类别理论（一）
类别理论已经占据当代数学和理论计算机科学中的核心位置，也适用于数学物理学。 粗略地，它是结构的一般数学理论和结构系统。 随着类别理论仍在不断发展，其功能相应地发展，扩展和繁殖。 至少，它是一种强大的语言或概念框架，允许我们看到一个特殊的结构系列的通用组件，以及如何相互关联的结构。 类别理论既是哲学研究的一个有趣的对象，也是一个潜在强大的正式工具，哲学调查空间，系统，甚至真理等概念。 它可以应用于对逻辑系统的研究，其中类别理论在句法，校验理论和语义层面上被称为“分类主义”。 类别理论甚至导致集合的不同理论概念，以及标准设定数学的理论基础的可能替代方案。 因此，它提出了关于数学本体论和认识论的许多问题。 因此，类别理论提供了哲学家和逻辑学家的利用和反思。
1.一般定义，示例和应用程序
1.1定义
1.2例
1.3理论的基本概念
2.简短的历史素描
3.哲学意义
参考书目
学术工具
其他互联网资源
相关条目
1.一般定义，示例和应用程序
1.1定义
类别是具有许多互补性的代数结构，例如，几何，逻辑，计算，组合，就像群体是多面代数结构一样。 Eilenberg＆Mac Lane（1945）以纯粹的辅助方式推出类别，作为他们称为仿函数和自然变换的准备。 根据作者所选的目标和元化框架，根据时间的分类的定义随着时间的推移而发展。 Eilenberg＆Mac Lane首先给了一个类别的纯粹抽象的定义，沿着一个组的公理定义。 其他人从Groothendieck（1957）和Freyd（1964年）开始，出于实用性定义了定制理论术语类别的原因。
替代方法是法律（1963,1966）的替代方法，首先表现了类别的类别，然后规定了一个类别是该宇宙的对象。 这种方法，在各种数学家，逻辑学家和数学物理学家的积极发展中，导致现在所谓的“高维类别”（Baez 1997，Baez＆Dolan 1998a，Batanin 1998，Leinster 2002，Hermida等人。2000,2001,2002）。 类别的定义并非没有哲学重要性，因为对类别理论作为基础框架的一个反对意见是声称，因为类别被定义为集合，因此类别理论不能为数学提供哲学上启示基础。 从Eilenberg的和Mac Lane的（1945）代数定义开始，我们将简要介绍一些这些定义。 但是，在进一步前进之前，将需要以下定义。
定义：映射E将被称为身份，如果且仅当任何产品Eα或βE的存在意味着Eα=α和βE=β
这是一个类别的原始定义。
定义（Eilenberg＆Mac Lane 1945）：C类是抽象元素的聚合，称为C的对象，以及Abstract元素映射，称为类别的映射。 映射受以下五个公理：
（C1）给定三个映射α1，α2和α3，仅当限定（α3α2）α1时限定三重产品α3（α2α1）。 何时定义，联想法
α3（α2α1）=（α3α2）α1
持有。 该三重产品是写入α3α2α1。
（C2）每当样品α3α2和α2α1定义时，限定了三重产品α3α2α1。
（C3）对于每个映射α，存在至少一个标识E1，使得αe1被定义，并且至少一个标识E2定义了e2α。
（C4）对应于每个对象X的映射EX是一个标识。
（C5）对于每个身份e，e唯一的对象x，例如ex = e。
作为Eilenberg＆Mac Lane及时备注，对象播放次要角色，可以从定义中完全省略。 然而，这样做会使应用程序的操纵不太方便。 它实际上是合适的，也许在心理上更简单地思考映射和物体。 eilenberg＆Mac车道本身使用术语“聚合”，大概是相对于背景集理论保持中立，人们想要采用。
Eilenberg＆Mac Lane 1945年定义了类别，原因是严格的原因。 他们注意到：
首先应该观察到，类别的整个概念基本上是辅助; 我们的基本概念基本上是算子和自然转型的基本概念（......）。 只需通过诸如各个函数作为域的规则和作为范围的明确类别的常规来进行概念，因为类别被提供为域的域和函数范围。 因此，人们可以完全删除类别概念并采用更直观的观点，其中没有在“所有”组的类别上限定诸如“HOM”的算子，而是对于可以给出的每组组，但是对于可以给出的每组组。 角度来看，应用程序就足以，因为我们的发展都不会涉及自己阐述类别的构建。 （1945年，第1章，参见第6页，第247页）
