教会图论文（四）

3.4现代公理分析

教会报告了他在仍然广泛开放的时候与哥德尔的讨论如何正式的有效计算性的直观概念（可能在1934年）。 哥德尔建议

在有效的计算性作为未定义的概念方面，可以说明一组公理可以体现这种概念的普遍接受的属性，并在此基础上做某事。 （教堂1935B）

逻辑学者经常分析兴趣概念，例如通用量化，而不是通过在其他概念方面定义它，而是通过陈述一组公理，所述公理共同体现（例如）通用量化的普遍接受的性质。 在有效的情况下遵循这种方法，我们将“写下一些关于大多数人同意的可计算函数的一个公理，这是明显的真实”（Shoenfield 1993：26）。 Shoenfield继续，“可能会从这种公理中证明教会的论文”，但补充说：“尽管艰苦的努力，但没有人成功地这样做”。

在几年内搬到几年，在千年举行的二十一世纪在二十一世纪的数学逻辑前景会议中包括以下领先公开问题：

“证明”教会图所以通过发现直观明显或至少清楚可接受的计算属性，这就足够了解所计算的任何功能是递归的[，因此可以由图灵机计算]。 （Buss等人的岸边2001：174-175）

Gödel速写的公理类型的方法现在已经以多种不同的方式开发。 这些公理框架在60多年前，蒙塔瓦的投诉抵消了“教会论文的讨论”缺乏可能进行的精确总体框架“（Montague 1960：432）。 公理方法的一些例子如下（按时间顺序排列）：

Gandy（Tying的唯一博士学生）指出，图灵对人类计算的分析并没有立即适用于从图灵机器的强烈不相似的计算机器。 （有关图灵的分析的详细信息，请参阅下面的第4.3节。）例如，图灵的分析明显应用于与图灵机不同的并行机器，能够同时处理任意数量的符号。 寻求一般形式的图灵分析，同样适用于图灵机和大规模的平行机，GANDY（1980）规定了四个合理，控制了他所谓的离散确定性机械装置的行为。 （他在杂散有限的方面制定了公理。）然后能够证明，满足这些公理的每个设备可以通过图灵机模拟：即使是大规模平行的机械设备，也不能使离散的确定性机械装置比图灵机更强大在此意义上，这种设备能够执行的任何计算，也可以由通用图灵机完成。 （有关Gandy的分析，请参阅第6.4.2节。）

Engeler通过使用组合器（Engeler 1983：Ch.III）公开了算法功能的概念。 组合者最初是由Schönfinkel于1924年引入的，其中一篇论文，即最近关于组合者的书籍被描述为“首次呈现通用计算的形式主义”（Schönfinkel1924; Wolfram 2021：214）。 Schönfinkel的组合者是由Curry（Curry 1929,1930A，B，1932）的广泛开发的。 组合器的例子是“置换器”

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和“消除者”

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。 这些产生以下效果：

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Sieg形式化完成了四个公理的人类计算的分析（Sieg 2008）。 结果，Sieg说，是“概念”机械程序'“的公理表征，他观察到他的系统”实质上“有效性（SIEG 2008：150）。

Dershowitz和Gurevich（2008）规定了三个非常一般的公理，将计算视为各种离散，确定性，顺序演化结构的态度。 它们称为这些结构“状态转换系统”，并称为三个公理“顺序假设”。 它们还使用了第四个公理，规定了“初始状态中只有无可疑尽的可计算操作”（2008：306）。 从四个公理中，他们证明了一个主张，他们称为教堂的论文：“由满足顺序假设的状态转换系统计算的每个数字函数，并且最初提供基本算术，是部分递归的”（2008：327）。

