几何认识论（一）
几何知识通常涉及两类事物：几何系统中的定义、公理、定理和证明中包含的理论或抽象知识；以及一些外部世界的知识，例如以物理几何系统表达的知识。还必须考虑抽象几何与其实际表达之间的关系性质。
本文探讨了各种几何理论，它们在 20 世纪狭义和广义相对论出现之前的时期的可理解性、有效性和物理可解释性的基础。事实证明，线的两个基本属性（最短和最直）之间的复杂相互作用在许多阶段起作用。
19 世纪之前，只有一种几何学被深入研究过，或者被认为是对物理空间的准确或正确描述，那就是欧几里得几何学。19 世纪本身出现了大量新几何学，其中最重要的是射影几何学和非欧几里得几何学或双曲几何学。射影几何学可以被认为是欧几里得几何学非度量和形式方面的深化；非欧几里得几何学是对其度量方面和含义的挑战。
到 20 世纪初，人们提出了各种黎曼微分几何学，这些微分几何学严格理解了非欧几里得几何学。抽象几何学领域也取得了重大进展，例如大卫·希尔伯特提出的几何学。因此，“几何”和“物理空间”这两个术语在 19 世纪的含义并不简单，这些术语概念的变化并不遵循简单的细化模式。因此，它们之间的相互关系也有着复杂的历史。
几何学是一门系统逻辑思维的学派，几千年来，欧几里得的作品一直被视为一门有根有据的科学的典范，但在 1900 年左右，人们的观点突然发生了变化。它也是数学方法的发源地，从综合到解析处理、代数发展、结构主义的兴起等等。回顾几何学的发展历程，我们可以看到它是如何从图形（及其测量）的研究开始，发展成为空间的研究，最终成为空间结构的研究——从最基本的拓扑结构，到 n 流形，再到物理学家所掌握的几何形状。
与此同时，几何学提出了基本的认识论问题，并成为哲学辩论的决定性焦点。可以很快提到：1、几何知识的确定性和先验性问题，与以下问题相关——一种几何，还是多种几何？2、直觉的作用问题（康德是对的吗？平行公理是否直观地建立在直觉的基础上？）3、理想化问题，涉及完美几何图形与其真实实例之间的关系；4、数学与自然科学之间相互关系的概念转变。
1. 欧几里得几何中的认识论问题
1.1 图解构造问题
1.2 综合方法与测量
2. 应用几何中的认识论问题
2.1 力学的含义
3. 射影几何
3.1 坐标变换；克莱因几何
3.2 希尔伯特等人关于公理射影几何
4. 非欧几里得几何
5. 黎曼几何
5.1 黎曼的概括
5.2 黎曼和贝尔特拉米以及严格非欧几里得几何
6. 新几何的可理解性
6.1 赫尔巴特的哲学和黎曼
6.2 亥姆霍兹和庞加莱
6.3 庞加莱与罗素
7. 结束语
参考书目
学术工具
其他互联网资源
相关条目
1. 欧几里得几何中的认识论问题
对欧几里得提出的几何进行详细研究会发现许多问题。值得详细考虑这些问题，因为直到 19 世纪后期，欧几里得《几何原本》在认识论上的令人信服地位几乎无人质疑。这些问题中最主要的是直线和平面的定义不明确，以及最短和最直作为基本几何性质的混淆。（参见希思版《欧几里得几何原本》中收集的许多评论。）平行公设的含义将单独处理，参见非欧几里得几何部分。
《欧几里得几何原本》的前四卷都是关于直线和圆的，但众所周知，直线的概念只得到了最不令人满意的定义。线被称为“无宽度的长度”，直线被称为“与自身点均匀分布的线”。这可能有助于说服读者他们对直线有共同的概念，但如果在理论创建过程中出现意外困难，这将毫无用处——正如我们将看到的。
对于那些决定仔细阅读《几何原本》并了解关键术语如何使用的人来说，很明显，该解释在某些方面非常严谨，但在其他方面却存在缺陷。直线几乎总是以可以无限延伸的有限线段的形式出现，但正如许多评论家指出的那样，尽管欧几里得说有一条线段连接任意两点，但他并没有明确地说这条线段是唯一的。这是第一全等定理 (I.4) 证明中的一个缺陷，该定理指出，如果两个三角形有两对边相等，且夹角相等，则三角形的其余边相等。
定理 I.4 在另一个方面很有趣。定理 I.2 提供了一个严谨的、绝非显而易见的证明，即平面中给定的线段可以精确地复制，其中一个端点位于平面上的任何规定点。定理 I.4 正确地要求证明一个角度也可以精确地复制到任意点，但欧几里得目前无法提供这一点（定理 I.23 中给出了一个证明，但它建立在这些早期结果的基础上）。因此，他直截了当地声称一个三角形可以精确地复制到任意位置，这让人不禁想知道为什么在 I.2 上花费如此多的精力。事实上，图形运动的整个概念在阿拉伯/伊斯兰时代成为了一个长期讨论的话题。（关于欧几里得的演绎，见 Mueller 1981。）
对《几何原本》第一卷的一种合理解读是，直线可以理解为有方向，因此在每个点的每个方向上都有一条直线，在给定方向上的给定点只有一条直线。平行公设则说，与给定线相等角度的线指向同一方向，并且不会相交。但这必须被视为一种解释，而且需要相当多的工作才能使其精确。
