几何认识论（四）
5.1 riemann的泛化
riemann的想法是深刻和天真的，因此他们证明很难确切地说，但我们可以最初的是天真地满足自己。 他认为他被赋予了一个空间（他称之为“歧管”），其中一个可以在任何时候才能施加坐标系，至少在靠近任意初始点附近的所有点，以及如果
n
�
需要数字来指定他说空间是的一个点的位置
n
�
-dimensional。 我们可以将此过程视为提供至少在初始点附近的空间部分的地图
r
n
�
�
。 riemann非常了解本地和全球决定之间的区别，这成为他新想法的钥匙之一：相同的本地条件与许多不同的全局配置兼容。
然后他认为，通过揭开公式来说，他有一种说法的距离是无限的
d
s
�
�
从2到
n
�
变量。 （他甚至允许使用完全不同的公式，但我们不确定他的理论的一部分，其中多年来休息了。 接下来，他将曲率的内在性概括为更高的尺寸; 基本上，
n
�
-dimensional对象具有高斯理论适用的许多二维表面，因此曲率的卷曲概念
n
�
在一个点处的尺寸对象可以从考虑通过该点的二维表面的考虑来源。
存在与坐标系无关的空间的属性。 如果两个不同的坐标系发出不同的坐标，但以这样的方式保留点之间的距离，那么系统会给我们带来相同的几何形状，并且我们发现这两个同意在每个点的曲率上达到距离等。 然而，Riemann提出的差分几何形状的框架非常灵活和一般。 他发现它不仅允许欧几里德几何形状的替代方案，而且甚至对于广义曲率从点到点改变的几何形状即使是几何形状。 最初，这几乎没有占据，大多数作者集中在恒定曲率的几何形状上。 正如黎曼解释的那样，他的框架允许负曲率的几何形状（这是Lobachevskii-Bolyai案例），积极曲率（一种新的，通常被称为椭圆形几何形状，或'riemannian'狭义），也是零曲率（Euclidean）。
因为公式
d
s
�
�
被写入少数限制，没有理由相信黎曼几何形状是关于先行欧几里德几何形状定义的。 没有声称一个
n
�
- 由地图获得的二维黎曼几何图形
n
�
一些欧几里德的二维子集
是
�
- 空间。 这意味着可以在不参考任何欧几里德几何形状的情况下完成几何形状。 在任何对其他几何形状的研究之前，欧几里德几何学不再阐述。 欧几里德的统治是理论上的。
鉴于歧管上的距离概念，可以谈论测地测测量仪 - 一个测地是两个点之间最短长度的曲线。 存在和唯一性问题可以提出，经常回答。 1917年的Tullio Levi-Civita独立于1918年独立提出，这是由爱因斯坦的一般相对论理论的启发，当他们展示如何在弯曲的流动上定义并行性（关于Levi-Civita的贡献时，请参阅Bottazzini 1999年和Weyl的贡献见Scholz 2001）。 粗略地说，在Weyl的演示文稿（1918）中，如果它们属于沿着曲线的曲线的曲线属于一系列载体，则不同点的两种向量是平行的。 这被称为在不同点之间建立联系的方式，该理论被称为歧管的连接理论。 一个人可以问一个对曲线的切线矢量的家族是否由起始点的切线矢量平行的矢量组成：如果是，则曲线是被认为是其端点之间的直接曲线的自然候选，因为切线矢量永远不会沿着曲线。 在现代差异几何中，测地仪通过连接定义。
5.2 Riemann和Beltrami和严谨的非欧几里德几何形状
riemann的“Überdie headothesen ......”（在1854年作为一项讲座，1868年出版）和Beltrami的“Saggio di Imperetazione”（1868年）给了不同但相当的账户二维非欧几里德几何形状。 Beltrami采用差分几何形状，证明Lobachevskii-Bolyai的双曲几何形状。 通过研究伪影波以及如何将其映射到飞机上（以这样的方式使其测地测到直线），Beltrami意识到设备盘可以被视为“无限平面”。 它是不可能找到的表面
r
3
�
3
这表现得像双曲线（最接近但部分，是伪影）; 现在可以实现非欧几里德几何形状作为具有新颖度量的磁盘内部的几何形状。 磁盘是整个“平面”，其圆周在无穷大的线路，磁盘中的线段为“线”，可以定义距离功能
d
（
p
，
q
）
�
（
�
，
�
）
这使得有意义并验证Lobachevskii的结果。 从逻辑的角度来看，这是一个巨大的一步，因为现在已经证明了非欧几里德几何形状的一致性。
