自由逻辑
在本节中，我们将为具有和没有身份的二价正和负离逻辑的阶段呈现的顺序计算。 基础是经典命题微积分G3CP：
初始搜索：P，γίδ，p，其中p是素数
命题规则：
γ⇒δ，一个
¬a，γ⇒δ
l¬
一个，γ⇒δ
γ⇒δ，¬a
r¬
一个，b，γ⇒δ
a∧b，γ⇒δ
l∧
γ⇒δ，aγ⇒δ，b
γ⇒δ，a∧b
r∧
一个，γ⇒δb，γ⇒δ
a∨b，γ⇒δ
l∨
γ⇒δ，一个，b
γ⇒δ，a∨b
r∨
γ⇒δ，ab，γ⇒δ
一个→b，γ⇒δ
l→
一个，γ⇒δ，b
γ⇒δ，一个→b
r→
图G3CP
为了获得一定的量化计算G3C，可以添加量化器的规则：
量化规则：
一个[t / x]，∀xa，γ⇒δ
∀xa，γ⇒δ
l∀
γ⇒δ，一个[t / x]
γ⇒δ，∀xa
r∀*
一个[t / x]，γ⇒δ
∃xa，γ⇒δ
l∃*
γ⇒δ，∃xa，一个[t / x]
γ⇒δ，∃xa
r∃
在标有*的规则中，T是新鲜的（未在规则的结论中发生）。
图古典量程规则
要添加身份，我们延长了两个规则，用于身份的反射性（REF）和替换原则（REPL）：
身份规则：
t = t，γ⇒δ
γ⇒δ
=参考
s = t，p [s]，p [t]，γ⇒δ
s = t，p [t]，γ⇒δ
= repl
图标识规则
替换规则仅为Primes定义，但它足以证明所有替换实例，因此在此处没有丢失一般性。 同时，所呈现的规则具有几何形式，这意味着其在本形式中的添加将是模块化的，不会扰乱基座的性质。 所有这些规则都构成了最常见的是G3C。
3.3积极的自由逻辑
要获得正则基准G3PF的正则自由逻辑，我们通过自由量化规则替换古典量程规则，这限制了e！：
量化规则：
一个[t / x]，e！t，∀xa，γ⇒δ
e！t，∀xa，γ⇒δ
l∀
e！t，γ⇒δ，一个[t / x]
γ⇒δ，∀xa
r∀*
e！t，一个[t / x]，γ⇒δ
∃xa，γ⇒δ
l∃*
e！t，γ⇒δ，∃xa，一个[t / x]
e！t，γ⇒δ，∃xa
r∃
在标有*的规则中，T是新鲜的（未在规则的结论中发生）。
图免费量化规则
此替换将足以证明两个结构，其表征自由逻辑，限制泛化（RG）和限制规范（RS）：
∀xe！x
∀xa→（e！t→一个[t / x]）
这些原理中的第一个对应于规则r∀，第二个原则和规则l∀。 RG指出（免费）量词适用于它们仅适用于e的全部和卢比。 相比之下，不受限制规范的原理持有古典文书，但不是免费逻辑：
∀xa→一个[t / x]
一个人可以很容易地看到，由于在规则的结论中存在额外条件e！t的存在，这将无法使用自由规则。
这些关于数量规则的运作的观察将持有正面自由逻辑和负免费逻辑，但后者需要通过进一步修改我们在下一节中的进一步修改来区分。
3.4负免费逻辑
为了获得负离逻辑的搜索结论G3NF，我们将G3CP的命题基础与自由量级规则扩展，就像在正案中一样（因此上一节仍然保持的观察），但是我们添加以下关系规则而不是标准的身份规则：
关系规则：
e！t，p [t]，γ⇒δ
p [t]，γ⇒δ
e！
t = t，p [t]，γ⇒δ
p [t]，γ⇒δ
=参考
s = t，p [s]，p [t]，γ⇒δ
s = t，p [t]，γ⇒δ
= repl
请注意，身份的反射性规则被削弱，现在仅适用于原子内发生的术语。 e的规则！ 类似地受到限制，我们得到了那个e！t iff t = t。 因此，而不是身份的古典反身，我们得到了限制版本（请记住限制空闲量化）：
∀x（x = x）
