自由逻辑

在大多数普遍的术语中，自由逻辑涉及不表示的名称。 经典逻辑需要每个奇异术语在量化域中表示对象 - 这通常被理解为“现有”对象的集合。 免费逻辑没有。 因此，自由逻辑是有用的，用于分析包含奇异术语的话语，它们或可能是空的。 计算含有空奇异术语的原子公式的真实值的不同惯例产生三种不同的自由逻辑形式：负，正和中立，这就是我们通常将它们作为自由逻辑（在复数中）的原因。

大多数自由逻辑都是一流的，他们的量词范围不受个人。 然而，最近，一些关于更高阶免费逻辑的工作。 Corine Besson（2009）认为，自然种类的内部主义理论需要二阶免费逻辑，其量子范围范围越来越多，而且她找到了这个想法的先例，这一想法远远靠近Cocchiarella（1986）。 安德鲁培根，约翰霍桑和加布里埃尔乌兹奎安（2016年）探讨了使用更高阶免费逻辑来解决某些强烈悖论的可能性，但他们发现这个想法面临艰巨的困难。 Timothy Williamson（2016年）不情愿地同意。 但是，本文主要关注一阶逻辑。

第1节介绍了自由逻辑的简要历史和动机，介绍了基本定义，并解释了与相关逻辑不同的方式。 在第2节中调查了自由逻辑变体的语义。第3节介绍了三种变体的证明系统，简要铺设了公理化，然后关注当前有利的证明方法。 第4节至关重要，检查一种感染最自由逻辑的三种异常。 第5节将自由逻辑的应用程序应用于描述的理论，部分或非严格函数的逻辑，带有Kripke语义的逻辑，小说逻辑和逻辑在某种程义上的逻辑。

1.简要历史和动机

1.1定义和变种

1.2相关系统

1.3自由逻辑语言

2.免费逻辑的正式语义

2.1 Meinongian语义

2.2监督语义

2.3负语义

2.4广义语义

2.5中性语义

3.免费逻辑的正式证明系统

3.1希尔伯特自由逻辑系统

3.2量化序列结石

3.3积极的自由逻辑

3.4负免费逻辑

3.5中性自由逻辑

4.通用异常

4.1原始谓词的问题

4.2替代争议失败

4.3存在条件的不可行性

5.一些应用程序

5.1明确的描述

5.2具有部分或非严格功能的逻辑

5.3带克莱波克语义的逻辑

5.4小说逻辑

5.5 Meinongian逻辑

参考书目

学术工具

其他互联网资源

相关条目

1.简要历史和动机

对一个关于非表示名称的一个问题的考虑可以追溯到亚里士多德（翻译Barnes 1984）：

事实上，它似乎很好地似乎在违背的情况下，相同的事情发生了相反，“苏格拉底很好”与“苏格拉底生病”相反。 然而，甚至没有这些是必要的，始终是真的，另一个是必要的。 因为如果苏格拉底存在一个，那将是真实的，但如果他并不两者都会是假的; 如果Socrates自己根本不存在，那么“苏格拉底病”也不是“苏格兰人”是真的。 （13b11-20）

虽然这段经文可能预测，虽然有关自由逻辑所关注的问题，但它在20世纪，现代辩论开始。 在20世纪的第一部分，一些询问是一个可能空域的逻辑，或包含空位逻辑（所谓的，因为它包括这种可能性，Quine 1954），因此询问有时被认为是对自由逻辑的调查的前兆。 然而，1.2节讨论了自由和包容逻辑之间的差异。

作为一家一阶逻辑的适当现代自由逻辑，主要是在20世纪中期的古典逻辑的存在假设（HINTIKKA 1959; Lambert 1967,1997,2001）的结果，是归档的对于Karel Lambert，这是短暂的“没有关于其术语，奇异的和一般的存在假设”（我们将收紧先前松散的“名称”并重点关注术语）。 但从现代逻辑以来，一般术语几乎没有任何预设（尽管天然存在一些例外，如Besson 2009），第一点将是这种博览会的焦点。

请考虑以下两个参数。

Bucephalus是一匹马。

∵存在一匹马的东西。

这听起来像是一个完全精细的基本推理。 但这在结构上至少与下一个参数非常相似：

Sleipnir不存在。

∵存在不存在的东西。

一种有用的，尽管人为的假设，使得遍布量化的第一阶逻辑的标准方法是每个奇异项表示对象。 显然，通过将奇异术语限制为表示值来阻止第二推断。

在反对这种不屑一顾的反应“直观地，苏格拉底可能不存在”（虽然见可能性 - 实际辩论），自由逻辑选择通过明确限制它们来改变存在的概括（和相关普遍规范）的逻辑规则存在谓词e！

