几何认识论（五）
对于罗素，一个是自由的空间，并将“距离”分配给每对点（受到我们省略的一些简单条件）。 相对于这种距离感，可以说，如果作为区域移动，则它中的点保持与之相同的距离。 我们已经为地球表面的距离感，我们可以做到这一点，无论我们还有刚性的身体运动。 在数学术语中，Russell对所谓的公制空间感到满意。 重点不是那个可以在地球表面上施加度量，其中一对特定的点在剑桥上说，分开，伦敦和巴黎只有一半的分开 - 但是一个可以谈论距离而没有预先扫描一个组的动作。 某些度量空间承认保留距离的组的动作，其他的距离，但可以在不谈论一个组的情况下定义距离。 Poincaré从未恰好面对这一参数公积空间是20世纪的发明 - 但我们知道他会说什么。 他据说它是有效的数学，而是完全正式，不能被视为真正的知识，因为它缺乏心理物理的维度。 我们知道这是因为这是他对希尔伯特建造的公理几何形状的批评（见下文）。
Poincaré的争论还会遇到意大利数学家Federigo Reanes的反对意见。 Poincaré认为，看看几何常规主义论点的有效性的方法是考虑一张圆盘，其中一切都是由相同的材料制成，其扩展为加热，并且在其中温度是光盘中心的距离的特定函数。 所指定的Poincaré确保光盘中的度量是由与光盘的相同材料制成的棒的测量值，是非欧几里德几何形状的。 生活在光盘中的生物会报告他们的空间是非欧几里德的; 我们会回答他们的空间是欧几里德，但受到温度场的扭曲效果。 显然，每一侧都可以保持他们的位置没有自我矛盾。
在他的书中争论的安德拉·斯科恩扎（1906年），这是不合理的。 这些生物是正确将几何形状归类到他们的空间（以及确实，非欧几里德几何形状），因为扭曲力超出了它们的控制。 他们的测地仪建立在空间中，他们将大声归类为“力”的运作，因为“力”不是他们甚至原则上的操作。 热量，大量物体的引力效果，所有这些扭曲的影响都是可以允许的东西，因为它们可以改变。 如果在上面的实验中，将被声称空间是欧几里德，但是我们的直线候选者变形，应该可以改变变形程度。 人们可以在空间的空洞区域进一步远离任何巨大物体进行实验。 如果不同的实验产生甚至略微不同的结果，就会根据Poincaré自己改变科学惯例的标准，在负责光线与直线度偏离的情况下寻找某些情况。 但如果没有实验表明任何不同的差异，则证词认为得出结论是，在大动化的光线和空间的几何形状上是非欧几里德的光线是有理由。
值得注意的是，越来越复杂的思想，了解理论几何学如何与实践经验相关，以及关于几何供应的知识的性质，属于1900年的所有数学的一系列变化。一个自主学科数学出现，越来越强调了对该主题的正式方面，并与经验世界提供了复杂且往往的关系。 在各个地方讨论了这种现代主义转向数学（见Gray 2008和那里的文献）。
7.结束语
本文已经审查了几何形状发展的主要分支机构，直到20世纪初期的理论或抽象知识的标题，实证和其他关于这种知识的理智，以及该知识的演绎特征。
基本欧几里德几何形状的直线的状态作为加入其两个点的最短曲线和作为始终处于相同方向的曲线的最短曲线都被解开了。 一系列询问导致几何形状，即强调直接性作为基本属性（通常，投影几何），另一个调整到强调最短方面的几何形状。 从开始作为非韵律的开始看前一种方法，并成为正式，甚至是几何形式作为演绎企业的公理调查的有利竞技场。 价格越来越少，对物理空间（观察到Poincaré）。 几何形状的概念在彻底放大，但以不旨在对物理空间或经验空间的陈述来说。
估计账户导致欧元区元素中具有显着默默无闻的逐步阐明：平行假设。 在19世纪的大部分时间里，非欧几里德几何形状（如Lobachevskii）是欧几里德的唯一替代方案，即众所周知的是一个可理解的几何形状，尽管普遍认为只有最微妙的实验只能希望决定这件事。 Poincaré的竞争观点是，没有这样的实验可以如此决定，这提出了关于抽象条款被解释的方式和假设在科学理论中的作用的重要问题。
超出了欧几里德系统的物理几何替代品的引人注目和思想挑衅思想，该系统已经站立了两千年，在通过高斯和最重要的全部暗中暗中暗示了暗型几何形状的奇异性几何形状riemann。 在这里，它最终可以在适当的综合环境中解释直接和最短的关系。 它也可以讨论几何形状作为一个思想的主体，这些想法从长度，角度，形状和尺寸的幼稚思想中脱颖而出，并且以精致和严谨的方式这样做。 被认为是不可避免的公理真理，必要的真理现在成为可以在许多方面进行修改的假设假设; Axiom的旧概念逐渐逐渐产生。 也可以考虑各种理论结构作为“空间”，无论它们是否被公理呈现，也不是为了省略可理解的体验。 通过这种方式，可以在新颖的环境和新颖方面应用几何想法。 从那以后，几何学在数学和科学中一直普遍存在。
1900年后，很明显欧几里德几何形状失去了杰出的位置。 这座古老的系统丧失了确定性，并且有更好的正式，公理系统，例如希尔伯特（Pilbert）提出的那些在Peano周围学校的一些数学家。 在使用传统几何形状的数字的较少属性的意义上，有丰富的系统，例如直线（突出的许多版本的投影几何）。 并且具有更多的自然出发点和更深的理论。
因此，关于任何类型的理论几何学如何与我们周围的空间有关的思考变得更加复杂。 从纯数学的角度来看，情况是多元化之一。 几何形象的真实性不再被视为理所当然，肯尼亚观点普遍被遗弃。 在某种程度上，选择物理几何形状已成为我们假设Poincaré不对的经验问题。 关于几何形式的理智的哲学想法也加深了。 也许来自一般科学的观点，一个人应该考虑多元化的前景。
