几何认识论（二）
事实上，Legendre试图恢复对基本几何形状的治疗的尝试并不比Euclid更好，并且在某些方面，不仅因为他试图证明平行假期不可避免地失败，而且因为他比他走私更多的账户意识到。 但其目的目的的主要意义是，它举例说明了在距离概念上进行地面几何形状的尝试，或者更确切地说，直线线是其任何点之间最短距离的曲线的想法。 距离本身未定义。
Joseph Fourier在与Monge讨论中，也将距离的概念作为基础，并开始具有三维空间。 然后，他采用等距来定义连续的球体，平面（作为从两个给定点等距离等距离的点）和线（作为从三个给定点等距离等距离）。 这至少为这些令人不安的概念提供了定义（参见Bonola 1912,54）。
为了得出结论：当时的合理观点是按顺序放置房屋所需的距离几何形状，并且它可能无法通过将距离的概念嫁接到欧几里德元素上建模的结构上。 这是传统几何的尴尬立场，它可能会让人们的思想开启替代方案的可能性。 当然，将制作两个。 一个，投影几何，放大并改善几何的合成侧。 另一个非欧几里德几何形状是一种新的和挑战性的韵律几何形状。 但在我们看着他们之前，我们转向当代的几何哲学讨论。
2.应用几何中的认识论问题
这是一个有用的过度简化，可以说大约1800个视图是有一个物理空间，并且这个空间由欧几里德元素中的几何形状描述，这是这种任务的唯一候选者。 争议涉及这种几何形状的严格演示以及其应用于物理世界的限制。 所提供的几何的知识的性质也是一些讨论的问题。
传统上，几何形状被认为是真理，确定性和理由的范式。 这可以找到例如。 在十七世纪的许多作者中。 Descartes准备批评欧几里德方法以实现一定的僵硬，这使得难以找到新问题的解决方案，并且他试图通过组合代数和几何来缓解它; 然而，即便如此，他始终强调几何形状的清晰度和证据。 根据Pascal的说法，几何是展示真理的方法的完美说明，以及在有条学秩序中建立一个命题的主张。 莱布尼兹，斯科诺萨和其他人继续服用数学作为哲学话语的模型。
洛克（参见洛克的条目）从亚里士多德的传统中获取了欧几里德几何和理性神学的想法是科学知识的示范，但试图以直观，示范和敏感的知识为他的哲学。 直观的知识是立即掌握的; 表明知识可利用证明的中间步骤，如几何形状。 这两种知识都是肯定的。 敏感知识并不肯定：这是我们通过我们的感官学到的，它呈现出影响但没有原因，它处于最佳部分，可能是欺骗性的。 空间可以被认为是物体的所有（实际和可能）的所有位置; 纯粹的空间是空间，拆除了所有固体体，以及我们用于讨论身体之间的分离的原始概念。
洛克提供了对我们对空间和数字知识的纯真解释的论据，强调经验的主要作用（参见莫利期问题的条目）。 然而，在他对人类理解的一篇文章中（1690）洛克断言
......右侧衬里三角形的想法必须带有它到两个正确的角度的平等。 我们也不能想到这两个想法的这种关系，可能是可变的，或者依赖于任何任意力量，因此选择它的选择，或者可以做出任何否则。 （论文IV.III.29，PP。559-560）
然而，对应对象的敏感知识永远不会有这种程度的确定性，并且因为我们的知识源于我们对物体的知识，似乎从我们对几何知识的知识中的科学知识是不同的。 因此，对于洛克，欧几里德几何形状提供了一种知识，以及经验和科学实验。 事实上，人们可能会说，在哲学中仍然是哲学的遗体遗体，以实证和先验知识仍然被广泛认可的形式。