在以下十年内发生了改变的事情，当时的类别开始用于代数拓扑和同源性代数。 Mac Lane，Buchsbaum，Grothendieck和Heller正在考虑其中两个固定物体之间的态度集合的类别具有额外的结构。 更具体地，给定类别C的任何两个对象x和y，从x到y的态度的设置hom（x，y）形成abelian组。 此外，由于与同源性和协调理论有关的原因，该类别的定义必须满足额外的正式财产（我们暂时留下）：它必须是自我双重的。 这些要求导致以下定义。
定义：C类C可以描述为SET OB，其成员是C的对象，满足以下三种条件：
态态：对于每对对象的x，y，有一个SET HOM（x，y），称为从x到y的态度在c中。如果f是来自x到y的态度，则写f：x→y。
身份：对于每个对象x，存在一个mum（x，x）中的形态Idx，称为x上的标识。
组成：对于对象的每个三x，y和z，存在来自hom（x，y）×hom（y，z）的部分二进制操作，称为C.如果f：x→y和g：y→z，注意到F和G的组成（g∘f）：x→z。
身份，态度和组成满足两个公理：
关联性：如果f：x→y，g：y→z和h：z→w，然后hə（gəf）=（həg）∘f。
身份：如果f：x→y，那么（idy∘f）= f和（fəidx）= f。
这是一个在类别理论的大多数教科书中找到的定义。 因此，它明确依赖于设置的理论背景和语言。 六十年代初期建议的替代方案是为一类类别开发一种适当的语言和背景框架。 我们不会在此处呈现正式的框架，因为它会带来太多的主要关注点，但基本思想是定义被称为弱的N类（和弱ω类）的内容，然后被称为类别的类型（并且集合将弱0。 - 类别）。 （参见，例如，Baez 1997，Makkai 1998，Leinster 2004，Baez＆May 2010，Simpson 2011.）
同样在六十年代，Lambek建议将类别视为演绎系统。 这始于图形的概念，由两个类箭头和对象组成，以及它们之间的两个映射，s：箭头→对象和t：箭头→对象，即源和目标映射。 箭头通常称为“定向边缘”和对象“节点”或“顶点”。 在此之后，Deftuctive系统是具有指定箭头的图形：
（r1）idx：x→x，
和箭头上的二进制操作：
（R2）给定F：X→Y和G：Y→Z，F和G的组成是（g∘f）：x→z。
当然，演绎系统的对象通常被认为是公式，箭头被认为是证据或扣除，并且箭头的操作被认为是推理规则。 然后定义一个类别：
定义（LAMBEK）：一种类别是一种演绎系统，其中以下等式在证明之间持有：对于所有F：x→y，g：y→z和h：z→w，
（e1）f∘idx= f，idy∘f= f，h∘（gəf）=（həg）∘f。
因此，通过对证据施加足够的等价关系，可以将任何演绎系统变成一个类别。 因此，将类别视为演绎系统的代数编码是合法的。 这种现象已经是逻辑学家的众所周知，但可能不是最大程度的程度。 这种代数编码的一个例子是Lindenbaum-tarski代数，对应于经典命题逻辑的布尔代数。 由于布尔代数是一个专家，它也是一个类别。 （请注意，布尔代数在它们之间具有适当的同性恋，在逻辑中形成另一个有用的类别。）因此我们仅仅是词汇的变化。 当考虑一阶和高阶逻辑时，事情变得更加有趣。 这些系统的Lindenbaum-Tarski代数，当正确进行，产生类别，有时称为“概念类别”或“句法类别”（Mac Lane＆Moerdijk 1992，Makkai＆Reyes 1977，Pitts 2000）。
1.2例
几乎每个具有适当的结构保存地图的数学结构的所有已知示例都产生了一个类别。
该类别设置对象集和态态常用功能。 这里有变体：可以考虑部分功能，也可以考虑局部功能或重新注射功能或再次上述功能。 在每种情况下，所构造的类别是不同的。
类别顶部具有对象拓扑空间和态态连续功能。 同样，人们可以限制态度打开连续功能并获得不同的类别。
具有对象拓扑空间的类别的Hotop和态态函数的态度等同类。 此类别不仅在数学实践中很重要，它处于代数拓扑的核心，但它也是一种类别的一个基本示例，其中致法不是结构保持功能的类别。
VEC类别与对象矢量空间和态度线性映射。
该类别与物体差分歧管和态度平滑地图。
这些类别PORD和POSET分别与物体预订和存档，以及态态单调功能。
