自由逻辑

假设P（a）→∃xp（x）逻辑上（超级-）true，即所有ss1结构，σss1（p（a）→∃xp（x））=⊤，只是在vs2（p（a））→∃xp（x））=⊤对于σss1的所有σs2。 有一个估值Vs1，使得VS1未定义P（a），因此Vs1（e！a）= vs1（p（a））=⊥，所需的结果遵循。

∀xe！x逻辑上（超级）真实。

对于所有SS1的所有SS2结构，VS2（∀xe！x）=⊤，因为 但是，对于定义第8条第7节：VS2（∀xe！x）=⊤。

关于上述示例的一些言论是有序的。

（1）项目2和3表明，强大的完整性不适用于逻辑超要性，并且紧凑性失败。

（2）如前面的示例强调，超强语义中使用的逻辑后果关系是全球性的，而不是更常见的本地。 当地后果指出γ刚刚在每个模型中都需要一个使得所有γ为true的模型，同样使得Quotier占用范围。 相比之下，全球后果强调，如果每个模型都使得所有γ是真的，那么每个模型都是真正的 - 暗示替代范围广泛。

2.3负语义

现在让我们转向负面结构，定义如下：

定义11（负结构Sn）。 负结构Sn是一对⟨d，φέ，其中满足以下条件：

D是可能空的集。

φ是部分功能，使：

•如果自由个体变量T位于φ的域中，则对于一些d∈d，φ（t）= d。

•φ（e！）= di。

•对于每个n-ary谓词pn：φ（pn）⊆dn。

D中的每个对象都有正式语言的名称，即如果d∈d，那么d∙（d的标准名称）是语言。

定义12（负值Vn）。 结构SN上的真实值分配VN定义为

vn（e！t）= {

⊤如果t处于φ的域中

⊥，否则

vn（pn（t1的，...，tn））= {

⊤如果Ti（1≤i≤n）∈dφ和

和⟨φ（t1），...，φ（tn）⟩∈φ（pn）

⊥，否则

vn（s = t）= {

⊤如果s，t∈dφ和φ（s）=φ（t）

⊥，否则

vn（¬a）= {

⊤如果VN（a）=⊥

⊥如果VN（a）=⊤

vn（一个→b）= {

⊥如果VN（a）=⊤和vn（b）=⊥

⊤，否则

vn（∀xa）= {

⊤如果为每个d∈di，vn（a [d∙/ x]）=⊤

⊥如果有一些d∈di，则VN（a [d∙/ x]）=⊥

VN（a）=⊤iff vn（a）≠⊥

例3。

∃x（x = a）没有逻辑为真。

让Sn是具有d =∞的负结构，因此在φ的域中没有单个变量，因此VN（a = a）=⊥对于所有自由个体变量，因此Vn（∃x（x = a））=⊥。

p（a）⊨∃xp（x）是正确的。

假设它不是，那么有一个带有VN的SN结构（P（a））=⊤和vn（∃xp（x））=⊥，这是不可能的。

p（a）→∃xp（x）逻辑上是真的，基本上与以前相同的参数。

∀xe！x是逻辑的。 对于具有非空域的任何SN，索赔显然是真的; 对于具有空域的任何SN结构，由于定义6的第6条，它是完全正确的。

2.4广义语义

利用广义语义的方法由Pavlović和Gratzl（2021）引入，以促进元理论。 简而言之，这种方法的想法是，对于声音和完整性的证明，模型的描述，而不是全吹模型，就足够了。 这允许简化语义（eSchewing部分函数）的呈现，并且鉴于它具有更大的一般性，可以应用于不同的特定语义方法。 使这种特征的广泛使用概括为各种正负逻辑的统一图像。

定义13（负结构Sn）。 负结构Sn是一对⟨d，φέ，其中d = a1，...，b1，...可数个别变量列表，以及l上的解释函数：

φ（t）= t，其中t∈d（强调其双重角色，我们将略微滥用符号并将d写为φ（d））

φ（e！）⊆d

φ（=）=ref∪id，在对称性和传递下关闭，其中：

•REF = {⟨t，t⟩| t∈φ（e！）}

•id⊆φ（e！）×φ（e！）

φ（pn）⊆φ（e！）n使得如果⟨s，t⟩∈φ（=），那么⟨...，si，...φ（pn）Iff⟨...，ti，...⟩∈φ（pn），对于任何n和任何1≤i≤n。

