类别理论（三）

3.哲学意义

类别理论以两种方式挑战哲学家，这不一定是相互排斥的。 一方面，哲学的任务肯定是澄清数学和基础景观实践中的类别和分类方法的一般认识论和本体学境。 另一方面，哲学家和哲学逻辑学家可以雇用类别理论和分类逻辑来探索哲学和逻辑问题。 我现在依次讨论这些挑战。

类别理论现在是Mathematician的工具箱中的一个常见工具; 那太清楚了。 还可以清楚地说，类别理论组织和统一数学。 当代数学领域不会是没有类别理论的，例如代数拓扑，同源代数，同型理论和同型代数，表示理论，算术几何和代数几何形状。 （参见1991,1998或Pedicchio＆Tholen 2004的实例Mac Lane。）没有人会否认这些简单的事实。 此外，当代数学的广泛部分现在依赖于不同的实践，依赖于一方面依赖于新图形符号的操作，另一方面是不同的抽象水平。 它不仅仅是那种类别理论和在该框架内开发的数学学科使用换向图，虽然这本身就会导致一些有趣的哲学探索，例如在De Toffoli 2017中，但是文化主义者认为需要开发系统和正式的需要图形语言以直接表达各种形式的论证。 （参见1993年的乔商和街; Joyal，Street＆Verity 1996; Fong＆Spivak 2019，其他互联网资源。）而自从Bourbaki，数学是“达到同构”，在某些情况下，现在已经完成了“达到等价”或最多为“双等价”或甚至最多为“等价”。 （试图澄清这些抽象水平的意思，参见Marquis 2014，Marquis 2016.）

在一个分类的框架中做数学几乎总是与在一个理论框架中进行完全不同的不同（使用布尔顶部的内部语言的例外;每当Topos不是布尔的时，那么主要区别在于逻辑是直观的）。 因此，由于采用了不同的概念框架，所涉及的对象性质的许多基本问题，所涉及的知识的性质以及所用方法的性质必须重新评估。 我们又依次逐一占用这三个方面。

必须强调分类框架内数学对象的性质的两个方面。 首先，对象始终在类别中给出。 对象存在于并取决于环境类别。 此外，一个物体的特征在于，它的态势和/或出来的态度。 其次，物体总是特征在于同构（在最好的情况下，最多一致的同构）。 例如，没有这样的东西作为自然数。 然而，可以认为有这样的东西是自然数的概念。 实际上，通过dedekind-peano-labvere公理可以明确地给予自然数量的概念，但是该概念在特定情况下是指的，这取决于它被解释的上下文，例如，套装或顶部的类别滑轮在拓扑空间上。 因此，似乎没有确定在分类上下文中的引用。 难以抵抗旨在认为类别理论体现一种结构主义形式的诱惑，即它将数学对象描述为结构，因为后者可能总是表征成像。 因此，这里的关键与在分类框架内的工作中的身份的标准以及它如何类似于被认为是形式的对象的任何标准。 在此视图中提出的标准反对意见之一是，如果对象被认为是结构并且仅作为抽象结构，因此它们与任何特定或混凝土表示分离，那么无法在数学宇宙内定位它们。 （参见Hellman 2003为标准制定了反对的反对，McLarty 1993，Avodey 2004，Landry＆Marquis 2005，Shapiro 2005，Landry 2011，Linnebo＆Pettigrew 2011，Hellman 2011，Shapiro 2011，2011年McLarty 2011，洛根2015年关于相关材料的问题。）

一种略有不同的方式来使情况是将数学对象视为不同上下文中有令牌的类型。 这与集合理论中发现的情况不同，其中数学对象是唯一定义的，并直接给出他们的引用。 虽然可以通过等价类或同构型类型为集合理论内的类型腾出空间，但通常，该框架内的身份的基本标准由扩展性的公理给出，因此最终参考特定集合。 此外，可以认为类型及其令牌之间的关系不是通过成员关系充分表示的。 令牌不属于类型，它不是类型的元素，而是它是它的实例。 在一个分类的框架中，一个始终指的是一种类型的令牌，以及理论直接表征的是类型，而不是令牌。 在这个框架中，一个不必定位一个类型，但它的令牌至少在数学中，必须在截面上所需的。 这只是摘要和混凝土之间的相互作用的反映在认识论中（而不是这些后一种表达的本体学说。）（参见Ellerman 1988，Ellerman 2017，Marquis 2000，Marquis 2006，Marquis 2013.）

