赫尔曼韦尔（十）

4.5量子力学与量子场理论

4.5.1集团理论

在1925-1926期间，Weyl发表了一系列突破性的论文（Weyl（1925,1926A，B，C）），其中他介绍了古典谎言群体的陈述和不变性的一般理论。 在这些庆祝的论文中，Weyl献出了I. Schur的不变性和N维旋转组的职责，以及é。 Cartan在Semicleimple谎言代数上的工作。 在这样做时，Weyl利用了不同的数学领域，如张量代数，不变理论，黎曼表面和希尔伯特的整体方程理论。 Weyl自己认为这些论文他在数学中最大的工作。

在Weyl对Spacetime分析中扮演的群体理论技术的核心作用是几个因素之一，导致Weyl对其古典谎言群体的陈述和不变性的一般理论。 在Weyl对空间问题的调查的背景下，Weyl认为群体理论一般调查了群体理论的数学和哲学基础的价值，并用于处理一般的基本问题特别是相对论理论。

当他攻击Weyl的博士以及其他未命名的人，通过指责他们“忽视了丰富的文化领域（即不变量理论），通过研究提供了相当的另一种对他的一般代表理论的一种激励，这是一项攻击他的一般代表理论。确实完全忽略了它”。[89] Weyl（1924C）立即回答了特殊线性组SL（N，C）的不变性理论的新基础，以及其最重要的亚组，特殊正交组（N，C）和特殊的辛基组SSP（N/2 C）（对于NE偶数），基于Capelli由于代数标识。 在一个脚注中，Weyl（1924c）讽刺地通知研究，即即使他[Weyl]也被融化在不变的理论中，他不会在他的书籍raum，zeit，materie中使用符号方法，甚至是他生命的最后一口气将没有提到不变理论的代数完整性定理“。 Weyl的重点是，在他的书籍Raum-Zeit-Materie的背景下，张量分析的内核分析方法比代数不变理论的方法更适合。[90]

虽然导致Weyl的突破性论文的事件似乎是合理的，但霍金斯（2000年）提出了一个更全面的账户，它通过引起注意据霍金斯的说法，对张力对称的Weyl（1924D）在重定向Weyl的研究兴趣对纯数学的研究中发挥了重要作用。[91] Weyl（1949b，400）本人指出，他对哲学基础的兴趣，相对论的一般性理论的兴趣激励了他对连续团体的陈述和不变性的分析：“我可以说希望了解什么是落后的数学物质相对论的形式的相对论理论引起了对群体的陈述和不变性的研究; 我在这方面的经验可能并不是独一无二的“。 Weyl的论文（Weyl（1924A））和他庆祝论文的第一章Weyl（1925年）具有相同的标题：“张计数的小组理论基础”。 霍金斯（1998年）说，Weyl

通过群体理论获得，特别是通过集体陈述理论 - 由他自己的贡献增强 - 他觉得对张量，张量对称性的正确数学了解，以及它们代表可能出现的所有线性量来源的原因数学或物理学。 再次，他又来了解群体理论的重要性 - 现在特别是集团代表性理论 - 以获得相对论建议的数学问题的洞察。 与他在空间问题上的工作不同......我们现在发现自己绘制了远远超过集体理论的雏形。 ...当然Cartan [92]表明，借助于关于表示的结果，也可以解决空间问题。 简而言之，群体的代表理论被证明是一个强大的工具，用于回答超越韦斯的参与与相对论的数学问题。

有点以后，Weyl（1939）写了一本书，题为古典团体，他们的不变性和陈述，他返回了不变性的理论和半自动谎言群体的陈述。 在这项工作中，他满足了他的野心“通过直接代数建设来实现最重要的群体的决定性结果，特别是对于所有非奇异线性变换和正交组的全部集团”。 他故意限制对一般理论的讨论，并将大部分书籍投入到一般线性，特殊线性，正交和杂项群体的特定结果的推导。[93]

4.5.2 Weyl的Cartan对几何方法的哲学批评

至于20世纪20年代，伟大的法国数学家和Geometerélie·纳骑士人士认识到，并行性和仿射联系的概念在意义上承认（1）定义了无限平行运输概念的空间的重要概括不必是从其各要点的riemannian歧管M的差异结构本质上出现的切线; 相反，空间是通用空间，其与M的差分歧管结构没有本质上系，（2）相关组直接在这些一般空间上操作，而不是在歧管M上操作，因此组起占主导地位和独立的作用。