riemann的账户，它被说明了
n
�
尺寸，同意普内加斯在1880年和1881年在许多短篇文章中使用的那个，但只在他的主要论文中明确描述（Poincaré1882）。 在这种所谓的共形模型中，平面再次成为磁盘，测地仪是垂直于磁盘的边界的圆圈的圆形，并且角度为真（欧几里德）。 riemann和Beltrami磁盘迅速说服了数学家，毕竟，博尼和洛比夫斯基的非欧几里德几何形状做出严格的数学意义。 Poincaré的贡献十年后是为了使非欧几里德几何形状为数学其他地方的某些主题的自然几何形状，主要是Riemann表面的发展和重要主题。
不应忽视任何部分数学的严格账户的重要性，但接受非欧几里德和利莫曼几何形状的接受超出了一致形式主义的介绍。 它标志着摘要视图的接受，即几何形状可以在黎曼形式主义中描述：一个有一个非常一般的框架，允许戴上眩晕的具体规格。 因此，门被打开到视图中，有许多几何形状，每个几何形状必须一致，并且其中没有一个需要指的是欧几里德空间，但是这可能是直观的。 （并行发展在临床几何与Klein工作的上下文中发生了类似结果的。）“空间”讨论的尺寸数，并且可以在适当的情况下修改“空间”和精确度量，“空间”的拓扑特征将相似地对待）。 由于可以找到合适的公制，存在这样的二维几何形状; 因为它是，它的地图，不是因为表面被发现
r
3
�
3
具有正确的属性。 实际上，它后来显示（希尔伯特1901）没有表面
r
3
�
3
对应于非欧几里德二维空间。
riemann显然，这种做几何方式的认识论意义是巨大的。 他的讲座是数学，哲学和物理学的幸福组合（Ferreirós2006）。 数学家不再需要摘要他们相信物理空间的一些基本直觉，例如直线或圆圈的性质和性质，并在基于这些直觉的一些公理表达的基础上寻求建立真正的几何。 相反，思想的方向应该相反的方向：数学家可以自由地考虑无限的几何形状。 Riemann推测了几何形状的假设的有效性“在无限的小”中可能与物理力量限制。 科学家现在可以自由地调查哪一几何是最适合经验事实的数学解释。 他设想放弃牛顿的现象观念，“通过在这一概念中制作它无法解释的事实所需的连续变化。” 他纯粹的概念（数学）研究将是有用的“在防止这项工作被监视太狭窄的观点受到阻碍，并且了解传统偏见检查事物相互依存的进展。” 在这方面，很快很快就表明可以在非欧几里德几何形状的设置中进行理论力学。
6.新几何的可懂度
投影几何的认识论意义依赖于对古典几何性质和严谨的影响。 非欧几里德几何形状的认识论意义更多地依赖于欧几里德几何形状可能是真实的。 因此，我们转向19世纪的几何理性智能性检查。
但首先是一个警告。 非欧几里德几何形状的逻辑事实证明是一致的（相对于欧几里德几何形状，或实际分析）不确定Kantian观点的无效性。 康德的观点与欧几里德几何形状的逻辑替代品的存在兼容; 毕竟，他正争论空间作为一种直觉，而不是仅仅是概念的可能性; 他不是一个莱布尼典，否认几何是分析的。 如果有的话，凯丽安会期望替代几何形状只是一种知识可能性，并且我们无法直观地对他们进行可视化。 对这种角度的复杂阐述是弗雷格与希尔伯特的着名通信（见弗雷尔伯特争议的入场区）。 但是，大多数相关作者都选择了不同的思路和遗弃了康建筑的立场。
6.1赫巴特的哲学和黎曼
约翰·弗里德里希·赫巴特于1808年在Königsberg成为康德的继任者，他仍然在1833年去Göttingen，但他没有正统凯蒂安。 他的主要工作，两卷心理als vissenschaft neu gegrundet auf erfahrung，Metaphyik，und Mathematik为1824-1825，并根据经验和形而上学建立了心理学。 使用一些相当奇特的数学，他努力展示记忆有效以及某些类型的反复刺激如何导致心灵学习，例如，线，平行线，交叉线和表面。 赫巴特意见中没有天生的想法; 通过推断空间过程中推断连续性的概念性，最显着地构建了视觉空间。 并且概念由存储器产生的，然后，逻辑随后独立于它们的起源运行。 这是HERBART避免在心理学逻辑的方式。
