赫尔曼韦尔（六）

在riemannian空间中，并行排量的概念由两个条件定义：

在适当选择的坐标系（测地坐标）中的无限平行位移期间，载体的组分保持不变。[59] 如果，则满足此条件

dv

一世

p

=-γ

一世

jk

v

j

p

dx

k

p

和γ

一世

jk

=γ

一世

kj

。

在无限的平行位移期间，载体的长度保持不变。

从这些条件下，黎曼空间具有明确的对称线性连接 - 一个对称线性度量连接[60] - 由毕达哥拉斯riemannian度量唯一确定。 Weyl打电话给这个：

黎曼几何的基本假设：

在传染媒介的可能系统中，以无限接近点的并行位移，即，在可能的对称线性连接系数中，存在一个且仅一个集合，并且因此且仅一个并行位移的一个系统，其是长度保存。

在他的讲座[61]关于1922年在巴塞罗那和马德里交付的空间问题的数学分析，Weyl Sketched证明表明以下内容也是如此：

毕达奥利亚尼亚公民公民的独特性：

在可以放在可分辨率歧管的所有可能的无限度量中，Pythagorean-riemannian度量是唯一确定对称线性连接的唯一度量标准。

Weyl以两个自然假设开始了他的证据。 首先，度量标准的性质应该是独立的。 如果DS由关于给定的坐标系统的表达式FP（DX1，...，DXN）给出，则关于另一个坐标系统，DS由与FP（DX1，...，DXN）相关的函数给出其争论DXI的线性，均匀转换。 其次，假设度量的性质是相同的，从歧管的各个点以及关于所讨论点的邻域的每个坐标系的感觉中，DS由由所生成的函数的等效类[f]的元素表示ds任何一个这样的功能，都是通过所有线性，其参数DXI的均匀变换来表示FP（DX1，...，DXN）。

对于FP是毕达哥兰的形式，即积极定向二次形式的平方根，只存在一个可能的等价类[F]，因为每个功能是正定的二次形式的平方根，可以转换为标准表达式

f = [（dx1）2 +⋯+（dxn）2] 1/2

通过线性，均匀的转化。

对于各种可能的同一函数的等价类[F]，对应于一种韵律空间。 毕达哥拉 - 里曼尼亚空间，为什么f

2

p

=（dx1）2 +⋯+（dxn）2，是几种可能的韵律空间中的一个。 因此，问题是单个单位[f]，其中f对应于f

2

p

=（dx1）2 +⋯+（dxn）2，来自其他可能性，并为此偏好提供参数。

术语“公制”Weyl是指任何无限距离函数fp∈[f]，其中等效类[f]表示一类度量结构或度量字段。 任何这样类型的度量场结构在每个P 1m处具有微对对组GP。

定义4.1（微对称组）

在点p∈m处的结构场（Strukturfeld）的微对偏法是将P 1m的局部漫射形式中取出，并在p∈m处保留结构场。 The microsymmetry group of a field atp∈Mis the group of its microsymmetries atp∈Munder the operation of composition.

A microsymmetry group Gp, atp∈M,of a metric structure, is a set of invertible, linear maps of the tangent space T(Mp) onto itself, which preserve the infinitesimal distance function atp∈M. 对于每个p∈m，GP是一个和同一个抽象组的同性。

对于Riemannian类型的公制结构，切线空间T（MP）的一致性线性映射到其自身形成对正交组O（n）的同性恋的组GP。 因此，P的Pythagorean-riemannian度量通过P在P处的正交组的具体实现来确定，它在P不变地留下了基本的二次差异形式。 因此，毕达哥兰 - 黎曼的度量特征在于抽象微对对组O（n）。 对于不属于毕达莫生长公制类型的指标，抽象的微对对组GP与O（n）不同，并且将是GL（n）的其他一些子组。 At each point of the manifold the microsymmetry group will be a concrete realization of this subgroup of GL(n). Weyl现在说明他所说的话

自由的假设：

如果仅指定了指定度量的性质（任何类型），即，如果仅指定了相应的抽象微对对组GP，并且否则所讨论的度量是任意的，则不同点处的相应微对对组的相互取向也是任意的。

Weyl强调，自由假设为一般制定提供了一般框架

动力学几何的假设：

无论公制的性质或类型如何，所以它是相同的 - 到处都是相同的 - 从点对点的混凝土微对对组的相互取向的变化由填充空间的材料含量因果判定。

与Helmholtz的分析相比，预先提出了空间的同质性，自由的假设允许更换Helmholtz的同质性要求，以便使公制场进行任意的可能性，无穷大的变化。 要断言这种动态可能性，不要求指定度量标准的性质。

