模态逻辑（二）

我们可能想要的另一个财产“早于”是密度，条件说，在任何两次之间我们总能找到另一个。 如果时间是原子的，则密度将是假的，即，如果有时间间隔不能分解成任何较小的部分。 密度对应于公理（C4）：◻◻a→◻a，例如（4），例如，作为K Plus（C4）的系统KC4相对于框架⟨w，r⟩是密集的模型是足够的。KDC4关于框架串行和密集的模型是足够的。

我们所讨论的每个模态逻辑公理对应于以相同方式对应于帧的条件。 帧和相应公理的条件之间的关系是模态逻辑研究中的中心主题之一。 一旦决定了密切运算符◻，就可以确定R上的适当条件以解决相应的有效概念。 反过来，这允许我们为该逻辑选择正确的公理组件。

例如，考虑一个故逻辑，其中读出'它是强制性的'。 在这里，◻a的真相并不要求每个可能的世界中的一个真相，而是只在那些人们做他们应该做的事情的那些世界的子集中。 因此，我们希望为这种逻辑介绍一个关系R，并使用真相（K）来评估世界的◻a。 但是，在这种情况下，R不是比。 相反，在世界W'中的WRW'持有W'是一个道德上可接受的W，即我们的行为能够带来哪些人能够满足道德上的正确，或权利。 在这种阅读下，应该清楚的是，相关框架应该服从序列性，所需的条件，要求每个可能的世界都有一个道德上可接受的变体。 对R所需的性质的分析使得可以清楚地通过添加公理（D）和K.可以配制基本的文学逻辑。

即使在模态逻辑中，也可能希望限制在确定◻a在给定的世界中是否真实的可能世界的范围。 例如，我可能会说我必须支付账单，即使我完全知道，也有一个可能的世界，我未能支付它们。 在普通的演讲中，声称，A必要的声称不需要在所有可能的世界中的真相，而是只有在我所想到的一类世界（例如，我避免惩罚未能付款的世界）。 为了提供必要性的通用处理，我们必须说◻a在W IFF A中是真实的，在所有世界中都是正确的。 因此，对于运算符◻解释为必要性，我们在传统上称为可访问性关系的可能世界W集合的相应关系R. 给出了世界W和W'IFF W'之间的可访问性关系r持有，因此可以给出w的事实。 在此读取的r下，应该清楚的是模态逻辑的帧应该是反身。 因此，模态逻辑应在M上创立，该系统从添加（m）到k.根据究竟如何了解可访问关系，也可能需要对称性和转运。

帧上的一些更常见的条件的列表及其相应的公理以及显示在下一节中可以找到各种模态逻辑之间关系的地图。

8.模态逻辑之间的关系映射

下图示出了通过添加了通过添加了一个公理（d），（m），（b）和（5）至K.以及它们以及它们以及它们以及它们的选择列表来形成的最佳已知模态逻辑之间的关系相应的帧条件可以在图下面找到。

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模态逻辑图

在此图表中，系统由其公理列表给出。 因此，例如，M4B是在粗体中添加（m），（4）和（b）到k的结果。在粗体上，我们指出了一些系统的传统名称。 当系统S出现在下面的和/或由一行连接的S'左侧时，然后S'是S的延伸。这意味着S中可提供的每个参数都可以证实，但s比S'弱，即S'中的所有参数都是可证实的S.

以下列表指示在此百科全书入口中讨论的Accoribility关系R上的公理，名称和相应条件。

姓名。公理。框架上的条件。r是..

（d）◻a→◊a∃uwru串行

（是）◻a→一个wrw自反

（4）◻a→◻◻a（wrv＆vru）⇒wru传递

（b）一个→◻◊awrv⇒vrw对称

（5）◊a→◻◊a（wrv＆wru）⇒vru欧几里得

（光盘）◊a→◻a（wrv＆wru）⇒v= u功能

（◻m）◻（◻a→一个）wrv⇒vrv移位

自反

（的c4）◻◻a→◻awrv⇒∃u（wru＆urv）密集

（c）◊◻a→◻◊awrv＆wrx⇒∃u（vru＆xru）收敛

在框架上的条件列表中，在本文的其余部分中，变量'w'，'v'，'u'，'x'和量词'u'符合W.'＆'缩写'和'⇒'的范围。缩写'如果......然后'。

在此处发出的公理和帧条件之间的对应关系的概念在上一节中示出。 这个想法是，当s是一个公理和f（s）是相应的一组帧条件时，当系统k + s是足够的（声音和完整的）对于f（s）--validity时，s对应于f（s），即，参数在k中可提供参数+ s iff它是f（s）-valid。 然而，在模态逻辑的研究中出现了一个更强的公理和帧质条件之间的对应关系。 （见下面第14节。）