回归证明教会图论证的想法，重要的是要注意，Dershowitz和Gurevich呼叫教会的论文实际上不是教堂，Quic。 “正整数的功能仅在递归时可有效可计算。 至关重要，他们的教会论文版本甚至没有提到有效算可原植的关键概念。 试图证明教会（或图灵）实际论文的整个项目具有哲学困难的份额。 例如，假设某人用于延伸一些表达有效计算性的声明的公理（例如Sieg例如已经完成），并且假设可以从这些公理中证明正整数的函数仅在递归时可有效地计算。 教堂的论文将从公理中证明，但是公理是否形成有效算可率的令人满意的算法是另一个问题。 如果他们没有，那么教会论文的“证明”可能没有定罪。 这就是说，这种情况证明只会令人信服，只有一个接受另一个论点的人，即公理确实是有效的算可率的令人满意的叙述。 这是一个教堂的荟萃论文。 教会的论文将被证明，但只有以牺牲另一个人的呕吐为代价，似乎是同样的性质。

进一步讨论了与在第4.3.5节，第4.5节和第4.6节证明教会图论文的概念相关的困难。

4.教会图论文的案例

4.1归纳和等价争论

虽然有时会尝试将教会提交的问题调用为问题（例如，在1959年的Kalmár; Mendelson在1963年答复），但在1948年的情况下局面的情况概要并不少：“它现在同意”可通过L.M.M的计算“是逻辑的。是正确的效果概念的正确准确渲染。

1936年，教堂和图灵都给出了各种各样的理由，接受各自的论文。 教会争辩说：

事实......这两个如此广泛不同和（在作者认为）的有效算可比力的同等自然定义[即，就λ-可定数和递归而言]结果等同于下面提出的原因的强度增加，以相信它们构成一般性，这种概念的表征与通常直观的理解一致。 （教会1936A：346，重点添加）

教会的“下面提出的原因”包括两个不是完全令人信服的论点。 两者都遭受了相同的弱点，第4.4.4节讨论。

另一方面，在论文中编写了一个强大的案例。 与教会不同，他为其提供了归纳证据，表明在某种意义上（1936：74-75）可以使用大量的数字“这将被视为可计算”。 例如，所证明的是计算可计算的收敛序列的限制是可计算的; 所有真正的代数数字都是可计算的; 贝塞尔功能的真正零是可计算的; 并且（如前所述）π和e是可计算的（1936：79-83）。 但最重要的是，提出了对论文的哲学哲学论点。 他简称为“I”，“II”和“III”。 它们在第4.3节和第4.4节中描述。

大约1950年，关于论文，有权证明已经积累了。 这一证据的最完整调查之一是在Kleene的1952年第12和13章中找到。以及讨论我提到的教会提到的两个论点，Kleene Bolstered Church刚刚引用的等价争论，指出这一点“其他特征......已原因是等价物”（1952：320）。 除了教堂提到的特征，Kleene还包括通过图灵机，柱的规范和正常系统（1943年，1946年第1946篇）和Gödel的概念（Gödel1936）的可计算性。 （图灵的学生和终身朋友罗宾甘地的风靡一时称为教堂的等价论据“汇合的论点”[Gandy 1988：78]。）

在现代，可以更有力地呈现等同的论点：所有尝试都表现出有效可计算的功能的直观概念已经证明是等同的，从而证明所提供的每个表征都被证明可以挑出相同类别的功能，即由图灵机可计算计算的。 由于涉及的各种正式特征的多样性，通常被认为是非常强有力的证据。 除了第1节和第3节中已经提到的许多不同特征之外，还在登记机（Shepherdson＆Sturgis 1963），马尔可夫算法（马尔可夫1951）和其他形式主义方面分析。

可以通过说出有效算可原植的概念 - 或可计算地简单的概念来总结等同的论点 - 已经证明是形式的超越，甚至是“无规主的”（肯尼迪2013：362），即所有这些不同的正式方法挑选完全相同的功能。

实际上，甚至没有必要区分，在任何给定的正式方法中，不同订单或类型的系统。 Gödel在1936年发布的一个摘要中，概念“可计算”是绝对的，因此在一个和同一系统中可指定的所有可计算功能，无需引入不同订单的系统的层次结构 - 例如，如图所示，在Tarskian分析的概念“真实”的分析中，标准的概念“可提供”（Gödel1936：24）。 十年后，评论图灵的作品，哥德尔强调“[of]图灵的计算性”是

