模态逻辑（三）

12.高级模态逻辑

模态逻辑与数学和计算机科学的应用变得越来越重要。 可证明逻辑只是这一趋势的一个例子。 术语“高级模态逻辑”是指在数学和计算机科学部门特别出色的模态逻辑研究中的传统。 这一传统从其开始（Goldblatt，2006年）开始了被编织为模态逻辑的历史。 与拓扑和代数的关系研究代表了模型逻辑上的一些技术工作。 然而，“先进的模态逻辑”一词通常是指自20世纪70年代中期以来的第二波工作。 处理许多有趣主题的一些示例包括解辨别性的结果（是否可以计算给定模态逻辑的公式是定理的）和复杂性（计算这些事实所需的时间和内存的成本）。 接下来的两个部分描述了这种传统的研究的例子。

13.双刺激

Bisimulation提供了模仿逻辑与计算机科学之间开发的丰富相互作用的良好示例。 在计算机科学中，标记的转换系统（LTS）通常用于在执行程序的执行期间表示可能的计算途径。 LTS是Kripke帧的概括，由州的集合W和一系列I - 可访问性关系RI组成，每个计算机过程I. 直观地，WRIW'当W'是将过程I应用于陈述W的状态而完全持有。

多模态或动态逻辑的语言引入了模态运算符的集合，每个程序I（Harel，1984）。 然后◻ia表示句子a在应用i的每一个结果中持有。 因此，可以以这种语言表达正确和成功终止程序的想法。 这种语言的模型就像Kripke模型一样，保存使用LTSS代替帧。 双刺激是两个这样的模型的状态之间的对应关系，使得在对应的状态下完全相同的命题变量，并且每当世界V从两个对应的状态之一访问，那么另一个对应物都具有I辅助性关系对于v的一些对应部分简而言之，I-Accessibility结构可以从给定的状态模仿，从对应的内容中看到的内容。 Bisimulation是一种弱的概念，而不是同构较弱（一个双刺激关系不需要为1-1），但足以保证在加工过程中的等效性。

在70年代中，莫代尔逻辑管理员已经开发了双催化，以帮助更好地了解模态逻辑公理和它们对Kripke框架上的相应条件之间的关系。 Kriipke的语义为将模态公式转化为一阶逻辑句的基础，在可能的世界中量化。 结果，将Metavariables A替换为Axiom中的Axiom，并将◻ax转换为∀y（rxy→ay）。 （◊ax的翻译由∃y（rxy＆ay）给出。）例如，Axiom Schema→a→a的翻译→a to∃y，（rxy＆∀z（ryz→az））→ax。 具有自由变量'x'的开放式公式反映了一阶逻辑语言的◊◻a→“说”。 显然，莫代尔公式的翻译是特殊的; 大多数一阶公式不等同于以这种方式翻译模态公式的结果。 模态翻译形成了谓词逻辑语言的特殊子集，这界定了模态逻辑公式可以表达的。

是否有任何有趣的方式来表征模态翻译的表现力量？ 答案是，Bisimulation恰好用于这种目的。 van Benthem显示（Blackburn等，2001，p.103），一阶公式等同于当其在模型中的持有需要它在任何B个模型中的模型时，并且该想法容易拓展到多模态案例。 这表明多模态逻辑在于描述的正确抽象水平，以及描述，计算和其他过程的原因。 （毕竟，真正重要的是，在模型中保存公式的真理值，而不是框架结构的更精细的细节。）此外，模态逻辑的隐性翻译成良好的谓词逻辑片段为计算机提供了丰富的信息信息科学家。 因此，计算机科学研究的富有成效的研究领域是与其核心理念的分析（Ponse等，1995）发展。

14.框架有效性和不完整性

60年代的模态逻辑的工作主要涉及在可访问关系上的各种条件方面获得完整性结果。 然而，随着研究进入70年代，关于表达关于框架的模态公理的较深连接。 在这项工作中的一个核心思想是帧有效性的概念，其与上述第6节中规定的有效性不同。 有一个参数被认为是一组条件c在框架上的一组条件c，什么时候⟨w，r，r，它的框架obeys c，以及w在w中的每个世界w，w在w中的真实情况都需要在w的结论真相。 简而言之，模型有效性为每个模型保存真相。 另一方面，帧有效性，更清楚地关注模型的帧。 据说一个句子在框架上有效，r⟩iff在任何模型中的每个世界都是真的，其中⟨w，r⟩。 然后，统治参数的框架对于帧IFF上的一组条件c有效，它保留帧有效性，即obeys c的每个帧，如果房屋在该帧上有效，那么结论也是如此。