分别具有对象格子和布尔代数的类别水和布尔，以及保存同态的形态结构，即（⊤，⊥，∧，∨）同态。
与物体邻居代数和（⊤，⊥，∧，∨，→）同性恋的类别。
与物体的类别Monoids和Morphisms长同性态。
Abgrp类别与阿比越亚群体和态态均匀的类别，即（1，×（ - ） - 1）同态。
GRP与物体群和态态群同下的类别GRP，即（1，×（ - ） - 1）同态。
该类别与物体环（有单元）和形态环同态，即（0,1，+，×）同态。
具有对象字段和形态的类别字段域同态，即（0,1，+，×）同态。
任何带有物体公式和态度的演绎系统。
这些示例很好地说明了类别理论如何以统一的方式处理结构的概念。 请注意，类别的特征是其态度，而不是其对象。 因此，具有开放式地图的拓扑空间类别不同于拓扑空间类别与连续映射 - 或者更换，后者的分类属性与前者的分类。
我们应该再次强调，并非所有类别都是由结构保留地图的结构套件制成的事实。 因此，任何预订集都是类别。 对于给定的两个元素p，q的预订集，如果p≤q且仅当p≤q时，存在态度f：p→q。 因此，预订集是任何两个对象之间存在最多一个态势的类别。 任何一条单个子（以及任何群体）都可以被视为一个类别：在这种情况下，该类别只有一个对象，其态度是龙眼的元素。 晶体的组成对应于长单元素的倍增。 可以容易地验证单个轴理对应于类别公理。
因此，类别的概念概括了预购和长单床的概念。 我们还应该指出，Galoid在分类上下文中有一个非常简单的定义：它是一种类别，其中每个态势是一个同构，即对于任何态度f：x→y，存在一个态度g：y→x，使得f∘g= idx和g∘f= idy。
1.3理论的基本概念
类别理论以两种不同的方式统一数学结构。 首先，正如我们所看到的那样，几乎每种设置理论定义的数学结构具有适当的同态概念，产生了一个类别。 这是一个在设定的理论环境中提供的统一。 其次，甚至更重要的是，一旦定义了一种结构，必须确定新的结构如何从给定的结构构成。 例如，给定两组A和B，设置理论允许我们构建其笛卡尔产品A×B。 确定给定的结构如何分解成更多基本结构也是必须的。 例如，考虑到有限的abelian组，如何将其分解成某些子组的产品？ 在这两种情况下，有必要知道某种类型的结构如何组合。 当从纯粹的理论角度看，这些组合的性质可能看起来很有不同。
类别理论揭示了许多这些结构实际上是一个“普遍性属性”的类别中的某些对象。 实际上，从一个分类的角度来看，一个笛卡尔产品在集合理论中，群体的直接产物（abelian或以其他方式），拓扑空间的产物，以及在演绎系统中的命题的结合是由普遍为特征的分类产品的所有实例。财产。 在一起，C类别中的两个物体X和Y的乘积是C的对象Z与两个态度一起，称为投影，P：z→x和q：z→y，这样 - 而这是所有物体的态度 - 对于所有物体f：w→x和g：w→y，有一个独特的形态h：w→z，使得p∘h= f和q∘h= g。
请注意，我们已经为X和Y的产品定义了一个产品，而不是X和Y的产品。实际上，具有普遍性属性的产品和其他对象仅定义为（唯一）的同构。 因此，在类别理论中，构成某种结构的元素的性质是无关紧要的。 对象与类别的其他对象有什么关系，即进入的态度和出门的态度，或者放置不同，某些结构如何映射到给定的对象以及给定的对象如何将其结构映射到其其他结构中善良。
类别理论揭示了不同种类的结构彼此相关。 例如，在代数拓扑中，拓扑空间以各种方式（例如同源性，协调，同态，K-理论）有关的颗粒状空间与群体（和模块，环等）有关。 如上所述，具有群体同态性的群体构成了类别。 Eilenberg＆Mac Lane精确地发明了类别理论，以澄清和比较这些连接。 仿函数给出的类别之间的态度是什么。 非正式地，函授是类别之间的结构保留映射。 给定两个类别C和D，从C到D的函数F向D的对象发送到D的对象，以及D的态度为D的态度，这样的方式，即C中的晶体的组成被保存，即F（g∘f）= F（g）∘f（f），并且保留身份态态，即f（idx）= IDFX。 它立即遵循算子保留类别之间图的换向。 同源性，协调学，同型，K-理论是仿函数的所有例子。
