语言仅具有操作符号（也称为函数符号），如果有的话，如果有的话，则在其非逻辑符号的集合中。

我们即将阐述的两个步骤可以在口号中概括：

命题公式是术语。

第一步是在通过L作为其操作符号集的成绩一阶语言的术语来查看任何命题语言l的公式。 这意味着（i）arity n的每一个结缔组织被视为arity n的操作符号（因此，L的每个0- ary符号被作为单独的常数被用成），并且L的命题公式作为本一阶语言的术语 特别地，命题变量是一阶语言的变量。 从这个角度来看，L-公式的定义正是L-术语的定义。 我们将引用带有L作为其一组操作符号作为L-代数语言的代数语言。

第二步骤是以相同的方式解释命题公式，其中在结构中解释一阶语言的术语。 通过这种方式，L-Algebra的概念发挥作用。 在给定的集合A上，由一个n-ary函数解释一个n-ary连接（一个映射为每个序列的元素⟨a1，...，a的一个元素的元素）。 此过程是逻辑系统语言的真实表解释的概括，如古典逻辑和ŁukAsiewicz和Post的有限价值逻辑。 在这些情况下，给定播放的真实值集中解释结缔组的函数由其真实表给出。

一种引入代数的方法是一些代数一阶语言的模型。 我们遵循相同的路线，并使用命题语言的设置给出代数的定义。 让我成为一个命题语言。 L型的代数A或L-Algebra短，是一个设置A，称为A的载体或宇宙，与*的ARIENT的函数* a，对于L（如果*为0-ary，* a是一个元素a）。 如果其运营商是一个元素集，则代数A是微不足道的。

L-Algebra A的估值是从一组变量进入其载体A.代数与估值一起用于以组成方式解释L的公式，假设L中的连接*在L-中解释了L-代数a由函数* a。 让A是L和V A的估值的代数。通过将函数* A施加到先前计算的值V（φ1），...，V（φn）来计算化合物公式*φ1...φn的值。公式φ1，...，φn。 精确地说，公式φ的值V（φ）如下所定义：

v（p）= v（p），每个变量p，

v（†）=†，如果†是0-ary连接

v（*φ1...φn）= * a（v（φ1），...，v（φn）），如果*是n-ary（n＞0）连接。

注意，以这种方式，我们已经从一组L-Formulas获得了一个地图V到A的载体。重要的是要注意估值下的公式的值仅取决于实际出现在公式中的命题变量。 因此，如果φ是公式，则我们使用符号φ（p1，...，pn）来指示φ中出现的变量位于列表P1，...，Pn和给定元素A1，...，我们所指的代数A的一个。φA[a1，...，a]到φ（p1，...，pn）的值在任何估值v上，使得V（p1）= a1，...，v（pn）= a。

对逻辑的代数研究中的第三和基本步骤是将语言L的套装成代数转换成代数，L的正式的代数由FML表示。 该代数具有作为载体的L-公式组，并且操作定义如下。 对于每个N-ARY连接*使用n＞0，功能* FML是将公式的每个元组（φ1，...，φn）（其中n为*的arity为*）的映射到公式*φ1...φn，并且每0- ary连接†，†fml是†。 如果没有混淆，我们会在FML中抑制子内衬并写入FM。

4.1通用代数和模型理论的一些概念

代数是特定类型的结构或模型。 L-Algebra是L-代数一阶语言的结构或模型。 因此，为一阶语言模型理论的概念适用于它们（参见古典逻辑和一阶模型理论的条目）。 我们需要一些这些概念。 它们也用于通用代数，一个领域可以被视为代数语言的模型理论。 我们介绍了我们需要的概念的定义。

给定L类型的代数A，A的一致性是A的载波上的等价关系θ满足每个N-ARY连接*∈l以下兼容性属性：对于每个A1，...，AN，B1，...，bn∈a，

如果a1θb1，...，anθb1，则* a（a1，...，a）θ* a（b1，...，bn）。

鉴于A的同时θ，我们可以通过识别由θ相关的元素来减少代数。 获得的代数是模数θ的商代代价。 它由A /θ表示，其载波是由等效关系θ的模型的元素A的等效类[A]的设置A /θ，并且操作如下所示：

†/θ= [†]，对于每个0-ary连接†，

* a /θ（[a1]，...，[a]）= [* a（a1，...，a）]，其ARITY是n和n＞0的每个连接*。

兼容性属性可确保定义是声音。

让A和B是L-Algebras。 来自A到B的同性态H是来自A到B的地图H，使得每0个0 ary符号∈l和每个n-ary连接*∈l

h（†一个）=†b

h（* a（a1，...，a））= * b（h（b1），...，h（bn）），适用于所有a1，...，a1aa。

我们说，如果存在来自A到B的同态的同性态是从A到B的映像上的同态图像。如果它是从A到B的一对一，则来自A到B的同构同位，则是均匀的图像。如果存在来自A到B的同构，我们说A和B是同性的，并且B是A的同构图（或副本）。