1.1定义和变种

自由逻辑的定义标志是：（1）它没有关于其单数术语的存在预设，（2）它没有关于其一般性术语的存在的预设，最后（3）其量词具有存在的进口，或者更广泛地限于谓词，它描绘了表示的术语，e！ （最常见的是作为存在的，Leonard 1956; Baaz和Iemhoff 2006; Maffezioli和Orlandelli 2019，以及遗造，Feferman 1995; Antonelli 2000）。

在任何情况下，对自由逻辑的理解至关重要，即在其任何一个版本中，量化仅限于e！ - 预称; 鉴于这种谓词的特定解释可能会有所不同，因为我们将在后面看到，这种谓词甚至不需要符合逻辑谓词的历史状态。

如前所述，点（2）对讨论没有任何显着的轴承，而点（3）则代表量化对e的限制！ 现在关注点（1），问题出现了包含非表示术语的原子的状态，并且分配给他们的真实状态决定了自由逻辑的主要变体。

正面FL允许在e外面的术语中允许一些原子！ 保持真实（在最不自我身份）。 另一方面，负面流体将所有此类原子视为统一的假（如上面的亚里士多德引用中的建议）。 最后，中性FL，对这些原子分配第三个值，并根据对第三个价值的解释和/或逻辑符号的含义和推动行为来形成自己的子家族。

1.2相关系统

包容性逻辑

经常使用的另一个存在假设与术语不相关，而是模型 - 即域是非空的。 允许拒绝此假设的逻辑（即，允许我们包含空域）。 虽然它们与自由逻辑密切相似，但这两个问题彼此正交，可以在分离中考虑。 要看到这一点，很容易考虑Hailepin（1953）的空逻辑，它不包含奇异术语和域没有元素。 虽然显然包容性，但这种逻辑是不自由的，因为没有非表示术语。 通过另外通过添加以下规则对以下任何免费逻辑添加以下规则，可以轻松获得自由非包容逻辑的呼应情况：

e！t，γ⇒δ

γ⇒δ

ni，t新鲜

使用自由逻辑标准采取了这种情况，因此可以假设此规则添加到下面讨论的系统中。

古典/直觉逻辑

虽然这里的大多数演示文稿都在自由逻辑上所产生的，但在古典命题基地的延伸，相当大的工作也调查了具有直观基地的工作。 讨论的考虑因素适用，Mutatis Mustandis也适用于那些基础。 在任何一种情况下，从免费获得非自由逻辑的最简单方法只是添加规则

e！t，γ⇒δ

γ⇒δ

ni +

请注意，与需要使用任意术语的规则的先前版本相比，可以在此处使用任何术语。 因此，实际上该规则消除了非表示术语（它状态，读取自下而上，在任何证据搜索中，我们可以添加假设一个术语表示）。 重要的是要注意的是，规则的直觉版本在δ中最多包含一个公式，否则是相同的形式。

无准逻辑

虽然名称是近期并且由于Indrzejczak（2021A），但这些类型的逻辑被考虑了一段时间，其中最值得注意的示例部分术语的逻辑（Feferman 1995）。 这种逻辑在古典（Mutatis Mutandis，IntuitionSiver）和自由逻辑之间的某个位置，实际上是为单数术语添加规则NI +，但仍然可以免费实现功能表达式。 Feferman专门讨论了否定的自由延伸，但是（Indrzejczak 2021A）中有多个版本（及其均匀剪切消除）的有用概述。

