不精确的概率

有人认为，不精确的概率是一种自然而直观的方式，克服了与正统精确概率的一些问题。 这种类型的模型具有较长的血统，近年来对这些模型的兴趣已经不断增长。 本文介绍了不精确的概率理论，讨论了它们使用的动机及其优于标准精确模型的可能性。 然后它讨论了这种模型提出的一些哲学问题。 还有一个历史份额概述，概述了一些重要的思想家，他们看起来不精确的概率。

1.简介

1.1术语摘要

1.2一些重要的区别

2.动机

2.1 Ellsberg决定

2.2不完整和无与伦比

2.3重量证据，证据余额

2.4暂停判决

2.5未知相关性

2.6非产品机会

2.7集团信仰

3. IP的哲学问题

3.1扩张

3.2信仰惯性

3.3决策

3.4解释IP

3.4.1信仰是什么？

3.4.2什么是X的信仰？

3.5回归

3.6是什么让一个不精确的信念？

4.摘要

参考书目

学术工具

其他互联网资源

相关条目

1.简介

概率理论是一个非常丰富的理论，几乎每个科学分支的应用。 在哲学中，概率理论的一些重要应用由名称贝叶斯主义; 这是一个非常成功的计划（参见例如Howson和Urbach 2006; Bovens和Hartmann 2003; Talbott 2008）。 但概率理论似乎富裕，更加丰富，更确定态度比似乎有必要的态度。 您应该理性的信仰程度应该是全球平均表面温度将在2080年的4度以上升起吗？ 也许它应该是0.75？ 为什么不0.75001？ 为什么不0.7497？ 这是一个或多或少的可能性而不是至少一个头在两个折叠的公平硬币上？ 似乎有许多关于我们可以（或许的事件）比正统概率所需的精确态度不那么精确。 在质疑正统的原因之上，似乎坚持认为，信仰的态度由单一的实值概率函数表示是不切实际的理想化，以及我们将在后面讨论的一些相当尴尬的后果。 实际上，已经认识到，概率理论仅提供相当理想的信仰模型。 尽可能靠近十九世纪中叶，我们发现乔治·布尔说：

确认认为作为心灵的情绪的期望的力量将是不终止的，能够提及任何数值标准。 （Boole 1958 [1854]：244）

对于这些，还有许多其他原因，对不精确概率（IP）模型的兴趣日益增长。 广泛解释，这些是一种信仰模式，以某种方式超越概率正统。

IP模型用于许多字段，包括：

统计（Walley 1991; Ruggeri等，2005; Augustin等，2014）

推理心理学（Pfeifer和Kleiter 2007）

不确定性的语言处理（Wallsten和Budescu 1995）

对歧义和冲突的神经学反应（Smithson和Pushkarskaya 2015）

哲学（Levi 1980; Joyce 2011; Sturgeon 2008; Kaplan 1983; Kyburg 1983）

行为经济学（Ellsberg 1961; Camerer和Weber 1992; Smithson和Campbell 2009）

数学经济学（Gilboa 1987）

工程（Ferson和Ginzburg 1996; Ferson和Hajagos 2004; Oberguggenberger 2014）

计算机科学（Cozman 2000; Cozman和Walley 2005）

科学计算（Oberkampf和Roy 2010，第13章）

物理学（Suppes和Zanotti 1991; Hartmann和Spples 2010; Frigg等，2014）

本文识别IP模型的各种动机; 介绍了这一领域广泛的各种正式模型; 并讨论这些框架的一些打开问题。 重点将是关于相信的正式模式。

1.1术语摘要

在整个文章中，我通过了讨论讨论武装意图代理人的信念的公约，我将称为“你”。 知识产权的突出倡导者（包括良好和Walley）通过本公约。

本文是关于相信的正式模型，因此，需要有一定数量的正规机制。 有一组状态ω表示世界可能的方式。 有时ω被描述为“可能的世界”集。 信仰的对象 - 你对你所拥有的东西 - 可以由世界各种方式的子集代表，世界可能是ω。 我们可以用这组状态识别一个命题x，这使得它是真实的，或者，这一组可能的世界是真实的。 如果你有关于x和y的信念，那么你也有关于“x∩y”，“x∪y”和“¬x”的信念; “x和y”，“x或y”和“不是这种情况的x”。 信仰对象的集合是ω的电源组，或者如果ω是无限的，则ω的一些可测量的代数。