让A和B是L-Algebras。 a是b if（1）a⊆b，（2）L中的0-ary符号的解释属于a，a在解释非0-ary符号的b的功能下关闭，并且（3）解释与B中的解释一致的0-ary符号以及L中的另一个符号的解释是对B的解释的限制。

我们将读者推荐给首级模型理论的条目，用于直接产品的概念（称为产品）和超额。

4.2品种和拟亚胺

为命题逻辑提供语义提供语义的大多数代数是拟血性，在大多数情况下品种。 品种理论和拟查理论是普遍代数的主要科目之一。

一类L-Algebras是一类L-algebras，其可以使用L-代数语言以非常简单的方式（通过方程式）可定义。 L-arequation是公式φ≈ψ，其中φ和ψ是l-代数语言的术语（即，如果我们采取命题逻辑的角度，那么l-formulas）和'≈'是平等的正式符号（总是是被解释为身份关系）。 等式φ≈ψ在代数A中有效，或者A是φ≈ψ的模型，如果对于A，V（φ）= V（ψ）的每个估值V。 这与说φ≈ψ的通用封闭是完全相同的与φ≈ψ的通用闭合是一种根据具有相等的一阶逻辑的通常语义中的句子。 等级的L-Algebras是一类L-Algebras，它是给定的L-as方程集的所有模型的类。

一类Quasi-arey类L-Algebras是一类L-Algebras可定义的，使用L-代数语言以比等于的方式稍微复杂的方式。 适当的l-quasiequation是表格的公式

⋀

i≤n

φi≈ψi→φ≈ψ。

l-quasiequation是上述形式的公式，但可能有一个空的前进状态，在这种情况下，它只是等式φ≈ψ。 因此，L-quasiequation是适当的L-quasiequation和L-assation。 L-quasiequation在L-Algebra A中有效，或者代数是它的模型，如果Quasiequation的普遍关闭在A中是判决的。Quasi-aldital的L-Algebras类是一类代数是一组给定的L-quasiequation的模型的类。 由于方程式是Quasiequation，因此每个等级类都是准二等。 交谈是假的。 此外，由于在琐碎的代数中的所有方程和适当代理语言的所有Qualie中有效，因此等级和准级课程是非空的。

等于和准成型的代数可以通过它们享受的封闭性能为特征。 如果它在亚阶层，直接产品和同态图像下关闭，则不会空的L-Algebras类别是一种。 如果它在亚级晶段，直接产品，超微序，同构晶体上关闭并且含有琐碎的代数，则是一种拟亚可怕性。 很容易看出，等效类别是品种，并且准级等级是Quasiviarities。 Birkhoff的定理表明，所有品种都是等级阶级和Malcev的定理，所有拟拟体是准级阶级。

由L-Algebras的非空基类K产生的品种是L-Algebras的最少类，包括k并在亚峰，直接产品和同态图像下关闭。 它也是作为K的等式的模型的代数的类。例如，经典逻辑的两个真实值的代数产生的品种是Boolean代数的类。 如果我们将代数限制在运营中仅用于结合和分开，它会产生各种分配格子，如果我们将其限制在运行中，并将其限制为结合和分离以及⊤和⊥的解释，它会产生各种界限分配格子。

由L-Algebras的k类产生的拟序列是L-Algebras的最小类别，包括k，琐碎的代数，并且在亚曲线，直接产品，超统计和同性图像下关闭。

L-Algebras的SP类是一类含有琐碎的代数的L-algebras，并且在同构晶体图像，亚峰和直接产品下关闭。 因此，拟血和品种是SP课程。 由L-Algebras的k类产生的SP类是L-algebras的最小类别，包括k，琐碎的代数，并在亚曲线，直接产品和异构图像下关闭。

5.代数语义

“代数语义”一词是（许多次）以松散的方式在文献中使用。 为了提供具有代数语义的逻辑是在一类代数中解释其语言，定义课堂代数中公式（在估值下）的满足概念，并且通常为其证明健全和完整性定理。仅限逻辑的定理。 如今，有一个精确的逻辑系统代数语义的概念。 Blok和Pigozzi在Blok＆Pigozzi 1989年引入了它。在这一概念中，我们在数学上找到了一种普遍的状态，精确地陈述了文献中发现的特定逻辑系统的许多据称代数语义的案例。 我们在本节中公开了概念。 为了激励定义，我们首先讨论几个例子，强调他们分享的相关属性。 读者不需要知道提供代数语义的代数的类，我们在示例中提到。 它的存在是重要的。

代数语义的原型语义的命题逻辑的原型例子是Boolean代数的BA类，这是古典逻辑的代数语义，以及Heyting代数的班级HA，这是直觉逻辑的代数语义。 每个布尔代数和每一个嘿，代数A根据他们的自然秩序都有一个最大的元素; 该元素通常由1A表示，并解释命题常数符号⊤。 它被视为相对于给出代数语义的特征元素。 这两个逻辑的代数语义工作如下：