在康德对纯粹原因的批评（1781/1787）（参见进入康德的空间和时间的看法），情况更复杂或复杂。 康德与后验知识的先验知识引入了先验知识的概念，与分析知识相比，允许存在不依赖经验的知识（并且是先验）但表现不佳的知识（并且是合成而不是分析）。 争议的综合性宣言课程包括欧几里德几何形状的真相; 因此，他刻上了欧几里德几何形状的确定性和必要性。 康德关联几何知识，纯粹的空间; 要知道等腰三角形（即，具有两个相等的边缘）在底座上具有两个相等的角度，数学家必须产生特定的结构，使得索赔的真实性证明（参见批评，716，B 744）。
在法国哲学中，1740年代的主导地位是笛卡尔之一，如克莱达特的ÉlémensdeGéométrie（1741年）所示，这可能是透明的坚持不懈的立即想法。 D'Anuredt在ConcylopédieMéthodeque（1784年）的文章中更为复杂的地位。 几何形状的物体将通过每种质量抽象出来，除了被分隔和图形的范围之外。 在这些物体中是线条，缺乏宽度和表面，缺乏深度。 确定几何物体的真相纯粹是抽象和假设的，因为没有这样的东西，例如是一个完美的圆圈。 所示的属性可以只有实际圆圈，只有实际对象接近完美圆圈的状态，
在某种意义上，他们是一个极限，如果一个人可以把它放在这种方式，身体事物的渐近，那些对象的术语，这种物体就像一个愿望就像一个愿望就完全到达。 （见ConcylopédieMéthodiqueII，132）
但是，如果数学定理并不完全保持本质上，这些定理在实践中具有超过足够的精度。 通过完全严格证明，他们必须被认为是在抽象完美状态下的身体的举行，以至于他们并没有真正拥有。
在几何中研究的曲线并不完全直观，也不完全弯曲，表面并不完全平坦，也不完全弯曲，但近几乎它们是如此，它们越多，它们就越多，具有那些物质的状态，其中一种能够精确地直线或弯曲，并且表面完全平坦或弯曲的。
这些反射，D'·瓦尔尔特继续，将拒绝抱怨的怀疑论者，他们抱怨的是几何物体并不是真正存在的，而其他人则为众所周知的数学是一种无用的比赛。
因此，哲学家似乎没有在欧几里德的元素中发现任何问题，但休谟，D'Albermant和其他经验主义说服的人员有资格在地面上的适用性地，几何形状可能没有相应的物体在世界上。 哲学家更加开放了广泛的某些知识的想法（例如，康德）可以授予几何定理，这是一种不能以外的先验真理的状态。
2.1力学的含义
物理空间是Naïve，欧几里德元素的空间的立体版，以及笛卡尔协调的立体几何形状，这就是牛顿在他的Principia Mathematica（1687）中的方式。 它被认为是一个中立的竞技场，不受物质或力量影响，而是在各种力量下调节身体的运动。 其中的主要是重力的力量，笛卡尔的传统中的数学家被认为是一个神秘的，甚至是不可接受的，概念概念，但在19世纪的开始，拉普拉斯展示了所有已知动作的能力很好太阳系。 因此，重力已成为一种自然的，原始概念，不再需要进一步的解释，到1800年，这是合理的，这些人在磁力和电力的新理论上工作，以将它们视为力量，并在适当的情况下模拟他们的牛顿重力。
如牛津岛的牛顿所述的物理空间，将通过通过相对于彼此的运动的观察和通过任意时钟定时到绝对空间和时间的相应真正运动来研究。 正如牛顿在他的第一个学习结束时，他的论文的目的是展示
如何从他们的原因，效果和明显差异中确定真正的动作，并相反，如何从动议中确定，无论是真实还是明显，它们的原因和效果。
在牛顿的思想中显然毫无疑问，关于物理空间的欧几里德本质，确实在17年或18世纪的天文学家中似乎没有疑问，那些在欧几里德元素中使用的术语中可以描述空间。 对牛顿物理的优点的越来越可能越来越可能弥补了空间是三维，均匀，各向同性的信念，并且被描述为无限坐标网格，因此举例说明了定理 - 如果不是精确的元素的定义。
物理空间的几何方面与机构的机械行为之间的相互作用，在牛顿第一法的陈述中是清楚的（参见惯性框架的条目）：
除了被迫改变其状态印象之外，每个身体都坚持休息或均匀直接向前移动的状态。
