几何认识论（三）
当一个人看待如何解决有关投影几何中的横向比定义的众所周知的唠叨怀疑时，Klein的Erlangen计划的认识论变得更加清晰。 Klein的答案通过比喻进行了欧几里德的长度或非欧几里德几何形状。 在那些几何形状中，相应的组保留直线，并且任何点都可以映射到任何其他点，但是该组中没有转换，可以将线段映射到其自身的适当子段上。 因此，任何任意但固定线段（由两个点确定）可以作为长度的单位，通过构造它的任意倍数和子倍数并将其布置为尺子来测量线段。 现在测量段的长度
一种
b
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，一个简单地奠定了这一点
一种
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在统治者的一端，看到了这一点
b
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落在统治者身上。
Klein的Insight，之后von Staudt之后，涉及涉及四四轮的相似的参数可以用于定义投影几何中的横向比。 投影组保留了直线，任何有序的共线点数可以映射到任何有序的共线点三倍，以及向另一个有序点到另一个有序点的不同点的地图上的地图是独一无二的，但没有在组中的转换，可以将四个共线点的四重点映射到任意的这样的四倍。 因此，任何任意但固定的线性四重奏都可以作为“尺寸”的单位，并且一个复杂但不困难的参数允许一个可以生产可用于测量交叉比的任意倍数和子倍数，通过将其排列为尺子来进行尺寸。 而不是给出细节，最好给出这种暗示的例证为什么可以完成这一点。 让四个共线点的横向比
p
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通过将点映射到点上来测量
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在时间的语言中，长度是欧几里德的两点不变，横比是投影组的四分之一不变。
3.2希尔伯特和其他在公理投影几何上
投影几何中一些技术问题的问题，以及19世纪末的严格标准的挑衅挑衅试图为主题公理。 该任务由Moritz Pasch占据，最有力地由意大利几何Pieri，Pieri，Pieri和19世纪下半叶的其他人，他们成功地在两个和三个方面的真实和复杂的投影几何形状进行了严格的叙述（见Marchisotto和Smith 2007）。 但他们同时进行管理，减少对几何教师严格训练的主题，并没有欣赏他们开业的研究的途径。 它留给大卫希尔伯特来振兴对几何的公理方法（见Hallett和Majer 2004）。
希尔伯特已经引入了一些关于基本投影几何的争议，涉及什么导致的设置暗示了其他结果。 最重要的是脱索的定理（参见Arana和2012年的Mancosu）。 在三维投影几何形状中，脱渣的定理是单独的发病率公理的结果，但它是突起平面中的点和线条的定理（如二维几何形状），但没有人能够得出它从二维投射几何的射流公理。 它愿意怀疑它可能不会被那些公理从那些公理中推断出来，而Giuseppe Peano能够表明它确实无法推断出没有一些额外的假设。 独立地，希尔伯特还给出了一个几何形状会议，满足二维投影几何的所有发射公理，但其中脱索定理是假的。 它被美国数学家和天文学家F.R所发现的更简单的例子所取代。 Moulton在Hilbert的Grundlagen der Geometrie的所有后来版本中（1899年）。
在Hilbert提出的公理几何形状中，没有定义基本对象（点，线，平面）。 相反，希尔伯特指定了链接它们的关系网络，这决定了它们如何使用以及可以说的是什么。 他介绍了五个主要的公理，根据他们编纂的概念进行排序。 然后，他创造了各种各样的几何形状，遵守各种公理系统，并通过给予它们在合适的环和领域来建立它们的一致性 - 通常他的几何形状承认许多解释或模型。 Hilbert利用了他在数字领域和戒指的新颖理论中的专业知识。 这给了这些几何形状所有算术的一致性，并增加了希尔伯特对某种形式的集合理论和逻辑的地面算术的兴趣。
