教会图论文（三）

这里的Peirce似乎是正确的 - 非常正确 - 可以设计一台机器来研磨Dedekind（1888）算术的所有定理（由六个“主要假设”的形式为四个公理和两个定义）。 这张据说近四十年的Peirce陈述在将被引入数学中的定义机器介绍之前，在数学方面取得了很好的时间。

关于所有数学推理是否可以由机器执行，因为莱布尼兹似乎已经思考，Peirce非常持怀疑态度。 他制定了一个假设，在未来，数学推理

可能会想到的是机器 - 一些野蛮人的分析发动机或一些逻辑机器。 （Peirce 1908：434）

然而，他与他认为“逻辑异端邪说”的其他假设放在一起，称之为“恶意”（同上）。 他的持怀疑态度，如果可能不是他的理由，可以通过图灵的后续结果来尊重（图4 1936,1939）。 但在此之前，在希尔伯特及其小组在哥廷根的影响下，对数学家的一个完全不同的事项。

2.5希尔伯特和哥廷根集团

它主要是希尔伯特，他们首先提请注意需要精确分析有效决策方法的想法。 在一位讲座中，他在1917年在苏黎世进入了瑞士数学会，他强调需要研究“通过有限次数的脱名性”的概念，准确地说 - 这将是“开发的重要研究领域”（希尔伯特1917：415）。 该讲座认为他称之为他所谓的“最具挑战性的特异性数学特性的识别问题”（1917：412）。 其中的预卓在这些是数学问题的“脱钩性”问题“因为问题”对数学思维的性质深刻地触及“（1917：413）。

希尔伯特和他的哥廷根集团回首莱布尼斯作为他们逻辑方法的发起人和数学的基础。 这群集团杰出的成员，Behmann表示，Leibniz预期了现代象征逻辑（Behmann 1921：4-5）。 莱布尼兹的假设“普遍特征”或普遍的象征主义是一种普遍的象征性语言，在概念中类似于今天数学逻辑和计算机科学的语言。 希尔伯特和Ackermann承认Leibniz对他们Grundzügeder Theorettischen Logik的第一页的影响，称“数学逻辑的想法首先被莱布尼兹（希尔伯特＆Ackermann 1928：1）。 Cassirer表示，在希尔伯特的工作中，“莱布尼兹的”普遍特征“的基本思想被占用并达到了简洁和精确的表达”（Cassirer 1929：440）。 它在葛根组织的作品中，Leibniz对回答任何指定的数学或科学问题的有效方法的想法发现它最大的发展（进一步参见了OntsCheidungsProbly的上升和堕落）。

希尔伯特最早的出版物提到我们现在所谓的决定问题是他的1899年Grundlagen der Geometrie [几何图形的基础]。 他说，在他对欧几里德几何的调查过程中，他是

以讨论每个给定的问题的原则为指导，以便我们检查它是否可以通过使用某些有限资源的规定步骤回答它。 （希尔伯特1899：89）

关于一个具体的例子，他写道：

假设可以用指南针进行的几何构建问题; 我们将尝试展示一个标准，使我们能够立即确定[Beurteilen]，从问题的分析性质及其解决方案中，是否也可以仅使用尺子和分段转移器进行结构。 （希尔伯特1899：85-86）

他描述了现在将被称为确定这一点的有效方法，他的术语“beurteilen”可以用一丝不间断的代筒心翻译为“决定”。

希尔伯特在次年中更清楚地表达了决策方法的概念，在他在巴黎的着名型讲话中向国际数学家的国际大会上进行了追踪。 他介绍了二十三个未解决的问题，“从讨论中可以预期科学的进步”。 他的名单上的十分之一（现在普遍称为希尔伯特的第十个问题）是：

给定具有任何数量未知量的辅助线程和有理积分数值系数：设计根据该过程，根据该过程，可以通过有限次数来确定是否在合理整数中可溶解。 （希尔伯特1900：276 [Trans。1902：458]）

当时希尔伯特的学生Behmann于1922年出版了一个地标文章，“逻辑代数的贡献，康德坦普斯问题甚至陷入了更清晰的焦点，特别是逻辑的代数，特别是康德坦普斯问题。 这可能是因为诗人“entscheidungsproblusprob”这个词（Mancosu＆Zach 2015：166-167）。 Behmann说：