在很大程度上由于这个概念的事实，其中第一次成功地给出了一个有趣的认识论概念的绝对定义，即，一个不取决于所选择的形式主义。 在先前处理的所有其他情况下，例如显着性或可定定性，人们已经能够相对于给定的语言来定义它们...... （Gödel1946：150）

在1952年的调查中，Kleene还开发了图灵的归纳论点（1952：319-320）。 总结：

在这方面已经研究的每一个有效可计算的功能都已经通过图灵机来计算。

从给定可有效可计算的功能获得用于获得新的有效可计算功能的所有已知方法或操作都通过用于构建来自给定图灵机的新图灵机的方法并行。

论文的归纳证据继续积累。 例如，Gurevich指出了这一点

就输入输出关系而言，可以通过图测机器模拟同步并行算法和交互式顺序算法。 这提供了额外的教会证明论文的确认。 （Gurevich 2012：33）

4.2关于归纳和等价争论的怀疑

这是一个归纳论点的一般特征，虽然他们可以提供强有力的证据，但他们不确定不确定他们的结论。 需要对教会图书论文进行更强烈的论点。 甘地说，归纳论点

不能解决哲学（或基本）问题。 有一天天才建立了完全新的计算可能会发生这种情况。 （Gandy 1988：79）

Dershowitz和Gurevich强调了困难：

历史充满了延迟发现的例子。 aristotelian和牛顿力学的持续时间超过了七十年，自教会建议识别递归的有效性，但最终仍然发现这些物理理论缺乏。 （Dershowitz＆Gurevich 2008：304）

Dershowitz和Gurevich向延迟发现提供了高度相关的例子（追随Barendregt 1997：187）：任何希望可以通过1923年引入的原始递归函数来识别有效可计算的功能（Skolem 1923;Péter1935） - 几年后，当Ackermann描述了一个有效的可计算的功能而不是原始递归（Ackermann 1928）。

等同性论点也被视为不满意。 Dershowitz和Gurevich称它为“弱”（2008：304）。 毕竟，许多语句等同的事实没有显示语句是真的，只有其中一个是真的，所有都是 - 如果一个是假的，就是这样。 Kreisel写道：

对教会论文的支持......当然不包括...不同特征的等价性：什么排除了系统错误的情况？ （Kreisel 1965：144）

孟德尔森更加有点略微放置，说等价争论是“不确定”：

可以想到，所有等效概念都定义了与之相关的概念，但与有效的可计算性不相同。 （Mendelson 1990：228）

显然，所需要的是从第一原则论述的直接争论。 我的论点我填补了这个角色。

4.3图灵的论点我

在“可计算数”第9节中的逻辑哲学论据在接受论文的原因之外突出。

他在1936年纸的开始时介绍了争论我的言论 - 例如：

我们可以将一个人与仅能够有限数量的机器计算的机器进行计算

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...，

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这将被称为“

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-configurations“。 （图灵1936 [2004：59,75]）

他还将争论I描述为“直接上诉直接”（图灵1936 [2004：75]）。 他谈论的诉求担心我们对人类计算的哪些特征是基本特征（非态度的一些例子是人类计算机吃，呼吸和睡眠）。

在轮廓中，我按如下方式运行的说法：假设人类计算具有这些（并且只有这些）基本特征 - 并且这里提供了一个特征列表 - 然后，无论指定哪种人类计算，可以设计一个图灵机来执行计算。 因此，图灵机可计算数字包括自然被视为可计算（图灵论文）的所有数字。