帧有效性似乎是一种更好的方法来了解模态公理表达关于帧的内容。 有些模型分配了Axiom（M）：◻a→A True，即使其帧不满足反射性 - （M）的相应帧条件也是如此。 这是因为可以特别制作模型的估值函数，以便确保◻a→a是真实的工作。 但是，正如我们很快就会看到的那样，如果◻a→a对帧⟨w，r⟩是有效的，那么它遵循⟨w，r⟩是反身。 通过抽出有关估值功能的细节，可以更好地洞察公理和帧条件之间的关系。

框架有效性的概念为将模态公理的概念转换为二阶语言的句子，其中允许在一个地方谓词字母P.用开放句子Px替换元名列布，将◻px转换为∀y（rxy→py），并使用通用量化器关闭自由变量x和谓词字母p。 例如，Axiom schema→a的谓词逻辑转换为∀p∀x[∀y（rxy→py）→px]。 （谓词字母P的量化的基础是帧有效性量化了命题变量P的所有估值，但P上的估值是从该组可能的世界到真实值的函数，这些都可以比作p的世界所表达的属性，即世界W当P是真实的房产。）

给定◻a→a的翻译，可以将变量p实例化到任意一个地方谓词，例如，谓词rx，其扩展是所有世界W的集合，使得X的给定值的RxW。 然后一个获取∀x[∀y（rxy→rxy）→rxx]，从而减少到∀xrxx，因为∀y（rxy→rxy）是一个是着图学。 这照亮了◻a→a和帧的反射性之间的对应关系（∀xrxx）。 与许多其他公理和框架条件相似的结果。 二阶公理条件到一阶帧条件的“崩溃”非常有助于定位公理如何对应于帧条件，以及获得各种模态逻辑的完整性结果。 例如，这是Sahlqvist（1975）优雅结果背后的核心理念（Blackburn等，2001，Ch.3，特别是3.6节）。

沿着这些行的醒目成功表明，可以显示每个模态逻辑都是对其公理表达的帧条件的声音和完成。 不幸的是，这不是这种情况。 由于以下示例（Boolecos，1993 PP，148FF）所示，某些逻辑因其帧条件而不完整。 可保释的逻辑GL从添加Axiom◻（◻a→a）→◻a到基本模态逻辑K.系统H中添加较弱的公理：◻（◻a↔a）→◻a至K.GL是强于H，因为它能够证明S4的标准公理：◻a→◻◻a，但H不是。 问题是GL和H表达等同的二阶条件。 这意味着又是不完整的，因为它不能证明一个公式◻a→◻◻a，其实际上是有效的它表达的帧。

因此，从帧有效性角度来看，没有办法始终将公理的二阶转换成一级转换成给定系统既是声音和完整的一阶帧条件。 原因是，如果有的话，GL和H都必须对相同的第一订单条件C进行声音并且完整。但这意味着（通过GL的声音），◻a→◻◻a将为C的框架为C，但在H中不可提供。帧有效范例中的模态逻辑表达的表达可能比以一阶语言所说的更强大。

15.模态逻辑和游戏

游戏理论与模态逻辑之间的互动是一个繁荣的研究领域（van der Hoek和Pauly，2007; Van Benthem，2011，Ch。10和2014）。 这项工作具有很有趣的应用，以了解代理商之间的合作和竞争，因为他们提供的信息发展。

囚犯的困境说明了可以使用模态逻辑分析的博弈论中的一些概念。 想象一下，两名球员选择合作或缺陷。 如果两者都合作，他们都达到了3分的奖励，如果它们都缺陷，他们都得到1点，如果一个合作和其他缺陷，缺陷率为5分，合作者没有。 如果两个玩家都是利他主义和动力最大化他们的奖励的总和，他们都会合作，因为这是他们可以一起做的最好的。 然而，他们都试图将自己的奖励从3到5增加到5到5，留下他们的对手。 另一方面，如果他们都是理性的，他们可能会认出，如果叛逃是最好的策略，他们的对手也会选择这一点，只有1点离开它们。 因此，除非玩家之间有足够的信任来激励合作，否则他们将注定要收到1点。 但是，如果每个人认为另一个意识到这一点，他们可能愿意冒险与协作无论如何。

这个游戏的扩展（或迭代）版本使玩家多次移动，即重复播放和收集奖励的机会。 如果玩家有关于移动历史的信息及其结果，那么新的疑虑都会发挥作用，因为游戏中的成功取决于知道他们的对手的战略和确定（例如）当他/她可以被信任而不是缺陷时。 在游戏的多人版本中，在每个举动的较大游泳池中绘制的玩家，一个人自己的最佳策略可能取决于人们是否可以认出一个人的对手和他们所采用的策略。 （参见Grim等。，1998年，用于迷人的囚犯困境的研究。）