所有原子公式（甚至自我身份）都仅限于e！ 因此，以下原则，真相意味着e！ （领带），是非自由逻辑的特征：
p [t]→e！t
请注意，当P [T]为T = T时，这不会持有正自由逻辑。
由于所有关系规则再次遵循几何规则模式，模块化再次有效，因此它们的添加不会改变基础系统的结构性。
积极的自由逻辑是最广泛使用的自由逻辑，至少部分原因是它代表了熟悉的量化一阶逻辑的最小干预。 与此相比，负离逻辑在弱化另一个规则时增加了规则，这意味着两者都不是另一部分。 结果，如果观察各自规则的形式，则不太令人惊讶地，E！T相当于自我识别，T = T，使其在不存在的语言中也表达了直接表达。
3.5中性自由逻辑
在此，由于Pavlović和GratzL（2023），在此处的中性自由逻辑系统的证明定理呈现从（Fjellstad 2020）的弱Kleene逻辑开始。 系统有一个五面的微积分，第五面引入的是，算用于公式的清脆性（当它们是真或假的公式是清脆的），特别是为了处理通用量化的虚假条件（它需要薄弱的Kleene逻辑时所有的例子都是清脆的）。
然而，在中性自由逻辑中，量化仅限于谓词e！，这本身始终令人脆（随后，P（t1 ... tn）是酥脆的iff e！ti为1≤i≤n）。 结果，如果对于一些Ti，使得e！ti的实例化公式a [ti / x]不是酥脆，那么对于任何这样的ti它不是清脆。 因此，它遵循[Ti / x]是假的，因为每个Ti S.T都是清脆的。 e！Ti，因此不需要额外的脆性条件。
系统的基本构建块是形式的（双级）搜索
Γ| γ'νδ| δ'
其中γ，γ'，δ和δ'再次是多重的，这是弱和强Kleene的广义命题序列结石（Indrzejczak 2021b）的通用变化（Indrzejczak 2021b）（参见Bochman 1998; DegauQuier 2016），扩展到量化。
垂直条“|”是一种结构逗号（即，先天的结构结合和成功者之间的结构分离）。
以含义格式，此搜索的读数是“如果γ中的一切都是真实的，并且γ'中的一切都是非假的，那么δ中的某些东西是非假的，或者在δ'中的某些东西是真的”，而在读取它状态的负耦合中，那么所有的东西Γ是真的，δ中的一切都是假的，γ'中的一切都是非假的，δ'中的一切都是非真实的。
量化规则：
e！t，∀xa，[t / x]，γ| γ'νδ| δ'
e！t，∀xa，γ| γ'νδ| δ'
l∀
e！t，γ| γ'νa[t / x]，δ| δ'
Γ| γ'⇒∀xa，δ| δ'
r∀*
e！t，γ| ∀xa，[t / x]，γ'νδ| δ'
e！t，γ| ∀xa，γ'ίδ| δ'
欧莱雅∀
e！t，γ| γ'νδ| δ'，一个[t / x]
Γ| γ'νδ| δ'，∀xa
r'∀*
e！ 规则：
E！T，P [T]，γ| γ'νδ| δ'
p [t]，γ| γ'νδ| δ'
了！
e！t，γ| γ'⇒p[t]，δ| δ'
Γ| γ'⇒p[t]，δ| δ'
重新！
{e！ti}1≤i≤n，p（t1 ... tn），γ| γ'νδ| δ'
{e！ti}1≤i≤n，γ| γ'，p（t1 ... tn）⇒δ| δ'
欧莱雅e！
{e！ti}1≤i≤n，γ| γ'⇒p（t1 ... tn），δ| δ'
{e！ti}1≤i≤n，γ| γ'νδ| δ'，p（t1的... tn）
r'e！
e！t，γ| γ'νδ| δ'
Γ| γ'，e！t⇒δ| δ'
ltre！
Γ| γ'⇒e！t，δ| δ'
Γ| γ'νδ| δ'，e！t