Weyl（1938A）发表了对宪章（1937年）书的批判性审查，其中宪章进一步制定了移动框架的概念（“RepèresMobiles”）和广义空间（“eSpacesGénéralisés”）。 但是，Weyl（1988）早在1925年就向宪法的方法表示了一些预订; 四年后，Weyl（1929e）提出了更详细的批评。

Cartan对差异几何的方法是响应于欧几里德几何形状以两种方式推广的事实，从而产生了几何形状的两种不相容的方法。[94] 在1872年发现非欧几里德几何形状和Klein（1921）随后的Erlanger计划的第一个泛化，为各种非欧几里德几何形状提供了相干的群体理论框架。 当Riemann（1854）发现Riemannian几何形状时发生了欧几里德几何形状的第二遍。

欧几里德几何形状的两个概括基本上构成了应用几何形状的不相容方法。 特别是，虽然Klein的Erlanger计划为Einstein的特殊关系理论提供了适当的群体理论框架，但它是黎曼几何形状，而不是Klein的群体理论方法，它提供了适当的底层几何框架爱因斯坦的一般相对论理论。 作为宪法观察：

一般相对论投入物理学和哲学，这是几何，黎曼和克莱因的两个原则董事之间存在的对立拮抗作用。 经典力学和特殊相对性的空间时间是克莱林的类型，普通相对论的类型是瑞马的类型。[95]

Cartan通过综合两者的概括，通过综合黎曼几何和克莱因的erlanger计划来消除两种方法之间的不相容性，导致笛卡尔叫，广义空间（或广义几何形状）。

在他的Erlanger计划中，Klein提供了各种“全局”几何形状的统一方法，表明每个几何形状的特征在于特定的转换组：欧几里德几何形状的特征在于平面中的转换和旋转组; 球体S2的几何形状的特征在于正交组O（3）; 双曲线平面的几何形状的特征在于伪正交组O（1,2）。 在Klein的方法中，每个几何形状都是一个（连接的）歧管赋予一组自体形态，即谎言组G的“动作”，其在歧管上行动，使得两个数字被认为是一致的，如果只有在那里存在适当的LIE组G的元素，其将其中一个图形转换为另一个图。 Klein感觉中的广义几何形状将强调从下面的歧管或空间转移到组。 因此，克莱因几何形状（空间）由（1）平滑歧管，（2）LIE组G（几何形状的主要组），以及（3）歧管上的G的传递动作。 除了“全局”之外，Klein几何形状（空间）在意义上是完全同质的，因为其点不能根据几何关系区分，因为传递基团动作保持这种关系。

正如Weyl（1949b）所描述的那样，Klein对各种“全球”几何形状的方法非常适合爱因斯坦的特殊相对论：

根据爱因斯坦的特殊相对论理论，空间点的四维世界是一种以明确的γ为特征的Klein空间; 那个群体是......一群欧几里德相似之处 - 然而，一个非常重要的区别。 正交变换，即离开的均匀线性变换

x

2

1

+ x

2

2

+ x

2

3

+ x

2

4

不变的必须被洛伦兹转换所取代

x

2

1

+ x

2

2

+ x

2

3

-x

2

4

不变。

然而，随着爱因斯坦的一般相对论的出现，重点从全球均匀的几何结构转向局部不均匀结构。 虽然Klein Spaces是全球性和完全同质的，但普及因普通理论的riemananian公制结构是局部和不均匀的。 一般的riemananian空间允许除了身份之外没有等距。

参考笛卡尔（1923A），Weyl（1929E）表示，通过应用Klein的Erlanger计划，Cartan的Klein Geometrie的泛化包括将Klein的Erlanger计划适应无穷大的几何形状到切线而不是歧管本身。[96]

Cartan开发了一般方案，无限几何形状，其中Klein的概念被施加到切线平面，而不是N维歧管M本身。

图形

图13：Cartan的泛化

上面的图13，适用于Sharpe（1997），可能有助于澄清讨论。 欧几里德几何概括到黎曼空间（左垂直蓝箭）说：

一般的黎曼空间仅在本地近似于欧几里德空间; 也就是说，在每个点P∈M处存在切线空间T（MP），该切线是从M的下面的差异结构内部产生的。

此外，通过引入曲率，利莫曼空间不均匀。

类似地，Cartan对笛卡尔空间的克莱林空间的泛化（右垂直蓝色箭头）说：

Cartan的广义空间σ（m）仅在本地近似于克莱林空间; 也就是说，在每个点p∈m处存在“切线”，即Klein Spaceσ（MP）。 注意，Klein SpaceΣ（MP）本身是零曲率的广义空间（箱中的感觉）; 它具有完美的均匀性。