接下来，迄今为止已经提供了所提供的内容仅仅是概念度量，长度连接和对称线性连接的解释。 根据Weyl，必须制造超出概念分析的一些声明，以便证明可以在可以放在代表物理空间的可差异歧管上的各种类型的可能估计结构中，毕达哥拉斯黎曼形式是独一无二的。 Weyl表明以下假设：

Weyl的假设：

无论多个确定歧管的某个点P的基本上自由长度连接可以在其无限邻域中的点实现，并且在切线空间T（MP）的并行位移的可能系统中，一个且唯一一个，它在同时存在于系统无限的一致交通。

Weyl表明，这一假设实际上通过证明以下定理，毕达奥利亚曼型的单调指标：

定理4.2

如果特定的长度连接是这样它决定了唯一的对称线性连接，则度量标准必须是毕达哥拉 - riemannian形式（对于一些签名）。

因此，自由和Weyl的假设的假设将在每个Pp∈m处于非退化二次形式的存在，这是在p∈m的尺寸选择的独特之处，并且在微对中的作用下是不变的对某些签名的正交组是同构的组GP。

根据Weyl，这种制定表明，欧几里德的“距离 - 几何形状”与黎曼的“近几何形象”（Nahegeometrie）或“近几何形象”或“近几何形状”或“近几何形状”之间的直观对比。 Weyl（1949A，88）与晶格和不可改变的晶格的刚性和不可改变的原子中构成的晶体“建立的晶体”距离 - 几何形状“比较了euclidean'距离 - 几何形状'。然而，通过相同的不可辨认的不可改变原子，其排列和取向组成的液体是移动的，并屈服于作用于它们的力量。”

度量场的性质，即到处都是度量的性质，是相同的，因此绝对确定。 它根据Weyl来反映了韦斯，优先的空间或时空结构。 相比之下，后验线是什么，即偶然的，并且能够连续变化因因果上依赖于填充空间的材料含量，是不同点的度量的相互取向。 因此，根据Weyl的先验和后验的划分，根据Weyl：欧几里德几何形状仍然保留任何给定点的无限邻域，而是坐标系，其中韵律法呈现标准形式DS2 =σ

n

我= 1

（DXI）2通常与地方不同。

Weyl是先验和后验区别不得与康德的区别混淆。 Weyl（1949a，134）备注：“在物理空间的情况下，可以在某种客观意义上抵消某种客观感，而不是康德，参考他们的认知来源或其认知性格。” Weyl在（Weyl，1922b，266）中进行了相同的评论。[62] 另见§4.5.8中的讨论。

在他的小组 - 理论分析的背景下，Weyl（1922b，p.266）提出了以下有趣和重要的声明：

我从认识论中备注：说空间或世界本身就是不正确的，在任何物质内容之前，只是一种无形的连续歧管，在分析到SITUS的意义; 公制的性质[其无穷大的毕达哥兰 - 里曼尼亚人物]本身是空间的特征，只有各个点的度量的相互取向是偶然的，后验和依赖于材料含量。

在一般相对论的背景下，如果被理解为意味着不仅仅是空的所有物质而且是空的，那么空的时空是不可能的。 在另一个地方，Weyl（1949a，Engl。Edn，172）说：

几何与现场理论有机界限; 空间不对事物（如物质理论），如它们被放置的空船只，并且赋予它们具有远几何关系。 这里没有空的空间; 假设场省略空间的一部分是荒谬的。

根据Weyl的说法，公制领域不会在缺乏物质的世界中不再存在，但处于休息状态：作为一个休息领域，它将具有公制同质性的性质; 性正交组的相互取向，其特征在于各地的度量的蟒蛇 - riemannian性质不会与点的点不同。 这意味着在一个物质空宇宙中，度量标准是固定的。 因此，唯一确定了对时空的一致关系。 由于度量唯一地确定对称线性连接，因此均匀度量字段（REST字段）确定可用于可集的仿射结构。 因此，与完全没有物质的扁平Minkowski时空是赋予可完整的连接，从而决定了所有（假设的）自由运动。 根据Weyl，在没有物质的情况下存在均质度量场，其具有静止场的特征的结构场（Strukturfeld），并且构成了不能被消除的所有普遍背景。 该REST字段的结构决定了时空均匀关系的扩展，并确定了Lorentz Invariance。 其余领域没有净能量，对曲率没有贡献。

