自由逻辑

对于负或中性语义，N-Place谓词P的延伸是D的子集

n

w

。 如果所有单一的术语都有dw指示，则原子配方才能真实; 如果没有，它是假（在否定语义）或真实无价值（中性语义）。 在一个积极的语义中，在w中可以空滞的原子公式可以在w al真实。 谓词通常被解释在所有世界的域的联盟U中，它用作每个世界的一种外部域，因此在世界上的N场谓词P的扩展是联合国的一个子集。 然而，一些应用程序需要谓词是真正的 - 并且能够能够表示在任何世界中存在的对象。 如果是，我们可以将这些对象收集到一个外部域中，该对象是U的超集。（它们可能是虚构对象，永恒的柏拉图对象，不可能的物体等。）

与所有公式一样，量化的公式，只有相对于世界都是真假的。 因此，例如，当DW中的某些对象满足A时，∃xa是真实的。除了在直觉逻辑之外，它具有专门解释，普遍量词是类似的解释：∀xa在w如果所有DW中的对象满足A. Kripke语义通常指定为每个W，DW是非空的，使得到的自由逻辑是非包容性的 - 但我们不得这样做。

可以通过添加到第1.3节中定义的排序的语言L来形式化各种自由模态或时态逻辑中的任何一个。 如果a是公式，那么◻a。 在含有模态逻辑中，读取该操作员“必须这样的情况。” 更一般地说，它意味着“在所有可访问的世界中，”在给定的世界的可访问性是针对不同模式的不同关系的地方：对逻辑的可能性，对时态逻辑的允许性，适用的时态逻辑，等等。 典型的二价kripke模型m用于此类语言包括一组世界，该集合定义的二进制访问关系R; 对域DW的每个世界W的分配; “外部”域的物体（通常是U或其超级）; 和一个双层解释函数，我将世界分配给世界各个常量和延期的候选人。 对于每个单独的常数t和世界w，i（t，w）∈do。 在这样的模型中，只有仅适用于所有世界W1和W2，I（T，W1）= I（T，W2），奇异术语是刚性指定器。 对于每个N-Place谓词p，i（p，w）⊆d

n

w

如果语义是负或中性的; 如果它是积极的，我（p，w）⊆d

n

o

。 模型M的世界的真值由双地估值函数v（其中v（a，w）被读取“thear the World W分配给Farment A），如下所示：

v（pt1 ... tn，w）= {

⊤，iff（t1，w），...，i（tn，w）⟩∈i（p，w）;

⊥，否则。

v（s = t，w）= {

⊤，iff i（s，w）= i（t，w）;

⊥，否则。

v（e！t，w）= {

⊤，iff i（t，w）∈dw;

否则。

v（~a，w）= {

⊤，iff v（a，w）=⊥

⊥，否则。

v（一个→b，w）= {

⊤，iff v（a，w）=⊥或v（b，w）=⊤;

⊥，否则。

v（◻a，w）= {

⊤，iff为所有你这样的wru，v（a，u）=⊤

⊥，否则。

v（∀xa，w）= {

⊤为所有d∈dw，v（t，d）（a（t / x），w）=⊥

（其中T不在A和V（T，D）中是

估值在模型上就像m

除了它的解释函数我是

这样对每个世界W，I *（T，W）= D）;

⊥，否则。

在可接受模型的规定下，使所有个人常量刚性指定者以及I（P，W）⊆d

n

o

，标准的自由逻辑PFL，与模态公理和规则一起适用于我们分配给R的任何结构，在此语义上是完整的。

每当允许世界有不同的域名时，模态语义被定义为自由逻辑 - 这是每当我们可能拥有世界U和W这样的DU≠DW时。 因为在这种情况下，必须有一个对象d存在于其中一个域中（让它是DW），但不是另一个域，因此刚性指定D的任何奇异术语T必须在世界U时为空。 因此，〜x 在不包含在U中的对象时，这种语义也需要自由逻辑，因为在这种对象的静态指示器中，这些对象的所有世界都是空的。 最后，如果任何世界都有空域，这个语义要求包容性逻辑。 因此，鉴于此语义，使得产生的逻辑未免除的唯一方法是要求域是固定的 - 即，所有世界都有相同的域D，那D是非空的，并且那么do = d。

只有这种要求的三项要求是由扫罗克莱克在模态逻辑上划船（1963）纸作为留下经典量化的两种策略之一。 （另一个，更多的Draconian，策略是允许不同的域名，但禁止个别常量并处理公开公式，好像它们普遍定量。）但是这种固定域语义验证了难以禁要的公式：