还存在均匀的球形固体对其他体上的引力效应产生相同的重力，如同浓缩在体中心的等质量。 也就是说，这些机构以一种方式行事，这些机构是可证明的，而不仅仅是大约，与点群众相同。 以这种方式，点和线在他的动态理论中获得了物理意义。
这是Laplace，为欧几里德几何形状说，对欧几里德几何形状表示最强烈的论点。 在他的博览会中为1796年的杜塞蒂赫姆杜Monde（见第五，Ch。v，p.472）他添加了一个有趣的票据（在Bonola 1912：54中引用）说
几何人物证明欧几里德假设在平行中的姿势已经越来越富有。 然而，没有人可以怀疑这假设和欧几里德所推断的定理。 因此，空间的概念包括特殊属性，不言而喻，没有哪个不可能严格地建立平台的特性。 有界区域的思想，例如圆圈，没有任何取决于其绝对幅度。 但是，如果我们想象它的半径减少，我们就会被带来的圆周和所有铭刻图的相同比例的减少。 这一比例似乎对我来说比欧遗工更自然，值得注意的是，它在普遍引力理论的结果中重新发现。
虽然拉普拉斯没有提及瓦利斯，但这是与沃斯的观点相似，虽然拉普拉斯没有提到瓦利斯，但可能没有知道他对平行假设的讨论。
因此，大约1800年，欧几里德几何形象的真相声称的问题一般都是关于我们对外部世界知识的问题之一。 在欧几里德几何形状的有效性中对哲学和科学界的信心非常高。
3.投影几何
在19世纪的许多人看来，欧几里德几何形状将其基本地位失去了一个被视为更通用的几何形状：投影几何形状。 （对于19世纪的几何介绍，参见Gray 2011.投影几何在第十九世纪几何中描述，另请参阅生物群岛 - Martagon 2011的各种作者的论文。）投影几何有自己的基础问题，类似于欧几里德几何中距离的距离的距离，涉及横向率的概念，我们需要遵循动作来创建投影几何形状作为独立的主题，以定义该设置中的横向比，并解决所提出的认识论问题。（与Klein的Erlangen计划相关的成就）。 我们还应看到，投影几何的增长为希尔伯特的几何结构创造了竞技场。
这个几何理论的起源在17世纪奠定了脱尾和帕斯卡，但飞机投影几何形状从Jean Victor Poncelet的1822年TraitédesPropriétés投影项目中汲取了他在非度量几何的促进制剂下，投影方法的力量。 新几何形状的基本特征在于它可以被认为是捕获直线 - 两个不同点的最简单性质定义唯一线路，两个不同的线在最多一个点相遇 - 丢弃距离和角度的度量概念。
Poncelet通过追逐（1837）以更严格的方式重写映射到线条的平面的转换的索赔以更加严谨的方式重写，这突出了横向比的不变性。 考虑
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然而，这让这个主题在似乎比欧几里德几何更广泛的似乎更广泛的位置，因为欧几里德，韵律，转化是投影转换，但不相反，同时仍然依赖于它的定义中的韵律概念根本不变。
这个问题在19世纪40年代和1850年代由Georg Karl Christian Von Staudt解决。 他的两本书（1847,1856-1860）试图为投影几何构成，使其成为一个自主主题，独立于欧几里德几何形状。 他们很难阅读，并且在许多方面都是不完美的，但是在完成已经开始的任务的问题时，可以首次看到创造严谨理论的任务。 冯·斯托特认为，平面投射几何的变换可以将任何三联聚点映射到任何其他角度，以及任何其他分数（其中三个是共线的），但不是任何其他相结合点。 然后他对共线四人进行了详细的研究。 他还简要介绍了欧洲克利迪亚几何学如何从投影几何获得，从而可以看出，一旦欧几里德距离的概念加入投影，他的共线四人理论就会减少到熟悉的横幂理论几何。 在18世纪70年代初的一些论文中，Felix Klein已经明确而明确了这种洞察力。 投影几何中的第一个可读教科书，以及给予它名称的那个是克雷莫纳的元素迪地球仪Projettiva为1873年，之后，该主题迅速升起成为基本的经典几何形状。
