不精确的概率

我想给出一些这个想法的例子。 首先考虑一些没有限制频率的物理过程，但具有变化的频率，始终保持在某些间隔内。 这将是一种曲线，但相当可预测的过程。 可能的是，这种系统的最佳描述是仅在其相对频率上放入界限。 这些过程已经使用IP模型（Kumar和Feed 1985; Gize and Feed 1987; Fite 1988），并已被讨论作为信用的潜在来源（Hájek和史密斯2012）。 对量子机械事件的某种非标准理解自然地引导到上概率模型（Suppes和Zanotti 1991; Hartmann并支持2010）。 John Norton已经讨论了概率理论的限制作为归纳的逻辑，他使用他声称，承认没有合理的概率态度（Norton 2007,2008a，b）。 人们可能希望IP沿着诺顿草图的线路提供归纳逻辑。 诺顿本人对这一行表示怀疑态度（Norton 2007），尽管Benétreau-dupin（2015）被保护了IP作为诺顿项目的候选系统。 最后，对模糊的特殊意见可能会迅速提示重新思考正式的机会结构（Bradley 2016）。

2.7集团信仰

假设我们希望我们的认识学不仅适用于个人，而是申请“团体代理商”，如委员会，政府，公司等。 这些代理商可以由不同意的成员组成。 Levi（1986年，1999年）认为，这种冲突的代表更好地处理了概率，而不是精确概率。 结合或聚合（概率）对群体成员（Genest和Zidek 1986）的概率意见有丰富的文献，但这种聚合的结果并没有充分代表本集团之间的分歧。 某些形式的聚合也未能尊重集团信仰的合理限制。 例如，如果本集团的每个成员同意X和Y是概率的，那么似乎有理解，要求集团的信仰尊重这种单一。 然而，众所周知，线性汇集 - 一种简单而流行的聚集形式 - 不尊重这种缺失。 考虑两个概率函数p，q使得p（x）= p（y）= 1/3和p（x | x）= p（x），而q（x）= q（y）= 2/3和q（x |y）= q（x）。 考虑通过占用它们的未加权平均值来聚合这两个概率：r = p / 2 + q / 2。 现在，计算显示R（x∩y）= 5/18，而R（x）r（y）= 1/4，因此展示r不认为x和y是独立的。 因此，这种聚合方法不满足上述冒险（Kyburg和Pittarelli 1992; Cozman 2012）。 有关判断汇总的更多信息，请参阅列表和Pettit（2011），尤其是第2章。

Elkin和Wheeler（2016）争辩说，在精确的概率同行中解决分歧应该涉及不精确的概率。 Stewart和Quintana（2018）争辩说，不精确的聚合方法具有一些不精确的聚合方法的特性。

如果委员会成员有本集团之间不同的归信和公用事业，那么无明显的概率 - 实用程序与药剂的概率和公用事业不同，可以满足帕累托条件（Seidenfeld，Kadane和Schervish 1989）。 帕累托条件要求群体偏好尊重本集团之间的偏好协议。 也就是说，如果组的所有成员更喜欢A到B（即，如果每个组成员发现具有较高的预期效用，则聚合偏好（由聚合概率 - 实用程序对确定）应该满足该偏好。 由于这种“共识保存”是对聚集的合理要求，因此该结果表明，基团代理的精确模型是有问题的。 Walley讨论了一组概率的一个例子，其中每个概率代表了一个组成员的信仰，那么P是对每个代理人的信仰的不完整描述，意义上，如果P的所有成员都同意某事，那么每个代理人都相当的事情。 一套概率允许我们代表在判断中冲突的代理人（Levi 1986,1999）。

理想的理智剂可能会面临选择没有最佳选择的选择。 价值观之间的概率判断和未解决的冲突的不确定性导致困境在选择时，理性代理在[该集合]中的可用选项中识别出多于一个这样的偏好等级，以允许允许。 （Levi 1999：510）

Levi还认为，个别代理商可以与群体相同的方式发生冲突，因此个人的债务国也是更好的概率代表。 （Levi还争辩说债权国的凸性，这将他与上述关于独立的论点冲突（参见历史附录第3节）。）一个不需要购买群体和个人必须以同样的方式建模的声明，以便从这个想法中夺取一些东西。 一个只是需要接受个人可以相互冲突的想法，即合理代表她的信仰状态或信仰和价值国家 - 是在职能方面。 布拉德利（2009）呼叫该套装“头像”。 这表明我们将个人的信任集解释为由她的头像组成的债务委员会。 这一代表的解释是由于乔伊斯（2011年），尽管Joyce属于Adam Elga。 该委员会代表您可以与证据一致的所有可能的先前概率。 每个贷项委员会成员是一个完全自由的詹姆斯志愿者。 委员会作为一个整体，是一个克利福德客观主义者。

