教会图论文（二）

1.7 entscheidungsproblus

在攻击所谓的EntsheidungsProblop的过程中，TING和CHUDE都介绍了教会的各自版本。 如上所述，图灵的1936篇论文的标题包括“申请东京德文普斯问题”，教会只是为了他的1936年纸张标题的“关于东京德文普斯问题的注释”。 所以 - 什么是entscheidungsproblus？

德语单词“Entscheidungsproblum”是指决策问题。 用于逻辑微积分的EntscheidungsProblem是设计有效方法的问题，用于确定给定的公式是否可以在微积分中提供。 （这里“提供”意味着可以仅使用微积分的规则来逐个逻辑步骤来推导该公式，仅使用微积分的规则来推导逻辑步骤。）例如，如果使用这种用于经典命题微积分的方法来测试公式

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经过测试，输出将“不可提供”。 这种方法称为决策方法或决策程序。

教会和图灵在一个名为（一阶）功能微积分的基本重要的逻辑系统上接受了OntscheidungsProblem。 功能微积分由标准命题逻辑加标准量逻辑组成。 功能微积分也称为经典的谓词微积分，并且随着量化理论（和教会有时使用德国耳机FunktioNkalkül）。 它们每个人都到达了相同的负面结果，在教会上论证的基础上争论，在功能微积分的情况下，OntscheidungsProbral是无法解决的 - 可以没有对微积分的决定方法。 这两者认为这一结果彼此独立于1936年（教会早于图灵几个月）。 教堂的证据，没有参考计算机器，这是因为这个原因有时被认为比图灵的兴趣较少。

EntscheidungsProbrals吸引了二十世纪初的一些最美味的思想数学逻辑，包括哥德尔，赫尔邦，邮局，拉姆齐和希尔伯特和他的助理阿克曼，Behmann，伯尼亚，和Schönfinkel。 Herbrand将EntscheidungsProblum描述为“数学最普遍的问题”（Herbrand 1931b：187）。 但它是希尔伯特，他们将OntscheidungsProblum带到了功能模糊，进入了敏捷。 1928年，他和Ackermann称为“Das HauptProblem der Mathematischen Logik” - “数学逻辑的主要问题”（希尔伯特和Ackermann 1928：77）。

希尔伯特知道命令微积分（是功能微积分的片段）是可判定的，以伯纳迪为基于所谓的“正常形式”（伯尼亚1918; Behmann 1922;希尔伯特＆Ackermann 1928：9-12; Zach 1999），他还知道Löwenheim的工作，即Monadic功能微积分是可判定的（Löwenheim1915）。 （Monadic功能微积分是仅涉及一个地方谓词-1.e的片段。，没有关系，例如“=”和“<”，并且没有更高地方的谓词，例如“ - 是 - 和 - ”。）他认为必须有一个决定程序整个功能微积分。 挑战是数学逻辑的主要问题，是找到它。 正如他和阿克曼在1928年写的那样，在他们的着名书Grundzügeder Theoretischen Logik（数学逻辑原则）：

[i] T将预期，可以系统的，从而说逻辑公式的计算治疗是可能的...... （希尔伯特＆Ackermann 1928：72）

然而，他们的预期受到1936年的教会的造成挫折感.Hilbert和Ackermann从他们的书的修订版中解脱出报表。 发表于1938年，新版本大幅下调，考虑到图灵和教会的纪念率。

当然，希尔伯特知道一些数学问题没有解决方案，例如找到有限二进制数字的问题

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（或一元数字，在Hilbert的问题中）这样

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（希尔伯特1926：179）。 然而，他非常喜欢说，每个数学问题都可以解决，而且他意味着

每个明确的数学问题必须必须易于完全解决，无论是以实际答案的形式问出问题，还是通过其解决方案不可能的证明，以及所有尝试的必要失败。 （希尔伯特1900：261 [Trans。1902：444]）

它似乎永远不会越过他的想法，他的“HauptProblem der Mathematischen Logik”落入这两类的第二个类别 - 直到那样，即教会和意外地证明了“解决方案不可能”。