它的基本概念是一个空间的积分，线条和平面
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丰富了经常被称为无穷大的飞机，以便任何两个共面条的线路相遇。 在19世纪末的理论的公理事件之前，点，线和飞机是具有直观解释的基本概念，允许投影和欧几里德几何形状之间的准备通行。 几何图地图的允许变换点为点，线条，线和平面的平面和保持横向比。 它们在空间上发生行动，因此没有点，线或平面是特殊的，因此可以在空间的任何有限部分中平行的线映射到交叉线，反之亦然。
在其合成形式中，投影几何的成功主要被局限于康乃馨研究的简化 - 所有非退化锥体（圆形，椭圆，抛物线和双曲线）都是引单等价的。 在其代数形式的投影几何中，几乎证明了在任何程度的平面代数曲线的研究中几乎是必不可少的，并且扩展到较高尺寸的投影空间，以研究代数表面。 所有这些都有助于基于直线的概念以及线和平面的概念的基于较少的非韵律几何的核心重要性。
投影几何也具有一个令人惊讶的特征，称为二元性，这刺激了可能的来源的认识论反思。 在平面投影几何中，可以将术语“点”和“行”，“重合”和“并发”交换，以这种方式从一个新的语句获取。 因此，投影几何中的所有定义，定理和校样具有双重字符。 例如，脱索定理声明及其证据的双重是定理及其证明的互动。 在三个方面，术语“点”和“平面”可以以相同的方式交换，离开“线路”不变。 这提高了有趣的认识论问题：克雷莫纳作为逻辑的法则，克雷莫纳被视为二元性; 此外，很容易将平面设想为点，但不可能将其直观地视为由线组成。 为了使事情变得更糟，当被视为点组成时，空间是三维，但是在线组成时四维。
3.1坐标转换; Kleinian几何
Klein的Erlangen计划和被称为Kleinian的几何视图在第十九世纪几何形状中描述。 它已成为视图的主要来源，即几何可以定义为作用在空间的组，而几何属性是在适当组的所有转换下的任何属性不变。
Klein主张在1872年在1872年成为埃尔兰根大学教授的小册子中发表的这一观点，并在1870年代的期刊中的其他出版物以重新统一几何。 他介绍了一种方法，表明诸如欧几里德和非欧几里德几何形状的度量几何形状，以及诸如逆几何和自由改性几何形状的其他几何形状，可以被视为投影几何形状的特殊情况（如1872年的他不知道的仿射几何形状）。
基本几何形状是真正的投影几何形状，在两个维度中说。 在这种几何形状中，空间是真正的投影空间，该组是所有投射转换的组。 这样的转换地图点数点，线条到行，程度曲线
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重要的是，重要的是，通过任何投射转换均未延伸四个共线点的横向比。 在Kleinian的观点中，这建立了该点，线条，程度曲线
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，并且四个共线点的横向比是几何形状的性质。
投影几何形状以各种方式纳入其他几何形状。 Klein表示，可以寻求添加到配置列表中，在这种情况下，将它们不变的组通常小于主要组，或者可以寻求扩大组，在这种情况下，不变配置通常会缩小。 Klein成功地表明非欧几里德几何形状通过将注意力与投影空间中的圆锥内部的关注限制在映射到本身的圆锥内部（见Klein 1871,1873）。
