自由逻辑
4.2替代争议失败
经典的谓词逻辑具有所需的特征，即共同广泛的开放式可以在任何公式Salva Vertitate-i.e中彼此替换。，在不改变该公式的真实值。 （N个免费变量x1，...，...，xn的开放式A和B.只有当∀x1...∀xn（a↔b）是真实的。）但是，随着Lambert于1974年所述，这一原则几乎所有自由都失败了具有身份的逻辑。 例如，考虑公式T = T，其中T为空，这是开放式x = x的实例。 现在x = x与两个（x = x＆e！x）和（e！x→x = x）共同延伸，因为所有三种公式都满足D的所有成员，因此如果可以交换共同广泛的开放式公式，则（t = t＆e！t）和（e！t→t = t）将具有与t = t相同的真相值。 但在几乎所有自由逻辑上都不是这种情况。 积极的自由逻辑和超级措施使t = t true和（t = t e！t）false; 无与伦比的逻辑使T = T假和（e！t→t = t）true; 任何普通的中立自由逻辑，其条件是真的，只要他们的前书本都是假，就会使t = t真实无价值，并且（e！t→t = t）true。 许多人发现这种令人不安的是因为弗雷格以来，它已被广泛认为（1）复杂语言表达式的扩展应该是其组件扩展的功能（以便在不影响整体延伸的情况下，共同广泛的组件应该更换）和（2）扩展公式（或陈述）是真理值。
一个可能的响应是拒绝（2）。 LEEB（2006）为PFL一种双域语义开发的，其中公式的扩展是抽象的事态。 在这个语义中，共同参考的公开句是可更换的不可交换，但（因为他把它放了）alve Extensione; 也就是说，交换不会改变其发生的陈述指定的事态。 但是LeeB的状态语义是如此复杂，可能会劝阻申请。
希望保留（2）的人可以通过以下观察来安慰：虽然替代品抛售了共同广泛的公开公式，但几乎所有自由逻辑都会失败，虽然几乎所有自由逻辑，一个相关但较弱的原则，替代品抛售共同综合开放公式，适用于积极的自由逻辑。 在N个自由变量X1中的开放式A和B，...，XN是共同的，如果外部域在外部域的每次分配到X1，...，XN，则满足IF且仅当它满足B.例如前段所提到的开放式中，例如，x = x和（e！x→x = x）在双域正面自由逻辑中共同综合，由所有的所有成员满足，但（x = x＆e！x）与它们不共同综合，因为它仅由D的成员满足。然而，扩张率，PFL语言不可能表达共同综合性。 但是，在外部领域的策略中引入了量化器，它变得表达 - 在第5.5节中考虑的策略。
4.3存在条件的不可行性
“无论存在什么想法，''任何必要的存在'，'立即存在的必要存在'：这种存在条件的这种陈述在形而上学辩论中突出。 但是，有些令人惊讶的是，他们在自由逻辑中不可表示。 他们的表观形式是∀x（a→e！x）。 但由于通用量化率刚刚过D，这也是e！，这种形式在自由逻辑中有效 - 因为它在典型逻辑中，具有e！x表示为∃yy= x。 没有这种形式的陈述 - 甚至不是“所有不可能的事情存在 - 可能是错误的。 因此，在自由逻辑上，所有此类陈述都同样没有内容。 参数评估结果遭受。 例如，考虑显然有效推论：
我想。
无论存在什么想法。
∴。我存在。
它在自由逻辑中的自然形式化是Ti，∀x（tx→e！x）⊢e！i。 但此表单无效。 为了获得结论，我们必须首先推断TI→e！我根据第二个前提，然后使用Modus Ponens。 但由于逻辑是免费的，规格要求问询求前部位e！我。
涉及“存在的套期”的不满意的征服 - 需要对物体存在的申请 - 最近讨论了对中立自由逻辑的讨论。 丹尼尔yeakel（2016年，第379页）认为，“关于任何中立的自由逻辑，任何一些存在的对冲将需要一些不期望的存在索赔，或者他们不会需要一些所需的存在索赔。” 但前一段的例子也适用于负面和积极的自由逻辑。 单独的自由逻辑中不在自由逻辑中找到补救措施，但再次在双域语义的外部领域上的定量可能有所帮助（参见第5.5节）。