有关OntscheidungsProblus的更多详细信息，以及教会和特定于1936年独立建立的令人惊叹的结果概述，请参阅OntscheidungsProblus的崛起和堕落的补充。

2.背溯：有效方法和决策方法的出现

有效的方法是教会图论论文的主题。 这个主题是如何发展的，并且在教会和图灵之前如何阐述它？ 本节回顾早期的时代，之后第3节转向现代发展。

2.1从简单的拇指规则到Siri及以后

有效的方法在进行许多实际任务方面非常有用，他们的使用延伸回到古代的雾中，尽管它直到二十世纪才开始建立自然。 也许是最早使用的有效方法是拇指规则（如图所示，所谓的）对于各种各样的算术计算，但无论他们谦虚的开始，有效方法的范围都在巨大地扩大了几个世纪。 在中世纪，加泰罗尼亚哲学家Llull设想了一种有效的方法，可以摆姿势和回答关于上帝属性的问题，灵魂的本质，善良的性质以及其他基本问题。 三百年后，在十七世纪，霍布斯宣称人类推理过程的数量不仅仅是（基本上是算术）有效的程序：

通过推理，我理解计算。 （Hobbes 1655 [1839]：Ch。1教派。2）

如今，有效的方法 - 算法 - 是电子计算机所做的每项工作的基础。 据一些计算机科学家介绍，有效方法设计的进步将很快迎来人为人工智能，其次是超人智力。 已经是Siri，Cortiana和Chatgt等虚拟助手实现了有效的方法，可以为广泛的问题产生有用的答案。

在其最崇高的一般形式中，OntscheidungsProbral是设计有效的通用质疑答案的问题，这是一种能够给予正确答案，是或否的有效方法，对任何有意义的科学问题，也许甚至是道德和形而上学问题也是如此。 这种方法的想法几乎是颌滴。 Llull似乎已经瞥了一眼一般问答方法的概念，写入大约1300的一般艺术（“ARS”）或技术，“通过哪一个关于所有自然事物的技术”（Lo Desconhort，Line 8，Llull 1986年：99）。 他梦见了一个可以机械化“一般技术”的ARS Generalis（一般技术），其中包含其他科学的原则是隐含的原则，其中（ars Generalis Ultima）在Llull 1645 [1970：1]）。 Llull使用了外接的知识领域，以说明他对机械问答的想法，设计由叠加盘组成的小型域特定机器; 可能是他的机器采取了羊皮纸沃尔文岛的形式，金属星座的相对。

在近代早期，Llull对Ars Generalis的想法受到莱布尼兹的着作得到了同情讨论。

2.2莱布尼兹

Leibniz设计了一台计算机器，他说将增加，减去，乘以和划分，并在1673年，他在伦敦和巴黎（Leibniz 1710）展示了他的机器版本。 他对机械方法的兴趣使他成为一个甚至更加壮观的概念，部分受到Llull的不明确但挑衅的关于通用质疑答案机制的挑衅性的概念。 莱布尼兹说，Llull“已经把皮肤刮掉了”这个想法，但“没有看到它的最小部分”（Leibniz 1671 [1926：160]）。 Leibniz设想了一种方法，就像乘法或划分一样

当人们之间存在纠纷时，我们可以简单地说：让我们在没有进一步的ADO的情况下计算，以便看到谁是对的。 （Leibniz 1685 [1951：51]）

Leibniz解释的方法的基础是，“我们可以代表各种各样的真理和后果”和“那么所有推理结果都可以以数值方式确定”（Leibniz 1685 [1951：50-51]）。 他希望该方法适用于“形而上学，物理和伦理”以及数学的方式（1685 [1951：50]）。 他认为，这种猜想的方法可以由他所谓的机器组合，一个组合机（Leibniz N.D.1; Leibniz 1666）实施。 然而，对他梦寐以求的方法来说，从未有过多的进展，并在他去世前两年的信中写道：

[i]我年轻或者有才华横溢的年轻人来帮助我，我仍然希望创造一种普遍的象征主义[spécieusegénérale]，其中所有原因的真相都将减少到一种微积分。 （Leibniz 1714 [1969：654]）