1.3自由逻辑语言

对于免费逻辑的正式呈现，我们利用语言L，标准的一阶语言（没有函数），改编自（Gratzl 2010），词汇定义为

定义1（字母L）。 语言l的字母包括：

可赎回列表的免费单个变量（名称）：a，b，c，...，

可赎回的单个变量列表：x，y，z，...，

不可赎回的n-ary谓词变量列表，包括一位Quary谓词e！ 和二进制谓词=，

¬，∧，∨，→，∀，∃，（，）。

然后将L公式定义为

定义2（L的公式）。

一个:: = pn（

¯

t1的

，...，

¯

tn

）| ¬a| a∘a| ∀xa| ∃xa

其中∘∈{∧，∨，→}。

2.免费逻辑的正式语义

在本节中，我们为自由逻辑制定了普通的语义方法。 我们开始正式介绍三（学习）的正面和负面自由逻辑的语义方法。

2.1 Meinongian语义

已经设计了内外域或Meinongian语义，以研究积极自由逻辑的荟萃理论特性。 它的主要成分是一种结构和估值，下列了以下两个定义：

定义3（Meinongian结构SM）。 Meinongian结构SM是三重⟨di，do，φό，其中满足以下条件：

DI，做的是，用迪内部域，想到作为存在的一组，并做外部域，想到一组不存在。 这两个都可以是空的，但是：di∪do≠，di∩do=∅。

φ（e！）= di。

让D成为DI和DO的联盟，然后：

•对于每种免费单个变量t：φ（t）∈d。

•对于每个n-ary谓词pn：φ（pn）⊆dn。

•D中的每个对象都有正式语言的名称，即，如果d∈d，那么d∈（d的标准名称）都是语言。

定义4（Meinongian估值VM）。 结构SM上的真实值分配VM定义为

vm（e！t）= {

⊤如果φ（t）∈di

⊥，否则

vm（pn（t1的，...，tn））= {

⊤如果⟨φ（t1），...，φ（tn）⟩∈φ（pn）

⊥，否则

vm（s = t）= {

⊤如果φ（s）=φ（t）

⊥，否则

vm（¬a）= {

⊤如果VM（a）=⊥

⊥如果VM（a）=⊤

vm（一个→b）= {

⊥如果VM（a）=⊤和vm（b）=⊥

⊤，否则

vm（∀xa）= {

⊤如果∀d∈di，则VM（a [d∙/ x]）=⊤

⊥如果∃d∈di，则VM（a [d∙/ x]）=⊥

VM（a）=⊤iffvm（a）≠⊥

我们布置了几个（逻辑上）真实陈述的示例，以及一个不必要的例子。

例1。

∃x（x = a）没有逻辑为true（其中∃x以通常方式理解为¬∀x¬）。

让Sm成为⟨di，do，φν的meinongian结构，di =∅，do = = {1}，φ（a）= 1。 虽然显然VM（a = a）=⊤，但仍然Vm（∃x（x = a））=⊥由于否d∈di，Vm（d∙= a）=⊤。

p（a）⊭∃xp（x）是真的（即，没有持有）。

让SM成为meinongian meinongian结构的⟨di，do，φέ，di =∅，do = {1}，φ（a）= 1，φ（p）= {1}，那么：Vm（p（a））=⊤，但仍然仍然VM（∃xp（x））=⊥。

p（a）→∃xp（x）不是逻辑上的; 使用与上面（1）中相同的参数。

∀xe！x是逻辑的。

立即从估价中遵循e！

2.2监督语义

语义上的监督方法提供了将三维语义减少到正面的方法。 它更有涉及，但对Meinongian语义有一些优势，因为它没有利用外部领域，这可以在本地性可疑。 这是至少更加正式的复杂性，而且在理论上，在紧凑性定理的意义上，它不紧凑; 更多关于这个例子2和备注。 在本节后面的中立自由逻辑部分中探讨了完全保留三值语义的方法。

超级合理语义的目标之一是拯救经典逻辑的法律，例如a∨¬a，¬（a∧¬a），同时保留自由逻辑的精神，这允许与e相关的空奇异术语和量化！ - 尊重。 这是通过设置多级过程来实现的，该过程开始了以下定义：