5.一些应用程序
本节考虑了在明确描述的理论中的应用程序，允许部分或非严格函数的语言，带有Kripke语义的逻辑，虚构的小说逻辑和逻辑“Meinongian” 自由逻辑也在其他地方发现应用 - 最突出的预测，编程语言，集合理论，预设逻辑（带中立语义）和VIREDINGS逻辑的理论。 有关这些和其他应用，请参阅Lambert 1991和2001B; Lehman 2002，PP。250-253; 和螺旋2006，pp。1039-1053。
5.1明确的描述
自由逻辑发展的驱动力之一已经研究了奇异术语的存在假设，更具体地说明了。 明确描述的理论仍然是自由逻辑的概念框架内的戏剧和证明的地面。 为了更哲学的方法，以确定的描述，请参阅描述中的条目]。
罗素方式
20世纪上半叶最有影响力的明确描述理论是由贝尔特兰罗素在他的“表示”的“上”，并将其后（用更多技术仪器）进入Principia Mathematica（Whitehead和Russell 1910）。 罗素思想明确描述作为上下文中只有含义的不完整符号，没有孤立; 更多关于下面的。 这也剥夺了单数术语状况的明确描述。
无论是这种情况，还有几个相当基本的思想和课程，可以承载：明确的描述是形式：A，或X，使得a [x]; 其中'x'是描述运算符，并且'a [x]'是描述的基础。 在唯一满足的情况下，在描述的基础之下，确定的描述是（唯一的）。 这种明确的描述也被称为适当。 也就是说，“当前教皇”是唯一满足的，因为域中的一个对象恰好是满足“作为教皇”的一个对象，即确定的描述的基础。 注意，短语“绝对描述的基础是唯一满足”的意味着恰好存在满足它的一个对象，或者更加精确地精确：至少有一个满足描述基础的对象，并且最多有一个物体。
为了将明确的描述纳入（某些）正式的语言一些使用倒置的IOTA或倒资本I，我们只是使用ı，其中ı是一个可变绑定的术语形成的操作员，使得ıxa是一个奇异的术语，如果是公式。 这不可否认于罗素的精神，但非常符合自由逻辑的精神，具有核心统一的科学目标。 在这种特殊情况下，这意味着在明确的描述中的大量理论可以方便地发展并在自由逻辑的框架内比较。 然而，罗素的精神是，明确的描述基本上发生在两个语境中：（1）A存在，和（2）A是F. Russell的指导原则，或者因为Russell所说，上下文定义，然后表示为：
e！ıxa[x]↔∃x（一个[x]∧∀y（一个[y]→x = y））
f（ıxa[x]）↔∃x（一个[x]∧∀y（一个[y]→x = y）∧f[x]）
按照罗素告诉我们关于具有独特满足的明确描述，以下公式是定理：
e！ıxa[x]→一个[ıxa[x]]
e！ıxa[x]→ıxa[x] =ıxa[x]
然而，如果涉及到消极的方面，罗素的方法变得不那么优雅，即，如果没有唯一满足的基础。 我们只是在这里提到两个。 首先，左侧的（r2）否定左侧的否定给出了等价的右侧的模糊，它可以是指：
¬（∃x（一个[x]∧∀y（一个[y]→x = y）∧f[x]））
要么
∃x（一个[x]∧∀y（一个[y]→x = y）∧¬f[x]）
为了消除罗素发明的范围运营商，区分两种不同的读数，其中他没有一贯成功; 找到了罗素理论的正式方面的更多工作。 （秤1969; Czermak 1974; Donald Kalish 1992; Lambert 1997; Gratzl 2015）。 第二个界定是，鉴于罗素否认确定的单数术语的状态，他需要一个关于句子的逻辑结构的哲学理论，这本身很有意思，而且也令人繁琐地导致罗素的方法的事实鉴于均匀性是目标，替代不是有利的。
希尔伯特和伯尼亚方法