与亥姆霍兹和谎言的对比是这样的：它们都需要均匀性和各向同性的物理空间。 从一般的Riemannian角度来看，后一种特征仅适用于一个物质空宇宙。 这种宇宙是平坦的，欧几里德，而含有物质的宇宙是不均匀的，各向异性的和可变曲率的宇宙。

这里重要的是要注意，Weyl的断言的有效性，即公制字段不会停止存在但处于休息状态，在数学事实中具有其来源，即公制字段是G结构的数学事实。 G结构可以是平坦的或非平坦的; 但G-Surruction永远不会消失。 因此，以G-结构为特征的几何字段，例如投影，保形，仿射和度量结构，不会消失。[63]

4.3 Weyl的确定空间度量的因果关系方法

4.3.1 Weyl的Spacetime几何形状的本体论

riemann搜索了最常类型的n维歧管。 在这种歧管上，欧几里德几何形状成为由特定形式的度量产生的特殊情况。 Weyl采用这种一般结构，歧管结构，具有一定的连续性和订单属性，如基本的，但留下了其他几何结构的确定，例如投影，保形，仿射和度量结构，打开。 距离纯直觉时，韵律公理不再被规定。 根据Weyl（1949a，87），对于riemann来说，公制不是，因为它是康德，“静态均匀的现象形式的一部分，但他们的常见的材料含量”。 Weyl（1931A，338）说：

我们现在在非晶连续体系和其度量结构之间进行区分。 第一个保留了它的先验特征，[64] ......而结构领域[Strukturfeld]完全受到世界的动力效果; 作为一个真正的实体，爱因斯坦更喜欢以太。

Riemann对引力和电磁作品没有迹象表明，他预计了爱因斯坦理论的概念革命。 然而，Weyl对Riemann的作品的解释表明，Riemann预见到以下意义上的可能性：

通过将拓扑结构的后拓扑结构（如歧管，投射，保形和度量结构）正式分开，因此这些结构不再刚性地绑定到它，Riemann剥夺了他们的正式几何刚性，并在基础上他无穷大的几何观点或“近几何”，允许将它们解释为柔性动态物理结构领域[strukturfelder]的数学表示，它们在时空的歧管，几何领域互相互动。

RIEMANN的分离论文与他采用无限的角度，是在歧管上的可微分几何领域的数学发展的前提条件。 在物理上解释时，这些数学结构或几何字段对应于Weyl所说的物理结构领域（Strukturfelder）。 类似于电磁场，这些结构领域的作用于物质，又通过物质作用。 Weyl（1931A，337）备注：

我现在来到一般相对论理论的关键思想。 无论是如何施加强大和实际效果的世界，也不能成为世界的刚性，一次和所有固定的几何结构，但本身必须是真实的，这不仅对物质施加影响，而且反过来又通过物质遭受了影响。 RIEMANN已经建议了空间，即结构领域，如电磁场，互相相互作用。

Weyl（1931A，338）继续：

我们已经用惯性的例子解释了，结构领域[Strukturfeld]必须作为紧密动作[nahewirkung]，被无限地理解。 如何在空间的度量结构中，从Gauss的曲面理论中抽象的riemann。

各种几何字段并不“内在”到时空的歧管结构。 歧管代表了在分析姿势的分析意义上的无定形四维微分连续体，除了落在歧管的概念下方之外的任何属性。

无定形的四维微分歧管具有高度对称性。 由于其同质性，所有点都是如此; 没有客观的几何属性，使接能够区分另一个点。 这种完整的均匀性或空间对称性必须由其一组自体形态描述，点领域的一对一映射到自身上，这些映射在不受干扰的点之间的目标意义的所有关系中的所有关系。 如果给出了具有明确关系结构的点设置的几何对象f，则那些离开f不变的空间的自体形态构成一个组，并且该组恰好描述了F拥有的对称性。 例如，要通过Weyl（1938b）使用示例（另请参见Weyl（1949a，72-73）和weyl（1952）），如果r（p1，p2，p3）是置位p1，p2的三元关系，P3躺在一条直线上，我们要求满足这个关系R的任何三个点，都是通过自同一族映射到其他三个点P

