条件的逻辑

从语义观点来看，参考在这里不仅仅是对实际世界，而且还可以到其他可能的世界，实际上是所有“可访问的”世界。 因此，这种条件的含义不能通过一个简单的真理表解释。

在模态逻辑中，Kripke帧是一对⟨w，r⟩，其中w是一个非空的可能的世界集（可能的状态，可能的情况或世界可能是可能的方式），而R是W.r的二进制关系被称为模型的可访问性关系，直观地RWV意味着世界V从W的角度来看（在某种意义上）。 模型是一个三重⟨w，r，v⟩，使得⟨w，r⟩是一个帧，v是向所有可能世界中的语言的所有命题变量分配真实值的估值函数，我们写m，w⊩a为“A in world w是真实的Model M”并让| A | M表示属于真实的可能世界的集合{w∈w：m，w⊩a}。 让R（w）：= {v∈w：rwv}。 布尔连接的真实条件是常用逻辑的通常，将V扩展到复杂的句子。 那些严格的条件如下：

m，w⊩a＞b。ifffor所有v这样rwv，m，v⊩a⊃b

iffr（w）∩|一个|m⊆| b |是。

有效性（相对于一类帧）被定义为所有模型的世界的真实保存（基于类中的任何帧）。 很容易看出严格的条件使材料条件的悖论无效，相对于在任意Kripke框架上构建的模型。 严格的条件保留了Modus ponens和许多经典属性，例如单调性，传递和对施加（见下文）。 然而，从Goodman（1955）开始，这种推论被疑似，用于指示性条件（参见亚当斯1965年）和反事实条件（见Stalnaker 1968，Lewis 1973）。 例如，在传递性的情况下，我们有以下反例：

（1）

如果棕色赢得选举，史密斯将退还给私生活。 如果史密斯在选举前死亡，棕色将赢得它。 ＃因此，如果史密斯在选举之前死亡，那么他将退休到私人生活。 （亚当斯1965，第166页）

（2）

如果J. Edgar Hoover今天是一个共产党，那么他将是一个叛徒。 如果J. Edgar Hoover出生了俄语，那么今天他将成为一个共产党人。 ＃因此，如果J. Edgar Hoover曾经出生过俄罗斯，那么他将成为一个叛徒。 （Stalnaker 1968，第106页）

这样的例子激发了亚当斯，提出了概率治疗条件。 他们启发了斯巴纳克，刘易斯，努力和许多人来削弱严格的条件分析。 但最近，基于这些想法，已经存在严格的有条件分析的复苏，这是通过限制确定哪些世界依赖于大规模上下文的世界（Daniels＆Freeman 1980; Von FINTEL 2001;吉利亚2007;斯塔尔2014A，斯塔尔进入反事实）。

3.2可变严格的条件

“可变严格条件”背后的基本思想（由于D. Lewis 1973引起的表达）是与评估条件句子相关的必要性取决于前一种。 粗略地说，为了评估条件A＞B，必须将可访问性关系的范围扩展到前一种或“最相似”的世界，其中仍然存在。 在下文中，我们提出了三种相关的方法，详细说明了可变条件的真实条件。

3.2.1主要语义

相对模式

虽然历史上不是第一个，但可以说是表达严格条件的最简单方式，其必要根据前所不同的方式在Chellas（1975）和Segerberg（1989）中找到，他将条件A＞B作为相对的条件模态，即围绕索引的模态◻ab，每个句子A的相应访问性关系r | a | m。相对模态帧或RM帧可以定义为对⟨w，其中R是关于W×的三元关系w×p（w）。 在实践中，我们可以编写RUVW而不是RVWU，并查看RM-Model是一个三重M =⟨w，r，v⟩，使得⟨w，r⟩是一个RM-Frame和V估值功能。 给定RM-Model M，条件的真实条件是这样的：

m，w⊩a＞b。IFF对于所有v这样R | A | MWV，M，v⊩b

IFF R | A | M（W）⊆| B | M。

注意，r可以在w×w×l2上定义，让Ra（w）取决于A的句法形式（而不是由a表示的命题）。 这种修改的主要效果是阻止等效的前一种的替代，一个特征在单独的地面上被几个理论家称为（参见第3.5节）。