阳性结构被定义为

定义14（正结构SP）。 正结构SP仅不同于SN

Ref = {⟨t，t⟩| t∈φ（d）}，

id⊆φ（d）×φ（d）和

φ（pn）⊆φ（d）n。

可以省略条款φ（e！）⊆d，因为e！ 被定义如定义的最后一个条款的任何其他偶然谓词，而未指定为逻辑谓词。 作为这种定义的另一个结果，如果s = t那么e！s iff e！t。

要创建模型，我们将其附加到这些结构的估值功能，主持古典，同时包含免费量化。

定义15（估值V）。 结构⟨d，φν上的真实值分配v定义为

v（pn（t1，...，tn））=⊤⟨t1，...，tn⟩∈φ（pn），否则。

连接标准。

v（∀xa）= iff for每个t∈φ（e！）它保存该v（a [t / x]）=⊤，否则。

v（∃xa）= iff for somet∈φ（e！）它保持该v（a [t / x]）=⊤，否则。

通过比较，从这两个结构，我们可以同样可以定义经典结构，即验证的结构验证，验证在上面的估值下，精确地是所有经典的第一阶逻辑：

定义16（结构SC）。 经典结构Sc是任何结构，使得它既是sp和sn。

2.5中性语义

基于强大（Kleene 1938）和弱的Kleene条件，提供了类似的调查。 为简单起见，这里的呈现限于否定和暗示，自由段。

即使有多种可能的中性自由逻辑，也有很好的理由将其视为一种单一的逻辑，因为量化器的处理在这些解释之间没有变化，并且在此考虑的系统之间仅改变所使用的含义类型。

定义17（中性结构SNT）。 中性结构SNT是一对，φ⟩，其中d = a1，...，b1，...可数单个变量列表，以及l上的解释函数：

φ（t）= t，其中t∈d（强调其双重角色，我们将略微滥用符号并将d写为φ（d））

φ（e！）⊆φ（d），

φ（pn）⊆φ（e！）n。

请注意，这里的中性结构呈现为负结构，以简化以下估值的呈现。

定义18（弱估值v-）。 结构⟨d，φν上的真实值分配V-定义为

v-（e！t）= {

⊤如果tōφ（e！）

⊥，否则

v-（pn（t1的，...，tn））= {

+如果约1≤i≤n，ti∉φ（e！）

⊤如果⟨t1，...，tn⟩∈φ（pn）

⊥，否则

v-（¬a）= {

⊤如果V-（a）=⊥

⊥如果V-（a）=⊤

+，否则

v-（一个→b）= {

+如果v-（a）= +或v-（b）= +

⊥如果V-（a）=⊤和v-（b）=⊥

⊤，否则

v-（∀xa）= {

⊤如果每一个t∈φ（e！），v-（a [t / x]）=⊤

⊥如果有一些t∈φ（e！），v-（a [t / x]）=⊥

+，否则

定义19（强估值v3）。 结构⟨d，φν上的真实值分配v3定义为

第3版（e！t）= {

⊤如果tōφ（e！）

⊥，否则

第3版（pn（t1的，...，tn））= {

+如果约1≤i≤n，ti∉φ（e！）

⊤如果⟨t1，...，tn⟩∈φ（pn）

⊥，否则

第3版（¬a）= {

⊤如果v3（a）=⊥

⊥如果v3（a）=⊤

+，否则

第3版（一个→b）= {

⊤如果V3（a）=⊥或v3（b）=⊤

⊥如果V3（a）=⊤和v3（b）=⊥

+，否则

第3版（∀xa）= {

⊤如果每一个t∈Φ（e！），v3（a [t / x]）=⊤

⊥如果有一些t∈φ（e！），v3（a [t / x]）=⊥

+，否则

当涉及该广义语义的超级施加时，除了φ'（pn）⊆φ'（d）之外，将完成中性结构φ'φ'φ'与φ相同，使得（因此使其成为正结构），使得φ（pn）⊆φ'（pn），原子的估值不包含+的情况（从而使其解决逻辑符号）。