此外，Cartan的广义空间σ（M）通过引入曲率而不是不均匀的。

图形

图14：Cartan的广义空间

Cartan的广义空间σ（m）是所有“切线空间”的空间（即，所有Klein Spacesσ（MP）），并含有均匀和不均匀空间的混合物（参见图14）。

最后，Cartan的riemannian空间的概括（较低的水平红色箭头）（图13）导致载体中的“切线空间”的识别不一样，或者不需要是相同的，作为从潜在的普通切线出现的普通切线空间riemannian歧管的差异结构。 Cartan的“切线空间”Σ（MP）表示在现代纤维束语言中所谓的纤维，其中歧管M称为光纤束的基础空间。

在Weyl（1929E，1988）和Weyl（1938A）中的较小程度上，通过注意笛卡尔的“切线空间”，即与每个点相关联的Klein SpaceΣ（MP）反对笛卡尔的方法。歧管M，不从歧管的差分结构内部出现普通切线向量空间的方式。 因此，Weyl指出，有必要对Σ（MP）施加某些非本质嵌入条件，该σ（MP）指定“切线空间”σ（MP）与歧管M.解释Weyl的每个点相关联的情况，情况如下：我们假设我们可以将给定Klein空间的复制σ（MP）与歧管M的每个点P相关联，并且Klein SpaceΣ（MP）在P 1M上的位移到与无限附近相关的Klein Spaceσ（MP'）点p'∈m通过组G的无限作用构成σ（MP）上的σ（MP）的同构表示。在为每个Klein Spaceσ（MP）选择可允许的参考文献F帧时，它们的点是由正常坐标表示ξ。 任何两个帧F，F'由组元素S∈G相关，并且分别由S∈G和t∈g的转换F→F'和F“→F”涉及组组成t∘s∈g的F和F“。

到目前为止没有说“切线空间”σ（MP）与歧管有多少说。 由于σ（MP）应该是常见的切线空间的概括，其本质上从M的局部差异结构产生，因此Weyl表明必须施加某些嵌入条件在Klein Spaceσ（MP）的正常坐标上。

嵌入条件1：

我们必须首先将一个点指定为σ（MP）的中心，然后要求它们重合或覆盖点p∈m。 这引线，Weyl说，在Σ（MP）上选择正常坐标系ξ的限制。 并且因为G传输起作用，可以选择正常坐标系ξ（MP），使得正常坐标ξ在中心消失，即，ξ1=ξ2=⋯= 0。 因此，G组仅限于留下中心不变的G的所有表示的子组G0。

嵌入条件2：

切线平面的概念还要求在从0开始的σ（MP）的线元件之间存在一对一的线性映射，其中M的线元素从P开始。 这意味着Klein空间σ（MP）的尺寸的数量具有与歧管M相同的尺寸。

嵌入条件3：

无限位移σ（MP）→σ（MP'）将在σ（MP）的中心携带无限的矢量，其与p∈m的载体一对一对应于σ（MP'）。

不需要根据Weyl施加进一步的条件。 如果我们通过围绕曲线γ围绕曲线θ的连续步骤逐步取代σ（mp），则从其原始捕获或取向通过特定的自动展示σ（mp）→σ（mp）获得σ（mp）的最终位置。 这种自动形态是Cartan沿着M的曲线γ的曲率曲率概念的概念。

根据Weyl，“切线空间”σ（MP）由M的差异结构没有唯一确定。如果G是仿射组，则Weyl表示，那么上述条件将以所选的函数完全指定σ（MP）上的正常坐标系ξα本地坐标XI XI。如果不是这种情况，如果G是比仿射组更广泛的组，那么Weyl得出结论认为“切线空间”Σ（MP）“不是由M的性质唯一确定的，只要这不是实现的我们不能说笛卡尔的理论只与歧管M.”交易“ Weyl补充说：

相反，P在普通术中P的切线平面，即P中的线元件的线性歧管，是归心空间; 它的小组不是约会问题。 这一直始终似乎是理论的缺陷......