选择功能

等效定义在选择功能方面（Stalnaker 1968;努力1980）。 SF帧是一对⟨w，f⟩，其中w是一个非空的可能的世界和f：w×p（w）→p（w）是占领世界的函数和一个命题（即，一组世界）并产生一个命题。 F被称为模型的选择功能，直观地v∈f（w，u），其中u⊆w意味着世界v是您最接近或最近的世界的世界，与您的所有其他世界相比，与先前方法的对应关系是相比的直接的，如果我们让F（W，| a | m）与R | A | M（W）一致。 SF模型是三重M =⟨w，f，v⟩，使得⟨w，f⟩是一个SF帧，V是估值功能。 可变严格条件的真实条件成为：

m，w⊩a＞b。IFF为所有v∈f（w，| a | m），m，v⊩b

IFF f（w，| a | m）⊆| b | m。

与RM帧一样，可以修改SF帧的定义，以使F取决于W和A，而不是| a。

相似性排序

这种设置有一个密切相关的替代方案，该设置使用比较相似性排序代替选择功能（D. Lewis 1973; Burgess 1981）。 在这里，O形帧是一对⟨w，其中W是一个非空的可能世界，并且≺是对世界一组的三元关系，假设是相对于其第一个参数的传递和反义性。 uīwv的关系意味着世界你是（在某种意义上）比世界更相似或更接近世界v。让R（w）：= {y∈w：∃z∈w（y≺wz）}。 这对应于来自w的一组可访问世界。 O-Model是一个三重⟨w，≺，v⟩，使得⟨w，≺⟩是O形帧，而V是估值功能。 我们使用缩写| a |

是

w

：= | A |m∩r（W），让min≺w（U）表示最相似的U-Worlds（例如，没有U-World严格更类似于W）。 简单形式的真实条件的条件，如下所示：

m，w⊩a＞b。IFF全部v∈

最小值

≺w

（|一个|

是

w

），m，v⊩b

当且仅当

最小值

≺w

（|一个|

是

w

）⊆| b |是。

然而，只有在|才有意义上讲

是

w

只有在我们可以假设（L）的情况下，只有我们为v≺wu或v = u写入v⪯wu：

∀w∈w∀u∈|一个|

是

w

∃v∈|一个|

是

w

（（v⪯wu）和¬∃v'∈|一个|

是

w

（v'≺wv））。

（L）是Lewis的极限假设的轻微概括（1973,1981）。 虽然大多数研究人员准备支持极限假设，但刘易斯拒绝了它。 据他介绍，为了“如果弗雷德高于2米，他将在大学篮球队”，那里没有最接近的世界，这将使前所不同。 订购语义可以通过说明更复杂的真实条件来处理（L）的失败。

（变结构控制）-o

m，w⊩a＞b iff for allv∈| a |

是

w

有一个u∈| A |

是

w

这样u⪯wv和所有你的所有| A |

是

w

这样u'əwu，m，u'əb。

这种直观意味着a∧¬b世界更远离W，而不是Aïb-世界。

比较

首先，很容易看出所有三种语义如何无效，如（1）和（2）如（1）和（2），这是一个假设传递性。 例如，在O示意图中，来自

最小值

≺w

（|一个|

是

w

）⊆| b |是

和

最小值

≺w

（| b |

是

w

）⊆| c |是，

它不需要遵循

最小值

≺w

（|一个|

是

w

）⊆| c |是。

参见图1中的三个世界模型。在图1中，箭头表示≺w，以便X←Y意味着与x≺wy相同。

一个图：链接到下面的扩展说明

图1：O-Model中的传递实际传递[图1的扩展描述是补充。]

与单调性和对施加的类似反射率易于到来。

选择函数模型和相对模态模型之间的对应关系非常直接。 选择函数模型与订购模型之间的对应关系不太明显。 我们怎样才能解释一下？ 如果我们将相似关系解释为偏好关系，我们可以将在理性选择理论中获得的见解进口到条件的分析（1970年;苏祖图1983; aleskerov，Bouyssou，＆Monjardet 2007;应用程序非单调推理在Lindström1994和Rott 2001）中。 如果满足限制假设，那么我们可以简单地用min≺w（U）来识别f（w，u），所有u∈W。 为了逆向方向，我们可以使用所揭示的偏好，定义

u≺wv为所有u∈W，这样你，v∈u，v∉f（w，u）

或者，如果f可以用两个元素主张，

u≺wviffvv∉f（w，{u，v}）。

这些偏好“合理化”由f的选择。 但是，这仅适用于某些约束。 在这方面，SF模型比O模型更广泛。 它们也更容易使用，放弃限制假设通常从语言角度视为不足（参见Stalnaker 1980; Schlenker 2004; S. Kaufmann 2017，更多（l））。