在他的理论中，莱布尼斯描述了他称之为ARS Inveniendi，一种发现或设计方法。 Ars Inveniendi的功能是生产迄今为止的科学真理（Leibniz 1679 [1903：37]; Leibniz N.D.2 [1890：180];爱马仕1969）。 机械ARS INVENINDI将产生真实陈述，并且随着时间的推移，到达科学问题的答案将到达（Leibniz 1671 [1926：160]）。 拥有普遍的（即，完整和一致）ARS Inveniendi，用户可以输入任何有意义和明确的（科学或数学）陈述

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，并且机器最终会响应（正确）“

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是真的“或”

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是假的“。 作为1936年的开创性发展，由教会和图灵明确，如果ARS Inveniendi应该通过有效的方法工作，那么就可以没有通用的ARS Inveniendi - 甚至不仅限于所有数学的ARS Inveniendi陈述，因为这些包括表格的陈述“

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是可证明的“，甚至到所有纯粹的逻辑陈述。

2.3逻辑机器

逻辑微积分的决策方法的现代概念在二十世纪至二十世纪并未发展。 但是，在内的莱布尼兹在内的逻辑学者肯定有一种方法的概念，即在文字意义上是机械的机械，可以通过由熟悉的机械部件构造的机器进行，销钉，杆，弹簧，杠杆，滑轮，旋转轴，齿轮，重量，拨号，机械开关，开槽板等。

1869年，JEVONS设计了一个被称为“逻辑钢琴”的开拓机（JEvons 1870; Barrett＆Connell 2005）。 由于机器的钢琴式键盘，因此名称出现，用于输入逻辑公式。 从涉及四个阳性术语的三段计数中汲取公式，例如“铁”和“金属”（JEvons 1870）。 他自己设计了一个有影响力的电气逻辑机（Mays＆Prinz 1950），将逻辑钢琴描述为“在没有人工机构的干预的情况下执行逻辑推理”（Mays＆Henry 1951：4）。

逻辑钢琴实施了一种确定从八个术语中汲取的哪种组合 - 四个阳性术语和相应的四个否定术语（“非金属”等） - 与输入的公式一致，而不是（尽管实际上并非所有一致的组合考虑到）。 该机器通过刻字的木条显示一致的公式，用大写字母表示阳性术语和小写负错。 Jevons在曼彻斯特学院展示了曼彻斯特大学的逻辑钢琴，他是逻辑教授（5月和亨利1953：503）。 他的钢琴，jevons声称具有相当大的夸张，使其“明显，机制能够更换逻辑扣除性能所需的思想的行动”（杰沃斯1870：517）。

十年后，Venn公布了我们现在呼叫Venn图表（Venn 1880）的技术。 该技术满足了在第1节中为有效方法设置的四个标准。用户首先将一个分类的方法，然后，如Quine所说，“我们检查图表的内容是否自动出现在图中的图表中”（Quine 1950：74）。 并非所有功能微积分的所有公式都是Venn-discumable，Venn的原始方法仅限于测试三段论。 在二十世纪，Massey表明Venn的方法可以被拉伸，以给出Monadic功能微积分的决定程序（Massey 1966）。

像jevons一样，Venn非常了解真实的机械方法的概念。 他指出，如他的“易于借给机械性能”（Venn 1880：15），他指出了视图方法。 Venn继续描述他所谓的“逻辑图机”。 这种简单的机器显示了与Venn图的组件区域对应的木段; 每个木段代表四个术语中的一个。 手指操作的释放机制允许用户选择的任何段下降。 这代表了“任何班级的破坏”（1880：18）。 Venn报道，他建造了这款机器，该机器测量了“五英寸之间的四英寸和三英寸深”（1880：17）。 当Venn出版了他的描述时，Jevons很快就写信给他说逻辑图机“非常巧妙，似乎代表了四个术语的关系”（杰沃斯1880）。 然而，威恩自己不太热情，在他的文章中说：“我没有高度估计自己有时被称为逻辑机器的利益或重要性”（1880：15）。 Baldwin在1902年评论Venn的机器，抱怨它是“仅仅是一个更麻烦的图”（1902年：29）。 这是完全正确的 - 它至少容易在纸上绘制Venn图表，以便在机器上设置它。 但Venn的文章使逻辑图机器旨在成为杰维斯复杂逻辑钢琴的热闹发送。