rtre！
p是原子的; p [t]是含有t的e！t以外的原子; p（t1 ... tn）是除e！t以外的原子，精确地包含t1 ... tn和以该顺序; T.标有*的规则是新鲜的。
数字中立的自由规则
规则le！ 和雷！ 告诉我们，并行于规则e！ 非自由逻辑，在真正的原子中，所有术语都是e！，但也是所有假原子同样包含e的术语！ 因此，所有清晰的原子仅包含表示术语。 相反，规则L'E！ 和r'e！ 告诉我们，仅包含表示术语的原子是清晰的（分别为真或假）。 最后，转移规则Ltre！ 和rtre！ 告诉我们e！ 原子本身始终脆。
接下来，我们继续识别命题基础以将这些规则附加到。 在文献（牧师2008）中发现的两个明显的候选人（Bochvar和Bergmann 1981）和强大的Kleene（Kleene 1938）逻辑，其中前者往往更为普遍。
薄弱的Kleene基础
在讨论中立自由逻辑的方法时，Lehmann（1980,1994,2002）认为如下：
中性自由语义的潜在语义基础是Frege的参考功能视图：谓词和'='名称从个人到真实值的函数。 如果函数是操作，则弗雷格似乎已经思考，那么管理主题谓词和身份构造的语义规则是[这样的话]如果没有输入到操作的情况下，也没有输出。 真相 - 功能连接名称真实函数，所以相同的思想线为它们决定了弱表。 （Lehmann 2002,234）
在此推理之后，我们观察到的第一个搜索微积分G3WNF将通过添加到自由量化和关系规则弱的Kleene基础来获得。 为了使事情更易于管理，在这里我们将自己限制在其中的否定和暗示片段中：
初始顺序（是）：
p，γ| γ'νδ| δ'，p
Γ| γ'，p⇒p，δ| δ'
p，γ| γ'⇒p，δ| δ'
命题规则：
Γ| γ'νa，δ| δ'
¬a，γ| γ'νδ| δ'
l¬
A，γ| γ'νδ| δ'
Γ| γ'ίa，δ| δ'
r¬
Γ| γ'νδ| δ'，一个
Γ| γ'，¬a⇒δ| δ'
欧莱雅¬
Γ| γ'，a⇒δ| δ'
Γ| γ'νδ| δ'，¬a
r'¬
A，B，γ| γ'νδ| Δ'γ| γ'⇒a，b，δ| δ'b，γ| γ'νa，δ| δ'
A→B，γ| γ'νδ| δ'
l→
A，γ| γ'əb，δ| δ'
Γ| γ'νa→B，δ| δ'
r→
Γ| γ'νδ| Δ'，Aγ| B，γ'νδ| δ'
Γ| A→B，γ'∞δ| δ'
l'→
Γ| γ'，a⇒b，δ| Δ'γ| γ'，a⇒δ| Δ'，Aγ| γ'，b⇒δ| δ'，b
Γ| γ'νδ| δ'，一个→b
r“→
图g3wnf
请注意，添加第四个潜在初始搜索，
Γ| γ'，p（t1 ... tn）⇒δ| δ'，p（t1的... tn）
将系统崩溃到一个二价，因为它会说明原子既不真实也不是假的情况（或者，如果原子是非假的，则在伸展读数上是真实的，有效地阻挡第三值。 但是，这种可能性的受限制版本，
{e！ti}1≤i≤n，γ| γ'，p（t1 ... tn）⇒δ| δ'，p（t1的... tn）
可导出在本系统中。 限制版告诉我们，如果其中的所有条款表示，原子既不是真实也不是错误的。 相同的推理器同样适用于下一个系统。
强大的克莱恩基地
另一方面，通过选择作为突出基底强的Kleene逻辑K3来获得G3SNF。 请注意，呈现的系统实际上仅在两种规则中不同，G3SNF目前包含一个没有三个前提规则：
初始顺序（是）：
p，γ| γ'νδ| δ'，p
Γ| γ'，p⇒p，δ| δ'