3.2.2帧对应属性

对于每个语义，可以对帧施加特定条件，以确保特定公理或参数模式的有效性。 他们对条件逻辑的影响已经详细研究。 有关插图，我们给出了三个框架中的两个特定公理及其对应属性的示例。 身份要求每一个最接近的世界确实是一个世界。 条件排除中间对应于唯一性条件：最接近一个最接近的世界。

一个＞一个（一个＞b）∨（一个＞¬b）

rmravw⊃w∈awraw1∧wraw2⊃w1= w2

sf f（w，一个）⊆a卡（f（w，一个））≤1

o∀x∀y（∃z（x⪯yz）⊃x⪯yx）∀y∀y'∀w（（y∈|一个|

是

w

∧∀z（z≺wy⊃z∉|一个|

是

w

））⊃（（Y'1 | A |

是

w

∧∀z（z≺wy'⊃z∉|一个|

是

w

））⊃y= y'））

表5：一些帧对应属性

我们将Unterhuber和Schurz（2014）用于RM帧的帧对应属性的系统呈现，以努温（1980），Girard（2007）和RAIDL（2021）在SF帧的对应属性上，在弗里德曼和哈珀恩（1994）和Herzig（1996）上关于O帧的通信特性。

3.3条件的逻辑

为了基于可能的世界框架呈现一些条件的中心逻辑，我们采用Frege-Hilbert公理视角，并引入了一个公理和推理规则。 我们的演示文稿和术语选择依赖于Nute（1980）以及Herzig（1996），Unterhuber和Schurz（2014），以及Crupi和IaCona（即将到来的-B）。

作为所有系统的第一层，我们让PC由经典命题微积分的所有Tautologies组成。

我们还假设下面的系统在物质模式下关闭，但此外，区分以下推理规则（左逻辑等效，右弱化和条件k规则）。 那些意味着如果房屋是定理，那么结论是如此。

b≡c

（b＞一个）≡（c＞一个）

b⊃c

（一个＞b）⊃（一个＞c）

（b1∧...∧bn）⊃c

（一个＞b1的）∧...（一个＞bn）⊃（一个＞c）（n≥0）

公理

LT。（逻辑真理）

一个＞⊤

编号（身份）

一个＞一个

和（和）

（（一个＞b）∧（一个＞c））⊃（一个＞（b∧c））

或（或）

（（一个＞c）∧（b＞c））⊃（（a∨b）＞c）

ccut。（谨慎的传递）

（（一个＞b）∧（（a∧b）＞c））⊃（一个＞c）

CMON。（谨慎单调性）

（（一个＞b）∧（一个＞c））⊃（（a∧b）＞c）

记录（互惠）

（（一个＞b）∧（b＞一个））⊃（（一个＞c）≡（b＞c））

sm（强于材料）

（b＞c）⊃（b⊃c）

CS。（联合充足性）

（b∧c）⊃（b＞c）

RMON。（理性单调性）

（（一个＞b）∧¬（一个＞¬c））⊃（（a∧c）＞b）

CEM。（条件排除在内）

（一个＞b）∨（一个＞¬b）

规则和

公理系统

ck ck b ss np v vw vc c2的

le ..✓。✓。✓。✓。✓。✓。✓。✓

rw✓✓✓✓✓✓✓✓✓

rck✓✓✓✓✓✓✓✓✓

lt✓✓✓✓✓✓✓✓✓

ID。✓。✓。✓。✓。✓。✓。✓

和✓✓✓✓✓✓✓✓✓

或。✓。✓。✓。✓。✓。✓。✓

ccut。✓。✓。✓。✓。✓。✓。✓

CMON。✓。✓。✓。✓。✓。✓

rec。✓。✓。✓。✓。✓。✓

RMON。✓。✓。✓。✓。✓

SM。✓。✓。✓。✓

CS。✓。✓。✓

CEM。✓。✓

表6：条件的突出逻辑。 CK和CK对应于基本条件逻辑; 系统B是由于伯爵; 系统SS到Collock; 系统NP到Delgrande; Systems V，VW和VC到D. Lewis; 系统C2到Stalnaker。