Herbart的想法影响了Riemann（见Scholz 1982）。 Riemann认为自然科学是通过使用精确概念来了解性质的尝试，这些概念将根据新经验来修改。 他预计最成功的概念是非常抽象的，并同意蜂房，他们不是康德时尚的先验。 它是他们在观察或实验中的起源，使这些概念对科学的意义，但黎曼允许持续的核化和修订过程。 在笔记中，他为自己写（见Riemann Werke 1990：539）riemanan说，他同意了Herbart在心理学和认识论的事项中，但没有本体论或他关于建造空间，时间的概念的想法，而且运动。 分歧掩盖了更深刻的同情。 Herbart主张了一个立体的现代世界，而是离散的“Monad”（带Windows，使用Leibniz的短语），这思想通过IT提供的连续概念来处理，从而将离散的经验转变为光谱可能性。 Riemann没有理由限制关注三维，并将可能性的连续频谱移动到他创造的非常一般的几何概念中。
这减少了赫巴特强调的经验的作用。 Riemann正在意识到赫巴特曾经自然发生的内容：如果知识分子反射产生与我们框架世界的概念，在反应我们的经验中，那么黎曼说，雷曼说，凡瑞马的思考，让数学产生更多的精确和灵活的概念。 在他讲座结束时，他探讨了应用新几何的可能性，特别是在原子水平，他认为他的任务是扩大理论选择范围，消除偏见。
6.2 Helmholtz和Poincaré
Riemann的想法反过来影响了Hermann von Helmholtz，他们出版了几种有影响力的论文，了解了我们对几何形状的知识是可能的。 在他“关于几何形状的基础上”（1866年）他努力展示只能建造有限数量的黎曼几何形状，其中刚体运动的概念。 他认为，我们对刚体的经验，教导我们有什么空间，特别是距离是多少。 他进一步宣称，承认刚体运动的二维空间将是欧几里德平面或球体。 Beltrami写信给他指出，他忽略了非欧几里德几何的可能性，而亥姆霍兹不仅达成了同意，而且写了一个进一步的论文（1868年），他解释了我们如何了解这种几何形状在直观的水平（从而为康德的追随者提供谎言）。 许多康德尼拒绝被说服，而是一个人，这些想法（和riemann）非常可能影响HenriPoincaré（见灰色2012）。
一旦Poincaré开始编写他的热情哲学论文，他明确表示他的主要关注点是我们如何依赖于任何几何形状。 数学进步是他思考的基础，但关键问题是关于几何构成的假设的认识论状态。 在这里，他不能同意康德，也不会有赫尔穆霍兹，也不同意黎曼。 他很清楚黎曼几何形状的伟大范围，以及亥姆霍兹的猜测的结论，通过在大胜式的工作中严格地进行了严格的，即非常有限数量的几何形状承认刚体运动。 他对他“关于几何形象的基础”（1898年）的关注是与认识学性的。
Poincaré认为，心灵很快意识到它可以弥补它看到的某些动作。 如果玻璃朝向你，你可以向后走，使玻璃似乎没有变化。 如果它倾斜或旋转，您可以执行此操作。 我们来掌握这些补偿动作的商店，我们意识到我们可以用另一个遵循一个，结果将是第三种补偿运动。 在此基础上，我们来区分位移（对象的身体位移和位移）从其他类型的变化，即我们不能产生补偿动作的改变，例如玻璃中葡萄酒的运动，因为它在周围旋转，或者它的颜色变化。 最重要的是，位移形成称为组的数学结构。 通过这种方式，心灵构成了刚体运动的概念，我们在一组动议的基础上详细说明了对空间的明确概念理解。
然后普内加尔被认为是什么组的补偿动作，并且发现，随着谎言在他对空间的黎曼 - 亥姆霍兹问题的研究中证明，这些群体的严格限制了。 其中的主要是来自欧几里德和非欧几里德几何形状的群体，以及它们不同的抽象群体。 但哪一个是正确的？
Poincaré的争议观点是，一个人永远无法知道，或者比没有人“真实”。 人类，通过进化和我们作为婴儿的经验，选择欧几里德集团，所以我们说太空是欧几里德。 我们的身体是非常僵硬的，我们的运动是刚性的动作，这是决定性的。 另一种物种，借鉴不同的经验，可以选择非欧几里德集团，所以说太空是非欧几里德。 如果我们遇到这样的物种，就没有实验会决定这个问题。
当然，人们可以使用大型三角形进行实验并测量角度，作为Lobachevskii，Riemann和其他人建议。 为了最大化尺寸，假设三角形的侧面是通过光线制成的。 现在，假设在实验误差的极限范围内，实验结果是三角形的角度和较少
π
�
