类别理论（二）

但是，一些身份确实持有：它们是最能在换向图的帮助下表达的：

u

η∘u

→

ufu

↘↓u∘ξ

u

f

f∘η

→

fuf

↘↓ξ∘f

f

斜角箭头表示适当的身份自然变换。

这是一个非常常见的情况的一个例子：可以描述每种自由施工，从两个充分选择的类别之间由适当的健忘算源引起。 可以描述为伴随的数学结构的数量只是令人惊叹的。 虽然这些结构中的每个结构的细节很大，但是可以使用相同的语言描述它们的事实说明了数学概念和数学思维的深刻统一。 在我们提供更多示例之前，伴随汇流符的正式和抽象定义是有序的。

定义：让F：C→D和G：D→C为符合方向的函数。 f是由f⊣g表示的g（g右伴随到f）的左伴随，如果存在自然变换η：IC→GF和ξ：FG→ID，则为复合材料

g

η∘g

→

gfg

g∘ξ

→

g

和

f

f∘η

→

细胞生长因子

ξ∘f

→

f

是身份自然转变。 （对于不同但等效的定义，请参阅Mac Lane 1971或1998，Chap。IV。）

以下是一些关于伴随算子的重要事实。 首先，伴随着同构偏离; 这是函数G的任何两个左伴随F和F'是天然同胞的。 其次，伴随的概念与普遍态态（或施工）和可代表仿函数的概念相同。 （参见1998年的实例Mac Lane，Chap。IV。）这些概念中的每一个都表现出特定情况的一个方面。 第三，左伴随保留其域中存在的所有电池，并且双重伴随保留其域中存在的所有限制。

我们现在给出一些伴随情况的例子来说明概念的普及。

在某些情况下，在某些情况下，在某些情况下，忘记了结构的一部分。 以下是两个标准示例：

有一个明显的健忘仿U：abgrp→abmon，从阿比越亚群体类别到阿比越龙的类别：你忘记了逆转操作。 仿函数U具有左伴随F：abmon→abgrp，其给定abelian monoid m，所以将其分配给它是最好的abelian组f（m），使得m可以嵌入F（m）中作为蛋蛋白酶。 例如，如果m是n，则f（n）“是”z，即，它是z的同性。

同样，有一个明显的健忘功能U：Haus→从Hausdorff拓扑空间类别到忘记Hausdorff条件的拓扑空间类别。 同样，有一个仿函数f：顶部→haus，使f⊣u。 鉴于拓扑空间x，f（x）产生由x构成的最佳Hausdorff空间：它是x通过闭合的x的商

¯

δ

Xīx×x，这是一个等价关系。 与前面的例子相比，我们有一个嵌入的地方，这次我们得到了原始结构的商。

现在考虑Compact Hausdorff Spaces Khaus和Greaterful Functor U：Khaus→Top，忘记了紧凑性和分离物业。 左伴随这个你是石机压缩。

有一个健忘的仿函数U：MODR→ABGRP从一类R模块到Abelian组的类别，其中R是带有单元的换向环。 函数U忘记了r在组G上的动作。仿函数U左右伴随。 左伴随是r⊗-：abgrp→modr，它将abelian组g发送到张量产品r⊗g，并且右移伴随的函数hom（r， - ）：abgrp→modr，它分配给任何组g的模块线性映射HOM（R，G）。

类别C和D的情况是POSETS的特殊关注。 在此上下文中的伴随功能通常称为Galois Connection。 让C成为一个专家。 考虑对角线函数Δ：C→C×C，用δ（x）=⟨x，x⟩和f：x→y，δ（f）=⟨f，f⟩：⟨x，x⟩→⟨y，y⟩。 在这种情况下，左伴随到δ是副产量，或者sup，并且右伴随到δ是产品，或inf。 伴随情况可以通过以下特殊形式描述：