信仰程度的标准观点是信仰程度由概率函数由实数和信仰国家代表; 这是一种规范性要求。 概率函数是函数，p，从信仰的代数到真实数字满足：

0 = p（∅）≤p（x）≤p（ω）= 1

如果x∩y=∅然后p（x∪y）= p（x）+ p（y）

因此，如果您的信仰状态或doxastic状态由p表示，则x中的信仰程度是分配给x的值; 也就是说，p（x）。

此外，在贝叶斯的信仰模型中学习通过条件实现。 如果您学习一个命题E（并且没有进一步），那么您的学习后信念X由P（X | E）= P（x∩e）/ p（e）给出。

作为本文主要焦点的替代方法是代表一组概率函数而不是单一概率表示信仰的方法。 所以，而不是有一些p代表你的信仰状态，你有p，一套这样的功能。 范弗拉索斯（1990）将此称为您的代表，Levi称之为凭证。 我会讨论各种方式，你可能会稍后解释代表，但现在我们可以将其视为如下。 您的代表是一个历史委员会：它中的每个概率职能都代表了一个委员会一成员的意见，即集体代表您的信仰。

从这些概念来看，我们可以定义通常用于讨论不精确概率的“摘要功能”。 通常，假设您在命题x中的信仰程度由p（x）= {p（x）：p∈p}表示。 我将采用这个符号公约，附带条件，我不认为p（x）是x的信仰程度的充分代表。你的X的较低信封是：

p

_

（x）= infp（x）。 同样，你的上部信封是

¯

p

（x）=支持度（x）。 它们是以下意义上的彼此的共轭：

¯

p

（x）= 1-

p

_

（¬x）。

关于更新概率的标准假设是学习E之后X的信仰程度由P（x |e）= {p（x |e），p∈p，p（e）> 0}给出。 学习后，您的信仰状态是p（⋅|e|e）= {p（⋅|e|e），p∈p，p（e）> 0}。 也就是说，通过一组条件概率。

我想强调这些概要功能-P（⋅），

p

_

（⋅）和

¯

p

（⋅） - 没有正确代表你的信仰。 图片中缺少信息。 在我们对扩张讨论中，这个问题将重要。

我们需要谈谈决策，因此我们将在赌博方面引入简单的决策模型。 我们可以将有界的真实值函数f视为“赌博”，该函数是某些设定ω的函数到实数。 如果Ω是真正的状态，则赌博F代价F（Ω）。 我们假设您将每个进一步的单位重视这种好的单位相同（赌场'支付在实用程序中是线性的），并且您对风险的担忧无动于衷。 您对这些赌博的态度反映了您对ω的各种突发事件有多可能的态度。 也就是说，如果ω看起来更具吸引力，则赢得大的赌博您认为ω更有可能。 特别是，如果x在实际世界和0否则下，则将指示符函数Ix视为输出1的命令x。 这些是一种特殊的赌博，你对他们的态度直截了当地反映了你对主张的信仰程度。 您认为ix越有价值，您认为X的可能性越大。 拨打这些指示赌博赌博。

赌博是关于它们的预期价值进行评估。 呼叫EP（f）赌博F的预期值与概率p，并将其定义为：

ep（f）=

σ

ω

p（ω）f（ω）

您认为F的ωΩ有多有价值取决于F（ω）的大小。 F中的F的重要性是多么重要的取决于P（ω）测量状态的态度。 然后期望这些概率加权值的总和。 有关预期效用的更多讨论，请参阅Briggs（2014）。

然后我们将EP（f）定义为EP（f）= {EP（F）：p∈p}。 也就是说，P的成员的预期价值集。持有的P（x）的相同附带的股票（f）：即EP（f）完全代表您对赌博价值的态度的程度是开放的。 当没有歧义时，我经常会丢弃下标“P”。 进一步的技术细节可以在正式附录中找到。