类别理论的历史提供丰富的信息来源，以探索和考虑到数学的历史敏感的认识论。 例如，难以想象，代数几何和代数拓扑如何成为他们现在没有分类工具的东西。 （参见，参见，例如，Carter 2008，Corfield 2003，Krömer2007，Mamquis 2009，Mclarty 1994，Mclarty 2006.）类别理论，基于纯粹的抽象基础，将各种数学领域的分类重新分析。 此外，当在分类框架中开发时，学科之间的传统边界被破坏并重新配置; 要提及但一个重要的例子，Topos理论提供了代数几何和逻辑之间的直接桥梁，到了代数几何形状的某些结果直接翻译成逻辑，反之亦然。 某些概念在原产地的几何上更清楚地被视为逻辑（例如，连贯的Topos的概念）。 代数拓扑也潜伏在后台。 （例如，参见，例如，参见Caramello 2018，用于系统地利用拓扑的想法作为数学中的桥梁。）在不同但重要的前沿，可以说数学和元素之间的区别不能明确阐明它的方式。 所有这些问题都必须重新考虑并重新评估。

移动更接近数学实践，类别理论允许开发已经改变并继续改变数学的面孔。 可以说，类别理论代表二十世纪数学思想中最深切，最强大的倾向之一的高潮：在特定情况下寻找最一般和抽象的成分。 在这种意义上，类别理论是Dedekind-Hilbert-Noether-Bourbaki传统的合法继承人，重点是公理方法和代数结构。 （对于不同的阅读，参见Rodin 2014.）当用于表征特定的数学域时，类别理论揭示了该区域构建的框架，其总体结构局限于其稳定性，强度和相干性。 这个特定区域的结构在某种意义上可能不需要休息在任何内容上，即在一些稳定的土壤上，对于没有任何Archimedean点的较大网络的一部分，这可能是非常好的，就像漂浮在空间中一样。 为了使用着名的比喻：从一个分类的角度来看，神经草的船已成为宇宙飞船。

尽管如此，类别理论是否应该是“在同一平面上”，所以要说，作为集合理论，是否应该被视为将理论作为数学基础设定的严肃替代方案，或者它是否在不同意义上完全是基础。 （这个问题更有力量适用于Topos理论不会拘留我们。）

从早些时候开始促进了一个类别可以用作基础框架的想法。 （参见Lawvere 1964,1966.）此提案现在部分地休息了高级类别的发展，也称为弱的N类。 （参见，例如Makkai 1998.）七十年代Topos理论的出现带来了新的可能性。 Mac Lane建议某些拓扑被认为是数学的真正基础。 （见Mac Lane 1986.）Lambek提出了所谓的免费Topos作为最好的框架，从此感觉到与不同哲学前景的数学家可能只是同意采用它。 （见Couture＆Lambek 1991,1992，Lambek 1994.）他还认为没有顶部可以彻底满足古典数学家。 （参见Lambek 2004.）（更多关于理论家中的各种基础观点，请参阅Landry＆Marquis 2005.）

作为基础框架，争论已经提升并反对类别理论。 （Blass 1984调查类别理论和集合理论之间的关系。Feferman 1977，Bell 1981和Hellman 2003反对类别理论。查看Marquis 1995，以便快速概述和提案，2004年Mclarty 2004和Awodey 2004回复Hellman 2003.）辩论缓慢但肯定地推进了。 已经认识到，可以以类别理论的语言呈现一个基本框架，以框架的类别的基本理论的形式，SECS，SFAM的抽象数学结构主义基础的基本理论。 因此，似乎社区不再质疑这些方法的逻辑和概念自主权，利用Linnebo和Pettigrew 2011所引入的术语。主要问题似乎是人们是否可以为其中一个框架提供哲学上令人满意的理由。 （参见Hellman 2013，Landry 2013，Marquis 2013，McLarty 2018.）

这个问题进一步复杂于，类别理论本身的基础尚未澄清。 对于可能有许多不同的方法可以将高级类别的宇宙视为数学的基础。 可以安全地说，我们现在对所谓的（∞，1）-Categories和重要的数学结果进行了良好的理解。 （例如，参见，例如，用于演示的Cisinski 2019。）对于任意高尺寸类别的宇宙的足够语言仍然必须与数学的明确公理一起呈现。 （见Makkai 1998，简要描述了这种语言。基于同型方法但是voevodsky等人提出了一种基于同型类别的不同方法，并通过voevodsky等人提出。并且正在积极追求。看到书籍同型类型理论，通过Awodey等人。2013年）

这是一个既定的事实，该类别理论用于研究逻辑和哲学。 实际上，分类逻辑，通过分类方式研究逻辑，已经在现在左右的方式进行了大约40年，仍然有力。 在基本逻辑中获得的一些哲学相关结果是：