如果给出了逻辑或数学语句，则所需的过程应提供用于确定语句是否是正确的或假的完整说明，在有限的许多步骤之后通过确定性计算。 如此制定的问题我想调用AllgemeineEntscheidungsProblup [一般决策问题]。 （Behmann 1921：6 [Trans.2015：176]）

我们看到的Peirce，谈到了一个程序的成形“如此全面的例程，可以容易地定义将执行它的机器”。 他的工作在哥廷根闻名：希尔伯特和阿克曼说，Peirce“特别是”，以及杰维斯，也“丰富了年轻科学”的数学逻辑（1928：1）。 像Peirce一样，Behmann使用了一台机器的概念来澄清OntscheidungsProblem的性质。 “对问题的角色至关重要，Behmann表示，”仅根据给定指令完全机械计算“。 该决定是否对陈述是真或假成为“仅仅在计算时锻炼”; 有“消除思考有利于机械计算”。 Behmann继续：

一个人可能会，如果想要，谈论机械或机器样思想。 （也许有一天甚至可以让它通过机器进行。）（Behmann 1921：6-7 [Trans.2015：176]）

Leibniz的Llullian对一台可以计算真理的机器的想法突然在二十世纪初的数学的最前沿。

2.6纽曼和剑桥数学家

决策问题和一台机器之间强调的连接Behmann将很快在图灵的手中证明至关重要。 在1935年，在1935年，在纽曼提供的剑桥讲座中，似乎已经有所了解了第一个重要的刷子。 纽曼，数学逻辑师和拓扑学家非常熟悉从哥廷根发出的思想。 早在1923年，他就左上方的讨论了一些希尔伯特的想法，他自己提出了一种对数学基础的方法，而激进和新的，又有了强烈的希尔伯利风味（纽曼1923年）。 1928年，纽曼参加了在意大利博洛尼亚市的数学家国际大会，在那里希尔伯特在讲授他证明理论时谈到了OntscheidungsProblem（希尔伯特1930A; Zanichelli 1929）。 希尔伯特在数学逻辑-Hilbert和Ackermann（1928年）和希尔伯特和伯尼（1934）中的领先作品 - 为纽曼的数学基础进行了建议的读书（史密斯）1934年;槟榔和粉丝2022）。

纽曼说：“我相信这一切都始于数学和逻辑的基础，”

我想我在这篇讲座中说，通过说[a]过程是建设性的，这是一个纯机械机器 - 我甚至可能已经说过，机器可以做到这一点。

当然，这当然带领了[图灵]到了下一个挑战，这是什么机器，这激发了他试图通过完美的一般计算机器来说是什么意思。 （纽曼C1977）

遗憾的是，纽曼在他的讲座中对此至关重要的关键时尚似乎没有记录。 然而，他的1923年“从物理学的角度”数学的基础“确实记录了他的一些相关思维（Copeland＆Fan 2023）。 在那里，他介绍了“过程”一词（他也用于上述报价），说“所有逻辑和数学包括某些过程”（1923：12）。 他强调了这个过程应终止所需结果（例如定理或数量）; 他给了一个正式的过程治疗：

从一组公理开始的过程的性质从一组公理开始，并且达到了用于攻击给定过程终止的问题的一般方法。 （纽曼1923：12）

纽曼没有提到他的1923年纸上的纽特森普斯问题问题 - 更不用说它的无法解决（没有证据表明，预测，他认为问题无法解决的问题） - 与后智，他当然暗示了一些暗示关于攻击问题的基础。 他写道：