读者可能希望咨询Ryckman（2005,171-173），谁认为“这是一种哲学争用，实际上，现象学中的一个，使其成为一年多年的[Weyl]的规定的数学原因得到了一致用笛卡尔的”移动框架“方法来差异几何形状”。

1949年，韦斯明确地承认并赞扬了宪法的方法。 与他之前的关键言论不同，他现在认为它是σ（MP）中的参考框架与M. Weyl（1949B）的坐标的选择无关，传统方法和Cartan的几何方法是：

因此，我们在这里有了自然的一般基础，即概念休息。 高斯曲面理论发起的几何形状的无限趋势现在与其他思想融合在Klein的Erlanger计划中。

不建议将σp的参考框架绑定到覆盖M中P的邻域的坐标xi。在这方面，暗处连接歧管的旧处理是误导性的。 ...... [i] n的现代发展大型几何形状，它与拓扑结合，相关的klein空间出现在纤维的名称下，它已被发现最好地保持repères，纤维空间的框架，独立潜在的歧管的坐标。

此外，在1949年，Weyl还强调，如果希望将Dirac的电子理论融为一般相对性，则需要使用盒式架的方法。 Weyl（1949b）说：

当一个人试图将Dirac的电子理论装配到一般相对性中时，采用Cartan方法必须是必要的。 对于Dirac的四个ψ组件相对于笛卡尔（或相当是Lorentz）帧。 一个人知道如何在从一个洛伦兹框架到另一个洛伦兹帧的转换（Lorentz组的旋转表示）转换; 但是这种转变规律是这样的一种，它不能扩展到介导框架之间的任意线性变换。

Weyl在这里指的是他的三篇重要论文，它在1929年出现 - 同年他发表了他对宪法的方法的详细批评的一年 - 他调查了Dirac对一般理论的狄拉克特殊相对论电子理论的适应相对论，以及他在Lorentz歧管上制定了局部双组分纯粹结构的Tetrad或Vierbein形式主义。

4.5.3 Weyl的新规范原理和Dirac的特殊优势电子

在1921年的Pauli审查文章中只有一年，其中Pauli认为Weyl对其统一的领域理论的辩护剥夺了它的固有的令人信服，因此Schrödinger（1922）提出了Weyl的可能性1918仪表理论可以适用于电子的量子力学描述。[97] 福克（1926年）和伦敦（1927年）提出了类似的建议。

随着2007/28堰的量子理论的出现，遗弃了他的仪表理论1918年。他这样做了，因为在新的量子理论中，与狄拉克的电子理论相关的不同类型的仪表不变性，所以由Fock（1926）和伦敦（1927年）建议，更充分占电荷保护。[98] 为什么Weyl持续到他的规范理论差不多十年，尽管令人难以置信的经验论据，但是在爱因斯坦，Pauli和其他人安装在其中的实证论点？[99]在Weyl（1918/1998）上次字母中对于他统一领域理论的爱因斯坦，我们明确表示，它是数学，而不是其统一场地理论背后的动力。[100]

顺便提一下，您不得不相信它是因为我引入了直线差异形式Dφ的物理学，除了二次形式。 我希望宁可消除这种“不一致性”，这一直是我争夺的争论。[101] 然后，令我惊讶的是，我意识到它看起来好像它可能会解释电力。 你把手拍了你的头部和喊叫：但物理学不是这样的！

作为伦敦（1927,376-377）备注，必须欣赏威尔的巨大勇气，在制定他的仪表不变地解释电磁释放并以纯粹的正式考虑因素而坚持下去。 伦敦观察到惯性和引力质量等同物原则，促使爱因斯坦提供了对重力的几何解释，至少是引力理论的物理事实。 相比之下，在电力理论中不知道类似的事实; 因此，似乎没有引人注目的物理原因认为刚性杆和理想时钟将是电磁场的普遍影响。 相反，伦敦说，经验强烈建议原子钟表现出在磁场存在下不受其历史影响的尖锐光谱线，与Weyl的不可达到的假设相反。 伦敦的结论是，面对如此基本的经验事实，这一定是一个异常明确的形而上学定罪，防止韦尔泛放弃了他的想法，即自然应该利用纯粹无限的美丽几何可能性几何优惠。

1950年，Weyl在第四版“空间 - 时 - 物质”的第一个美国印刷的序言中写道：

在其36个部分中的最后两个部分中，我的书描述了一种通过我称为仪表不变性（Eichinvarianz）的新原则来实现这一目标。 这种尝试失败了。 正如我们现在所知道的那样，衡量标准的原则在自然界中的原则; 但它没有连接电磁势φi，就像我假设的那样，与爱因斯坦的GIK，但是将它们连接到波浪场的四个组件ψ，施德拉德和迪拉克教导我们代表电子。 ...当然，在量子力学发现的“电子领域”ψ之前，人们无法猜到这一点！