我们再次提供几个示例，以说明两个系统的运作，以及它们的差异。

例4。

∀xe！x在弱者和强大的模型中有效; 与实施例2相同的证明，立即从e的估值中遵循！

∀xpx→p（a）始终是非valse（如此可容忍的有效），虽然并非总是如此（因此不严格有效）（非常严格和宽容有效性，请参阅（Cobreros等，2012））。

如果p（a）是假的，则e！a是真的，因此∀xp（x）是假的。 但是，如果e！a是假的，则在弱化估值下，该公式是第三值，并且第三值（如果∀xp（x）为真）或true（如果∀xp（x）是假的）强劲的评估。

∀xp（x）→（e！a→p（a））在强烈的评估下是正确的。

e！a是清脆的，这意味着它总是真或假。 如果是假，则为！a→p（a）为真，整个公式是真的。 如果为true，则p（a）是真或假的。 在前一种情况下，e！a→p（a）为真，整个公式是真的。 在后一种情况下，∀xp（x）是假的，整个公式再次是真的。

∀xp（x）→（e！a→p（a））仅在弱评估下是非假的。

如果e！a是真的，推理与前一点相同。 但如果是假的，整个公式是第三值的。

3.免费逻辑的正式证明系统

传统的自由逻辑证明系统呈现更常见于希尔伯特，或者是由于这一历史事实，通过使用这种风格来介绍一些自由逻辑变体形式化的若干形式化。 然而，已经开发了进一步的证明系统，这促进了该领域的富有成果研究; 因此，大多数本部分都专门用于这些更有用的证明系统。 在陈述免费逻辑的Hilbert风格计算系统之前，我们记得为古典逻辑的这样的系统。 它和这里呈现的其余系统以一阶语言L配制，没有句子字母或函数符号，其原始逻辑运算符是否定（不是）'¬'，条件（if-del）'→'，通用量词（全部）'∀'，身份'='和'e！'，其他人被视为常用。 我们假设为了确定，L的公式被关闭（不含无关的变量），并且它们可以被充分地定量（具有αxA或∃xa，其中X不会在a中出现。 如果它位于操作员的范围内，则会定量变量的发生，例如“∀”或“∃”该变量的“∃”; 否则它是免费的。 每个Axiom系统都有Modus Ponens作为唯一的推理规则。

定义20（古典逻辑的公理）。

古典Tautologies

∀x（一个→b）→（∀xa→∀xb）

一个→∀xa，x不自由

∀xa→一个[t / x]

s = t→（一个→一个[t // s]）

t = t

∀xa，如果是ta造影

3.1希尔伯特自由逻辑系统

相比之下，免费逻辑的Hilbert风格系统如下，从一个用于正变量，PFL开始。 特别是Axiom（P4）注。

定义21（积极自由逻辑的公理）。

古典Tautologies

∀x（一个→b）→（∀xa→∀xb）

一个→∀xa，x不自由

∀xa→（e！t→一个[t / x]）

s = t→（一个→一个[t // s]）

t = t

∀xa，如果是ta造影

∀xe！x

接下来是一个用于负离逻辑，NFL的希尔伯特式微积分。 与PFL，Note Axiom（N6）和添加的公理（N9）相比。

定义22（负离逻辑的公理）。

古典Tautologies

∀x（一个→b）→（∀xa→∀xb）

一个→∀xa，x不自由

∀xa→（e！t→一个[t / x]）

s = t→（一个→一个[t // s]）

e！t→t = t

∀xa，如果是ta造影

∀xe！x

p [t1的，...，tn]→（e！t1∧...∧e！tn）

对于衍生能力，可证明和进一步的句法概念和定理的定义，例如， 扣除定理，查看古典逻辑的条目。

一些定理。 我们展现出一些有趣的自由逻辑定理，以积极的自由逻辑和HINTIKKA的法律开头：e！s↔∃x（x = s）从左到右的证明是简单的：

∀x¬（x = t）→（e！t→¬（x = t））[来自p4]

t = t。[来自p6]

t = t→（e！t→¬əx¬（x = t））[从1逻辑]

e！t→¬∀x¬（x = t）[从2,3由MP]]