3. IP的哲学问题

本节为文献中指出的IP收集一些问题。

3.1扩张

考虑两个逻辑上无关的命题h和x。现在考虑这个简单模型的四个“状态描述”，如图1所示。所以a =həx等。 现在定义y =a∪d。 或者，考虑以下列方式相关的三个命题：y被定义为“h如果且仅在x”中。

[带有四个象限的正方形，第一列被标记为“H”，第二个“不是H”; 第一行标记为“x”和第二个'不是x'。 第一个象限（第一列/第一行）被阴影，并有一个'a'; 第二象限（第二列，第一行）不是着色的，并在它上有'b'; 第三象限（第一列，第二行）是未体现的，并有一个'C'; 和最后象限（第二列，第二行）被阴影，并在它上有'd'。]

图1：Seidenfeld（1994）之后的关系图; y是阴影区域

进一步想象p（h |x）= p（h）= 1/2。 除了逻辑和概率理论之外，命题持有之间的其他关系。 验证上述约束是否需要P（y）= 1/2是很简单的。 然而，X的概率是不受约束的。

让我们想象一下，您获得了上述信息，并将您的代表带到了满足这些约束的全套概率函数。 Roger White建议您如何接收有关如此相关的命题和如此约束（白色2010）的命题的信息的直观光泽。 白色的拼图就是这样。 我有一个命题x，关于你什么都不知道。 我写的是，在公平硬币的头部旁边的x和¬x是真的。 我涂上了硬币，所以你看不到哪一方是头部。 然后我用X上面翻转硬币并将其落在最上面。 h是硬币落地的命题。 y是硬币用“x”侧面的命题。

想象一下，如果您在使您确定X的确切之前有一个精确的，这与x无关的上述约束兼容，因为x无约束）。 现在看到X Land最上面应该有证据表明硬币已经降落了头。 游戏设置使得这使得这些明显无关的证据实例可以携带信息。 同样，对X来说非常有信心为你做出了很好的证据。如果你确定x是假的，那么y将是h的坚实的金色证据。 所以似乎P（HSY）与X的先前信仰成正比（实际上，这可以被证明是相当容易的）。 鉴于事件相关的方式相关，观察x或¬x是否落在最高的是一个嘈杂的频道，以了解是否降落到最上面的情况。

所以让我们回到原来的不精确的案例，并考虑在x中有一个不精确的信念意味着什么，它的意味着考虑可能很可能。 它与你的信仰状态一致，X是这样，如果你知道一个命题x是什么，你会认为很可能。 在这种情况下，y将是H.注意到，在这种情况下，在这种情况下，在这种情况下，Coin降落了¬x最重要的是，这对H时的证据同样，X可能是您将获得非常低的信用的命题，因此y将被证明H.

由于您对X的无知状态，您的代表包含概率，以便是好的证据，即H和概率需要¬的好的证据。 所以，尽管p（h）= {1/2}我们有p（hsy）= [0,1]。 这种现象 - 后部宽于他们的前腿 - 被称为扩张。 该现象已经在数学文献中彻底调查（Walley 1991; Seidenfeld和Wasserman 1993; Herron，Seidenfeld和Wasserman 1994; Pedersen和Wheeler 2014）。 Levi和Seidenfeld报告了良好的井道的一个例子（1967）。 好提到了他的后续纸张中的这封对应（好1974年）。 近期对哲学界的扩张的兴趣已经由白色的论文产生（白色2010）。

白色考虑扩张是一个问题，因为学习y似乎没有与h相关。所以，因为你对X无知，学习硬币落在x上方是否似乎没有关于硬币是否落下的任何东西。 争论你对H的信仰应该从1/2到[0,1]来学习Y时似乎很奇怪。感觉仿佛应该与H无关。然而，当P（x）= 1/2时，y只是真正无关紧要。 您可能在X中可能拥有的任何其他确切信念都会影响您在H的后部信仰。图2显示了一个特殊信念的情况，了解X有多可能; 对于一个特定的p∈p。 水平线可以向上或向下移位，具体取决于我们专注于X.P（H.Y）的委员会成员，只有在X之前也是一半的时间。 但是，不精确的概率主义者考虑到y可能影响H的所有方式。