9.一般公理

框架上的公理和条件之间的对应关系可能看起来似乎是一个谜。 Lemmon和Scott（1977）的美好结果走向解释这些关系。 他们的定理有关的公理，具有以下形式：

◊h◻ia→◻j◊ka

我们使用符号'◊n'连续表示n钻石，因此，例如，'◊3'缩写了一串三个钻石：'◊◊◊'。 类似地，'◻n'表示一串n盒。 当H，I，J和K的值都是1时，我们有Axiom（C）：

◊◻a→◻◊a=◊1◻1a→◻1◊1a

Axiom（B）将H和I TO 0设定为0，让J和K为1：

一个→◻◊a=◊0◻0a→◻1◊1a

要获得（4），我们可以将h和k设置为0，将i设置为1和j到2：

◻a→◻◻a=◊0◻1a→◻2◊0a

通过设置（g）中的参数的右值可以获得多种（但不是全部）模态逻辑的公理。

我们的下一个任务是给出对应于（g）的帧上的条件，了解H，i，j和k的给定选择值。 为此，我们需要一个定义。 两个关系R和R'的组成是一个新的关系r∘r'，如下所示：

wr∘r'viff for some u，wru和ur'v。

例如，如果r是作为兄弟的关系，而且R'是作为父母的关系，那么r∘r'是r∘r'是作为叔叔的关系（因为w是某个人u的V iff叔叔，两个w是u的兄弟，你是v）的兄弟。 关系可以与自己组成。 例如，当R是作为父母的关系时，r∘r是作为祖父母的关系，而r∘r∘r是一个伟大祖父母的关系。 写入'RN'是有用的，因为它们本身是编写r的结果。 所以R2是r∘r，R4是r∘r∘r∘r。 我们将让R1是R，R0将是身份关系，即WR0V IFF W = v。

我们现在可以说明Scott-Lemmon结果。 正是框架上与形状（g）的任何公理对应的框架的条件如下：

wrhv＆wrju⇒∃x（vrix＆urkx）。

有趣的是，了解R的熟悉条件如何根据相应的Axiom中的值设置H，I，J和K的值。 例如，考虑（5）。 在这种情况下，i = 0，H = j = k = 1。 所以相应的条件是

wrv＆wru⇒∃x（vr0x＆urx）。

我们已经解释说R0是身份关系。 所以，如果VR0X然后v = x。 但∃x（v = x＆urx）相当于URV，因此获得了欧几里德条件：

（wrv＆wru）⇒urv。

在Axiom（4），H = 0的情况下，i = 1，j = 2和k = 0。 因此帧上的相应条件是

（w = v＆wr2u）⇒∃x（vrx＆u = x）。

解决身份，这金额为：

vr2u⇒vru。

通过R2的定义，VR2U iff（VRX＆XRU），所以这取决于：

∃x（vrx＆xru）⇒vru，

通过谓词逻辑，相当于传递性：

vrx＆xru⇒vru。

读者可能会发现它是一种令人愉快的练习，以了解当参数H，I，J和K的值被其他公理设置时，如何如何脱离HIJK收敛。

Scott-Lemmon结果提供了一种快速方法，用于建立关于公理与其相应的帧条件之间的关系的结果。 由于它们表明，任何逻辑的充分性，它就具有相对于满足相应帧条件集合的模型的模型（G）选择了k的任何逻辑，它们为模态家族中的大多数系统提供了“批发”的充分证据。 Sahlqvist（1975）已发现苏格拉队结果的重要概括，涵盖了更广泛的公理类型。

10.二维语义

二维语义是可能的世界语义的变体，它使用了两种（或更多）的真相评估中的参数，而不是独自的世界。 例如，逻辑的逻辑是“我”，“现在'，'现在'等，需要引入语言上下文（或简短的上下文）。 给定一个上下文c =⟨s，p，t⟩哪里s是扬声器，p the place和the the话语的时间，然后'我'指的是s，'这里'到p，并'现在'到t。 所以在上下文中C =⟨jimgarson，休斯顿，下午3点 CST在2014年/ 3/3 / 2014年“我现在在这里”是T IFF Jim Garson在休斯顿，凌晨3点凌晨3点 CST于2014年4月3日。