另一方面，从右到左的证据稍微卷积：

s = t→（e！s→e！t）[来自p5]

∀x（（x = t）→（e！x→e！t））[从1，p7]

∀x（¬e！t→（e！x→¬（x = t）））[来自逻辑的2]

∀x¬e！t→∀x（e！x→¬（x = t））[从3，P2通过逻辑]

¬e！t→∀x¬e！t。[来自p3]

¬e！t→∀x（e！x→¬（x = t））[从4,5按逻辑]

∀x（e！x→¬（x = t））

→（∀xe！x→∀x¬（x = t））[来自P2]

∀xe！x→（∀x（e！x→¬（x = t））

→∀x¬（x = t））[从7，p2通过逻辑]

∀xe！x。[来自p8]

∀x（e！x→¬（x = t））→∀x¬（x = t）[从MP的8,9]]

¬e！t→∀x¬x= t。[从6,10逻辑]

∃x（x = t）→e！t [从逻辑开始]

现在迁移到负面自由逻辑，我们有更强的索赔

e！t↔t= t

作为定理，因为：e！t→t = t是n6型的公理，而t = t→e！t型n9的公理。

与积极的自由逻辑相比，NFL还证明了不存在的滥用性：

¬e！s∧¬e！t→（p [s]→p [t]）

P [S]→e！s。[来自N9]

p [s]∧¬p[t]→e！s∨e！t [从1逻辑]

¬（p [s]→p [t]）→¬（¬e！s∧¬e！t）[来自逻辑的2]

¬e！s�¬e！t→（p [s]→p [t]）[来自逻辑3]

此外，不存在的难以辨认到¬e！s∧¬e！t→（a [s]→a [t]）通过诱导A的复杂性。

显然，此公式不是PFL的定理，作为声音定理的应用：让我们用DI =∅构造一个Meinongian结构，并使用φ（s）= 0，φ（t）= 1，φ（p）= {0}。 然后v（¬e！s∧¬e-e！t→（p [s]→p [t]））=⊥，因此pfl⊬¬e！s∧¬e-e！t→（p [s]→p [t]）。

最后，这种真理意味着存在的索赔同样持有否定自由逻辑：

p（s）→∃xp（x）

e！s→（p（s）→∃xp（x））[来自N4的逻辑]

p（s）→e！s。[来自N9]

P（s）→∃xp（x）[从1,3由逻辑]

崩溃成古典逻辑。 如果组合了积极和负离逻辑，则询问会发生什么是非常有益的。 在语义上，给定定义3和定义11及其各自的估值，答案可能是难以捉摸的。 但是，就像广义语义一样，句子答案很简单。 因此，引导的原理和规则是PFL和NFL共同采取的。

e！t→（∀xa→a）从Axiom 3和逻辑遵循，鉴于NFL定理e！t↔t= t，我们获得：t = t→（∀xa→a）通过pfl公理p6，the所需结果，即∀xa→a以下。

（此等价有时被视为e！t的定义。）负离逻辑中的身份陈述因此具有存在的影响。 这在某些情况下可能存在问题。 例如，根据Shapiro和Weir（2000），例如，使用这种“存在性”的身份概念抑制了一些最近努力在自由逻辑上基于数学的新逻辑家哲学的一些努力的“认识纯真”。

3.2量化序列结石

最近自由逻辑证明系统的最近概念的陈述一直是序列结石的形式。 这些方法有利于透明度从局部产生引起的透明度 - 评估推理步骤的所有相关信息都在应用程序的局部包含，并且模块化 - 扩展不会改变基本系统的属性。 概述证明理论一般看证明理论的条目，以及其历史和我们利用的现代发展，看看了证明理论的发展。

搜索阶段的基本单元是Sequentγίδ，其中γ和δ是（闭合）公式的有限多网，直观地理解为箭头剩下的一切剩余，然后箭头右侧的某些东西。 除了下面的示意性呈现中的γ和δ之外的所有公式称为规则的主动公式，如果它们仅在上搜索和主体中发生，如果它们发生在规则的较低搜索中。