赫尔曼韦尔（五）

Weyl（1923a，124-125）表明，补充有长度连接或仪表场aj（x）的结构的共形结构从相同的等效连接的等效类k = = [γ]中单独连接。[49] 这种唯一连接，被称为Weyl连接，由

γ

一世

jk

=

1

2

少女（grj，k + gkr，j-gjk，r）+

1

2

少女（grjak + gkraj-gjkar）

=

1

2

少女（grj，k + gkr，j-gjk，r）+

1

2

（δ

一世

j

ak +δ

一世

k

aj-gjkgirar），

这类似于（14）。 Weyl连接的第一项与Riemannian几何的度量连接（9）相同，而第二个术语代表了Weyl几何中的新功能。 Weyl连接在规格变换下不变

¯

g

ij（x）=eθ（x）gij（x）

¯

一种

j（x）= aj（x）-∂jθ（x），

仪表功能是λ（x）=eθ（x）的地方。 因此，保形结构加长长度连接或仪表字段Aj（x）确定配备有独特Weyl连接的Weyl Geometry。 因此，无限几何形状的基本原理也占据了威尔几何形状; 也就是说，Weyl Geometry的度量结构决定了独特的仿射连接，即威尔连接。

在Weyl的纯粹无限度量的公制几何（Weyl Geometry）的物理解释中，用电磁四个电位识别规格场Aj（x），并且电磁场张量由电磁场张解

fjk（x）=∂jak（x）-∂kaj（x）。

作为威尔几何形式的正常特征的时空不仅具有方向曲率（Richtungskrümmung），而且还会产生长度的曲率（Streckenkrümmung）。 由于后者属性，长度的一致性表征的形式表征将是不可取的，即威尔几何形状的路径依赖。

图形

图6：在威尔几何形状中，沿着不同路径的矢量的并行位移不仅改变了其方向，而且还改变了它的长度

假设物理空间对应于Weyl几何形状。 然后，在具有公共时间单位的事件P处的两个相同的时钟A和B，即，给定长度LP的时间般媒体向量，它们沿不同的世界行向事件Q分离并移动，不仅相对于经过的时间（第一时钟效果（即，，相对论效应）），但通常时钟将在Q（第二时钟效应）的常见时间单位（滴答数）方面不同。 也就是说，威尔几何中的一致性时间位移使得P的两种全体间隔在Q时不会一致，当时沿着从P到Q的不同世界线并行流离失所，即L

一种

q

≠l

b

q

。 这意味着一只旅行到遥远的明星，然后返回地球的双胞胎不仅会发现地球上的另一个双胞胎更加老化，而且还以不同的速度勾选地蜱上的所有时钟。 因此，在非消失的电磁场FJK（x）的存在下，时钟速率通常是相同的; 也就是说，除了相对论效应（第一时钟效果）之外，还将存在第二个时钟效果。 因此，l

一种

q

= l

b

q

如果且仅在AJ（x）的卷曲中消失，即，如果且仅当电磁场张量Fjk（x）消失，即，

fjk（x）=∂jak（x）-∂kaj（x）= 0。

在这种情况下，Weyl Connection的第二项消失和（19）减少了黎曼几何的度量连接（9）。

在威尔几何形状中，没有理想的绝对“仪表棒”或“时钟”。 例如，任何时钟测量时间的速率是其历史的函数。 然而，由于爱因斯坦在Nachtrag（附录）中指出了Weyl（1918A），正是这种情况，这表明Weyl的几何形状与经验冲突。 在Weyl的几何形状中，原子钟的频谱线的频率将取决于原子的位置和过去历史。 但经验另有说明。 光谱线是明确的和锐利的; 它们似乎与Atom的历史无关。 原子钟定义单位时间，体验显示它们是可恰当的运输。 因此，如果我们假设原子时间和重力标准时间是相同的，并且引力标准时间由Weyl几何形状确定，则电磁场张量为零。 但是如果是这种情况，那么威尔省几何形状减少到归因于一般相对性的标准黎曼几何形状，因为Weyl的Streckenkrümmung（长曲率）的消失是必要的并且足以存在a riemannian公制gij。

当几年后，量子理论后来，很明显，韦斯的理论与甚至更为根本的方式发生冲突，因为钟表率与量子理论中的粒子之间存在直接关系。 具有某种静止质量M的颗粒具有自然频率，其是其静止质量，光速C的速度和普朗克的常数H的函数。 这意味着在Weyl几何中不仅是时钟将取决于其历史，而且依赖于颗粒的粒子。 例如，如果两个质子具有不同的历史，那么它们也会在威尔几何形状中具有不同的质量。 但这违反了相同种类的粒子的量子机械原理 - 在这种情况下，质子必须完全相同。

