条件的逻辑

5.概率逻辑

有条件的语义语义的想法可能是概率主义的至少三个原因。 首先，正如亚当斯（1965）所指出的那样，目前尚不清楚它是否有意义，以虚假的前书声明真实或虚假条件。 因此，ADAMS更喜欢将有条件思考具有分子条件，而不是真理条件，并且在概率方面自然地处理了合理的断言。 亚当斯关于条件的真理条件的怀疑是由若干作者，特别是Gibbard（1980）和Edgington（1995年）共享的，并且通过刘易斯（1976年）的琐事结果进一步推动。 其次，许多有条件的句子似乎只表达了前一种和后果之间可能的推理的关系。 因此，而“如果a = b，则a + 1 = b + 1”表示纯粹的演绎关系，“如果你煮沸这个鸡蛋，它将变得艰难”表达归纳关系，“如果光没有开启，则必须破坏灯”绑架关系（Douven＆verbrugge 2010;krzyżanowska，Wenmackers，＆Douven 2013; Douven 2016）。 但是，以相同的方式，诱导和绑架推断表明，只有合理的概率从给定的房屋推断出结论，将这些推论置于条件中似乎要求对相应句子的概率分配。 第三，正如Stalnaker（1970）强调的那样，

[A]虽然概率的解释是有争议的，但抽象的微积分是一种相对明确的定义和明确的数学理论。

事实上，基于其数学简洁，该理论在推理心理学中提供了普遍的框架，其中有条件占据中央阶段（过度，Hadjichristidis，Evans，Handley，＆Sloman 2007）。 我们将此部分与Adams的逻辑打开条件。 然后，我们解释刘易斯的琐碎结果以及他们向条件化合物分配概率的问题。

5.1亚当斯的逻辑

条件的概率治疗的核心是有条件概率的概念。 鉴于L0的布尔公式A，以及它们被解释的可能世界的组，我们让Pr（a）表示Pr（|），即分配给世界的世界的概率。 对于A和C两种布尔公式，条件概率Pr（C | A）可通过比率公式定义：

（比率公式）Pr（c | a）=

pr（a∧c）

pr（一）

，提供了PR（a）＞0。

现在考虑确定概率，如果一个公平的死亡落地，它也会降落六个。 物质条件的概率“它不是甚至，或者是六”是

pr（1∨3∨5∨6）=

2

3

。

这显然超出了所寻求的概率，而是根据偶数获得六个的条件概率来捕获，这是偶数的，

pr（6|2∨4∨6）=

1

3

。

更一般地，任何材料条件的概率Pr（a⊃c）永远不会小于条件概率pr（c | a），这一点明显首先由Reichenbach（1949，p.437）强调。

亚当斯的中央假设是，对于每个条件句子a＞c其中a和c都是布尔句子，并且对于每个概率函数pr，条件的概率等于相应的条件概率：

（亚当斯论文）对于每个布尔句子A，C和每个概率函数Pr，Pr（a＞c）= pr（c | a），提供了pr（a）＞0。

亚当斯的论文有双方。 从adams的逻辑的条件的内部观点来看，它可以被视为定义：条件概率定义分配给简单条件的概率程度。 从普通英语的外部角度来看，Adams的论文是经验性索赔：即，简单条件的断言是给予前所未有的条件概率的函数。

规定Pr（a＞c）= 1当Pr（a）= 0时，adams调查了扁平条件的语言L1的几个有效概念。 他的原始定义如下：

（概率有效性）推断是概率的，如果对于任何正ε，则且仅存在正Δ，使得在任何概率分配下的概率分配，所以结论将具有概率至少1-ε。

理解此定义的一种方法是通过对抗来实现：当可以将任意高概率分配到场所时，一个参数无效，但结论缺少了高概率。

亚当斯对比这一定义与替代标准进行有效性，这可能更直观：

（严格有效性）如果在其在任何概率分配下的任何概率分配下，它才严格有效期是严格的有效性。

每个概率有效的推理都是严格有效的，但不反之亦然。 严格的有效性与古典有效性一致。 在以后的工作中，亚当斯基于不确定性的概念使用概率有效性的替代定义。 给定概率函数Pr，句子a的不确定性U（a）被定义为1-pr（a）：

（p-anymity）如果只有每个概率分配，则不确定性，结论的不确定性才是不确定性的。

概率有效性和p效力可以达成一致（ADAMS 1975：THM。3.1）。 此外，对于布尔公式而言，亚当斯表明有效性的三个定义与古典有效性一致。 然而，对于条件句子，所产生的逻辑较弱，实际上对应于系统P.