希尔伯特的方法茁壮成长，因为他已经意识到了公理的数学，对不同但与相关的公理计划以及它们的影响以及公理和可能的解释（模型）的研究。 他采用了这种新方法来解决有关独立和一致性的问题，希望能够发现新的洞察力，以简单起见，数学问题的溶解性和可解除性。 Poincaré在他的评论（1902年）的希尔伯特书中，接受了新几何的有效性，但后悔他们是，因为他把它不完整，因为他们缺乏心理组成部分。 这意味着他们无法在他解释我们如何在经验的基础上制定对物理空间几何形状的知识（见下文第6.2节）的知识。
4.非欧几里德几何形状
平行假设的调查开始于希腊时代，在伊斯兰世界继续，并在早期的现代西方进行。 但是，由于尚不清楚的原因，在大约1800年之后，人们可以更容易想象欧几里德的元素可能不是唯一可能的韵律学系统。 在有助于解释的因素中，即使在数学家社区之外，如何在数学家之外思考是如何基于除了平行假设之外的假设的定理的积累。 似乎新颖的制作，这种激进的假设的一致后果，以及未能找到矛盾，倾向于思考某些人认为可能确实是与欧几里德不同的整个几何形状。 它也可能与此过程恰逢虚数的完全同化（以及复杂函数理论的兴起）; 事实上，Lobachevskii称他的理论“虚构几何”。
可以在18世纪后期已经注意到态度的变化。 1759年，D'·瓦尔尔特称并行线“Le Scandaledeséliesedegéométrie” 1763年，G.S.Klügel的论文审查了大量的试图证明并行假设，得出结论是它们都出现故障：结果可以根据公理证明“不更清晰或更安全Euclid's”，因此Euclid确实是在公理组织中包括“一个不能以正确形式证明的命题” Klügel的讨论称为Saccheri的工作（1733）作为现代最详细的治疗，并刺激了兰伯特对该主题进行了详细的工作（1786）。 后来，在1816年，高斯重申了印刷者，不断越来越多地证明假设的尝试不会填补差距，并且应该诚实地和公开承认“本质上我们没有比欧几里的距离，2000年前越远。”
也许这一转变的信号示例是法律教授F. K.Schweikart，1818年通过Gerling，一名同事和前学生在马尔堡大学的一名几何与Euclid的几何学账户寄出了Gause。 Schweikart的几何图是由Gauss接受的，他回答说，一旦在Schweikart的账户中出现的常量给出了一个值，就可以导出新几何的所有属性。 但是在高斯接受了什么，不太清楚。 随着年来的岁月，他完全相信，与欧几里德平面几何形状不同，有一种新的，二维几何形状。 这种几何形状可以由公式描述，他将看到兰伯特之后，本来看起来像那些球形几何形状。 但他没有描述这种三维几何形状，留下了二维几何形状的可能性，即某种形式，无意义的奇怪。 另一方面，与贝塞尔通信，他明确表示他无法归于欧几里德几何形状，所以他给予了算术，这是一个先验的。 他和贝塞尔俩都保持开放的可能性，空间的天文区域可能无法成为欧几里德。
在欧几里德以外的第一个完全数学描述的信用，必须在匈牙利和尼古拉伊·伊万诺维奇Lobachevski独立上到匈牙利··贝尔盖伊 在他的“附录Scieniam spatii绝对veram展览”（1832）和Lobachevskii在他的NeueAnfangsgründeder Geometrie（1835）中，再次在他的地质丝石untersuchungen（1840）用假设替换了并行假设，假设给定线L和不在该线上的点，有很多线路通过L和给定点定义的平面中的点，但这不符合它们的线路，因为它们然后显示，每个方向的一条线是渐近的，这些渐近线将给定平面中的所有其他线条的家族划分为两个家庭：那些符合L的人，以及那些不符合L的人。 然后，在每种情况下，在每种情况下都是相似的，特别是在他们的假设描述的三维空间中，存在欧几里德几何形状的三维空间，并推导出在平面中描述三角形的三角形例的存在。 这些公式类似于球体上的三角形的相应配方。
所有这一切都让Bolyai和Lobachevskii说明了新的几何形状可能是物理空间的描述，因此可以成为决定欧几里德几何形状或非欧几氏几何形状是真实的实证任务。 Lobachevskii甚至试图通过天文观察来确定问题，但有显着的方法论困难，他的结果完全不确定。