1.2一些重要的区别

有许多区别使得在下面是重要的。

IP理论中的一个重要参数是理论应该拥有的规范力。 是不精确的义务还是仅仅是允许的？ 它始终是允许/强制性的，还是有时候？ 或者我们可能对特征在于实际代理人的信任国家的纯粹描述项目，对规范性问题没有兴趣。 这篇文章中的最后一个可能性将很少有人。

将信仰本身与对此信仰的引出的委托，以及从您的内省访问这些信仰的信息也有帮助。 其他态度（价值，公用事业等）也是如此。 可能是您有信仰，不适合（精确）诱导，实际上甚至原则。 同样，您对自己信仰的内省访问可能是不完美的。 这种缺陷可能是一个不精确的源泉。 布拉德利（2009）区分了许多不同的不完美内省来源。 从您不知情的问题，您的推理，无知的突发事件，或由于您的证据或您的价值观中的冲突（第240-241页），您的推理，无知或因素（第240-241页）的界限可能会产生缺陷。 查看布拉德利和司列斯勒（2014）以进一步讨论不确定性的类型。

有各种各样的证据方面可能会有所作为如何回应它。 我们可以问有多少证据（证据重量）。 我们可以询问证据是否均衡或者是否批评了另一个假设（证据平衡）。 证据可以平衡，因为它是不完整的：它根本不够。 如果它发生冲突，证据也可以平衡：不同的证据有利于不同的假设。 我们可以进一步询问证据是否告诉我们一些类似的东西，即硬币的偏差是2/3，有利于头部或未特异性的，即硬币的偏差在2/3和1之间有利于头部之间。 这种特殊性应与证据的模糊或不确定区别下来：硬币大约2/3的偏见是模糊的，但具体情况，肯定在2/3和1之间的某个地方有偏见是决定的，但不明显。 同样，闭合状态可能是不确定的，模糊的，否则可能是无特异性的，或者它可能都是不明智的，或者它可能都是。 似乎确定但不明显的信仰国家比不确定的信仰状态稀有。

ISAAC Levi（1974年，1985年）区分“不精确的”归信和“不确定”的归信（恐慌引用表明这些不使用术语“不精确”和“不确定”，符合使用我在本文中采用）。 这个想法是，有两个不同的信念状态可能需要移动到信仰的IP表示。 Levi的术语的“不精确”信仰是矿井的不完全受到影响或引发的信念，而“不确定”信念是一种（可能）的完全内疗法的信念，仍然是不确定的或非必要的（或两者）。 Levi认为有趣的现象是“不确定”的信任。 Walley（1991）还强调，在“不确定”案件中有“正确”但未知概率之间的区别。

关于对上述IP的解释有一个进一步的问题。 这是我们是否了解P作为您信仰的“完整”或“详尽的”代表性的问题，或者我们是否将代表承担不完整或不完整性。 让我们在赌注解释中谈谈一会儿。 可以通过提出以下问题来绘制详尽的/非详尽区别：p是否捕获所有和只有您的性格才能下注或执行P只是部分捕捉您的性格来赌注？ Walley强调这种区别，并表明大多数模型都是非详尽的。

部分原因是Levi的禁令，以区分“不精确”从“不确定”信仰中，有些人反对使用术语“不精确概率”。 在不确定的，未经特定和不完全的内部反选信念之间使用上述区别，我们可以保持分开的类别Levi希望在不使用术语“不精确”的情况下保持分开。 然后我们可以使用“不精确”作为伞术语，以涵盖所有这些缺乏精度的情况。 方便地，这使我们能够与“不精确概率”的财富保持一致，术语用于涵盖不确定的案件。 此用途至少返回到Peter Walley的有影响力的概念统计推理（Walley 1991）。

所以，“不精确”是不合适的，但由于IP的正式理论真的是关于预防（对指标函数的期望）而不是关于概率的正式理论，因此“概率”也不是“概率”。 如果我缩写了“IP”的不精确概率，那么我可以利用一些有用的歧义。

2.动机

让我们考虑一般而言，一个可能有什么样的动机可以采用落在IP伞下的模型。 重点是理性信念的模式，因为这些是哲学家通常专注的模型，尽管值得注意的是，使用IP的统计工作不限于此解释。 请注意，没有人赞同所有这些论点，并且事实上，一些关于知识产权的一些作者已经明确表示他们不认为某些这些论点是好的（例如，Mark Kaplan不赞同对描述性现实主义的疑虑允许不完整）。