x∨y≤z

x≤z，y≤z

⇕

z≤x∧y

z≤y，z≤x

⇕

在垂直双箭头可以被解释为推理的两个方向的规则。

也可以引入含义。 考虑带有参数的算子：（-∧x）：c→c。 可以很容易地验证，当C是POSET时，功能（-∧x）是保留的顺序，因此是算子。 正确伴随（-∧x）是产生C的最大元素，使得其与X的最小值小于Z.该元素有时被称为X的相对伪概率，或者更常见地称为X.。 它由x∈Z或x⊃z表示。 可以如下展示所展示：

y∧x≤z

y≤x⇒z

⇕

否定运算符¬x可以从最后一个齐全引入。 实际上，让z成为晶格的底部元素⊥。 然后，由于y∧x≤⊥总是如此，因此y≤x⇒⊥也是如此。 但由于x⇒⊥≤x始终如此，我们得到了（xīx）=⊥的分子。 因此，X‖是来自X的最大元素脱节。因此，我们可以放置¬x=defx‖。

限制，叠层和类别理论的所有基本结构都可以被描述为伴随。 因此，产品和副产物是伴随的，如均衡器，高考，回调和推路等。这是伴随类别理论本身的核心核心的原因之一：因为类别理论的所有基本操作都来自伴随情况。

类别的等价性是一个特殊的伴侣。 实际上，如果在上面的三角形身份箭头η：IC→GF和ξ：FG→ID是自然同构，那么函数F和G构成类别的等价。 在实践中，它是重要的类别等同的概念，而不是类别的同构概念。

很容易将这些操作直接从两方面证明某些事实。 例如，考虑暗示。 让z = x。 然后我们获得了y∧x≤x的分子，在POSET中总是如此（如容易验证）。 因此，对于所有Y也是如此，对于所有Y也是如此，这是x⇒x=⊤的，晶格的顶部元素只有。 逻辑操作不仅可以被描述为伴随，而是自然地出现对基本操作的伴随。 事实上，伴随可以用来定义各种结构，分配格子，嘿嘿代数，布尔代数等各种逻辑理论的句法演示。 此外，这是一个关键要素，可以显示标准通用和存在量子量因子与替换操作的伴随而导致伴随。 因此，随着其他代数方法与逻辑的其他代数方法鲜明对比度，量化器与其他逻辑操作相比，朝向相反。 （例如，参见，例如，1996年或Mac Lane＆Moerdijk 1992.）更普遍，Lawvere显示了语法和语义如何由伴随算子相关。 （参见Lawvere 1969B。）

二元性在数学中发挥着重要作用，可以在类别之间的等效性的帮助下描述它们。 换句话说，许多重要的数学定理可以被翻译为关于伴随辅助功能的存在的陈述，有时满足额外的属性。 这有时被视为表达定理的概念内容。 考虑以下基本案例：让C成为当地紧凑的阿贝里亚群体，态度是连续组同性恋的类别。 然后，PontryAGIN二元定理量索取CATACED C等于C°的类别，即对相反类别。 当然，精确的陈述要求我们描述函数f：c→c°和g：c°→c并证明它们构成了类别的等价性。

在三十岁的石头发现了另一个众所周知的和重要的二元性，现在担任他的名字。 在一个方向上，任意布尔代数产生拓扑空间，并且在另一个方向上，从（紧凑的Hausdorff和完全断开）拓扑空间中，一个人获得了布尔代数。 此外，这种通信是Functorial：任何布尔同性恋都被送到拓扑空间的连续地图，并且相反地，空间之间的任何连续映射被送到布尔均相。 换句话说，Boolean代数类别与布尔空间类别的类别之间存在等同的类别（也称为石空格）。 （见Johnstone 1982，以获得出色的介绍和更多的发展。来自A类化学家的注意力。 二元定理的分类研究仍然是一个非常活跃和重要的领域，并且主要受到石头的结果的启发。 （对于逻辑中的最近应用程序，参见，例如Makkai 1987，Taylor 2000,2002A，2002B，Caramello 2011.）