[带有两个列的正方形标记为'h'和'not h'和两个行，一个狭窄的一个标记为'x'和标记为'not x'的宽。 第一个象限（第一列，第一行）被阴影，并有一个'y'; 第二象限（第二列，第一行）不是着色的，并且它有一个“不是y”; 第三象限（第一列，第二行）未遮住在其上的“不是y”，第四象限（第二列，第二行）被阴影，并在它上有'y'。]

图2：债权委员会的成员（Joyce之后（2011））

考虑一组经纪人，每个代理商在上面的硬币案件中具有精确的职权，并在他们的女前沿不同于X.他们全都开始于H.学习y之后，这些代理人根据他们的不同性处于更新，这些代理人会在其后面的情况下不同。 小组的信仰会扩张。 但是，本集团的代理商是不合理的。 如果我们采取Levi的建议，个人可以像团体一样冲突，那么似乎个别代理人就可以像团体一样扩张他们的信念。

扩张有两个明显的问题。 首先，对明显无关证据的信念效应; 其次，学习某些证据的事实可能导致您的信仰间隔扩大。 上述评论与其中的第一个评论。 Pedersen和Wheeler（2014）也集中在缓解这种担忧。 我们现在转向第二次担忧。

即使我们接受扩张作为不精确的概率主义者的生命事实，它仍然很奇怪。 即使接受了上述所有争论，也似乎奇怪地说，你对H的信仰很扩大，无论你学到什么。 也就是说，无论您是学习y还是y'，您的后部信仰也看起来相同：[0,1]。 或者，它表明是奇怪的是你的初始信用是准确的。

HART和TITELBAUM（2015）表明，扩张是奇怪的，因为在奇迹中（毕竟，您在上面的示例中所做的是，即使在精确情况下也是直观的。 是否可以以这种方式解释所有扩张案例仍有待观察。 龚和孟（2017）同样地看到扩张作为错误指定统计推理的问题，而不是IP本身的问题。

除了这种看似奇怪之外，白色建议一种受到扩张的特定方式是缺陷的认识论的指标。 白色表明扩张示例表明，不精确的概率违反了反思原则（Van Fraassen 1984）。 该论点如下：

鉴于你现在知道你是否学习y或者你学习你的信用，你的信用将是[0,1]（你肯定会学习一个或另一个），你现在的信用也应该是[0,1]。

一般思想是您应该将您的财务保留为您希望将来的信誉。 更具体地说，您的X债务应该是您未来可能的历证对您可能学到的事情的期望。 鉴于，对于在这个例子中你可能学到的所有事情，你的信用是相同的，你也应该把它当作你的前任。 您的事先应该是这样p（h）= [0,1]。 因此，在H开始的精确认证是非理性的。 这就是反思扩张的论点。 您的先前P并不完全精确。 考虑p（h∩y）。 也就是说，结合的先前信仰是不精确的。 因此，据称扩张和反思的问题并不像“你的精确信仰变得不精确”那么简单。 问题是“你对H变得不精确的精确信念”; 或者，由P（H）所代表的H中的精确信仰变得不精确。

反思的问题更为基础。 在这种情况下反射需要的反射需要什么？ 现在，显然是每个贷项委员会成员的先前信用的情况是它对可能的未来证据的期望（这是概率理论的定理）。 但不知何故，感觉到，整个债务状况对原则所需的方式对反射不敏感。 每个Pp∈p满足原则，但问题的尴尬对称性会使整体侵犯P的原则。 如果我们专注于P（h）作为信仰状态的那部分的足够表示，这将是如此。 但是，如前所述，这不是了解债权国的充分途径。 请注意，在学习y和学习y'时，y'y's向后修改H的后部信仰被表示为间隔的状态，概率集不是相同的。 在学习y，p'和学习之后的状态之后调用州。 所以p'= {p（⋅|y|y），p∈p}和p“= {p（⋅|y|y'），p∈p}。 虽然p'（h）= p“（h），p'≠p”作为概率集，因为如果p∈p'则p（y）= 1，而如果p∈p“则p（y）= 0。 因此，我们应该从扩张中学习的一课是，不精确的信念由一组功能而非通过集价值函数表示（参见，Joyce 2011; Topey 2012; Bradley和Steele 2014b）。

因此，膨胀可能会被驯服或合理化，并且可以减轻反射的问题。 但仍然有一个难题，扩张提出：在精确的背景下，我们有一个很好的结果 - 由于良好（1967） - 这粗略地说，学习新信息具有正预期的预期价值。 信息具有正价值。 这种结果在某种程度上是由扩张破坏的。 Bradley和Steele（2016）表明，有些意义的是，良好的结果可以在IP设置中部分销售。