2.1 Ellsberg决定

有许多决定问题的例子，我们直观地绘制了反对精确概率的处方。 事实上，许多实验科目似乎表达了违反公理的偏好。 IP提供了一种代表这些直观的合理和实验观察的选择作为理性的方法。 一个经典的例子是Ellsberg问题（Ellsberg 1961）。

我有一个包含九十大块大理石的瓮。 三十个大理石是红色的。 其余的是蓝色或黄色的一些未知比例。

在此方案中考虑针对各种事件的指示赌博。 考虑一个在赢得大理石绘制的红色（i）之间的赌注之间的选择，如果大理石绘制是蓝色的（ii），则与赢得胜利的赌注。 因为我涉及II涉及歧义，你可能更喜欢I到II。 如果其结果不确定，潜在潜在风险危险，但其结果具有已知的概率。 如果出现未知或仅部分已知的概率，潜在展望是模糊的。 现在考虑如果大理石绘制不是蓝色（III），那么如果大理石绘制不是红色（iv）的赌注，则赢得胜利之间的选择。 现在它是III是暧昧的，而IV是明确的但有风险，因此如果您更喜欢模糊前景的风险，那么IV可能会更好。 这种偏好模式（优选II但IV优先于III）不能合理化，因为精确的预期效用最大化器的选择。 赌博总结在表中。

r b y

我1 0 0

2 0 1 0

三1 0 1

iv 0 1 1

表1：Ellsberg赌注。 瓮包含30个红色大理石和60个蓝色/黄色大理石

让红色，蓝色和黄色大理石的概率分别为r，b和y。 如果您是预期的效用最大化器和优选的I至II，则R＞B和IV IV IV的偏好需要r + y＜y + b。 没有数字可以共同满足这两个约束。 因此，没有概率函数使得具有该概率的预期实用程序最大化器将以上述方式选择。 虽然绝不是通用，但这些偏好是许多实验对象对这一体例的响应的强大特征（Camerer和Weber 1992; Fox和Tversky 1995）。 一些实验表明Ellsberg型偏好模式比通常认可的偏好（Binmore等，2012; voorhoeve等，2016）。 有关歧义态度的更多信息，请参阅Trautmann和Van der Kuilen（2016年）。

不精确的概率主义者可以如下模型情况：P（R）= 1/3，P（b）= p（y）= [0,2 / 3]。 请注意，这种信念国家的表达错失了一些重要细节。 例如，对于所有p∈p，我们具有P（b）= 2/3-p（y）。 对于在这里进行的点，这个细节并不重要。 建模歧义使我们能够在红色的赌注中合理化真实代理的偏好。 为了解决这个故事，需要更多地说，关于决策，（参见第3.3节），但直觉是厌恶模糊性解释了对II和IV的偏好。

由于斯蒂尔（2007年）指出，上述分析只有在我们正在处理真正的不确定或非特异性信仰时，才能合理地理解ELLSBERG选择。 如果我们正在处理不完全内恢复的信仰的情况，那么将存在一些代表中的P，使得合理选择最大化EP。 对于Ellsberg选择，没有这样的p。

对ELLSBERG游戏的课程的这一观点不是难以诉讼。 al-Najjar和Weinstein（2009）就埃尔斯伯格偏好的解释提供了另一种观点。 他们的观点是Ellsberg选择的独特模式是由于代理应用某些启发式，解决假设可能是可操纵的赔率的决定。 在现实生活中，如果有人为您提供赌注，您可能会认为他们必须有一些优势，以便在为您提供赌注时值得。 这种怀疑主义，适当建模，可以在简单的游戏理论精确概率模型中产生ELLSBERG选择。

2.2不完整和无与伦比

（精确）概率的各种论点假设某些关系或其他完整。 无论这是偏好的行为，还是一些“定性概率排序”，假设关系在域的任何两个元件之间保持一种方式或另一个。 这几乎看起来应该是理性原则，特别是在严重不确定性的情况下。 这是 - 采取偏好示例 - 在任一方向上没有偏好是合理的。 这是一个重要的不同态度，在选项之间无动于衷。 Mark Kaplan认为这一点如下：