在可能的世界语义中，句子的真相值依赖于评估它的世界。 但是，索引带入第二维度 - 所以我们需要再次概括。 Kaplan（1989）将句子B的字符定义为从B组的集合到B的内容的函数，其中内容反过来只是B的内涵，即来自可能的世界到真实值的函数。 在这里，真理评估是双重依赖的 - 在语言背景和可能的世界中。

Kaplan最有趣的观察中的一个是一些分子句是偶然的，但同时分析真实。 一个例子是（1）。

（1）我现在在这里。

就是从单词的含义中，您可以看到（1）在任何上下文中必须在c =⟨s，p，t⟩中为true。 毕竟，C计数作为语言背景，以防是案例是在时间t处于p的扬声器。 因此（1）在C处是真的，这意味着真实值（1）的模式沿着上下文维度必须是所有TS（给出可能的世界被固定的世界）。 这表明上下文维度适用于跟踪从我们语言掌握中获得的分析知识。 另一方面，可能的世界维度跟踪必要的东西。 持有上下文固定，有可能存在（1）是假的世界。 例如，当C =⟨jimgarson，休斯顿，下午3:00 2014年/ 3/3 / 3/3 / 3/3/3/3/3，（1）在一个可能的世界中失败，Jim Garson在下午3点在波士顿。 CST于2014年4月3日。 所以跟随'我现在在这里'是一个或有分析真理。 因此，二维语义可以处理必要性和分析性崩溃的情况。

另一个例子，带有两个维度是有用的，是开放的未来的逻辑（Thomason，1984; Belnap，等，2001）。 这里使用了一个时间结构，其中许多可能的未来历史从给定时间延伸。 考虑（2）。

（2）乔明天会订购海战。

如果（2）是偶然的，那么就有可能的历史，其中战斗发生在评估时间之后的一天，另一个在那里不会发生这种情况。 因此，要评估（2）您需要知道两件事：评估的时间T是什么，以及通过T的历史h中的哪一个是被考虑的历史h。 因此，在这种逻辑中的句子在一对⟨t，h⟩中进行评估。

二维语义解决的另一个问题是“现在”和其他时间表达式之间的交互，如未来时态'它将是这种情况。 认为“现在”是指评估的时间是合理的。 所以我们会有以下真实条件：

v（nowb，t）= t iff v（b，t）= t。

但是，这不适用于句子（3）。

（3）在未来的某个观点，现在每个人的生活都将是未知的。

与F作为未来时态运营商，（3）可能会翻译：

f∀x（nowlx→ux）。

（正确的翻译不能是∀x（nowlx→fux），因为（3）说现在所有事物的所有事物都在一起有未来的时间，而不是每一个生物都在自己的一些未来的时间内未知。）当（3）'的真实条件时是计算的，使用（现在）和真实条件（f），事实证明（3）'在时间UF f中有一个时间t之后，使得生活在t（不是u！）的一切都是未知的。

v（fb，t）= t iff超过t，v（b，u）= t。

要正确评估（3）'，使其与（3）相匹配，我们必须确保'现在'始终指的是“现在”在其他时间运算符（如F）的范围内的原始时间。因此，我们需要跟踪哪个时间是话语（U）以及哪个时间是评估时间（t）。 因此，我们的指数采取了一对⟨u，eù的形式，你是话语时的时间，e是评估的时间。 然后修改真实条件（现在）（2dnow）。

v（nowb，⟨u，e⟩）= t iff v（b，ub，u⟩）= t。

这使得现在，当你被认为是评估时间时，现在，现在的话语和评估时间e的时间是真的。 当F，∀和→以明显的方式修改真相条件（只是忽略了一对中的U），（3）'在⟨u时是真的，因为有一个时间e'晚于e而不是e，这样你就是在e'中的所有生活都是未知的。 通过沿着你在真实性计算中的记录来携带，我们可以始终将“现在”的价值固定到发言的原始时间，即使'现在'是否深入嵌入在其他时间运算符中。

