模态逻辑（一）

模态是一种表达式（例如'必然'或'可能'），用于符合判断的真实性。 模态逻辑是严格来说，对表达的演绎行为的研究“有必要”和'它是可能的。 然而，术语“模态逻辑”可以更广泛地用于相关系统家族。 这些包括信仰的逻辑，适用于时态和其他时间表达，因为“这是”诸如“义务”和“它被允许的人”，以及许多其他的表达式。 对模态逻辑的理解在哲学论证的正式分析中特别有价值，其中来自莫代尔家族的表达既是常见的又令人困惑。 模态逻辑也具有在计算机科学中的重要应用。

1.模态逻辑是什么？

2.模态逻辑

3.文字逻辑

4.时间逻辑

5.条件逻辑

6.可能的世界语义

7.模态公理和框架上的条件

8.模态逻辑之间的关系映射

9.一般公理

10.二维语义

11.可保释逻辑

12.高级模态逻辑

13.双刺激

14.对应理论

15.模态逻辑和游戏

16.模态逻辑中的量词

参考书目

学术工具

其他互联网资源

相关条目

1.模态逻辑是什么？

狭隘地解释，模态逻辑研究推理，涉及使用表达式“必然”和“可能”。 但是，“模态逻辑”一词更广泛地使用，以覆盖具有类似规则和各种不同符号的逻辑系列。

描述了描述最知名逻辑所知的列表。

逻辑。符号。表达式象征化

模态逻辑。◻。有必要.....

◊。有可能.....

神话逻辑。o。这是强制性的.....

p。允许.....

F。禁止.....

时间逻辑。G。它永远是这种情况.....

F。这将是这种情况.....

h。它一直是这种情况.....

p。情况是.....

doxastic逻辑。BX。X相信.....

认知逻辑。kx。X知道.....

2.模态逻辑

模态系列中最熟悉的逻辑是由称为k（扫掠后kripke之后）的弱逻辑构建。 在狭隘的阅读下，模态逻辑涉及必要性和可能性。 可以使用K作为基础的这种逻辑来开发各种不同的系统。 k的符号包括'not'，'→'for'del'then ...'，'→'，而“◻”为“◻”是必要的'。 （连接'＆'，'∨'和'↔'可以从“〜”和'→'定义，如在命题逻辑中所做的那样。）K结果将以下内容添加到命题逻辑的原则中。

需要规则：如果a是k的定理，那么也是如此。

分配公理：◻（a→b）→（◻a→◻b）。

（在这些原则中，我们使用“a”和'b'作为门址，范围在语言的公式范围内。）根据需要规则，逻辑的任何定理都是必要的。 分布公理说，如果需要，如果是b，那么如果必须是一个，那么必然是b。

操作员◊（对于“可能”）可以通过释放◊a=〜〜~a来定义“可能”）。 在k中，运营商◻和◊的表现非常像量词∀（全部）和∃（一些）。 例如，◊从◻mirrors镜像在谓词逻辑中与~∃x~a~a反映的∀xa等价。 此外，◻（a＆b）需要◻a＆◻b，反之亦然; 虽然◻a∨◻b需要◻（a∨b），但不反之亦然。 这反映了通用量化器所呈现的模式：∀x（a＆b）需要∀xa＆∀xb，反之亦然，而∀xa∨∀xb需要∀x（a∨b），但不反之亦然。 可以绘制◊和∃之间的类似相似之处。 模态运算符和量子之间的这种对应关系的基础将在可能的世界语义上的部分中更清楚地出现。

系统K太弱，无法提供适当的必要性。 以下公理在k中不可提供，但显然是可取的。

◻a→一个

（m）索赔表明是必要的。 请注意，（m）将是不正确的，是读之读'它应该是'，或者'是这种情况'。 因此，Axiom（M）的存在区分了逻辑从模态系列中的其他逻辑的必要性。 将（m）添加到k的基本模态逻辑M结果（一些作者称该系统T.）

许多逻辑人认为，M仍然太弱，无法正确正式地确定必要性和可能性的逻辑。 他们建议进一步的公理来管理模态运营商的迭代或重复。 这是两个最着名的迭代公理：

◻a→◻◻a

◊a→◻◊a

S4是由添加（4）到M的系统。类似地S5是M加（5）。 在S4中，句子◻◻a等同于◻a。 结果，任何一串盒子可以由单个盒子取代，并且相同的钻石串。 这增加了同一模态运算符的迭代是多余的。 说一个必要的是被认为是一种无用的长蜿蜒方式，说明A.是必要的。 系统S5具有更强的原理，用于简化模态运算符的字符串。 在S4中，可以由该操作员替换一串运算符; 在S5中，包含两个框和钻石的字符串等同于字符串中的最后一个运算符。 因此，例如，说A是必要的，就像必要的话一样。 以下是S4和S5的这些特征的摘要。