似乎，扩张的例子破坏了更早的声明，即不精确的概率允许您代表证据的重量和余额之间的差异（参见第2.3节）：学习似乎引起了一个信仰，因为它更加普遍的证据表明，这是一个人认为较少的证据。 这是因为膨胀案例中的先前信用是精确的，而不是通过证据重量，而是通过前面讨论的对称性。 我们不能采取间隔的狭窄[

p

_

（x），

¯

p

（x）]作为证据重量的表征，因为由于累积了大量证据而言，间隔可能是缩小的。 因此，我早先的重量/平衡的言论不应被读取，因为索赔可能始终代表重量/平衡区分。 具体就是存在不精确的概率可以以影响决策的方式表示区别。 这个问题远非解决，需要在这个主题上完成更多的工作。

3.2信仰惯性

想象一下，有两个现场假设H1和H2。 你不知道他们有多可能，但它们是相互排斥和详尽的。 然后你获得一些证据E.一些简单的概率理论表明，对于每个p∈p，我们具有以下关系（使用PI = P（e`hi）i = 1,2）。

p（h1|e）=

p（e|h1）p（上半年）

p1p（上半年）+的p2p（下半年）

=

p1p（上半年）

p2的+（p1的-的p2）p（上半年）

如果您的H1中的之前是空心 - 如果P（H1）= [0,1] - 那么上述等式表明，您的后续也是空的。 也就是说，如果p（h1）= 0则p（h1蜂）= 0且同样用于p（h1）= 1 = p（h1蜂），并且由于上述等式的右手侧是P（H1）的连续功能，因此每个r∈[0,1]]存在一些p（h1），使得p（h1κe）= r。 所以p（h1 &e）= [0,1]。

它似乎不精确的概率主义者无法从空中吸取。 这种信仰惯性的问题至少返回到Levi（1980），第13章。Walley还讨论了这个问题，但似乎看起来不动情：他说，他的空缺后期概率只是采用空缺的后果：

空心常识真的是琐碎的模型。 这似乎适用于“完全无知”的模型，这是一种相当琐碎的不确定性状态。 另一方面，尽管有理论重要，但是在实际问题中，人们无法指望这种模型非常有用。 如果使用空心预防来模拟关于统计参数的先前信念，例如，它们会产生空缺的后视图...然而，接近与现有信念的接近和做几乎最小的权利要求的先前预防可能导致合理的后视图。 （Walley 1991：93）

Joyce（2011）和Rinard（2013）都讨论过这个问题。 Rinard的解决方案是争辩说，这表明是空心的事先永远不是一个合法的信仰状态。 或者，即使这些是对您的信仰状态不完整的描述，我们只需要使用非空中前置的不受空继量来模拟您的信仰。 这类似于威尔利的“非穷举”表示信念。 Vallinder（2018）表明，信仰惯性问题是一个普遍的问题。 卡斯特罗和哈特（即将举行）使用信仰惯性的迫在眉睫的危险，以反对我所谓的“客观主义者”解释知识产权。

替代解决这个问题的替代方案（由威尔逊2001的启发;和Cattaneo 2008; 2014）将以这样的方式修改更新规则，使得为这些极端前瞻性提供给证据的极低可能性是从代表中切除的。 需要做更多的工作来使这是准确性的，并展示响应的究竟是多么的。

3.3决策

一个重要的用途，这种信念模型可以被置于理性决策理论的一部分。 IP没有什么不同。 然而，使用不精确概率的决策具有一些问题。

简而言之，知识产权决策的问题是您的信贷委员会可能不同意最佳行动方案的行动，而且当他们这样做时，目前尚不清楚你应该如何行动（回想一下1.1节中的定义）。 想象一下在一个未知偏见的硬币上赌注。 考虑头部和尾部的指标赌博。 两次投注都有不精确的期望[0,1]。 你应该如何比较这些期望？ 赌注是无与伦比的。 （如果硬币案例似乎具有太多的利用对称性，请考虑对螺母从他的包中拉牙膏或水母的单位赌注。）这种无与伦比，威廉姆森，导致决策瘫痪，这突出了一个缺陷在认识中（2010：70）。 此论点似乎缺少这一点，但是，如果我们对IP的动机之一恰恰是能够代表前景的这种不相容性（见第2.2节）！ IP所需的选项的不可递送性不是错误，这是一个功能。 Seidenfeld（2004），Troffaes（2007），Seidenfeld，Schervish和Kadane（2010），Bradley（2015），威廉姆斯（2014），亨特利Hable和Troffaes（2014）。