∀x◻∃y（y = x），

这尖叫着一切必然存在，并且同样令人难以置信的巴尔卡纳配方：

∀x◻a→◻∀xa

（以露丝巴栏命名，后来露丝巴尔卡纳马库斯，曾尽早讨论过它）。 要查看其局部性，请考虑此实例：“如果一切必然是大爆炸的产品，那么必然是一切都是大爆炸的产品。 确实，一切（在实际世界中）必然是大Bang-i.e的产物。，这个世界上的任何东西都没有它就会存在。 但它似乎并不有必要是一切都是大爆炸的产品，对于其他宇宙来说，在实际世界中不存在的事情有可能具有其他最终的起源。 由于固定域语义的限制性和宗旨，许多模态逻辑学家松开了Kripke的狭窄并采用自由逻辑。

我们还可以放弃单数术语是刚性指定器的假设，从而允许非脂肪指示符。 在这里考虑的语义上，这些是单一的术语T，使得对于一些世界W1和W2，I（T，W1）≠（T，W2）。 归因地理解的确定描述是最好的例子。 因此，“最古老的人”描述了在不同时期（世界）的不同人 - 在人们存在之前没有人（“世界”W，我（T，W）未定义）。

如果在某些世界空中空，则非重力指示符即使使用固定域需要自由逻辑。 （因此，只有在每个世界W，T在DW中的每个奇异术语T都需要在DW中表示某些对象时，才有可能才有可能。）在非rigID指示符的某些语义上，可以与上面给出的统计规则不同，因此必须与上面的某些语义相差，因此必须不同制作。 有关详细信息，请参阅Garson 1991，Cocchiarella 1991，Schweitzer 2001和Simons 2001。

直觉逻辑也有一个克莱波克语义，尽管“〜”，'→'和'∀'需要特殊的估值条款，以适应这些运营商对直觉主义者的特殊含义，并且通常不使用“◻”。 通常的一阶直觉逻辑，邻的谓词微积分（HPC）-Aso，称为直觉谓词微积分 - 具有定理∃x（x = t），因此不自由。 但直觉主义者只承认只有在某种意义上建造的物体存在的存在，而经典数学家则提供更广泛的物体。 因此，HPC的用户不能合法地命名古典数学家可以的所有对象。 更糟糕的是，他们不能合法地命名其构造性尚未确定的对象。 然而，一些HPC的Kripke样式语义确实允许使用这些对象的名称（语义上，“存在”存在于实际世界的世界，但不是在实际的世界本身上的世界“存在”。 一些这样的语义，虽然用于HPC，但出乎意料地出现，不适合HPC。 由POSY（1982）主张的明显修复，是采用自由直觉逻辑。 有关此问题的更多信息，请参阅Nolt 2007。

5.4小说逻辑

因为小说使用不参考字面上现有的物品的名称，有时会在分析中使用自由逻辑。 然而，只要我们从事故事的借口，就没有特别需要它。 例如，这是真的，在Tolkien的戒指之王讨厌太阳的戒指中，我们可以合法地推断出在故事中存在一些讨厌太阳的东西。 因此，随着我们认为只发生的事情以及故事中存在的存在，量化器可能是众所周知的 （但是，虚构的一般逻辑通常被视为非化的，有两个原因：（1）故事可能不一致，因此需要滞后逻辑，并且（2）故事描述的对象通常（可能总是）不完整;就是，故事不确定每个这样的对象o和每个属性p无论是否具有p.）

然而，当我们在故事中区分故事中的真实情况时，图片发生变化。 为此目的的小说逻辑经常部署一个可以在故事中读取的句子运算符 在这里，我们将在故事X中使用“SX”表示“，其中”X“将被特定故事的名称替换。 在这个运营商范围内的任何内容都被认为是在名称的故事中的真实; 在其范围之外的范围是明确的。 （对于故事中的意思是真实的理论摘要，见Woods 2006.）

通过这个运营商的陈述'在故事中，戒指的主，牙龈讨厌太阳'可能正式化如下：

Sthelordoftherings（Gollum讨厌太阳）。

在戒指之王的声明有些东西讨厌太阳是：

sthelordoftherings∃x（x讨厌太阳）。

第二个声明从第一个遵循，即使Gollum没有实际上存在。 但它并没有遵循，在戒指的主中存在这样的东西，讨厌太阳：

∃xsthelordoftherings（x讨厌太阳）。

事实上，该陈述不是真的，对于字面而言，Gollum不存在。 然而，由于太阳在字面上和故事中存在，声明：

∃xsthelordoftherings（Gollum讨厌x）

是真实的，并通过（GHS）的自由存在概括以及真正的前提'e！（太阳）'。 因此，自由逻辑可以在推理中发挥作用，使虚构和文字话语混合。

虚构实体的条款也发生在完全文字的陈述中，没有提到故事中的真实“ 例如，考虑声明：

Gollum比哥特尔更闻名。

Mark Sainsbury（2005年，CH。6）持有参考失败，总是使这些陈述是假的，因此它们是最优质的免费逻辑。 然而，其他人 - 包括奥兰多2008年和Dumitru和Kroon 2008-问题Sainsbury的待遇，维持陈述（g）是原子和真实的。 如果是，他们需要一个积极的自由逻辑。 逻辑必须是免费的，因为它处理空奇异术语，它必须是积极的，因为只有在阳性语义上只有空翁的原子陈述是真实的。 然而，必须仍然决定名称'Gollum'是否应理解为没有指的或者具有不存在的指称。