通过电源集操作提供了一个更直接的示例，其在集合类别上产生两个仿函数，具体取决于如何定义其对功能的动作。 因此给出了一个集合x，℘（x）是x的通常集合集合，给定函数f：x→y，℘（f）：℘（x）→℘（y）采用x的子集A，并将其映射到B = F（a），即F的图像仅限于X.它很容易验证，这将其定义了从集合中的归档。
通常，两个给定类别之间存在许多函数，以及它们如何连接的问题表明自己。 例如，给定C类别，C到C总是有来自C到C的标识函数，它将C的每个对象/态势发送到自身。 特别是，在集合类别上存在身份算法。
现在，身份算子以上述电力集合函数的自然方式相关。 实际上，给定一个集合x及其电源集℘（x），有一个函数hx，它占用x的元素x，并将其发送到单例设置{x}，x的子集，即℘（x）的元素。 事实上，此功能属于由ob（set）}中的集合类别的对象索引的函数索引索引{hy：y→℘（x）| y。 此外，它满足以下换向条件：给定任何功能f：x→y，身份证电流器产生相同的功能ID（f）：id（x）→id（y）。 因此，换向条件变为：hy∘id（f）=℘（f）∘hx。 因此，H（ - ）的功能系列以自然的方式涉及两个仿函数。 这些态势的家庭称为仿函数之间的自然转变。 同样，理论模型之间的自然变换会产生传统套装理论框架中结构的常见同态。
上面的概念，虽然重要的是对类别理论的基础。 后者标题可以说是包括限制/ colimit的概念; 反过来，这些是特殊情况肯定是类别理论的基石，伴随归函数的概念，1956年由Daniel Kan定义，并于1958年发表。
伴随汇流符可以被认为是概念反转。 这可能是最好的一个例子。 让你：GRP→设置为健忘的仿函数，也就是说，发送给每个组G的底层元素组U（g）的函数，以及群体同志f：g→h底层设置功能U（f）：u（g）→U（h）。 换句话说，你忘记了群体结构，忘记了态势是群体均匀的事实。 这些类别GRP和Set肯定不会作为类别彼此相同。 （一个简单的参数运行如下：GRP类别有一个零对象，而设置则没有。）因此，我们当然无法在常规代数意义上找到一个反向的函数。但是有许多非同构术语来定义给定集合x上的组结构，人们可能希望这些结构中至少有一个是摸轮和系统地与仿函数U相关。忘记所有群体理论结构的操作并获得集合的操作是什么概念的概念逆 它是仅根据组的概念和别的概念来构建一个组的组，即，没有无关紧要的关系或数据。 这样的一个团体是“自由的”; 也就是说，除了由理论的公理施加的人之外，没有限制。 换句话说，在从给定集合构建一个组的过程中记住的所有事实是产生的结构必须是一个组。 这种结构存在; 它是functorial，它会产生所谓的自由组。 换句话说，有一个函数f：set→grp，任何set x为x上的自由组f（x）分配，每个函数f：x→y，组同性恋f（f）：f（x）→f（y），定义显而易见的方式。 因此可以描述这种情况：我们有两个概念上下文，群体理论上的背景和设置理论上的背景，并且两个仿函数从一个上下文系统地从一个上下文移动到另一个方向。 其中一个仿函数是基本的，即健忘的仿函数。它显然是微不足道和无关的。 另一个仿函数是数学上的重要和重要的。 令人惊讶的事实是，F通过简单的规则与你有关，并且在某种意义上，它来自U.伴随情况的一个引人注目的特征之一恰恰是：基本数学和逻辑结构出现在给定和通常是基本的仿函数中。
U和F是概念反转的事实，如下方式表达了它们：应用F先应用F，然后U不产生原始SET X，但X和UF（x）之间存在基本关系。 实际上，有一个函数η：x→uf（x），称为一个单位的互联装置，只需在UF（x）中将x的每个元素发送到它，并且此函数满足以下通用属性：给定任何函数g：x→u（g），有一个唯一的组同性恋h：f（x）→g使得U（h）∘η= g。 换句话说，UF（x）是最佳的解决问题，将X的元素插入组中的问题（在数学术语中所谓的“发生器”插入“）。 以相反的顺序组成U和F，我们得到一个态度ξ：傅（g）→g，称为答复核算，满足以下环球性质：对于任何组同性恋g：f（x）→g，有一个唯一的函数h：x→U（g）使得ξ∘f（h）= g。 换句话说，FU（g）构成了对发现G作为自由群体的商的问题的最佳解决方案。 如果U和F是彼此的简单代数反转，我们将具有以下标识：UF = ISET和FU = IGRP，其中ISET表示集合和IGRP上GRP上的IGRP身份算子上的身份算子。 正如我们所指出的那样，这些身份在这种情况下肯定不会搁置。