关于进程的过程或段的第一重要信息是可以执行它...... [过程]的陈述

φ

|

|

α

ρ

φ

|

|

�

�

可能意味着这个过程终止：停止......（纽曼1923：39）

纽曼甚至提出了一个“象征机”，通过实施他分析的排序过程来产生数字，从该提案的角度（1923：130FF）提供了对实数的深刻讨论。

纽曼也不是剑桥的唯一人，兴趣了康德坦普斯问题。 在十年内，厄登德普斯问题在这方面是“在空中”，在这方面导致了攻击它的攻击。 剑桥的萨德莱里亚数学教授哈迪，对该问题感兴趣，灵感来自冯·诺伊曼的武器举行和希尔伯特的思想批评（冯Neumann 1927）。 Ackermann本人在1925年上半年访问了哥廷根的剑桥（Zach 2003：226）。 另一个访客，Langford-谁在柬埔寨队在哈佛大学的奖学金上，1924-25（Frankena＆Burks 1964） - 在他回到哈佛之后，这一系列结果并不长时间对美国数学社会。在解决OntsCheidungsProblus的许多特殊情况下（Langford 1926a，1927）。

剑桥逻辑师Ramsey，就像在20世纪20年代后一部分的后期的EntscheidungsProbly上工作。 他于1930年去世（在图灵抵达剑桥作为本科的年份），但不是在完成特殊情况下（Ramsey 1930）的关键纸张解决了OntscheidungsProbly的关键文件之前。 他的工作也在推荐的纽曼讲座课程中突出。 Braithwaite是国王大学的另一个学员（1935年在国王的初级研究奖学金中曾在Tying选举中），对Ramsey在OntsCheidungsProblus上的工作感兴趣（Copeland＆Fan 2022）。 同样在1935年，Von Neumann访问了普林斯顿的剑桥，为纽曼的讲座课程（Copeland＆Fan 2023）。 冯·诺伊曼是20世纪20年代中期的哥廷根集团成员，叫做康德坦斯问题的“深刻和复杂”，他致力于它是可解决的（冯诺伊曼1927：11; 1931：120）。

他并不孤单。 Hardy给出了这句话的EntscheidungsProblop，在着名的希尔伯特的想法讨论过程中：

例如，假设我们可以找到一个有限的规则系统，使我们能够说明任何给定的公式是否可观。 （Hardy 1929：16）

Hardy预示着是什么，以及教会很快证明，告诉他的观众这种规则制度“不需要预期”。

表明的是，永远不会是，并且永远不会是满足以下规范的计算机：当用户类型在公式 - 任何公式的功能微积分中时，机器执行有限数量的步骤然后输出正确的答案，即“这个公式是在功能微积分中可提供”或“该公式不可提供在功能微积分中”，视情况而定。 因此，如果存在有效的方法，那么它可以通过他的一台机器进行，因此没有有效的方法来决定判定完全一阶函数微积分的方法。

3.其他可计算的方法

图灵教堂肯定不是唯一一个解决分析效果概念的问题的人。 本节调查二十二十一世纪期间的其他一些重要提案。

3.1Gödel

Gödel导致了他的寻求分析了效果的问题，以概括他的1931年的不完整结果（其原始形式专门用于Whitehia Mathematica中的Whitehead和Russell所载的正式制度）。 1934年，他在教会首次公布之前一年的递归的广义概念 - 大约一年的论点审议了一年的分析，即“积极整数的有效可计算的函数的概念应该用递归函数确定”（教会1935A;Gödel1934，Fn。3;戴维斯1982）。

但哥德尔怀疑：“我当时是......一点不相信我的递归概念包括所有可能的递归”（Gödel1965b）。 它正在进行分析，哥德尔强调，最终使他能够概括他的不完整定理：

由于A. M.图灵的工作，现在可以给出一定的正式系统一般概念的精确和无可疑的足够定义。 （Gödel1965A：71）

他解释说：

图灵的工作介绍了“机械过程”（别名“算法”或“计算过程”或“有限组合过程”）的概念分析。 该概念显示出相当于“图灵机”的概念。 正式系统可以简单地被定义为生产公式的任何机械过程，称为可提供可提供的公式。 （Gödel1965A：71-72）

武装了这种定义，不完整的能力，哥特尔说，“被严格地证明，每个一致的正规系统都有一定数量的有限数学理论”（1965A：71）。

3.2帖子

到1936年，帖子在分析与图灵（1936年第1936篇; Davis＆Sieg 2015）的效果分析的情况下独立抵达。 POST的理想化人类“工人” - 或“问题求解器” - 在“符号空间”中，由“两种方式无限序列或盒子”组成。 承认了一个盒子