但是，1918年，Weyl仍然可以以下列方式捍卫他的理论。 为了应对爱因斯坦的批评Weyl，指出，原子，时钟和仪表棒是复杂的物体，其独立重力和电磁场中的真实行为只能从动态物质理论推断出来。 由于此时没有提供详细且可靠的动态模型，因此Weyl可以争辩说，没有理由假设例如时钟速率通过时间尺寸向量的长度正确建模。 Weyl（1919A，67）说：

乍一看，可能令人惊讶的是，根据纯密接近的几何形状，长度传递在电磁场存在下是不可集成的。 这是否没有明显违背刚体和时钟的行为？ 然而，这些测量仪器的行为是一种物理过程，其课程由自然法决定，并且由于我们在空间几何形状的数学施工中所采用的“全班距离的全班距离”的理想过程无关。 公制场与刚性杆和时钟的行为之间的连接在特殊相对论的理论中已经尚不清楚，如果一个人不限于准静止运动，则在特殊的相对论的理论中已经很目的。 虽然这些仪器在praxis中发挥不可或缺的作用，作为公制场的指标，虽然为本指标，但是对于该目的，更简单的过程是优选的，例如，光波的传播），通过直接从直接获得的数据定义度量字段显然不正确这些仪器。

通过表明这种时间保存系统的动态性质使得它们使得它们不断适应时空结构，使得它们的速率保持恒定的方式不断适应这种观点。 他认为，由于这种动态调整的结果，与这种动态调整的结果保持恒定，并且由于持续存在而保持恒定的量，因为它们被隔离和不受干扰。 他认为，保持完美突出的所有数量可能是由于动态调整的结果。 Weyl（1921A，261）以下列方式表达了这些想法：

在一致转移和测量杆和时钟的行为之间存在这种差异的原因是什么？ 我通过“持久性”（beharrong）和“调整”（Einstellung）来区分大自然的确定。 我将通过下图说明差异：我们可以在空间中的任何任意方向上给旋转顶部的轴。 然后，该任意原始方向然后通过持久性从时刻运行的趋势来确定顶部的轴线的方向 每个瞬间的轴经历并行位移。 磁场中的磁针的情况确切地是磁场的情况。 其方向在每个瞬间确定在其他瞬间的情况下，通过其构造，系统以毫不疑问地调整其位于其所在的场上的自身。 先验我们没有理由假设可那么可集成的转移，这些转移纯粹从持久性倾向。 ...例如，Maxwell等式要求保护方程，对于电子的电荷e来说，我们无法理解为什么电子，即使在无限期之后，始终都具有未置换的电荷，以及为什么相同的电荷E与所有电子相关联。 这种情况表明，电荷不是通过持久性确定的，而是通过调整来确定，并且只能存在一个负电的平衡状态，这些元素在每个瞬间重新调整自身。 出于同样的原因，我们可以为原子的光谱线结论相同的事情。 散发相同频率的原子的一件事是他们的宪法，而不是在遥远过去遇到的频率的同意。 类似地，测量杆的长度明显通过调节确定，因为我不能在该场位置在该场位置置于任何其他长度（例如双倍或高音长度）代替它现在所拥有的长度，以便预先确定它的方向。 根据世界曲率给出了通过调节的长度来确定长度的理论可能性，这是根据复杂的数学法从估计场所产生的。 由于其构造，测量杆具有与该领域的曲率半径相关的具有这种或该值的长度。

Weyl对爱因斯坦的批评是一种与经验的威力几何冲突的批评，利用了治理时钟和刚性杆的潜在动态定律，目前尚未知道。 因此，Weyl因此认为它至少可以存在物质的潜在动态，使得威尔几何形状，根据该长度传递是不可用于的，与可观察经验的长度传递似乎是可透明的。 但是，正如Wolfgang Pauli清楚地指出的那样，Weyl的合理的防御是成本的。[50] Pauli（1921/1958,196）认为，Weyl对他的理论的辩护剥夺了它从物理角度来看其固有的令人信服的权力。