p，γ| γ'⇒p，δ| δ'
命题规则：
Γ| γ'νa，δ| δ'
¬a，γ| γ'νδ| δ'
l¬
A，γ| γ'νδ| δ'
Γ| γ'ίa，δ| δ'
r¬
Γ| γ'νδ| δ'，一个
Γ| γ'，¬a⇒δ| δ'
欧莱雅¬
Γ| γ'，a⇒δ| δ'
Γ| γ'νδ| δ'，¬a
r'¬
Γ| γ'νa，δ| δ'b，γ| γ'νδ| δ'
A→B，γ| γ'νδ| δ'
l→
A，γ| γ'əb，δ| δ'
Γ| γ'νa→B，δ| δ'
r→
Γ| γ'νδ| Δ'，Aγ| B，γ'νδ| δ'
Γ| A→B，γ'∞δ| δ'
l'→
Γ| γ'，a⇒δ| δ'，b
Γ| γ'νδ| δ'，一个→b
r“→
4.通用异常
虽然上述问题特定于特定形式的自由逻辑，但有异常感染所有或几乎所有形式的异常。 本节认为三：（1）与原始谓词应用于空术语的群体，（2）替代品萨尔瓦的失败，共参照表达式，以及（3）自由逻辑无法表达出现充分条件的情况。
4.1原始谓词的问题
在古典逻辑和正的自由逻辑中，任何有效公式（或推理形式）的替换实例本身都是有效的公式（或推理的形式）。 但在负面或中立的自由逻辑中，这不是这种情况。 替换实例是通过在n个变量中的开放式公式中的相同语义类型n地点谓词替换原始非逻辑符号的结果，以及单个常量的单个常数 - 每次发生相同的原始符号被替换相同可能复杂的符号。 通过具有自由变量X1，...，Xn的开放式A在一些公式B中替换原始N-Place谓词P的发生发生如下：如果T1，...，TN是在该发生的情况下紧接在P中的单个常数或变量，用（ti / xi）替换b中的pt1 ... tn - 对于每个I，1≤i≤n，通过Ti替换Xi的结果。
例如，让P成为原始的一个地方谓词。 然后，如果语义为负，Pt→e！t有效。 但现在考虑替换实例〜patt→e！t，其中开放式~px代替p。当t为空时，此替换实例是假的。 因此，有效公式可能具有无效的替换实例。 对于普通中性语义相同的持有情况，每当其后果都是真实的。
此外，在否定语义中，空断陈述的真实值取决于我们选择原始谓词的任意。 例如，考虑一个否定的免费逻辑解释在一个人的域上，它是原始的一个地方谓词'a'，意思是“是一个成年人”，并通过这个模式定义“是一个次要的”：
mt = df~at。
对于任何非表示名称t，在这个理论中是假的; 因此MT是真的。 如果我们认为'是一个次要'，反而，AT和MT的真实值是颠倒的。 但为什么真相值依赖于这种方式的原始力量？
阳性语义避免了这些异常。 但是，如果二价，在申请中，他们迫使我们以其他方式为空名单的公式分配真理值，通常没有充分的理由。 例如，考虑这三种公式，所有这些都包含空奇异术语'1/0'（其中'/'是划分标志）：
1/0 = 1/0
1/0＞1/0
1/0≤1/ 0
假设一致的阳性语义，我们应该做到哪些是真的，哪些假？ 由于语义为正，“1/0 = 1/0”自动为真。 可以进一步争辩说，由于'≤'表示与'='弱并且自'1/0 = 1/0'是真的，'1 /0≤1/ 0'也应该是真的。 但这只是模仿空项，这是一种用于表示术语的推理模式。 这么模仿的程度如何证明？ 假设我们确实决定使'1 /0≤1/ 0'真实; 因此，我们应该制作'1/0＞1/0'false？ 回答此类问题没有非任意标准。 当然，在很大程度上，答案无关紧要。 这里没有事实; 任何一致的约定会做。 但这只是问题。 需要一些公约，并建立一个人可能会很多。