当然，这是真实的，即新几何形状中没有一致的扣除规定了存在矛盾的可能性，而是新几何形状与球形几何形状的诱人关系，以及三角形公式的存在三角形强烈建议新几何学至少一致。 那些接受它的人，他们在19世纪60年代之前很少，尽管如此，可能会受到比一家Bolyai和Lobachevskii提供的更好的账户。 即便如此，即使在RIEMANN和BELTRAMI的重整之后，许多几何称也能找到令人信服新几何的有效性的公式（例如，他的主要论文（1907）的原则几何图形）。
这不仅存在公式，而且它们暗示了几何形状的替代配方，其中欧几里德元素中描述的几何形状可能被证明是一个特殊情况。 如果可能有另一种方法来定义几何形状，那么将在各种情况下导致这些公式的方式，将开放方式重新思考批判性检查的几何问题。 最好的人在1830年代和1840年代是高斯：他很好地知道Bolyai和Lobachevskii所做的事情，他的差异几何形状给了他继续进行的手段，但好奇地，他没有这样做。 在1840年代初，他写了一些说明，表明他可以将新的二维几何形状与几何形状连接在恒定的负曲率的表面上，但他对这一观察没有任何作用。
另一方面，仅仅是公式的存在性不足以使它们成为性格的几何。 在他最早的出版物中，Lobachevskii需要一个几何接地，但在他的早期出版物中，但俄罗斯的俄罗斯没有在俄罗斯（俄罗斯数学家也不赞赏）。 他在1840年的他的小册子中放弃了对这种小册子的考虑，他的大部分声誉取决于这一天，而是将它们带回了他的最后演示文稿中，这是Pangéométrie（1856年），这一点没有比早期的版本更好。
Lobachevskii首先认为几何是空间中的尸体科学，那个空间是立体的。 最原始的概念是联系，它的对面，切割两个身体。 未接触的两个身体是分开的，并且与它们两个接触的合适的第三个体测量它们之间的距离 - 否则尚未确定的概念。 然而，随着它，他可以在给定点与其中心定义一个球体，因为从那个给定点的所有点的集合集合。 然后，他展示了如何定义一个平面捕获平面是从两个给定点中达到相同距离的空间中的点的集合的直观。 在他的术语中，给定两点，平面是两个相同半径的两个球体共同的一组，一个是以另一个点和另一个点为中心。 可以在同一平面上使用圆圈定义一条线。
随着距离是原始概念的直觉，对运动的更大升值，或者至少能够在不改变它们的情况下移动对象的结果。 人们可以想象在一个刚性的身体周围运输，说出单位长度的立方体，并使用其一个侧面标记长度。 我们稍后会看到这个过程中固有的可能性会在19世纪末舍尔特兰·拉塞尔和亨里普林林之间的鸡蛋和蛋辩论。
新几何形状对欧几里德几何构成了一个激进的挑战，因为它否认传统的几何形状，最能确定的索赔，以至于它是唯一一个讨论几何形状的逻辑系统。 它还利用了专家之间的紧致和最短概念所知的紧张局势。 但在其他方面，它是常规的。 它没有提供熟悉概念的新定义，例如直线度或距离，它同意欧几里德几何形状在角度上，它仅基于直线的远方行为的差异提供了不同的平行行为。 它的支持者并没有提供持怀疑态度的结论。 Bolyai和Lobachevskii没有说：“看，有两个逻辑但不相容的几何形状，所以我们永远无法知道什么是真的。” 相反，他们举行了希望实验和观察会决定的希望。 从一个意义上，如果天文观测贬低了新几何，人们将不得不付钱的人们必须略有：毕竟有必要说直线有意想不到的财产，但是一个唯一可检测的距离。 为了确定，必须重新准改几何理定理，并且他们熟悉的欧几里德对应物只会出现非常好的近似值。 但这与牛顿力学在特殊相对论之后发现本身的情况广泛相当。
黎曼几何
Bernhard Riemann的延伸延伸的高斯微分几何延伸的速度越大，更为重大变化。 精确地，他找到了一种方法来定义从非常一般概念开始的几何形状，逐渐引导（通过越来越窄的假设）到已知的公制几何形状。 在声音不间断的风险中，可以认为瑞马的“概念”作品是一种原始结构主义的形式。 他所做的就是：首先，他介绍了n维歧管的一般结构，然后在歧管中定义度量（具有差分几何形状，线元素和高斯曲率的装置）。 随着所有这一切，欧几里德和非欧几里德几何形状出现了三维歧管的特定情况，一般结构的混凝土形式。 并且“假设”在Riemannian歧管的一般框架内单打这些几何形状，是刚体可以自由移动而不会变形的物理假设。
一些认识论问题已经用Gauss的工作提出（1828年），所以我们首先转向它。 欧拉在此之前已经显示，在（光滑）表面中的每个点P处，有两个所谓的主曲率，最大和通过P.这些曲率的线的最小曲率，