在围困同一时间，马奎兰 - 一位佩里斯的学生设计了一个普林斯顿同事的逻辑机器（从“普林斯顿最古老的家园”，Marquand在他的1885年相关）。 玛木桑的杰维斯'和Venn的设计，并表示他在某些方面“遵循了杰沃斯”，他自己的机器是“有点相似”到杰维斯'（Marquand 1881,1883：16,1885：303）。 Peirce，具有习惯性的直言不讳，称为Marquand的机器“比杰斯·杰顿比这更清晰的光明”（Peirce 1887：166）。 再次限制为仅涉及四个肯定术语的三段考试，Marquand的设备，如Jevons'，与输入的公式一致的术语组合。 使用具有16个机械拨号的刻字板来显示组合。

2.4 Peirce

1886年，在给Marquand的一封信中，Peirce着名建议，Marquand考虑了他的机器的电气版，他勾勒出简单的开关电路实现（我们现在所谓的）和门和一个或门，可能是电气计算最早的建议（Peirce 1886）。 乍一看，Peirce在这封信中写道，随着电力的使用，“它绝不希望能够为真正非常困难的数学问题制作机器”。 稍后，教堂发现了普林斯顿的Marquand在Marquand的论文中的基于电气中继的机器的详细信息图（在Ketner＆Stewart 1984：200转载）。 无论谁在这个图中制定了这个图中的设计 - 马奎兰，人权或未知的第三人 - 有一个声称是机电计算的重要早期先驱。

凭借他对逻辑机器的兴趣，Peirce似乎是第一个粗略地考虑决策问题的宗旨，这是制定和教会解决它的形式。 从大约1896年开始，他开发了他称之为“存在图”的图解程序。 这些比Venn的图表更先进。 Peirce的α-图系统是命题微积分的示意性制剂，他的β图系统是一阶函数微积分的版本（Peirce 1903a; Roberts 1973）。 Roberts（1973）证明了Beta-Graphs系统包含了Quine 1951的一级函数微积分的公夸1951年的公理和规则，其中仅闭合公式（Quine 1951：88）。

Peirce预计1903年他在他在波士顿交付的一系列讲座的大量讲义中的决策方法的概念。在那里，如果适用于任何给定微积分的任何给定的公式，他将制定一种方法（Peirce 1903b，c），他将说，“确定”（或“肯定地确定”）α-图系统是否表明该公式是满足的（在PeiRCE的术语中，或者在另一方面，该系统是否表明它是不可挑例的（“阿尔法不可能”）。 （请参阅entschedungsprobleb的升级和堕落的补充，以解释“满足”。）Peirce表示，他的方法“是如此全面的例程，可以很容易地定义一台能够执行它” - 虽然“案例的复杂性”的机器。他继续，“赋予任何此类程序非常不切实际”（Peirce 1903c）。 也许他不会完全惊讶地学习，在五六十年内，随着电力的使用，它远非不切实际地运行机器上命题微积分的决策方法。

Peirce也在徒劳的情况下，当然 - 对于他的Beta-Graphs系统的相应方法（Peirce 1903b，c，d; roberts 1997）。 像他之后的希尔伯特一样，毫无疑问，他似乎有令人疑惑的是，全面的一流谓词逻辑适用于机器样方法。

Peirce更普遍地对数学中的使用有关使用机器的思考。 他写道：

[T]他的全科学均高算术，其数百个奇妙的定理，实际上已经推导出关于数字的六个主要假设。 迄今为止构造的逻辑机器对数学扣除的性能不足。 然而，有一种现代精确的逻辑，虽然在其初期阶段，但已经足够了，这只是为了构建一个机器来构建将磨削所有已知的算术定理和进步的机器，这些问题仍然比现在进步更快地迅速。 （Peirce N.D.，在Stjernfelt 2022中引用）