在像国际象棋这样的游戏中，玩家轮流让他们的动作，他们的对手可以看到所做的动作。 如果我们采用的公约，参与者在游戏中的球员轮流越来越努力，那么迭代的囚犯的困境是一个缺少关于游戏状态的游戏 - 第二轮的玩家缺乏关于其他球员的最后一举的信息。 这说明了与不完美信息的游戏的兴趣。

游戏应用于逻辑的历史悠久。 一个有影响力的应用程序对语言学的重要意义是游戏理论语义（GTS）（HINTIKKA et.1.1983），其中有效期由两个玩家之间的游戏结果定义，试图验证，另一个试图伪造给定的公式。 GTS具有明显更强大的资源，标准Tarski风格的语义，因为它可以使用（例如）来解释话语中的意义（一系列句子）。

但是，这里要描述的游戏和模态逻辑的工作有点不同。 而不是使用游戏来分析逻辑的语义，而是用于分析游戏的模态逻辑。 游戏的结构和他们的游戏非常丰富，因为它涉及游戏本身的性质（允许的移动和结果的奖励），策略（这是通过时间的序列），以及游戏在游戏的进展中可获得的信息流量。 因此，用于游戏的模态逻辑的发展绘制涉及时间，代理，偏好，目标，知识，信仰和合作等概念的逻辑特征。

为了提供一些暗示这种暗示，这里是一些有限的描述在游戏分析中的模态运算符和一些可以与之表达的东西。 语义中的基本思想是一个游戏由一组玩家1,2,3，......和一组游戏状态组成。 对于每个玩家I，有一个可访问性关系RI所理解的，所以SRIT在游戏到达州S播放器时，SRIT为S和T IFF持有，我可以选择进行导致T的移动。 这种关系集合定义了一棵树，其分支定义了游戏中的每种可能的移动顺序。 语义还将真实值分配给跟踪收益的原子。 所以，例如在像国际象棋这样的游戏中，可能有一个Atom Wini，这样V（Wini，S）= T IFF状态是球员I的胜利。 模型运营商◻i和◊i为每个玩家我可以如下给予真理条件。

v（◻ia，s）=在w中的所有t，如果srit，那么v（a，t）= t。

v（◊ia，s）对于W，SRIT和V（a，t）= t的某些t的iff。

所以◻ia（◊ia）在s中是真的，因为句子a在每个（某些）状态下都能从州s中选择。 鉴于⊥是一个矛盾（所以〜~⊥是一个是一个时代的），◊i~⊥〜◊i~⊥在我转向移动时是真的。 对于两位玩家游戏，◻1⊥结束游戏的状态是真的，因为1和2都不能移动。 ◻1◊2win2断言，玩家1的损失是因为从现在的状态下的任何1个，2可以在以下移动中获胜。

对于更长的播放器的回报来说，可以在状态下定义订购关系≤i，以便S≤t意味着我对T的回报至少与s一样好。 另一种概括是通过引入由关系SRQT解释的操作员来表达关于移动的序列Q的事实，这表明从S开始从S开始到达T. 通过这些和相关资源，可以表达（例如）Q是给出当前状态的最佳策略。

对于对游戏进行分析来说，有一种方法可以表达给玩家可用的信息是至关重要的。 实现这一目标的一种方法是从认知逻辑中借用思想。 在这里，我们可以为每个玩家介绍一个可访问性关系~i，使得s ~it保存iff i无法区分状态s和t。 然后可以定义知识运营商Ki，以便Kia在所有世界中持有我无法区分的世界 也就是说，尽管我对戏剧的状态无知，但他/她仍然可以相信A. K的运营商可以习惯于说球员1在一个职位上辞职，因为他知道她有一个胜利：K1K2�1�2Win2。

由于玩家的信息随着游戏的进展而变化，因此将游戏的动作与次数思考是有用的，并且介绍操作员o和u从时态逻辑的“下一个”和'直到'。 然后Kioa→奥基亚表达了那些我有“完美召回”的球员，即，当我知道接下来的时候，那么在下一刻，我就没有忘记发生了。 这说明了游戏的模态逻辑可以反映认知理想和球员的成功（或失败）。

游戏模态逻辑的技术方面是挑战性的。 识别声音和完整的规则系统的项目可以通过过去的研究来指导，但是通过过去的研究可以指导，但各种无障碍关系之间的相互作用会导致新的问题。 此外，各种系统及其碎片的计算复杂性很大程度上是一个大的景观。

游戏理论概念可以以一种令人惊讶的方式应用 - 从检查一个争论以在政治舞台上取得的有效性。 因此，制定可以处理游戏的逻辑有很强的动机。 关于这项研究的引人注目是通过在统一环境中编织时间，代理，知识，信仰和偏好的逻辑来获得权力。 从该整合中汲取的经验教训非常远远超出他们对理解游戏的贡献。