如在第3节和第4节中考虑的语义中，亚当斯语义中的单调性，传递和对施加失败。 考虑过渡效力：易于构建其中Pr（B |）= 1，Pr（C | B）＞1-δ的模型，用于正，但任意小的δ，但PR（C | a）= 0（参见图3）。

一个图：链接到下面的扩展说明

图3：ADAMS模型中的传递实体的反传递[图3的扩展描述是补充。]

这根据概率有效性的任何定义产生了反例。 可以构建类似的实例用于单调性，对比度和材料条件的悖论。

5.2刘易斯的琐碎定理

被视为逻辑，告诉我们哪些条件的后果，亚当斯的逻辑与他们的通用语言相互作用，与史泰纳克和刘易斯的逻辑相互作用。 也就是说，对于带有有限的房屋γ和结论a的每个参数，a是γiffa的p结果是γiffa的结果，根据Stalnaker的语义（参见Gibbard 1980用于证明）。[7] 但是，亚当斯逻辑的主要限制是它不考虑条件的嵌入（否定条件，条件，右侧嵌套和左嵌套条件的剖钉）。 尽管如此，可能的世界和概率语义产生的逻辑的巧合表明，亚当斯的论文可以扩展到任意复杂条件的语言L2。 这个假设被称为Stalnaker的假设，他在1970年的物品中制定了它。[8]

（Stalnaker的假设）对于每个概率函数Pr和每个条件A＞C，可能复合：Pr（a＞c）= pr（c | a），提供了pr（a）＞0。

Stalnaker假设的经验充足程度取决于嵌套条件的治疗。 然而，刘易斯（1976）表明，在嵌套条件概率的概率下，在嵌套条件的概率下导致差异性。 刘易斯假设以下分解假设（Fitelson 2015）：

（为每个概率函数Pr和所有句子A和B的分解假设），这样PR（a∧b）＞0：

pr（b＞c|a）= pr（c|a∧b）。

鉴于勇敢者的假设，分解假设相当于进出口法，即Pr（a＞（b＞c））= pr（（a∧b）＞c）。

从分解中，刘易斯源于以下结果，基本上表达了条件的概率折叠到无条件概率：

琐事定理（刘易斯）如果a与c和¬c概率概括，即如果pr（a∧c）＞0和pr（a∧¬c-c）＞0，则Pr（a＞c）= pr（c）。

证据如下：

pr（一个＞c）= pr（一个＞c|c）pr（c）+ pr（一个＞c|¬c）pr（¬c）

（扩展）

pr（一个＞c|c）= pr（c|a∧c）= 1

（通过分解）

pr（一个＞c|¬c）= pr（c|a∧¬c）= 0

（通过分解）

pr（一个＞c）=1⋅pr（c）+0⋅pr（¬c）= pr（c）

刘易斯本人说出了进一步的变种，自1994年（1994年Hájek和霍尔大厅; Bradley 2000; Milne 2003; Fitelson 2015）提出了几个概括。 布拉德利（2000）特别表明，受信仰修订理论启发的以下保存条件也导致琐碎性。

保存条件（Bradley）：对于每个概率函数Pr和所有句子a和c，如果pr（a）＞0和pr（c）= 0，则pr（a＞c）= 0。

这种情况比Stalnaker的论文弱，因此它将差异延伸到甚至更广泛的条件。

5.3基数和成像

刘易斯的琐碎结果暴露了Pr（C | A）和Pr（A＞C）之间的不匹配。 为了澄清这种现象，我们询问每个数量的代表什么是刘易斯的结果，已经是简单的条件。

5.3.1基数

让我们从PR（C | A）开始。 即使在一个有限的世界集中具有固定的概率分配，条件概率也可能与任何一组世界的概率相对应。 让w = {a，b，c}并让

pr（一）= pr（b）= pr（c）=⅓。

显然，

pr（a|a∨b）=½。

然而，在从W产生的布尔代数中，没有可能的主张在PR下获得½的概率。 Hájek（1989）实际上表明，对于具有至少三个具有非零概率的世界W，具有比不同的无条件概率值更明显的有条件概率值。 如Égré和Cozic（2011）中所指出的，该结果提供了一个结构类比，其具有不可或缺的普遍性量化理论。 通过将不受限制的“大多数”应用于一阶可定义的命题，“最多的CS”并不可定定。 同样地，我们可以将结果视为显示在“存在概率为1/2”之类的句子中，嵌入条件不表达任何命题。