◻◻...◻=◻和◊◊...◊=◊

00 ...◻。=◻和00 ...◊=◊，

每个0都是◻或◊

人们可以从这些和其他迭代原则的正确性或不正确的◻和◊中搞无穷无尽的论证。 通过认识到“必然”和“可能”有许多不同的用途，可以部分地解决争议。 因此，模态逻辑的公理可接受性取决于我们记住的这些用途。 出于这个原因，没有一个模态逻辑，而是整个围绕M的整个系统。通过在部分中研究他们可能的世界语义可以更深入地理解，这些系统之间的关系在第8节中映射在第8节中，并通过研究他们可能的世界语义来更深入地理解它们对不同使用的不同用途的应用程序。6。

系统B（对于逻辑师BRORWER）是通过将AXIOM（B）添加到M.

一个→◻◊a

值得注意的是，通过将（b）到S4添加（b）至s4，可以等效地配制S5。 公理（b）提出了关于莫型公式解释的重要点。 （b）表示，如果是这种情况，那么A必然可能。 可能会争辩说（b）应始终在任何模态逻辑中采用，因为如果是这样的情况，那么就是一个是可能的。 然而，存在通过注意到从（b）中可提供◊◻a→a来暴露的这种权利要求的问题。 所以◊◻a→a应该是可以接受的，如果（b）是。 然而，◊◻a→a说，如果a可能是必要的，那么就是这种情况，这远非很明显。 为什么（b）似乎很明显，而其中一下它需要的东西根本不明显？ 答案是，英语解释中存在危险歧义。 我们经常使用表达式“如果需要”，则必须表达必要的条件'如果是B'是必要的。 该解释对应于◻（a→b）。 在其他场合，我们的意思是，如果a，则是b是必要的：a→◻b。 英语“必然”是副词，因为副词通常在动词附近放置，我们没有自然的方式来指示模态运算符是否适用于整个条件或其后果。 出于这些原因，存在混淆（b）的趋势（b）：a→◻◊a与◻（a→◊a）。 但是◻（a→◊a）与（b）不同，对于◻（a→◊a）已经是m的定理，（b）不是。 人们必须特别注意我们对◻（A→◊a）的阳性反应不感染我们对（b）的评估。 保护自己的一种简单的方法是使用axiom→a以等效方式配制b，其中这些范围的这些含糊不清。

3.文字逻辑

文学逻辑介绍了“它是强制性”的原始符号O，从哪个符号P for'允许'和f for'禁止为'定义'，pa = ~~a和fa = o〜a。 模态公理（M）的神话模拟：OA→A显然不适合出版逻辑。 （不幸的是，不始终如一的情况。）然而，通过将弱的公理（d）加到K.

oa→巴

Axiom（d）保证了义务制度的一致性，坚持认为是义务，a是允许的。 一个制度，义务我们带来了一个，但不允许我们这样做，让我们在不可避免的绑定中。 虽然有些人会争辩说，这种义务冲突至少是可能的，大多数人的逻辑员接受（d）。

o（oa→a）是另一个似乎可取的神声公理。 虽然说如果一个是强制性的那样是错误的，那么案例（oa→a），仍然是这种条件应该是这种情况。 因此，一些人文逻辑家认为D也需要补充O（OA→A）。

关于迭代（重复）运营商的争议再次出现在外道逻辑中。 在一些义务的概念中，OOA才能获得OA。 “它应该是它应该是”被视为一种口吃; 额外的'应该添加任何新的东西。 因此，增加了公理以保证OOA和OA的等价。 也可以采用S5中体现的更广泛的迭代策略。 但是，存在义务概念，其中保留了OA和OOA之间的区别。 我们实际拥有的义务与我们应采用的义务之间存在真正的差异。 因此，例如，“它应该是它应该是'命令采用一些可能无法实际到位的义务，结果即使在OA是假的情况下也可能是真的。

有关更详细的讨论，请参阅文字逻辑的条目。

4.时间逻辑

在时间逻辑（也称为时态逻辑）中，有两个基本运算符，未来G，以及过去的H. g是读取的“它总是将是”，并且定义的运算符F（读取'它是这种情况，即“）可以由fa = ~g〜a引入”）。 类似地，H是读取的“它总是那个”，P（对于'）是由pa =〜h〜a定义的'）。 称为KT的基本逻辑系统是采用G和H的k的原理，以及两个公理来控制过去和未来运营商之间的互动：