与实际运算符A（读取'实际情况）的模态逻辑出现了类似的现象。 正确评估（4）我们需要跟踪哪个世界被认为是实际（或真实的）世界，以及哪一个被认为是评估世界。

（4）每个人都有可能生活不明。

区分不同可能的世界尺寸在语义中的想法已经在哲学中具有有用的应用。 例如，Chalmers（1996）向在思想哲学中展现了（比如说）僵尸的争论中的争论。 Chalmers（2006）部署了二维语义，以帮助确定将支持此类结论的含义的先验方面。

这个想法也已经部署在语言哲学中。 Kripke（1980）着名的人认为，“水是H2O”是一个后验，但对于鉴于水只是H20而言，没有可能的世界，在那里，这些东西是基本的因素，因为希腊人被认为是基本要素。 另一方面，有一个强烈的直觉，现实世界有所不同，从天空落下的无味液体作为雨水，填满我们的湖泊和河流等。可能完美一直是一个元素。 因此，在某种意义上，可以想到水不是H20。 通过提供一个单独的尺寸，两维语义为这些直觉提供了追踪水的概念的单独的尺寸，这些尺寸放在实际上是水的水的化学性质。 这种“狭隘的内容”的“水”的含义可以解释如何在使用该术语时显示语义能力，并且仍然是关于水化学的无知（Chalmers，2002）。

有关更详细的讨论，请参阅二维语义上的条目。

11.可保释逻辑

模态逻辑对于澄清我们对数学基础（Boolecos，1993）的有关可被规定的核心结果的理解。 可证明的逻辑是命题变量p，q，r等的系统范围在一些数学系统的公式上，例如peano的算术系统pa。 （为数学选择的系统可能有所不同，但假设它是此讨论的PA。）哥特展示算术具有强大的表现力。 使用代码编号进行算术句子，他能够展示数学和事实句子之间的对应关系，并且在PA中不可提供的句子。 例如，他在那里展示了一个句子c，这是真的，因为在PA和句子上没有判决，句子g（着名的哥特句子）以防万一不可证明的句子。

在可保释的逻辑中，◻p被解释为公式（算术），表示PA中可以证明p表示的算法。 使用这种表示法，证实逻辑表达事实的句子有关可证明的事实。 假设⊥是表示矛盾的保证逻辑的常数。 然后~~说PA是一致的，◻a→A说，PA是声音的感觉，即它证明A，A确实是真的。 此外，可以迭代盒子。 因此，例如，◻~◻⊥〜◻~◻⊥使得PA能够证明自己的一致性，并且〜→〜〜~◻~◻⊥断言（正如Gödel所证明的那样），如果PA一致，那么PA无法证明自己的一致性。

虽然可证明逻辑形成了一个相关系统系列，但系统GL是迄今为止最着名的。 它是将以下Axiom添加到K：

◻（◻a→一个）→◻a。

Axiom（4）：◻a→◻◻a可提供在GL中，因此GL实际上是k4的强化。 然而，如（m）：◻a→a，甚至较弱（d）：◻a→◊a在gl中不可用（也不需要） 在可证明的逻辑中，不可提供的保证是作为必要性的品牌。 原因是，当P在用于数学的任意系统S中可以证明时，它不遵循P是真的，因为S可能是不健全的。 此外，如果在s（νp）中可提供p，则不需要遵循~p缺乏证明（〜= p =◊p）。可能不一致，因此证明了p和~p。

Axiom（GL）捕获Loeb定理的内容，这是算术基础的重要结果。 ◻a→a表示，pa是a的声音，即，如果是验证的，则为真实。 （这样的索赔可能对任意选择的系统S可能不安全，因为A可以以S和FALSE可提供。 Loeb的定理报告了一种谦虚的PA部分（Boolecos，1993，第55页）。 PA永远不要坚持（证明）禁止证明是一个真理，除非它已经有一个备份的证据，否则就可以备份。

已经表明，GL充足了以下意义上的可证明性。 无论如何将其变量为PA的句子分配值，算术它表示的算术句子都是可提供的，让GL的句子总是可以证明。 然后GL的可提供句子正是总是可证明的句子。 这种充足的结果非常有用，因为有关PA中的一般性问题可以转换为可以在GL中所证明的内容更容易的问题。

GL也可以配备可能的世界语义，它是合理的，完整的。 用于GL效度帧的相应条件是框架是传递的，有限的和不确定的。

有关更详细的讨论，请参阅可保释逻辑的条目。