我们突出了九个有条件逻辑系统，这些逻辑被授予了特别关注。

系统CK公开了（VSC）-RM中布局的真实条件。 CK已被Chellas（1980）称为基本条件逻辑，因为它意味着模态逻辑基本系统K的对应物。 特别地，它与固定的模态◻a产生与系统k相同的定理。 因此，它满足标准模态逻辑（viz的公理K的条件类似物（Axiom CK：（a＞b）⊃（（a＞（b⊃c））⊃（a＞c）））和必变规则（viz，规则CNEC：来自C推断A＞C）。 它可以被描述为LLE和RCK下的最小逻辑（后者需要LT，RW和AND），并且由于该而被称为正常的条件逻辑。 逻辑CK对应于其超倾斜的变型，其中LLE被丢弃。

Burgess提出的系统B是包含ID的CK的最小扩展，或者和CMON。 系统B公开（VSC）-O下所说的真理条件 - 假设⪯是预订（反射和传递）。 系统B的另一种特殊兴趣是其平片段对应于由于Kraus，Lehmann和Macidor的非单调逻辑系统P（参见第3.4节）。 系统P也是亚当概率的有条件的声音和完整的（参见第5节），如上所述，可以给出三维表征，看看Dubois和Prade（1994）。 从这个意义上讲，系统P在条件的逻辑中是相当的中心。

特别值得注意的是，这些逻辑都不是验证单调性（也称为加强前进的），转运或有条件的矛盾：

单调性（一个＞c）⊃（（a∧b）＞c）

传递性（一个＞b）⊃（（b＞c）⊃（一个＞c））

对置（一个＞c）⊃（¬c＞¬a）

这些原则在许多情况下被视为有条件逻辑的范式无效。

如果我们添加RMON到B，我们将获得David Lewis的系统v。 John Collock（1976）提出了通过将SM和CS和CS到B. lewis的“官方”逻辑的“官方”逻辑的公务化是通过添加SM和C而获得的系统VC。v的延伸仅为SM系统大众。 最后，系统C2与CEM合并到VC中是Stalnaker的条件逻辑。 如表6所清楚，特别是CS，CMON，RMON和CEM等原则，特别是争议，他们都受到哲学讨论的影响。

James Delgrande（1987）提出了系统NP作为CK的不同延伸。 主要区别在于B满足谨慎的单调性，而NP满足合理的单调性。 在Delgrande的解释中，理性单调性的一个例子是来自房屋的推断是“乌鸦通常飞行”和“通常乌鸦不是黑色”，以“黑乌鸦通常飞行”。 请注意，谨慎的单调性预测“乌鸦通常飞行”的推断，“乌鸦通常是黑色”到“黑乌鸦通常飞行”。 系统B和NP的存在使得严格说话，RMON和CMON是逻辑上的。 但是，说RMON是公平的，RMON基本上比CMON强，因为在大多数环境中，人们可以从A＞C推断出¬（a＞¬c）。 在订购语义中，RMON需要满足模块化的较弱的订单（对于所有世界T，U，V，w∈w，如果t≺wu，那么t≺wv或v≺wu），而CMON只需要及物关系。 但是如果在无限集合的情况下具有弱订单，则可以满足RMON而没有CONT次数，而没有像极限假设，并且使用选择功能或最小模型方法。 这是德兰德（1987年）的情况。[2]

除了所提到的系统旁边，已经研究了CK和C2之间的其他中间系统，特别是通过防范理论主义者研究。 Olivetti，Pozzato和Schwind（2007）和PogGiolesi（2016）对系统CK，CK + ID，CK + SM和CK + SM + ID提供了搜索结算。 PogGiolesi还研究了同一系统的自然扣除系统。

3.4非单调逻辑和优先型号

我们之前，我们提到了系统P对应于系统B的平坦片段。鉴于系统P的中心地位，在这里，我们更加了解Kraus，Lehmann和Mamidor将其定义为非单调逻辑系统的方式。 KLM不旨在表征哪些公式逻辑上有效，而是在为Rational的条件组指定闭合条件时。 它们读取条件a＞c（实际上使用符号a | ~c），只有l0的a和b，如表达形式的默认值“如果常常c”或“c是”符号的后果“。 他们立即从模型开始，但他们的模型与到目前为止所见的模型略有不同。 重要的是，KLM在一个世界的条件的真实值没有用处使用，但只查看由完整模型决定的“后果关系”。 什么KLM呼叫“国家”更像是信息状态，而不是可能的世界，他们称之为“世界”是估值，即语言的命题变量的真理值的分配。 KLM的优先型号类似于上面讨论的O形模型，除了对于全部模型而不是模型中的每个世界仅有一个二进制关系。