有必要规则：

如果A是定理，那么GA和HA也是如此。

分配公理：

g（a→b）→（ga→gb）和h（a→b）→（ha→hb）

互动公理：

A→GPA和A→HFA

互动公理主要提出了过去和未来之间的不对称问题。 标准直觉是过去是固定的，而未来仍然是开放的。 第一个交互公理（A→GPA）符合这种直觉，在报告过去（GPA）中的所有未来时期将（a）均为案例（a）。 然而，对于它显然，A→HFA可能看起来具有不可接受的确定性泛滥，因为它显然，现在（a）始终是这样的，这将在未来发生（HFA）。 然而，用于时间逻辑的可能的世界语义揭示了这种担忧从简单的混乱产生，并且两个相互作用的公理同样可接受。

注意，模态逻辑的特征公理（m）：◻a→a是不可接受的，因为h或g是不可接受的，因为a不遵循'它总是如此，“它始终是一个”的情况。 然而，在一个密切相关的时间逻辑中可以接受，其中g被读取'它是且始终是'，并且h是读取的“它是且始终是”。

根据哪个假设的假设是关于时间的结构，必须将进一步的公理添加到时间逻辑中。 遵循时间逻辑通常采用的公理列表。 遵守如何依赖于时间结构的依赖，将在可能的世界各地的语义中找到。

GA→GGA。和HA→HHA

gga→ga。和hha→ha

GA→FA。和ha→pa

值得注意的是，过去时态和未来时态运营商的某些组合可用于以英语表达复杂的时态。 例如，FPA，对应于未来完美时态的句子A（从现在从现在的光线中的光线发生变化'）。 同样，PPA表达了过去的完美时态。

有关更详细的讨论，请参阅时间逻辑上的条目。

5.条件和相关逻辑

Modal Logic，C. I. Lewis的创始人定义了一系列没有◻作为原始符号的模态逻辑。 刘易斯致力于开发一种有条件的逻辑，这些条件是没有所谓的物质暗示的悖论，即经典定理A→（~A→B）和B→（A→B）。 他介绍了“严格含义”的符号，并且发达了缺陷的逻辑，其中既不提供a⥽（〜~a⥽b）和b⥽（a⥽b）。 现代化的做法一直是通过◻（a→b）定义a⥽b，并使用模态逻辑管理◻获取类似的结果。 However, the provability of such formulas as (A&∼A)⥽B in such logics seems at odds with concern for the paradoxes. 安德森和Belnap（1975）已经开发出系统r（用于相关性逻辑），旨在克服这些困难的E（征求意见）。 这些系统需要修订命题逻辑的标准系统。 （见Mares（2004）和相关性逻辑的条目。）

David Lewis（1973），Robert Stalnaker（1968年），其他人已经开发了条件逻辑来处理反事实表达式，即表单的表达式“如果是发生的，那么B会发生这种情况。 （kvart（1980）是主题的另一个好来源。）反事实逻辑与基于严格含义的反应性不同，因为后者接受对施加时的拒绝。

6.可能的世界语义

逻辑的目的是表征有效和无效参数之间的差异。 一种语言的逻辑系统是一组合理和规则，旨在证明语言中统计的有效参数。 创建这样的逻辑可能是一项艰巨的任务。 逻辑学家必须确保系统是声音，即，使用规则和公理经过验证的每个参数实际上是有效的。 此外，系统应该完成，这意味着每个有效的参数都有一个在系统中的证据。 展示正式系统的健全性和完整性是逻辑学家的核心问题之一。

在严格定义有效性的概念之前，这种演示无法进行。 逻辑的形式语义通过表征系统句子的真实行为来提供有效性的定义。 在命题逻辑中，可以使用真理表定义有效性。 一个有效的论点只是一个真实表排，使其处所为真的真实表行也会结束。 但是，真理表不能用于在模态逻辑中提供有效性的陈述，因为表达式没有真相表，例如“必要的”，它是强制性的'等。 （问题是A的真实值不确定◻a的真相值。例如，当A是'狗是狗'时，◻a是真的，但是当A是'狗是宠物的时候，◻a是假的。）虽然是假的。）莫尔的语义逻辑可以通过引入可能的世界来定义。 我们将为包含符号〜，→和◻的必要性的逻辑来说明可能的世界语义。 然后，我们将解释相同的策略如何适应模态系列中的其他逻辑。

在命题逻辑中，原子句子（或真相表的行）的估值为每个命题变量p分配了真值（t或f）。 然后，复杂句子的真实值用真理表计算。 在模态语义中，介绍了可能的世界的集合。 然后，估值对W的每个可能世界的每个命题变量给出了真实值。这意味着分配给世界W的P的值可能与分配给另一个世界的P的值不同。