在他们的Grundlagen der Mathematik，Vol中的希尔伯特＆伯尼将在古典逻辑中留在古典逻辑中，但留在古典逻辑中，但在完全不同的情况下发现了不同的描述。 在1934年。在他们的方法表达式中，ıXA被接受为单数术语，以防在正式系统中可提供，或者只是逻辑，即ıxa，即唯一满意的基础。 也就是说，两种公式都是可证明的：
∃xa[x]和∀x∀y（a [x]∧a[y]→x = y）
如果这些公式可提供，那么[ıxa[x]]是有关正式系统的可明确陈述。 现在，这种方法有时被批评。 与正式制度的可加工的公式和术语的形成规则混合，因为它不自然 - 甚至没有用于最初为其制定的数学。 前者可以提升批评的观点，看看。 （Lambert 1999）; 其他人对希尔伯特和伯尼留下的句法泥潭并不是那么深刻的印象，并开发出相当详细的结果，例如， （Schütte1971）。
在正面，有两点：（1）它不证明（***）（见下文），证明t =ıx（x = t）。 最后的公式也被称为Frege的法律，（FL），哪种弗雷格在他的丛林中引入; 也就是说，在不同的背景下，但（FL）是我们现在在古典一阶逻辑中所拥有的。 显然，单独的古典逻辑甚至自由逻辑和（佛罗里达州（FL）不会导致明确的描述的有趣账户。
免费描述理论
占据股票，在古典逻辑中有选择在明确的描述中开发相当不同的理论，所有这些都有自己的优点和缺点。 概述的三个理论有背景理论，或自身的哲学态度，因此，随着参数的进步，在一个共同框架内并不直接比较。 幸运的是，这里免费逻辑提供了一种方式。
Lambert的法律是最小的原则（至少现在）所有描述基于自由逻辑的理论似乎同意：
∀x（x =ıya[y]↔∀y（一个[y]↔x= y））
以下Lambert（1997），确定哪种效果（LL）是否与古典逻辑组合起来也是有意义的; 假设古典逻辑被替换为所有单数术语。 从（LL）和Axiom 3（或又称也是已知的：普遍实例化）和Tautologies，它遵循（这密切关注Lambert 1997）：
t =ıxa→一个[t / x]
以下是定理：
ıx（p（x）∧¬p（x））=ıx（p（x）∧¬p（x）
但现在矛盾从（*），（**）和Modus Ponens：
p（ıx（p（x）∧¬p（x）））∧¬p（ıx（p（x）∧¬p（x）））
现在，对自由逻辑有用性的进一步归纳支持是自由逻辑管理员制定了采用自由逻辑版本的道德，在这种情况下可以避免矛盾; 足以说面对逆瘤和它适当的误差分析，通常一些路线是开放的调查，改变通用实例化的一个至少是一种可行和系统的选择。
我们已经介绍了HITIKKA的法律（HL），即，即
e！t↔∃x（x = t）
更早。 因此，可以获得向PFL，RUSELL的（R1），（R2），（T1）和（T2）添加（HL）。
但是，NFL更多地用Russell的账户调整（因为实际上描述了，实际上是真正的单数术语），对于此目的，NFL伴随着（LL）和NFL的AXIOM 8的一个版本，包括明确的描述，即，即。：
ιxa[x] =ιxa[x]→e！ιxa[x]
NFL享有不存在的诱导性的定理，这具有以下实例（假设在替代时关闭了丰富的NFL）：
¬e！ıxa∧¬e！ıxb→（b [ıxa]→b [ıxb]）
免费描述倾向于自由逻辑的正面的理论，例如（LL）和
∀x（一个[x]↔b[x]）→ıxa[x] =ıxb[x]
在（Morscher和Simons 2001b）中，这一原则的真相被称为不言而喻。 谓词“具有肾脏”和“心脏”是共同的扩展，这是一个经验的真理，并且根据（CoGred），然后暗示具有肺=具有心脏的X的X可能被挑战。 而虽然仍然具有积极的直觉，谓词“是拉布拉多与食物充实”和“火星”是共同的，既是空的，那么然后部分：x是一个充分的食物= X是火星似的的X似乎是更多符合PFL。 对于希尔伯特和伯尼昂（CoAxd）是一个定理值得注意的是，鉴于A和B和B.