，结果与非Euclidean几何形状一致，但与欧几里德几何形状不一致。 唯一的结论可以绘制Poincaré，是沿着直线和空间的光线行进是非欧几里德的，或者空间是欧几里德和光线沿曲线行进。
我们可以以这种方式总结他的论点。 我们对外部世界的几何的了解是基于我们的基本体验，这导致我们的心理能力处理一群刚体动作。 这些群体有一个非常有限的商店，但没有实验可以在他们之间做出决定。 我们所能做的就是做出选择，我们将选择最简单的选择。 正如它所发生的那样，这是欧几里德集团，因为普内华说，我们发现它的属性未与非欧几里德集团（对应并行假设）分享，特别简单。 但是，人类的物种如，所做的选择，并且该选择现在在人类思想中是先天的。 由于知识所获得的方式，并且有一个以上的合适组的事实，人们永远无法知道空间是欧几里德还是非欧几里德，只要我们将其构建为欧几里德。
这种对康丽西亚语的扭曲扭曲了丁西奇（本身就是本身）的不知情，以及我们对出现世界的禁闭，是普内加斯作为一个工作的物理学家。 即使他在很大程度上同意黎曼，黎曼希望经验事项指导了几何形状，而Poincaré不能同意。 观点刚刚解释的是Poincaré的几何常规哲学。 但是有一个重要的区别。 请注意，这不像言语的常规正规，而是相当像社会或法律公约（那里必须考虑一些基本事实，见De Paz 2018）。 这种情况远非完全随意，因为物理体验起着决定性的作用并限制了选择; 但是，没有绝对的决定，最终必须做出选择，简单的有最终词。
他也倡导了其他科学领域的常规主义，争论我们称之为自然法则（牛顿的法律，例如，惯性原则）既不对修订或绝对真理均未开放的经验事项，但是升高的成果公理在目前科学理论中的作用。 他们可能受到挑战，但只有在一个完整的科学理论受到挑战时，才会在进行一些尴尬的观察时毫无疑问。 面对卫星似乎并没有遵守牛顿的法律，普内加斯表示，在工作中考虑一些尚未注意力，而不是寻求重写牛顿。 但是，基于改写自然法则的不同假设，可以提出一种新的理论，因为这些法律不是永恒的真理 - 我们永远无法了解这样的事情。 如果要提出一项新法律，那么在新旧和旧的中选择的情况下，将考虑到简单，而且不仅将被考虑到经验拟合。
这里至关重要的区别是科学常规主义在高水平运行。 这些选择是有意识地和智力的，辩论仅对具有相当数量的专业教育的人开放。 另一方面，欧几里德几何形状的选择在能够出现任何类型的正式教学之前在脑中运行; 没有一些几何框架，不幸的主题将无法对外部世界的了解。
6.3Poincaré与罗素
当他从简短的黑格尔阶段开始并进入他的康妮阶段，普内加尔的观点将他与1890年代的与Bertrand Russell碰撞。 拉塞尔正试图通过争论有一个基本几何形状来建立凯蒂安先生，这是投影几何形状，我们有合成的优先知识（参见罗素和Nabonnand 2000对争议的Griffin 1991）。
普内加派毫无疑问，由于他更大的数学命令，赢得了大部分辩论，就像罗素一样，愿意承认他的错误的特色意愿，愿意承认。 但它们之间的方法的显着差异从未得到解决。 Poincaré的分析开始突出刚体及其动作，从中创造了距离的概念。 罗素争辩说，无论我们可能发现距离的概念，我们都知道，在我们开始与伦敦到巴黎的距离超过一米。 这个庞加莱在他的“Des Fondements delagéométrie：àProposd'联合国Livre de M. Russell”（1899）。
在Poincaré的观点中，我们只在刚体的经验基于刚体的经验时从一点到另一个观点的距离，这知识已经成为我们天生的。 在罗素的观点中，距离被视为一种根本的直觉，如果有人想到从伦敦到巴黎的距离可能小于一米，我们会知道我们无法谈论距离。 但Poincaré坚持认为，我们所知道的谈论应该依赖我们的知识; 没有，该权利要求根本不是知识声明。
数学图案可能会照亮分歧。 对于Poincaré，谈谈我们可能称之为普通几何，我们在高级指令之前所拥有的空间感，真的是我们必须衡量事物的能力。 我们可以携带一个刚性的身体，并用它作为尺子。 这是因为我们可以这样做，我们可以谈论地方之间的距离。 如果要使设置更摘要，则必须有一个空格和一个在空间上行动的小组，并在周围的空间中移动点。 如果此组具有该属性，但是，如果该空间的区域围绕其移动，则永远不会映射到其自身的适当子集上，然后一个人可以构建刚体并谈论距离。