16.模态逻辑中的量词

似乎是用量子∀（全部）和∃（有些）的模态逻辑似乎是一个简单的事情。 一个人只会为量化器添加标准（或经典）规则，以获取任何命题模态逻辑选择的原则。 但是，将量化器添加到模态逻辑涉及许多困难。 其中一些是哲学。 例如，Quine（1953）着名的人士认为，量化模态背景是简单地不连贯的，这是一种产生巨大的文学。 Quine的投诉不会携带他们曾经做过的重量。 参见Barcan（1990）以获得一个很好的摘要，并注意Kripke的（2017）（在60年代为一堂课中写的），这提供了一个强大的正式论点，即“量化”就没有错了。

第二种并发症是技术性的。 在选择中有一个各种各样的种类可以在语义中进行量化的模态逻辑，并且规则系统对给定选择的证明可能是困难的。 CORSI（2002）和GARSON（2005）的工作走向这种地形，约翰尼森（2018年）介绍了有助于减少期权人数的限制; 然而，情况仍然仍然具有挑战性。

另一个并发症是一些逻辑人认为，模特需要放弃古典量化规则，支持自由逻辑规则较弱（Garson 2001）。 有关量化规则的分歧的主要分歧要点可以追溯到关于如何处理量化域的决定。 最简单的替代方案，固定域（有时称为可能的）方法，假设包含所有可能对象的单个量化域。 另一方面，世界相对（或现实主义者）解释假设量化的域从世界变为世界，并且只包含实际存在于给定世界中的物体。

固定域方法无需对量子的古典机械进行重大调整。 对于固定域语义充足的模态逻辑通常可以通过将命题模态逻辑的原理与古典量程规则（Barcan 1946）添加到古典量程规则的原则来协缩。 （对于一些有趣的例外情况，请参阅Cresswell（1995）。）

∀x◻a→◻∀xa。

固定域解释具有简单性和熟悉的优点，但它不会直接提供自然语言的某些量化表达的语义。 我们认为“一些人存在签署独立宣言”是真的，至少如果我们在现在的时态中读过“存在”。 尽管如此，这句话是在1777年的真实，这表明自然语言表达的域名'有些人是否存在于反映在不同时间存在的人的变化。 相关问题是在固定域解释上，句子∀y◻∃x（x = y）有效。 假设∃x（x = y）被读取：y存在，∀y◻∃x（x = y）表示一切必然存在。 然而，似乎是关于偶然的常识思想的基本特征，即许多事情的存在是偶然的，不同的物体存在于不同可能的世界中。

固定域解释的后卫可能通过坚持在他的（她）读取量词上，定量领域包含所有可能的物体，而不仅仅是在给定的世界中存在的物体。 因此，定理∀y◻∃x（x = y）使得每种可能对象都必须在所有可能对象的域中找到无序的声明。 此外，可以使用固定域量化∃x和谓词字母E表示域名是世界（或时间）的自然语言的那些量化的自然语言表达式。 例如，而不是翻译“一些人存在签署独立声明”的人

∃x（mx＆sx），

固定域的后卫可能会写入：

∃x（例如＆mx＆sx），

因此，在当前确保翻译是错误的。 Cresswell（1991）使得世界相对量化具有相对于固定域量化具有有限的表现力的观察。 可以使用固定域量化器和e定义世界 - 相对量化，但是没有办法与世界相对的方式完全表达固定域量子。 虽然这争论有利于经典方法来量化模态逻辑，但翻译策略也相当于有利于自由逻辑的一些特许权，对于世界相对的量词所以定义了遵守自由逻辑规则。

固定域量化的辩护人使用的翻译策略的问题是将英语渲染到逻辑中不太直接，因为必须将E添加到所有句子的所有句子的所有翻译中，其量级表达式具有依赖于上下文的域。 对固定域量化的更严重的反对意见是它将Quine推荐的角色的量词剥离，即记录强大的本体论承诺。 在此视图上，∃x的域必须仅包含在本体学中可观的实体，并且可能的对象太抽象了。 此条带的现场主义者希望开发量化∃x的逻辑，这反映了对给定世界中实际的致力于的承诺，而不是仅仅是可能的。

然而，一些关于现实主义的工作往往会破坏这种反对意见。 例如，Linsky和Zalta（1994）和Williamson（2013）争辩说，固定域量化可以给出对现场主义者完全可以接受的解释。 Pavone（2018）甚至认为，在HEAECEITICIST解释上，这量化了个人精华，需要固定域名。 雇用世界世界的现场主义者在他们的语义语言理论中常规量化可能的世界。 所以似乎可能是这些现实主义灯的世界。 通过将域名与抽象实体填充，没有比可能的世界更加令人反感，现场主义者可以辩护巴尔卡公式和经典原则。