定义5（第1级结构SS1）。 阶段-1结构SS1是一对⟨d，φέ，其中满足以下条件：

D是可能空的集。

φ是部分功能，使：

•如果自由个体变量t处于dφ，则φ的域，则对于一些d∈d，φ（t）= d。

•φ（e！）= d。

•对于每个n-ary谓词pn：φ（pn）⊆dn。

D中的每个对象都有正式语言的名称，即如果d∈d，那么d∙（d的标准名称）是语言。

定义6（阶段-1估值Vs1）。 结构SS1上的真实值分配VS1定义为

vs1（e！t）= {

⊤如果t∈dφ

⊥，否则

vs1（pn（t1的，...，tn））= {

⊤如果Ti（1≤i≤n）∈dφ，和

⟨φ（t1的），...，φ（tn）⟩∈φ（pn）

⊥如果Ti（1≤i≤n）∈dφ，和

⟨φ（t1的）...，φ（tn）⟩∉φ（pn）

未定义，∃ti（1≤i≤nn）∉dφ，

vs1（s = t）= {

⊤如果s，t∈dφ和φ（s）=φ（t）

⊥如果s，t∈dφ和φ（s）≠φ（t）

⊥如果是s或t∉dφ之一

未定义，如果是s，t∉dφ

阶段1结构上的阶段-2结构定义如下：

定义7（阶段-1结构上的阶段-2结构）。 具有⟨d'的SS2结构，φ'‖呈⟨d，φ⟩（或SS2结构是SS1结构的完成）IFF

d'≠，d⊆d'，

对于每个n-ary谓词pn，φ（pn）⊆φ'（pn），

对于每个自由单独的变量t，如果t位于φ的域中，则：φ'（t）=φ（t），

对于每个自由单独的变量t，φ（t）∈d'。

基于SS2结构的基于SS2结构的完成（Morscher和Simons 2001a），我们定义了估值Vs2，如下所示：

定义8（第2阶段估值VS2）。 真实值分配VS2被定义为

如果a是vs1的域中的公式，则VS2（a）= vs1 = a。

如果a是一个公式，使得a不在Vs1的域中，则VS2定义如下：

vs2（pn（t1的，...，tn））= {

⊤如果⟨φ'（t1），...，φ'（tn）⟩∈φ'（pn）

⊥如果⟨φ'（t1）...，φ'（tn）⟩∉φ'（pn）

vs2（s = t）= {

⊤如果φ'（s）=φ'（t）

⊥如果φ'（s）≠φ'（t）

vs2（¬a）= {

⊤如果VS2（a）=⊥

⊥如果VS2（a）=⊤

vs2（一个→b）= {

⊥如果VS2（a）=⊤和vs2（b）=⊥

⊤，否则

vs2（∀xa）= {

⊤如果∀d∙：如果VS2（例如，e）=⊤，

然后vs2（a [d∙/ x]）=⊤

⊥如果∃d，则Vs2（e！d∙）=⊤和vs2（a [d∙/ x]）=⊥

剩余的布尔病例的定义条款和存在量化的公式。 现在用它在手中，我们可以定义基于舞台-1结构及其第2级上部结构的超级σ; 为了指示σ相对于VS1的依赖性，我们编写ΣVS1，并定义：

定义9（超级ΣVS1）。

ΣVS1（a）=⊤IFF Vs2（a）=⊤对于级-1结构SS1的所有级-2结构SS2。

ΣVS1（a）=⊥IFF Vs2（a）=⊥对于级-1结构SS1的所有级-2结构SS2。

a不在ΣVS1（a）的域中，另外，即在阶段-1结构上有一个阶段-2结构，具有Vs2（a）=ψ，并且在级-1结构上具有级-2结构，其中级与Vs2（a）=⊥。

由于此语义更复杂，我们详细定义了核心语义概念并提供了一些示例。

定义10。

公式A在逻辑上是真的，或者对于具有ΣS1（a）=⊤的所有SS1结构的逻辑超级IFF。

公式A是逻辑上是假的，或者具有ΣS1（a）=⊥的所有SS1结构的逻辑超级Superfalse IFF。

公式A是一组公式γ的逻辑结果，或者是所有SS1结构的γ（γ⊨a）IFF的逻辑超级注意性：如果σss1（b）=⊤，则为所有b∈γ，那么ΣS1（a）=⊤。

一组公式γ是满足的，或者可以使用ΣS1（a）=⊤的SS1结构，适用于所有A1γ。

公式A是偶然的，或超细的IFF（1）有一个SS1结构，具有σs1（a）=ψ和a（2），具有σss1（a）=ψ的SS1结构。

接下来，我们提供几个例子作为详细说明这些定义的方法。

例2。

∃x（x = a）没有逻辑为真。

让没有SS1结构，使得A不在φ的域中; 结果遵循。

p（一）⊨∃xp（x）。

根据我们对逻辑超谓的定义，∃xp（x）遵循p（a），以防所有ss1结构：如果σss1（p（a））=⊤，则σss1（∃xp（x））=⊤，现在插入定义第9条的第1条我们获取：以防所有SS1结构的情况：如果VS2（P（a））=⊤对于SS1的每个完成SS2，那么每个完成SS2 SS1的完成SS2。

p（a）→∃xp（x）不是逻辑上（超级）true。