与（COAGE）和仍然维持PFL相关的原则是：
¬e！s∧¬e！t→s = t
两者（cogeg）和（negexid）都是所选择的对象想法的反映，它分配空奇异术语和任意对象。 在这个假设下，一个人回到了经典的存在假设，所以如此古典的逻辑。 所选对象理论是由于Frege，所使用的配方是由于Carnap（Carnap 1964）：
∀x（x =ıya[y]↔
（∃z（∀y（一个[y]↔y= z）∧z= x）
∨¬∃z（∀y（一个[y]↔y= z）∧z= *））
在（Donald Kalish 1992）中发现了关于所选对象理论的技术调查，最近和更依赖于理论上的动机（Indrzejczak 2019）。 经过一段时间的平局，在对明确描述的逻辑研究不是那么明显的情况下，将研究明确描述最近再次拾取了。 （Kürbis2021,2022）。
5.2具有部分或非严格功能的逻辑
一些逻辑采用原始的n个地方函数符号 - 与n个单数术语相结合，形成复杂的奇异项。 因此，例如，加号'+'是一个两个地方的函数符号，当放置在介于，例如'2'和'3'之间，形成一个复杂的奇异项，“2 + 3”表示第五。 类似地，'2'是一个地方函数符号，当放置在表示数字的术语之后，形成一个表示数字的正方形的复杂奇异项。 在语义上，函数符号的扩展是函数，其参数是量化域D的成员，并且所得到的复杂项表示在列出的顺序中应用该函数的函数的结果。 由于经典逻辑需要每个奇异术语（包括功能符号组成的逻辑）来指代D中的对象，对于每个这样的功能符号f，它需要：
∀x1...∀xn∃y（y = f（的x1，...，xn））。
因此，古典逻辑禁止原始函数符号，其扩展是部分函数 - 其值用于未定义的某些参数。 例如，例如，二进制分割符号'/'，因为当放置在两个数字之间，其第二个数字为'0'时，它形成空奇异项。 类似地，当应用于非覆盖序列的名称时，极限函数符号“LIM”产生空奇异项。 经典逻辑可以通过详细的上下文定义来适应部分函数的功能符号。 但随后（与Russellian明确描述一样）这些函数符号通常写入的形式不是它们的逻辑形式。 自由逻辑提供更优雅的解决方案。 因为它允许空奇异术语，所以可以简单地将偏离函数的符号作为原始。
在涉及部分函数的自由逻辑的应用中，存在谓词“e！”通常由Postfix reviftisms谓词'↓'替换。 对于任何奇异术语T，如果才有D，则T∈是真的，只有在D中具有一些明确的值。因此，例如，公式'（1/0）↓'是假的。 虽然一些作家（例如，Feferman（1995））区分“↓”从'e！'，整个文献没有，而且'↓'通常只是'e！'的句法变种。
除了部分函数之外，积极的自由逻辑还可以容易地处理非严格功能。 非严格函数是即使没有定义其所有参数，也可以产生值的函数。 例如，二进制函数f例如f（x，y）= x即使Y术为空，也可以产生值。 因此，例如，公式f（1,1 / 0）= 1可以被视为真实。 非严格函数的逻辑必须是正的，因为在负或中性逻辑空值的原子公式中，例如f（1,1 / 0）= 1，不能为真。 涉及非严格功能的自由逻辑在某些编程语言中找到应用程序（Gumb 2001，Gumb和Lambert 1991）。 这种逻辑可以采用双域语义，其中诸如“1/0”之类的空功能表达式的引用被视为错误对象 - 对象，该对象对应于程序到错误消息的程序。 因此，例如，计算F（1,1 / 0）的指令可能返回值1，但是计算F（1 / 0,1）的指令将返回错误消息。
5.3带克莱波克语义的逻辑
用于量化模态逻辑，时态逻辑，语逻辑，直觉逻辑等的Kripke语义通常是免费的。 这是因为他们对某些对象指定了真相，我们将打电话给“世界”，通常是我们在这些世界中不存在的一些东西。 例如，世界可以以各种方式构思：例如，它们可以被理解为可能的宇宙在含有致命的模态逻辑，时刻或时刻，在语法逻辑中的允许条件，或者在直觉逻辑中认识到可能的知识状态。 与每个世界W关联W是域DW，对象（直观地，在W）中存在的一组对象）。 在（或“在”）中可能存在一个以上的对象，但是不需要全部。 因此，例如，适用于时态逻辑的Kripke语义代表了贝尔特兰·罗素一次存在的事实，但是Russell是某些“世界”的域名的成员不再存在，时间（特别是最后两个部分）几个世纪） - 但不是其他人（例如，现在或所有未来时期）。 这里进行了两个自然假设：在一个以上的世界中可能存在相同的对象（这是Transworld身份的假设），并且一些单一的术语 - 适当的名称，特别是在给定世界中的一个对象，而是在每个世界上对象。 这些术语称为刚性指定器。 任何将刚性指定器结合的逻辑，在其引用不存在的世界领域，必须是免费的。
Kripke语义提供了不同世界的谓词不同的扩展。 因此，例如，谓词“是哲学家”的延伸在文明黎明之后的所有世界（次）中都是空的。 对于刚性指定术语，这提出了如何在世界上评估其引用不存在的世界的原子公式的问题。 是谓词'是一个哲学家的满意，例如，由罗素在世界上（时间），他不存在 - 现在的时间是次数？ 给予此类问题的一般答案决定了克莱波克语义是否是积极的，负面或中性的。