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1
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，在彼此垂直的平面部分中发生，并允许我们研究P的整个社区的形状，现在，高斯的深刻想法（在研究大地测量时发现，即测量和MapMaking，即弯曲表面的一些性质没有考虑环境空间的研究。 其中一个关键属性是产品
κ
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2
，称为高斯曲率的表面（在一点）。 因此，采用差异分析方法，他详细阐述了所谓的表面内在几何形状。
高斯与表面本身的坐标系一起工作，并考虑了沿着完全在S的线路上的地表S的点之间的距离。一些表面
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可以通过弯曲（不拉伸）彼此获得; 更加正式表达，有一个等距图
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。 （例如，飞机可以如此弯曲成圆柱体;您可以使用一张纸来说服自己。 他对此结果非常高兴，他称之为艾伦·埃格格里亚，他的“优秀定理”：如果两个表面
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，
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是等距的，然后相应的点具有相同的高斯曲率。
在点处的表面的高斯曲率是内在的意味着它通过表面的测量完全确定并且不涉及第三尺寸的任何问题或嵌入表面的环境空间。 高斯曲率的特性不依赖于表面的空间内的定位，而是仅用于其度量的内在特性。 也就是说，即使一个人弯曲了表面积（不破坏，拉伸或折叠），弯曲表面的重要属性也保持不变。 一个这样的事物仍然不变，是表面上的大测地测器，即，最短距离线（完全在表面上）。 在汽缸的情况下，测地测器是垂直线，水平线（圆圈）和它周围的螺旋 - 这些线路都来自平面上的直线，该平面“卷起”以形成圆柱。
给定度量，可以找到相邻点之间的距离Ds的差分公式，可以找到曲率。 例如，如果距离的公式是用于球体上的球体上的地图，则将发现曲率是球体半径的平方的倒数
1
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2
1
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2
。 平面具有与汽缸相同的高斯曲率，或者也与靠近锥体的东西（也可以从圆筒形成的东西，而不破碎，拉伸或折叠）; 他们是当地等距; 虽然弯曲，气缸在高斯的技术意义上具有零曲率，就像飞机一样，这是为什么从旋转滚筒打印的原因是可能的。 当一个表面可以以距离未改变一个表面时调查，当没有改变距离，表明要发生这种情况的必要条件是相应点处的曲率是相同的。 这还意味着可以在所有这些表面上构建相同的图形; 一个表面上的两个点（测地测量）之间最短长度的最小线或曲线对应于其他方面，因此角度，区域等将是相同的。 高斯发现了更深入的方式来研究表面的几何形状，这会产生现代差异几何形状。
没有立即理解，高斯的方法允许数学家将表面定义为平面的区域，其具有不可于欧几里德三维空间中的表面获得的特定度量。 如果一个人将表面定义为从一块地图的图像的图像
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当然，它在
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。 但如果一个人将表面定义为一个区域
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2
具有特定的公制，那么可能没有表面
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它对应的。 第一个欣赏这一点似乎是riemann，他还将这个想法扩展到任何数量的维度。