然而，这结果与本发明的想法兼容，即如果 - 条款从根本上充当公开或秘密运营商的限制（见Lewis 1975; Kratzer 2012;和第8.1节）。 Égré和Cozic（2011）使用结果来辩护该观点，尽管Charlow（2016）所说，RESTRICTOR视图本身不会免于琐事。 另一个接受它涉及三种有价值的方法。 在三价案例中，一个命题的断言自然被视为鉴于确定真实值（McDerMott 1996）所在的命题的可能性。 假设De Finetti为条件的方案，A＞C的断言是等于a∧c为真的的概率，因为A为真，且条件概率为真实。 这导出了亚当斯的论文以获得简单的条件。 尽管如此，请注意，使用A，B，C作为原子和PR在其上等设备，如果我们通过三个三个分配定义可能的世界，则概率是1/2的三个值的命题。原子命题的值（以及处理脱位强大的克莱琳风格）。 相反，如果三维条件确实表达主张，那么这些命题需要被视为这些判决是真实的世界之间的关系以及它被定义的那些，因此再次成为世界上的更复杂的物体（参见Dubois＆Prade 1994代表他们对）。

5.3.2成像

现在考虑PR（A＞C）。 假设Stalnaker的语义为A＞C; 如果不是条件概率，则该条件的概率对应的可能性是什么？ D. Lewis（1976）确定了他称之为成像的修订规则。 给定Pr，他定义了Pr

'

一种

成为先行的成像，其中公关

'

一种

（w）= 0如果w不是一个世界; 如果W是一个世界，那么Pr

'

一种

（w）等于PR（W）通过根据Stalnaker的选择功能最接近的非世界的总和增强。 刘易斯表明，斯巴内克的条件的概率是由前所未有的成像下来的可能性。 虽然调理在非世界上杀死非全世界并统一地将其统一传播到一个世界，但是在A上的成像是不同的操作，这取决于选择功能，使非均匀世界的重量均匀地移动到一个世界（见图4）。

一个图：链接到下面的扩展说明

（a）在后验概率PR'（U）=的结果上的条件化

p

p + q

，pr'（v）=

q

p + q

和Pr'（w）= 0。

一个图：链接到下面的扩展说明

（b）在后验概率的结果上成像PR'（U）= P + R，PR'（V）= Q和Pr'（W）= 0。

图4：W = {U，V，W}和先前概率Pr（u）= p，pr（v）= q和pr（w）= r。 在图中，来自X到y的红色虚线箭头表示Y是最接近的X的[图4的扩展描述是否在补充中。]

来自Edgington（2020）的示例可以帮助弄清楚差异。 假设堆叠100个吸管，其中90°长度为10厘米，1个长度为11厘米，而9长20厘米。 考虑条件“如果吸管长于10厘米，则它短于15厘米。 假设世界之间的相似性被吸管之间的长度的近距离设定。 斯巴纳的条件的世界概率是真实的91/100，因为10厘米的稻草世界和11厘米的稻草世界使得秸秆长于10厘米的最接近的世界确实是一个小于15的世界厘米。 但条件的条件概率为1/10，因为只有11厘米或20厘米长的吸管小于15厘米。

这些考虑因素的结果是，从斯塔纳克的条件开始，我们可以看到它的概率不是条件概率，而是成像概率（用于更多的成像，我们参考Günther2018）。 相反，从给定的C给出的概率开始，我们已经看到它一般不等于任何可能的世界主张的概率。 重要的是，Adams的论文仍然是简单的条件Qua定义的连贯性，因为它规定了条件句子的概率是一定的条件概率。 然而，作为经验论文，Stalnaker的假设表明了单独定义的数量之间的实质性身份，我们现在看到它应该失败的原因更好。 亚当斯的论文是否持有经验事实，甚至简单的条件仍然争议。 最近的发现，我们在第7节返回的调查结果表明，相关性考虑因素也进入比赛（Douven 2016; Skovgaard-Olsen，Singmann，＆Klauer 2016）。