让我是古典或直觉的逻辑，让K（l）是相应的代数Ba或Ha。 它拥有它

γ⊢lφ为每一个a∈K（l）和每个估值v，如果v（ψ）= 1a，则为v（φ）= 1a。

这是BA和HA是典型逻辑和直觉逻辑的代数语义的精确内容。 以上表达式从左到右的暗示是代数声音定理，并从右到留下代数完整性定理的含义。

有些逻辑在文献中以略有不同的方式在文献中以上面给出的方式提供了代数语义。 让我们在没有指数的情况下考虑第3.5节中的例子。 我们表示IL0在Troelstra 1992中定义的IL-Algebras等类（但适应生病的语言）。 每个A 1il0都是具有额外操作的格子，因此具有晶格顺序≤a。 这种晶格顺序具有最大的元素，我们作为⊤的解释。 在这些代数中的每一个上，存在可能与最大元件不同的指定元件1a（对常数1的解释）。 它持有：

γ⊢illφ为每个a∈il0和A的每个估值V，如果为所有ψ∈γ为1a≤av（ψ），则为1a≤av（φ）。

在这种情况下，一个人不考虑每个代数A中的指定元素，但是一组指定元素，即大于或等于1a的元素，以提供定义。 让我们表示D（a）的这一设置，并注意到d（a）= {a∈a：1a∧aa= 1a}。 因此，

γ⊢illφ为每一个a∈il0，如果v [γ]⊆d（a），则V（φ）∈d（a）。

仍然存在更复杂的情况。 其中一个是相关性逻辑的系统r。 考虑Font＆Rodríguez1990中定义的代数RAL类（另请参阅Font＆Rodríguez1994），并在那里表示'r'。 让我们考虑每个A盘子

e（一）：= {a∈a：a∧a（一个→AA）=一个→AA}。

然后据说RAL是R的代数语义，因为以下持有：

γ⊢rφ对于每一个a∈ral和a上的每个估值v，如果v [γ]⊆e（a），那么V（φ）∈e（a）。

上面示例中的常见模式是代数语义由

一类代数克，

在每个代数中的k中的一组指定元素，该元素在古典和直觉逻辑的情况下播放角色1a（更精确的集合{1a}）播放

这组指定元件是可定义的（以相同的方式在每个代数上以相同的方式），其意义上是满足等式的代数的一组元素（即，其解决方案）。 对于BA和HA，等式是p≈⊤。 对于RAL，它是p→（p∧p）≈b→p，并且对于ilm，它是11∧p≈1。

Blok和Pigzzi的代数语义的概念的主要观点来自于上文（3）中提到的，即在已知逻辑的代数语义中考虑的一组指定元素实际上是等式的解决方案，以及事实上，当他们试图获得新逻辑的代数语义时，迫使研究人员迫使研究人员实际上是，虽然没有在这些术语中明确制定，但在每个代数中均匀地定义一组指定元素的等成方式，以便获得代数健全和完整性定理。

我们现在处于一个职位，暴露数学上的代数语义的精确概念。 为了制定逻辑代数的富有成效和一般理论，必须制造一些超出众所周知的具体示例之外的概率。 在代数语义的定义中，在指定元素集的可定义条件下，将从单个方程移动到一组中的一组。

在陈述Blok和Pigozzi的定义之前，我们需要介绍一个符号的公约。 给定一个变量中的代数A和一组方程式方程式EQ，我们表示EQ（a）eq（a）的一组元素，其满足Eq中的所有方程。 然后，如果有一类代数k和一组方程在一个变量中，则逻辑L据说具有代数语义，例如

（**）

每一个a∈Lφfff为每个a∈K和每个估值v，如果v [γ]⊆eq（a），那么v（φ）∈eq（a）。

在这种情况下，我们说代数K的类是L的EQ-代数语义，或者对（K，EQ）是L的代数语义。如果EQ由单个方程式Δ（P）≈≈≈≈（p）我们只会说K是δ（p）≈≈≈≈L的-AlgeBraic语义。实际上，Blok和Pigzzi要求EQ应该有限于它们的代数语义的定义。 但更好的是更普遍。 该定义清楚地包含了实施例中遇到的情况。

如果K是一个有限逻辑L的EQ-代数语义，则EQ是有限的，那么K产生的Quasigesies也是EQ-代数语义。 如果我们考虑生成的变化，同样的情况不会一般。 出于这个原因，在开发合同逻辑的代理理论时，习惯性和有用的是将代数作为代数语义的准成值而不是产生它们的任意子类。 相反，如果拟种是一个单位的IQ代数语义，则为各种L和EQ是有限的，那么酶促的任何子类都是产生它的。

在最佳表现的情况下，逻辑的典型代数语义是各种各样的，例如在上面讨论的所有示例中。 但有些情况下没有（见Blok＆Pigozzi 1989）。