Weyl的目前对这个问题的态度如下：世界长度的一致转移的理想过程......与测量杆和时钟的真正行为无关; 不得通过从这些测量仪器中获取的信息来定义度量字段。 在这种情况下，数量gik和φi是定义，不再可观察到，与爱因斯坦理论的线元素相比。 这种放弃似乎具有非常严重的后果。 虽然现在不再存在与实验直接矛盾的矛盾，但从物理观点来看，该理论仍然被抢劫其内在的令人信服的权力。 例如，电磁和世界度量之间的联系现在现在不是实际上的，而是纯粹正式的。 对于电磁现象与测量杆和时钟的行为之间不再是立即连接。 前者和理想过程之间只有一个相互关系，这些过程是数学上被定义为向量的一致转移。 此外，只有正式的，而不是物理，不是世界公制和电力之间联系的证据。[51]

保利在以下声明结束对Weyl的理论的批判性评估：

总结，我们可以说，Weyl的理论并没有成功地越来越接近解决物质结构的问题。 正如将更详细地争论的那样......相反，有些东西可以说，这种问题的解决方案根本不能以这种方式找到。

然而，应该指出的是，Weyl对他的理论的辩护隐含地解决了关于理论和证据关系的重要方法论。 由于Pauli将其放在上面，根据Weyl“，不得通过从这些测量仪器[刚性杆和理想时钟]的信息来定义公制场。 也就是说，Weyl拒绝了爱因斯坦的运行立场，就理想的刚性杆和理想时钟的可观察行为而言，对公制场提供操作意义。[52] 与光传播和自由下降（球形对称的，中性）颗粒不同，刚性杆和理想时钟是相对主义的衰弱的概率系统，因此不适合确定通过理论假设的时空固有结构相对论。 当他对爱因斯坦的批评时，我们已经清楚地认识到了这一点，因为我在我的书籍时钟的数量和时钟的问题行为限制了自己的特定测量，专门用于观察光信号的到来。“ 括号上有趣的是，在他的第一版中，他的书中的第一版认为，通过仅使用光信号，可以具有将任意时空间隔长度与两个基准时空事件之间的间隔进行比较的内在方法。 这是洛伦兹，他们指出不仅是世界光线的世界线，而且还需要比较长度的内在方法所需的世界材料线。 Weyl在后续版本中纠正了这个错误，但已经在1921年，Weyl（1921C）发现了通过证明重要定理来确定空间度量（见§4.3）的因果关系方法Spacetime度量已经完全由Spacetime的惯性和因果结构决定。 Weyl（1949a，103）备注“...因此，活化不需要依赖于时钟和刚体，但是......轻微的信号和单独影响的光信号和质量点都足够了。” 很明显，Weyl认为使用时钟和刚性杆作为特殊和一般理论的背景下的不希望的临时。 由于空间或时间间隔都不是时空的不变，因此不能通过标准时钟和刚性杆直接确定不变的时空间隔DS。 此外，后者预先假定了Quantum理论原理的理由，因此位于相对论的框架之外，因为管理其物理过程的法律尚不清楚。[53]

Weyl（1929C，233）只有在电子的量子理论的出现时遗弃了他的统一场理论。 他这样做是因为在那种理论中，发现与狄拉克电子理论相关的不同类型的仪表不变性，这更充分地占电荷的保护。 Weyl对量子力学的贡献，以及他的建设的仪表不变性的新原则，§4.5.3。[54]

Dirac（1973）以略微修改的形式恢复Weyl的统一场理论，其纳入了真正的标量场β（x）。 DIDAC还认为，由原子钟测量的时间间隔不需要用Weyl Geometry中的时间般的载体的长度识别。[55]

4.2 riemann-helmholtz-lie空间问题

在高斯，Grassmann和Riemann作品之前，对几何学的研究趋于强调，强调三维物理空间的实证直觉和图像。 物理空间被认为是具有明确的韵律属性。 Geometer的任务是在该空间中采用物理测量设备并与它们一起工作。

在高斯和基层的影响下，瑞曼的哲学贡献在示范中包括，与离散歧管的情况不同，其中确定一定是确定其数量或基数的确定，在连续的情况下歧管，这种歧管的概念和其连续性属性，可以分离形成其度量结构。 利用现代术语，RIEMANN将歧管的局部差分拓扑结构与其度量结构分开。 因此，黎曼的分离论文产生了空间问题，或者作为叫做它的Weyl，das raumproble：如何在连续歧管m上确定公制关系？[56]