尽管如此，方向比距离更合理；欧几里得一开始并没有认为连接两个不同点的直线就是连接它们的最短曲线。《几何原本》中相关的原始概念是线段相等，例如给定圆的所有半径。欧几里得在《常识 4》中提出，如果两个线段可以重合，那么它们就相等，并且（在麻烦的 I.4 中）他使用了相反的观点，即如果两个线段相等，那么它们就可以重合。线段要么小于另一个，要么相等，在 I.20 中，欧几里得表明“在任何三角形中，以任何方式加起来的两条边都大于剩下的一条边。”这个结果被称为三角不等式，它在很大程度上证明了连接任何两个不同点的线段是通过这些点的最短曲线。引入平行公理后，欧几里得表明平行四边形的对边相等，因此一对平行线之间的距离是一个常数。
但是《几何原本》中还有一个值得注意的弱点，尽管它没有引起太多关注，那就是平面的性质。平面还有另一个不合标准的定义，显然是仿照线的定义：“平面是直线均匀分布的表面”（而且，不出所料，“表面是只有长度和宽度的表面”）。此后，前四卷书中没有提到“平面”这个词，尽管它们只涉及平面几何。当欧几里得在第九卷转向立体几何时，他从三个定理开始，依次表明直线不能部分位于平面内，部分不位于平面内，如果两条直线相交，它们就位于一个平面内，每个三角形都位于一个平面内，如果两个平面相交，它们就位于一条直线内。然而，他只能说自己声称得出了这些结果并使它们合理，因为他不能用他对平面的定义来证明其中任何一个。然而，它们构成了下一个定理的基础：在平面上的任何一点都有一条垂直于平面的线，并且在给定点处垂直于给定线的所有线都在一个平面上。
再次，I.4 是有问题的。为了归谬法的目的，假设有两个三角形，
A
B
C
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和
A
′
B
C
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′
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位于它们共同底边
B
C
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的同一侧，并且
B
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B
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′
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和
C
A
=
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=
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′
。它旨在表明顶点
A
�
和
A
′
�
′
重合，为此必须利用三角形位于同一平面的事实，正如高斯所观察到的（在未发表的评论中，参见高斯论文 8，193）。需要对平面进行良好的定义，以便证明这一结果。
1.1图解结构的问题
欧几里德对几何的治疗有着年龄的旨在作为一个完美的演绎展示科学，当然欧几里德努力获得最仔细的逻辑事实。 书我特别令人印象深刻（参见Lambert 1786，Mueller 1981）。 然而，他的证据方法为图中提供了核心作用，因为欧几里德的工作在十九世纪末的严重批评之下。 这是因为，从十八世纪初，代数方法的渐进优势和数学的去几何化过程，这进化到了数学的所谓“算术”。 图案被降级为Mere助剂在数学推理中的作用，并实施了认真的公理和证据的逻辑逻辑。 这个运动的一个结果将是希尔伯特的工作，在下面检查。
然而，似乎是几何思维的起源，在不同的文化中，始终与Visuo-Spatial推理相关，特别是与图形和图表相关联。 这是庆祝几何美观和吸引力的关键原因。 康德接近捕捉欧几里德的精神，当时他坚持数学证明是基于直觉中的“概念建设”。 Geoper适用于仔细定义的概念，欧元区总是展示如何构建实例的概念（因此，例如，命题1显示了如何构建一个线段构造等边三角形和道具。31如何构建与给定行的平行构造）。 但是，随着康德在着名的批评通道中强调的，概念的逻辑分析可能永远不会提供证据的手段 - 需要对建筑的诉求（例如，三角形），提供具体的实例，其中包括实证直觉（外部表示）或纯粹的直觉。 接下来，在假设的基础上，将新元素纳入结构中，这使得可以互连概念并获得新结果。 因此，人们可以示意性地证明，例如，三角形的角度高达180º（顺便说一下，这需要吸引并行假设）。
道具证明。 1是着名的反对差距。 给予一段
一种
b
�
�
，通过绘制两个圆圈来构造等边三角形
一种
b
�
�
作为半径，一个以一个为中心
一种
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而另一个集中在一起