4.3.1图灵分析

图灵的人类计算的基本特征列表如下（图灵1936 [2004：75-76]）：

计算机在二维纸张上写符号，这可以被认为是（或实际上）分成正方形，每个方形不超过单个单独的符号。

计算机无法识别或打印，超过有限数量的不同类型的单个符号。

计算机无法遵守无限数量的方块 - 如果他或她希望观察更多的正方形，则必须在一次进入更多的正方形，然后必须进行连续观察。 （例如，计算机可以在任何一刻观察到的最大平方数是

b

�

在哪里

b

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是一些积极的整数。）

当计算机进行新观察以便查看更多正方形时，没有一个新观察的平方位于远离最近的先前观察的正方形的一定固定距离。 （例如，这个固定距离包括

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正方形，在哪里

l

�

是一些积极的整数。）

为了改变符号（例如，通过不同的符号替换它），计算机需要实际观察包含符号的正方形。

任何时刻的计算机的行为都由他或她观察的符号以及他或她的“心态”在那一刻。 此外，计算机在任何特定时刻的心态与他或她在那一刻观察的符号，在下一刻确定计算机的心态。

在描述计算机行为时需要考虑的心态的数量是有限的。

计算机执行的操作可以分成基本操作。 这些非常简单，在单个基本操作中不再改变了多个符号。

所有基本操作都是以下一个或其他形式的：

改变心态。

观察方块的变化，以及可能的心态变化。

改变符号，以及可能的心态变化。

4.3.2下一步：

b

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-

l

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-Type图灵机

参数我的下一步是建立如果人类计算具有那些并且只有那些基本特征，那么，无论指定什么人类计算，都可以设计用于执行计算。 为了展示这一点，图灵推出了一种修改的图形式，可以称为“

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-type“图灵机。 一种

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-Type图灵机与普通的图灵机很有共同之处：

一种

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-

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-Type图灵机由扫描仪和一维纸带组成; 磁带分为正方形。

扫描仪包含使其将磁带移动到左侧或右侧的机制。

扫描仪的机制还使其识别，删除和打印符号。

扫描仪能够识别并仅识别和打印有限数量的不同类型的单个符号。

在任何时刻，扫描仪的控制机制将是有限数量的内部状态中的任何一个。 这些术语这些“

是

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-configurations“。 他包括一个关于的解释性评论

是

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- 在法语中的摘要中的摘要中的“可计算数”：在机器内部，“杠杆，车轮，et克拉可以用几种方式排列，称为”

是

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-configurations'“。 （完整摘要在Copeland＆Fan 2022中翻译。）

机器在任何时刻的行为都由其确定

是

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- 配置它是观察的符号（即，扫描）。

机器可能的行为仅限于移动磁带，删除观察方形的符号，并在观察的正方形上打印符号。 这些行为中的每一个都可以伴随着变化

是

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-configuration。

现在搬到普通图灵机之间的差异

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-Type机器：

a的扫描仪

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-Type机器可以观察到

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一下子的正方形; 虽然普通图灵机的扫描仪可以在任何一刻观察一次单个平方磁带。 能够调查一系列正方形的图灵机，其次是（可能是难以的）术语“串机器”的。

a的扫描仪

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-

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-Type机器可以在单一的操作中移动胶带

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立即平方（在立即先前观察的平方中的任何一个的左侧或右侧）; 虽然普通机器的扫描仪可以在单个基本操作中仅移动一个正方形。

返回论证，提出了鉴于他的人类计算的基本特征的帐户1-9

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-

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-Type机器可以“完成任何人机的工作”（1936：77）。 这是因为

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-

l

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-Type机器要么复制，要么可以模拟每个功能1-9。 让我们依次采取这些功能。

特征1由机器模拟：

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-Type机器使用其一维磁带来模拟计算机的二维纸张。 说：

我认为将同意纸张的二维特征是无需计算。 （图灵1936 [2004：75]）

但是，有些评论员注意到有关于这件事的疑问。 Gandy抱怨说，这里的说明“太简单了”，说：

它并不完全明显，可以将两种（或三个）尺寸进行的计算能够放在一维磁带上，但却保持“本地”属性。 （Gandy 1988：81,82-83）