度量歧管是定义距离功能F：M×M→R的歧管。 这种距离功能必须满足以下最小条件：对于所有P，Q，r∈m，

f（p，q）≥0，如果f（p，q）= 0，则p = q，

f（p，q）= f（q，p），（对称性）

f（p，q）+ f（q，r）≥f（p，r）（三角不等式）。

在他在Göttingen的着名就职讲座中，题为übereundothesen，Welche der Geometrie Zu Grunde Liegen（关于在几何形状的基础上的假设），Riemann（1854）检查如何在连续歧管上确定度量关系; 也就是说，F：M×M→R的特定形式是什么。 考虑两个相邻点P，q∈m的坐标xi（p）和xi（p）+ dxi（p）。 距离ds = f（p，q）的测量必须是差分增量dxi（p）的p的一些功能fp; 那是，

ds = fp（dx1（p），...，dxn（p））。

riemann表示FP应满足以下要求：

功能均匀性：

如果λ＞0和ds = fp（dx（p）），则

λds=λfp（dx（p））= fp（λdx（p））。

签署不变性：

差异的符号的变化应该留下DS不变的值。

每次阳性均匀函数都满足2M的每种阳性均匀函数（m = 1,2,3，......）满足。 在简单的情况下M = 1，并且长度元件DS是二级的均匀函数的平方根，其可以以标准形式表示

ds = [

n

σ

我= 1

（dxi（p））2] 1/2。

也就是说，在M的每个点处，存在坐标系（定义到正交组O（n）的元素，其中第二度的均匀函数的平方根可以以上述标准形式表达。Riemann是衡量标准的众所周知的一般表达对任意坐标系的p∈m处的长度是给出的

ds2 = gij（x（p））dxi（p）dxj（p），

在公制张量的组件满足对称条件Gij = gji的情况下。

假设ds2 = f

2

p

是二次差异形式不仅是最简单的形式，还有一个用于其他重要原因的首选。 riemann本人非常了解其他可能性; 例如，DS可以是差分中的第四阶的均匀多项式的第4根的可能性。 但黎曼限制了自己的特例m = 1，因为他被迫时间，因为他想给出他的结果的特定几何解释。 由于Weyl指出Riemann自己对空间问题的答案是不充分的，因为Riemann对毕达哥兰案件的限制的数学理由不是很引人注目。 首先令人满意地致力于紫荆人的黎曼公制的理由，虽然范围有限，因为它预期欧洲群岛空间的全体均匀性，所以通过赫尔曼·冯·赫尔默尔茨的调查提供。 Helmholtz来自瑞米曼的分析方法，并仅仅是几何的基本概念，即一致映射的概念，并通过要求空间充分均匀性来表征空间的几何结构欧几里德空间。 因此，他的分析仅限于恒定阳性，零或负曲率的情况。 从我们的刚体运动的经验中抽象，Helmholtz能够从一些关于空间中的刚体运动的一系列公理中数学地从数学上得出的riemann的距离公式。 Helmholtz（1868）认为Riemann的假设是通过二次差异形式本地确定空间的度量结构，是刚体运动的事实（Tatsachen）的结果。

考虑到N尺寸的一般情况，并使用Lie Groups和Lie代数，Sophus Lie，（Lie（1886/1935,1890a，b）），后来发达并改善了Helmholtz的理由。 然而，Helmholtz-Lie对空间问题的处理和解决方案，与爱因斯坦的一般相对论的理论的到来失去了它的相关性。 由于Weyl（1922b）指出，而不是三维连续体，我们现在必须考虑四维连续体，其度量不是正定的，而是通过无限的二次形式给出。 此外，Helmholtz的公制同质性的预设不再持有，因为我们现在正在处理不正常的公制领域，这些字段因物质的分布而取决于物质的分布。 因此，Weyl提供了与通过相对性理论假释的因果和公制结构兼容的空间问题的重构。 但我们进一步走了。 这种重构不仅应将Riemann的无穷无尽的角度纳入，根据爱因斯坦的一般理论，它也应该在Weyl在统一场地理论的建设中提前开发的纯无穷大物几何的Weyl的要求。。

更准确地说，Weyl以两种方式推广所谓的Riemann-Helmholtz-Lie问题：首先，他允许无限期的指标，以便包含一般的相对论理论。 其次，他认为具有可变仪表λ（x（p））与相关长度连接的度量，以获得纯粹的无限几何形状。 因此，所考虑的一般一般几何形状的每个成员是相对于两个结构领域的可变仪的选择局部确定的（Strukturfelder）：（1）可能是无限的FINSLER度量字段[57] FP（DX），和（2）由1形字段θidxi确定的长度连接。 Weyl的任务是证明：

如果几何形状满足自由的假设，（空间的性质对可允许的韵律关系没有限制），并确定唯一，对称的线性连接γ，那么Finsler度量字段FP（DX）必须是a riemannian公制场的一些签名。[58]