b
�
。 反对意见是欧几里德没有连续性原则，因此存在点
c
�
（两个圈子的交叉点）不需要。 但这种反对意见忽略了习惯性推理的适当作用。 官员（2008）提供了关于如何从元素的第一本书中的文本和图表中获取信息的有敏感分析，以仔细分配角色，这导致他区分了确切的信息（仅从文本）和共切信息（从图中获取）。 请注意，图不仅仅是一个数字，而是一种推理工具，一个具有操纵规则的符号元素 - 以及伪造者的提取信息的细致（隐含）规则。 有关此主题的更多详细信息，请参阅图表中的条目，部分4.2和4.3。
在这方面，值得一提的是着名的谬误证据，所有三角形都是等效的，这是克莱因众所周知的。 人们可以表明，这种伪证明违反了欧几里德游戏的规则，从图中提取完全信息，从未允许。 另一方面，人们应该注意到欧几里德的假设在希尔伯提斯的义务中不是那么多的公理，作为适用于制定和处理图表的建设规则。 大多数Euclid的假设可以建立某些建筑，绘制一条线或圆圈，在某些条件下的两条线的会议（这最后是Euclid自身制定了平方的假期5“）。 至于古代几何建设规则的核心作用，有趣的是，希腊人表示“Diewarma”表示一个数学命题。
但是几何知识，它开始接近视觉思维（2007年）和符号的实际操纵，即图为具体表示，逐渐发展成为一个更抽象的大颖面。 已经使用了欧几里德，阿基米德和阿波罗乌斯有努力使表格提供精心制作的概念，这使得直觉建议的精确，理想和一般; 同样地，处理图的方式是难点的任何东西（参见例如Prop.10在书籍III中，也是道具。第7,14或27页）。 在适当的时候，当几何知识的假设明确并经受审查时，达到了一个关键阶段，寻求更深的基础和替代方案。 在本阶段，在十九世纪以上代表，该图必须被降级，以便更明确，摘要，相关方法，用于分析理论假设和发展。
1.2合成方法与测量
让我们说，纯粹的合成几何形状是处理原始概念，例如上述方式的直线和平面。 也就是说，它采用直线的直线和平面的平坦度作为基本的，并且对刚刚描述的入射特性吸引力。 它是抵御将距离作为基本概念的距离的想法，或者通过关于数字的陈述替换几何陈述（如坐标）替换几何陈述（如坐标），但它并不敌对坐标几何竖立。
让我们还要说到目的，距离几何形状是距离是原始概念的目的，所以可以置于相同的长度的线段，同时具有相应的侧的长度，并且几何变换保持长度。 我们还可以允许允许这种相似之处：这些是产生数字副本的转换。 （欧几里德元素中没有定理取决于图的实际大小：适用于一个数字的任何定理适用于所有规模副本。）
现代西部的基本几何形状以迷茫的方式迈向距离原始概念的距离，同时经常保持欧几里德的强调直线，从而频繁地混淆了不同概念的影响。 一个显着的例子，这仍然是富有成效的是John Wallis在防御平行假设的论点（作为1665年的讲座，并在Wallis 1693发表）。 正如他意识到的是制作三角形的任意比例副本的能力，它休息，似乎是第一次在这两个系统之间认可的第一次：
欧几里德的元素平行假设
欧几里德的元素没有那张假设，但假设是添加任意类似的数字的假设。
在EncylopédieMéthodeque（1784：第2,132卷）中，D'Alberyt定义几何形状作为延伸的属性的科学，即尸体（和表面和线）被认为只是延长和图。 在他看来，它的原则在他看来，真相如此明显，这是不可能对他们进行比赛。 一条线（在曲线的意义上）是一维的，并且连接两个点的最短线是直线。 平行线是线的线条，但远远延伸，永远不会见面，因为它们到处都是等距离。 D'·瓦尔尔特不热衷于物料的公理介绍，因此它也与其他十八世纪的作者同时。
Adrien-Marie Legendre是一个同情元素的教学目标的数学家，但不是其原始配方。 他写了几种不同版本的他的Élémentsdegéométrie（1794），以期恢复“欧几里德严格”在几何教学中，他认为这是由文本腐蚀的，例如由Clairaut之一（1741年），依赖于自我证据的概念。 它们在很大程度上不同，因为他不得不承认，在他们不成功的尝试中推断出平行假设。
在所有这些版本中，Legendre都采取了牢固的韵律的观点，以代数和比例理论为主。 他对第一版的开幕定义宣称“几何形状是一种科学，其对象的衡量标准”。 他解释说，有三个维度，长度，宽度和高度; 一条线是一个没有宽度的长度，它的四肢被称为点，因此目前略微。 直线是从一个点到另一个点的最短路径; 表面具有长度和宽度，但没有高度或深度; 并且平面是一个表面，其中如果两个任意点通过直线连接该线完全在表面上呈现。 然后传说说明了欧几里德更愿意假设的一些真理，例如（Legendre的第一个结果）：任何两种正确的角度都是平等的。 一致性的概念是他的方法核心，熟悉的同一位定理在每张版本中，直到平行假设无法再被忽视。 一旦有平行线的存在，就有拘留所认为它们是等距离的。