2.简短的历史素描

很难对这个领域的短暂但复杂的历史很难以执行。 特别是，不可能提及为其快速发展做出贡献的所有人。 随着这个词的话说，我们将看一些主要的历史线程。

类别，仿函数，自然转变，限制和积极在题为“自然等量的一般理论”的纸上几乎不受欢迎 我们说“差不多，”，因为他们的早期纸张（1942年）含有特定的仿函数和工作的自然转变，仅限于群体。 渴望澄清和抽象他们的1942年结果LED EILENBERG＆MAC车道设计了类别理论。 当时的标题表明，当时的中央概念是自然转型。 为了给出后者的一般定义，他们定义了函授，从卡内帕借了这个词，并为了定义算子，他们从亚里士多德，康德和C.Peirce的哲学借用“类别”这个词，但是数学上重新定义。

在1945年纸之后，目前尚不清楚类别理论的概念将相当于方便的语言; 这确实是大约十五年的现状。 以这种方式通过Eilenberg＆Steenrod（1952）在代数拓扑的基础上的有影响力的书籍中使用了类别理论，并由Cartan＆Eilenberg（1956），在尸体中的地面突破书中代数。 （奇怪的是，虽然Eilenberg＆Steenrod定义了类别，Cartan＆Eilenberg只是假设它们！）这些书籍允许新一代数学家直接以分类语言学习代数拓扑和同源性代数，并掌握掌握图中的方法。 实际上，没有图表的方法，这两本书中的许多结果似乎不可思议，或者至少需要一个更复杂的呈现。

Groothendieck的（1957）地标纸有关题为“Sur Quelques Points d'Algèbre同源物”的情况，其中雇员本质上雇用类别来定义和构建他（Grothendieck然后，1957）然后应用于特定领域，例如，对代数几何形状。 KAN（1958）展示伴随汇流符占据了限制和积极的重要概念，并可以捕获其他地区的基本概念（在他的案例，同级理论中）。

此时，凭借两个发展，类别理论变得不止一种方便的语言。

采用公理方法和类别的语言，Groothendieck（1957）以抽象的方式定义，例如，添加剂和阿比越语类别，显示了如何在这些类别中执行各种结构，并证明了各种结果。 （应该指出的是，他的1950年纸上的Mac Lane已经提出了先前的尝试，这引入了某些关键思想，例如使用箭头来定义某些基本概念，并且Buchsbaum基本上独立地以“精确的名义”独立地介绍了阿比越类的概念。类别“1955年）简而言之，Grothendieck显示了如何在这种抽象设置中开发一部分同源代数。 从那时起，例如，拓扑空间X上的一类滑轮的特定类别可以被视为某种类型，例如abelian类别的抽象类别的令牌。 因此，人们可以立即看出，例如，同源代数可以应用于例如代数几何形状的方法。 此外，要查找其他类型的抽象类别，将与各种数学领域的基本和正式方面封装的其他类型有意义，以相同的方式封装同源代数的基本方面。

在很大程度上归功于Freyd和Lawvere的努力，Visianorists逐渐来看伴随伴随函件概念的普及。 对于给予函授的伴随的抵销不仅允许抽象类别的定义（并且可能是由这种意味而定义的那些有特权状况的定义），而且随着我们之前提到的，许多重要定理和各个领域的理论也可以看出等同于存在特定类别之间的特定函数。 到20世纪70年代初，伴随归函数的概念被视为类别理论的核心。

通过这些发展，类别理论成为一个自主研究领域，可以开发纯类理论。 事实上，它确实以纪律迅速增长，而且在其应用中，主要是在其源语境中，即代数拓扑和同源性代数，也是代数几何形状，并且在Lawvere的外观之后。 论文，普遍代数。 本论文还构成了该领域历史中的标志标志，因为在IT中，他将类别作为类别理论，设定理论的基础提出了类别，因此，整个数学，以及使用类别的数学研究。