'

1

，p

'

2

，p

'

3

，履行相同的关系。[65]

N维数空间的一组自型空间仅包含身份图，因为所有数量的RN都是不同的个体。 本质上讲，实际上是真实数字用于坐标描述。 而实数的连续因素包括个人，空间，时间和时空的连续性是均匀的。 Spacetime积分不承认绝对特征; 根据Weyl，他们可以通过“通过指向和在此 - 现在的演示行为”来区分它们。

在题为Riemanns Geometrische Ideen的小书中，Ihre Auswirkung und IhreVerknüpfungMitder Gruppentheorie，于1988年发布，Weyl（1988年，4-5）使这个有趣的评论：

以最直接的方式在MF [歧管]上以最直接的方式引入坐标，以通过映射到数字空间，即通过一对一的连续变换出现的所有坐标都是同样的。 通过这种情况，坐标概念从几何形状中突出的所有特殊结构中断。 在相对论的语言中，这意味着：没有测量坐标，它们的值不会从真实的测量杆读取，这些杆以明确的方式对物理领域和韵律进行反应，相反，它们是任意放置在世界中的先验，以便表征包括的那些物理领域数值上的度量结构。 公制结构变得通过这一点，从而脱离空间; 它成为剩余结构空间内的现有字段。 通过此，作为外观形式的空间更清楚地对比其真实内容：在形式与坐标任意相关之后测量内容。

通过独立地将给定的时空映射到真实数字空间，提供通过绘图的任意性，我们的呼唤是什么，一个定性的非差异化的免费可能性领域 - 所有可能的巧合的连续性 - 我们代表空间点通过对应于某些坐标系的坐标。 四维算术空间可以用作四维模式，用于本地化所有可能的“现在 - 现在的”事件。

时空中的物理动态量，例如四维时期连续体上的几何结构场，被描述为可变点的功能，其范围在四维数空间R4上。 而不是考虑作为真正的实体的空间点，以及任何谈论的领域只是描述点之间几何关系的方便方式，一个人认为是投影，共形因果，仿射和度量字段，如真实的物理具有动态性质的实体，例如能量，动量和角动量，以及田间点作为数学抽象。 Spacetime不是旧欧洲概念意义上的媒介。 这里没有ether在这里存在。 正如电磁场不是媒体的状态，而是构成没有对其他任何东西的独立现实，所以，根据Weyl，几何领域是独立的不可缩续的物理领域。[66]

给定类型的一类几何结构场的特征在于特定的LIE组。 属于给定类的几何结构场在每个点p∈m处具有微对对组（参见定义4.1），其与阶级特征的Lie组同构。 在相对论的理论中，该微对称基团是洛伦兹组的同性，留下Lorentzian签名的伪riemananian度量。

不同类型的几何结构场可以由现代数学视角表示为歧管M上的适当光纤束的横截面; 也就是说，无定形歧管M根据从歧管M的特定类型（称为横截面）的映射到相应的束空间的映射与M上的各种几何领域相关联。[67] 特别地，爱因斯坦的一般相对论理论假设物理领域，韵律场，在数学上讲话，可以表征为非退化，二阶，对称，协调张力的横截面Lorentz签名在M. Weyl（1931A，336）中说，这个世界结构：

然而，这种结构是完全和完全描述的，无论其内在的内部，所有的自然法则都表明它构成了对物理事件演变的最决定性的影响：刚体和时钟的行为几乎完全通过度量结构确定，如图所示动作的动力质量点和光源的传播。 只有通过这些对混凝土自然过程的影响，我们可以认出这种结构。

Weyl的视图是径向相反的几何传统方式和某种形式的关系主义。 根据Weyl的说法，我们发现通过物理现象的行为来了一种已经确定的时空的度量结构。 物理对象的韵律关系由物理字段，度量字段由第二秩度张磁谱字段表示。 与几何传统主义相反，外链几何形状不围绕刚性杆，理想的时钟，光线或自由下降颗粒，除了提供关于物理实际公制场的信息的衍生感，根据Weyl，如此实际上是物理上的电磁场，并确定并解释了运输中的一致标准的韵律行为。 韵律具有物理和韵律的意义，并且韵的意义在仅仅是在刚性杆或理想时钟之间获得的关系的关节。