除了两个可能的条件下，即空虚或非空虚，并在其中有一个标记，说垂直笔划。 （1936年第103章）

问题解决者根据“固定不可改变的方向”，可以执行少数“原始行为”（第1936篇：103），即：

确定目前占用的框是否标记为;

删除目前占用的框中的任何标记;

标记当前占用的框，如果它没有标记;

移动到当前位置右侧的盒子; 和

将盒子移到当前位置的左侧。

邮报于1936年10月的出版物提交了五个月后的出版物。 它载有图灵的通用计算机器的模拟，而且预期教会和图灵的结果也是不可转让的。 然而，奇怪的是，帖子已经取得了远远超过他在1936年的纸张中的更多信息。 在一篇关于“期待期待”的文章中，于1965年出版，但在1941年撰写，他解释说，在20世纪20年代初，他设计了一个系统 - 他称之为“完整的正常系统”，因为“在某种程度上，它包含所有正常系统” - 他说，“对应[ED]”到图灵的普遍机器（1965年第412章）。 此外，他在同一时期争论，在他的“正常系统”（1965：405FF）的情况下，决定问题无法解决。 但似乎他似乎没有扩展这个论点，以期望教会，谓词微积分的决策问题是无法解决的（1965：407）。

稍后慷慨地确认邮政的1936年纸张，将图灵机描述为“由邮政和作者引入的逻辑计算机”（图灵1950B：491）。

3.3希尔伯特和伯尼

1939年，他们的泰坦尼克号股票II卷Grundlagen der Mathematik（数学的基础），希尔伯特和伯纳德提出了一种基于逻辑的有效性分析。 根据该分析，有效可计算的数值功能是可以在所谓的“Regelrecht”方式（Hilbert＆Bernays 1939：392-421）中评估的数值功能。 在这种情况下，德语单词“Regelrecht”可以翻译为“规则管理”。 希尔伯特和伯尔尼提供了规则治理的概念 - 对数值函数的数值评估为“可计算概念的锐化”（1939：417）。

基本思想是：以规则管理的方式评估数值函数（例如添加或乘法）是在合适的演绎逻辑系统中计算函数，步骤逻辑步骤的函数。 在这种方法上，分析了有效的计算能力作为逻辑中的可计算性。 （教会和图灵之前先前讨论过的方法 - 见第4.4节。）

逻辑系统希尔伯特和伯尔尼用于肉体这个想法是一个等级的微积分，让人想起1934年在普林斯顿的讲座中详述的微积分（Gödel1934）。 等级微积分的定理（如名称说）方程 - 例如

2

3

=

8

2

3

=

8

和

x

2

+

1

=

x

（

x

+

1

）

-

（

x

-

1

）

，

�

2

+

1

=

�

（

�

+

1

）

-

（

�

-

1

）

，

或一般

f

（

是

）

=

n

。

f

（

�

）

=

�

。

Hilbert-伯纳交易平衡的逻辑符号不包含逻辑符号（例如否定，结合，暗示或量子），并且每个公式都只是术语之间的等式。 允许三种类型的等式作为系统中扣除额的初始公式（或前列）; 并且该系统是满足诸三个称为“递归条件”的普通条件。 结石规则涉及等式内的取代，非常简单，允许以下步骤：

一种

=

b

，

f

（

一种

）

⊢

f

（

b

）

�

=

�

，

�

（

�

）

⊢

�

（

�

）

在这个微积分的基础上（他们称之为

z

0

�

0

）希尔伯特和亚伯国建立了等价结果：能够规则治理的评估的数值函数与（原始）递归函数（1939：403和393N）一致。

据证明理论的创始人，最终选择了对逻辑内的算法的可计算性分析，即使教会和图灵分别在递归函数和图灵机器方面呈现分析，也可能选择分析有效的算可率作为算法。 贝尔伯特和伯尔尼继续使用他们的分析，以赋予OntsCheidungsProblup（Hilbert＆Bernays 1939：416-421）的无法解决的新证明。 这种证明悄然标志着一定是令人不安的，甚至痛苦，对他们的转变。 数学决策程序的想法已经在教堂的结果是他们的思维核心，并在1934年出版的Grundlagen的第1卷，他们已经假设OntscheidungsProbrantbable是可解决的。