由估值v给出的世界W目的原子句子P的真实值可以写入V（P，W）。 鉴于这种表示法，给定估值V（世界W集合W）的模态逻辑的复杂句子的真实值（for for for for for for for for for worls w）的实际值可以由以下真实条款定义。 （'IFF'缩写'如果且仅在'。）

v（~a，w）= t iff v（a，w）= f。

v（a→b，w）= t iff v（a，w）= f或v（b，w）= t。

v（◻a，w）= t iff为w'中的每个世界w，v（a，w'）= t。

条款（〜）和（→）简单地描述了否定和物质含义的标准真理表行为。 根据（5），◻a是真实的（在世界W）确切地说，当A在所有可能的世界中都是如此。 鉴于◊（即◊a=〜〜~a）的定义，真相条件（5）确保◊a是真的，因为在某些可能的世界中是真的。 由于◻和◊的真实条款涉及量词“全部”和“某些”（分别为“（分别），因此预期在第2节中指出的◻和∀x之间的逻辑行为和◊∃x之间的相似之处。

条款（〜），（→）和（5）允许我们在特定估值上计算任何世界上任何句子的真值。 有效性的定义现在就在拐角处。 如果只有在W在W中的世界的房屋T的各个估值的每一项估值，则一个参数对于给定的集合W（可能的世界）。 据说一个参数是5个有效的IFF，它对可能的世界的每一个非空集合有效。

已经表明，S5是声音并完成5个有效性（因此我们使用符号'5'）。 5个有效的参数正是S5中可证明的参数。 该结果表明S5是制定必要性逻辑的正确方法。

然而，S5不是模态家庭所有成员的合理逻辑。 在语言逻辑，时间逻辑等中，真相条件（5）的模拟显然不合适; 此外，甚至存在必要性的概念，其中（5）也应该被拒绝。 在时间逻辑的情况下，这一点是最容易看的。 在这里，W的成员是时间的时刻，或者世界“冻结”，因为它在即时。 为简单起见，让我们考虑一个未来的时间逻辑，一个逻辑，其中◻a读取：'它将永远是这种情况'。 （我们使用◻而不是传统g制定系统，使与其他模态逻辑的连接更容易欣赏。）◻的正确条款应该说◻a在WIFF A在Whiewhy Whifie A中是真实的。 要限制对未来的关注，需要介绍关系r（用于“早于”）。 然后可以如下制定正确的条款。

v（◻a，w）=每w'，如果wrw'，那么v（a，w'）= t。

这表明◻a在w以防万后是真实的。

现在可以定义此品牌的符号逻辑品牌的有效性。 帧⟨w，r⟩是由非空集合W（WorldS）组成的对，并且W的二进制关系R组成。模型⟨f，v⟩由帧F和估值v组成，该估值V为W的每个世界分配了真实句子的真实值。给定模型，可以使用（〜），（→）和（k）来确定所有复杂句子的值。 在任何估值分配世界的房屋T的任何型号的任何型号中，一个论点是K-Walig。 由于读者可能已经猜到了我们使用'k'，因此已经表明，最简单的模态逻辑K是声音并完成k有效性。

7.模态公理和框架上的条件

可以从本讨论中假设K是正确的逻辑，当读取“它始终是这种情况”时。 然而，有考虑k太弱的原因。 关系R（早于）的一个明显的逻辑特征是传递性。 如果WRV（W比V）和VRU（v比U）更早），那么它就会遵循WRU（W比U）。 因此，让我们定义对应于r的新的有效性。让4型模型是帧⟨w，r⟩的任何模型，使得R是W的传递关系。然后一个参数是估值的任何4型号的任何一个估值。世界上的房屋还分配了同一世界的结论。 我们使用'4'来描述这种传递模型，因为4-有效性足以（声音和完整）是K4的逻辑，该逻辑将Axiom（4）：◻a→◻◻a添加到K.

传递不是我们可能想要帧⟨w的唯一财产，如果r比'读取的r⟩是r的，而w是一组矩。 一个条件（只有轻微的争议）是没有最后时刻，即为每个世界都有一些世界V这样WRV。 帧上的这种情况称为序列性。 序列性对应于Axiom（D）：◻a→◊a，以与转运效力对应于（4）的方式相同。 D模型是具有串行帧的k模型。 从D-Model的概念来看，可以像在4次有效性的情况下一样定义D-Asvity的相应概念。 正如您可能猜到的那样，关于D-anysity足够的系统是KD，或K Plus（D）。 不仅如此，而且系统KD4（即K Plus（4）和（D））对于D4有效性是足够的，其中D4模型是⟨w，r⟩均串联和传递的。