分类教义的层次结构：常规类别，连贯的类别，邻居类别和布尔类别; 所有这些都应与明确定义的逻辑系统，以及演绎系统和完整性定理; 他们建议以特定顺序自然地出现在内的逻辑概念，并不是以特定的顺序出现，并没有随意组织（参见使用类别理论和Halvorson和Tsementzis 2018的逻辑连接的哲学理由，从而查看威尔士2017科学理论的观点）;

博士展示了Kripke-Beth语义的直觉逻辑，捆绑语义（Lambek＆Scott 1986，Mac Lane＆Moerdijk 1992）;

连贯和几何逻辑，所谓的，其实践和概念意义尚未探索（Makkai＆Reyes 1977，Mac Lane＆Moerdiejk 1992，Johnstone 2002，Caramello 2011，2012A）;

通用模型的概念和归类主体的理论（Makkai＆Reyes 1977，Bootau＆Joyal 1981，Bell 1988，Mac Lane＆Moerdijk 1992，Johnstone 2002，Caramello 2012b）;

强有力的概念完整性和相关定理概念（Makkai＆Reyes 1977，Butz＆Moerdijk 1999，Makkai 1981，Pitts 1989，Johnstone 2002）;

连续假设的独立性的几何证据和集合理论的其他强大公理（Tierney 1972，Bunge 1974，Freyd 1980,1987，Blass＆Scedrov 1983,1989,1992，Mac Lane＆Moerdijk 1992）;

建设性数学的模型与发展（见下面的参考书目）;

合成差分几何，标准和非标准分析的替代方案（Kock 1981，Bell 1998,2001,2006）;

所谓的有效TOPOS的构建，其中自然数的每一个功能都是递归（Mclarty 1992，Hyland 1982,1991，Van Oosten 2002，Van Oosten 2008）;

线性逻辑，模态逻辑，模糊集和一般高阶类型理论的分类模型（Reyes 1991，Reyes＆Zawadoski 1993，Reyes＆Zolfaghari 1991,1996，Makkai＆Reyes 1995年，Ghilardi＆Zawadowski 2002，Rodabaugh＆Klement 2003，Jacobs 1999，Taylor 1999，Johnstone 2002，Blute＆Scott 2004，Avodey＆Warren 2009，Awodey等，2013年，Kishida 2018，Cockett＆Seely 2018）;

一个名为“Sketches”的图形语法（Barr＆Wells 1985,1999，Makkai 1997a，1997b，1997c，Johnstone 2002）。

Quantum Logic，量子物理学和量子场理论的基础（Brunetti等，2003年，Abramsky＆Duncan 2006，Heunen等人2009年，Baez＆Stay 2010，Baez＆Lauda 2011，Coecke 2011，Coecke 2011，Isham 2011，Döring2011，Eva 2017，Coecke＆Kissinger 2018）。

逻辑中的分类工具提供了相当大的灵活性，如可以在适当的分类设置中建模的几乎所有令人惊讶的令人惊讶的结果。 同时，标准集理概念，例如 Tarski的语义，发现了类别的自然概括。 因此，分类逻辑在二十世纪开发的逻辑中具有逻辑的根源，同时提供具有与数学其他部分的众多链接的强大和新的框架。

类别理论也符合更一般的哲学问题。 从上述角路来看，类别理论和分类逻辑应该对逻辑哲学中出现的几乎所有问题产生影响：从身份标准的性质到替代逻辑问题，类别理论总是脱落一个新的在这些主题上的光线。 当我们转向本体论时，特别是正式本体：部分/整个关系，系统的界限，空间思想等。埃尔米曼（1988）勇敢地试图表明该类别理论构成了一个拥有财产的普遍理论与集合理论不同，这也被视为普遍的理论。 从本体研究到认知科学，Macnamara＆Reyes（1994）试图采用分类逻辑来提供不同的参考逻辑。 特别是，他们试图澄清计数名词和群众术语之间的关系。 其他研究人员正在使用类别理论来研究复杂的系统，认知神经网络和类比。 （例如，参见，例如，Ehresmann 2018，Ehresmann＆Vanbremeersch 1987,2007，Healy 2000，Healy＆Caudell 2006，Arzi-Gonczarowski 1999，Brown＆Porter 2006。）最后，科学哲学家已经转向了类别理论，以阐述与科学结构主义有关的问题的新光。 （例如，参见，例如，Brading＆Landry 2006，Bain 2013，Lam＆Wüthich2015，2016年，Lal＆Teh 2017，Landry 2007,2012,2018。）

类别理论提供了许多哲学挑战，挑战将在未来几年内接受。