如果“Gollum”没有参考，那么（g）可能会被单域正语义处理。 但是，该语义必须不标准地治疗原子公式; 它不能像往常一样规定（g）是真的，因为这对�Gollum，Gödelō是延伸的谓词的成员'比'更有名; 对于如果没有胶质，则没有这样的对。 在这样的语义上，比哥德尔更有名的牙龈'并不意味着一些东西比哥德尔更有名。

另一方面，如果是“gollum”的术语是指不存在的对象，那么这些对象可以居住双域正无自由逻辑的外部域。 例如，Dumitru（2015）将这种双域语义列出了使用免费描述的虚构话语，并将其与SOMORMALUTATIONATIONATION方法进行比较，这也使用免费描述。 在这样的双域语义中，原子公式具有它们的标准真理条件：（g）是真的，因为⟨gollumgollum，gödel⟩是延伸的成员'比'更有名。 此外，如果我们允许量词在那个外部域，那么“某些东西比哥德尔更有名字”（在外部领域的量子范围内）遵循'Gollum比哥德尔更有名的人，虽然'那里的人比哥德尔更有名字'（量词范围在内部域上）没有。 Meinongian小说逻辑采用了这一战略。

5.5 Meinongian逻辑

Alexius Meinong最闻名，他认为，尽管如此，一些不存在的物体也是如此。 他的名字与逻辑的各种发展有关。 一些免费的逻辑学家使用它来描述任何双域语义。 对于其他人来说，Meinongian逻辑更具详细信息：我们可以考虑可能或不可能，抽象或混凝土，文字或虚构，完整或不完整的丰富理论。 在本节中，该术语用于将逻辑描述比第一种类型更强，但可能弱于第二种：正面自由逻辑，具有额外的量化器，其在双域语义的外部域上方。

这种逻辑是否可以合法地被认为是免费的。 在较旧的概念上，免费逻辑禁止对不存在的东西进行任何量化（参见Pažniczek2001和Lambert在Morscher和Hieke 2001，PP。246-8）。 但是，由任何人的定义，迈诺尼亚逻辑在这里的意图至少包含自由逻辑，当内部域被解释为现有事物集。 此外，在严格的语义定义上，这也是Lehman 2002的，D的成员是否存在与逻辑是否自由的问题无关。 对于辩护此定义，请参阅NOLT 2006，PP。1054-1057。

从历史上看，对包含不存在的对象的域的量化已被广泛被视为无负责任。 Quine（1948）着名的认为存在是存在的量化符号表达的存在。 然而，没有任何力量迫使我们在表达存在的情况下解释每个领域的“存在性”量化 - 或任何排序。 语义上，变量x上的存在量词只是一个逻辑运算符，它在x上拍摄公式; 如果仅在量程域中的至少一个对象满足开放公式，则该值是t的。 域中的对象具有或缺乏任何特定的本体地位是正式语义的哲学解释。 Alex Orenstein（1990）辩称，“存在”是一个错误的人，我们应该一般地称之为这样的量词“特别是” 在本节的其余部分中遵循该建议。

量化器范围在双域语义的外部结构域上称为外量词，以及在内部域内量子的那些范围内。 如果内部特定量词被解释为表示“存在”，并且外部域的成员是可能的，则外部特定量化器可能意味着“可能是至少一个可能的东西”或“可能的东西”或“可能的东西” 对于其特定双重的，我们将使用外部通用量化的广义产品符号'π'和广义和符号'σ'。 这种表示法使我们能够正式化，例如，臭名昭着的令人费解但显然是真正的陈述“有些事情不存在”（Retley 1966）为：

σx~e！x。

由于在双域语义中所有单数术语表示外部结构域的成员，因此外量词的逻辑不自由但经典。 用'e！'是原始的，可以根据古典外部的，定义自由内部量子，如下所示：

∀xa=dfπx（e！x→一个）

∃xa=dfσx（e！x和一个）。

然而，外量词不能在内部的方面定义。

具有内部和外部量子的逻辑具有各种应用。 例如，它们使我们能够正规化实质性充分条件，以便充分表达第4.3节的论点，如下：

首选的TI，πx（tx→e！x）⊢e！我。

此表格有效。 N个免费变量X1，...，XN（见4.2）的开放式A和B的共同综合性，同样可以形式化为：

πx1...πxn（a↔b）。

Richard Grandy（1972）明确描述理论认为，如果A和B共同综合，因此才有唯一，在Meinongian逻辑中才能才有真实的说明。 具有外部量词的自由逻辑也被用于梅田的逻辑，在富裕的感觉中提供了由Meinong的工作（Retley 1966和1980年，1980年普通的Retley 1966和1980年）的物体（包括在某些情况下的虚构物体）的感觉中，Jacquette 1996，Pažniczek2001，牧师2005年和2008年，第295-7页）。