5.4复合条件的概率

Stalnaker的论文对于简单的条件是一致的，但是任意复杂性的条件失败。 挑战是将Stalnaker的论文扩展到或多或少扩展的复合条件。 已经向该目标提出了几项建议。 然而，相关文献是非常技术的，并且我们在这里只提供了几个地标。 重要的是，这里提到的所有所得系统保守地扩展了ADAMS的基本逻辑，即系统P（即，它们为简单条件保持相同的公理，但不一定是复合条件）。

范弗拉索森（1976）将Stalnaker的论文延伸到形式A＞（b＞c）的右侧嵌套条件，其中a，b，c是boolean，以及具有相同限制的左嵌套条件（a＞b）＞c，以及他还可以处理条件的特定连词和障碍。 范弗拉索森的提议涉及产品空间建设，依靠所谓的史尔纳克-Bernoulli模型，允许他根据标准的斯塔金翁模型分配对世界无限序列的概率。 该建筑用于Stalnaker和Jeffrey（1994），并在S. Kaufmann（2009）中延伸。 建筑的一个值得注意的方面是，形式A＞（b＞c）的右侧嵌套条件的概率在所有情况下都不是（a∧b）＞c的概率相同的情况。 另一方面，McGee（1989）提出了一个不同的建筑，不允许左嵌套条件，但旨在通过放弃嵌套条件的Modus Ponens来确保右套餐的进出口法则（着名）。 例如，这两种方法都具有一些共同的概率原则

pr（a∧（一个＞b））= pr（a∧b）

持有两个理论。 此外，对于两种方法，相关逻辑是从斯塔纳克特可能的世界语义开始的语义解释。 Bradley（2012）在Jeffrey-Stalnaker和McGee方法上建立，以表明，对于简单的条件，可以通过将概率转到世界的概率而不是刚刚世界来源的亚当斯论文。 一对（W0，W1）的概率表示W0是实际世界的概率，并且W1是其所选替代，因为在讨论的情况下给出了其所选择的替代方案（请注意，所以人们需要所有潜在的前一种潜在的潜在的概率的概率）。 概述了这种财产的概括到嵌套条件，哲学强调有条件不依赖于一个世界的概率，也是对世界之间的反事实依赖的非行动关系。

迭代条件的相关方法是基于所谓的一致性方法，概率从De Finetti的概率博彩观（见Coletti＆Scozzaava 1999; Gilio 2002; Gilio＆Sanfilippo 2014;和Pfeifer 2014介绍）。 这个想法是，只要它们没有违反这些赌注（不确定损失或“荷兰书籍”），概率可以附加到条件事件中。 在本框架中，事件的概率是在实际技术概念的方面定义的。 附加到A＞C的Prevional X对应于此

对于每个真实的数字，您愿意按照A1C是否为真，或者接收（接收）金额SX并接收（接收，以支付）S，或0，或SX，或者A1 -C为真，或者是真的（下注打电话）。 （Sanfilippo，Gilio，Over，＆Pfeifer（适用2020个符号））

根据有关基本命题的独立假设，可以不仅可以针对条件的连词来定义预防，而且可以用于各种嵌套条件。 最近在Sanfilippo等人出现了该领域的结果概述。 （2020）。

6.信仰修正方法

虽然Stalnaker在最接近的前所未有的世界方面取得了Ramsey的建议，但亚当斯专注于它的概率解释，PeterGärdenfors（1978）介绍了一个语义以直接和纯粹的定性方式使用Ramsey Ide的条件。 他的方法是坚决认识的 - 或更准确地说，破坏性 - 它基于信仰或接受的概念。 这种方法的前体是William Harper（1976）和Isaac Levi（1977）。

6.1信仰修订模型和Ramsey测试

设置在语言L上的信仰是一组句子，该句子在给定的背景逻辑CN（即，逻辑师的意义上的理论）下。 信仰修订模型（BRM）是一对m =⟨k，*⟩，其中k是一组相比l和*：k×l→k是一个信仰的修订功能，分配给每个信仰集k和每个句子一个修改后的信仰集k * A. 信仰修正模型中的信仰集合的接受条件是Ramsey测试的直接形式化：

m，k⊩acca＞b如果只有b∈k* a。

Gärdenfors（1978年，1988年：教派。7.1-7.2）初步的想法是采取以信仰所接受的条件，即，即作为这一非常信仰集的要素。 让我们致电这个Gärdenfors的Ramsey测试：

a＞b∈k（在m），如果只有b∈k* a。