在20世纪60年代的过程中，Lawvere概述了一个完全原始的逻辑和数学基础的基本框架。 他实现了以下内容：

将套装类别（Lawvere 1964）和类别公正（Lawvere 1966）;

给出了与句法选择无关的理论的分类描述，并勾勒出逻辑系统的完整性定理如何通过分类方法获得（Lawvere 1967）;

特色笛卡尔封闭的类别并显示了与逻辑系统和各种逻辑悖论的联系（Lawvere 1969）;

据表明，可以捕获量词和理解计划，以获得基本操作的伴随算子（Lawvere 1966,1969,1970,1971）;

据称，伴随汇票通常应该通过“分类主义”的概念发挥主要的基础作用（Lawvere 1969）。

与此同时，Lambek（1968,1969,1972）在演绎系统方面描述了类别，并采用了用于证明理论目的的分类方法。

所有这项工作都在另一个概念中，归功于Grothendieck和他的学校：Topos的概念。 即使拓扑出现在20世纪60年代，在代数几何形状的背景下，再次来自Grothendieck的思想，它肯定是Lawvere和Tierney（1972）Topos的基本公理化，这给了动力它获得了基础状况。 非常粗略地，一个基本的Topos是一个具有足够富裕的逻辑结构来发展大多数“普通数学”的类别，即大多数是向数学本科生教授的。 因此，基本上的顶部可以被认为是集的基本理论。 但它也是广义拓扑空间，从而在逻辑和几何形状之间提供直接连接。 （有关分类逻辑历史，请参阅Marquis＆Reyes 2012，Bell 2005.）

20世纪70年代看到了在许多不同方向上的Topos概念的开发和应用。 代数几何形状之外的第一个应用程序在设定的理论中，各种独立性结果在TopoS（Tierney 1972，Bunge 1974）方面重新循环，而且Blass＆Scedrov 1989，Blass＆Scedrov 1992，Freyd 1980年，Mac Lane＆Moerdijk 1992，Scedrov 1984）。 提前注意到与直觉和更普遍的建设性数学的联系，拓扑仍然用于调查直觉和建构主义的各个方面的模型（Lambek＆Scott 1986，Mac Lane＆Moerdijk 1992，Van der Hoeven＆Moerdijk 1984a，1984b，1984c，Moerdijk 1984，Moerdijk 1995a，Moerdijk 1998，Moerdijk＆Palmgren 1997，Moerdijk＆Palmgren 2002年，Palmgren 2012，Palmgren 2018.关于Topos理论的历史，见Mclarty 1992和2012年铃声）。

最近，Topos理论已被用于调查各种形式的建设性数学或集合理论（Joyal＆Moerdijk 1995，Taylor 1996，Avodeyy 2008），递归和高阶类型理论的模型。 所谓的“有效TOPOS”的引入和综合域理论的公理是值得一提的（Hyland 1982，Hyland 1988,1991，Hyland等，1990，Mclarty 1992，Jacobs 1999，Van oosten 2008，范奥奥斯登2002和其中的参考文献）。 Lawvere的早期动机是为现在称为“综合差分几何”的热闹研究区提供了一种新的差异几何基础（Lawvere 2000,2002，Kock 2006，Bell 1988,1995,1998，2001，Moerdijk＆Reyes 1991）。 这只是冰山一角; 拓扑可以证明是21世纪谎言群体到20世纪的东西。

从20世纪80年代到现在，类别理论已经找到了新的应用。 在理论计算机科学中，类别理论现在牢固地扎根，贡献了新的逻辑系统和编程语义的发展。 （Pitts 2000，Plotkin 2000，Scott 2000以及其中的引用）。 其对数学的应用正在变得越来越多，甚至触及理论物理学，它采用高维类别理论 - 这是对类别理论较高的几何形状是平面几何 - 研究所谓的“量子群”和量子场理论（1995年Majid 1995，Baez＆Dolan 2001和这些作者的其他出版物）。