赫尔曼韦尔（四）_数学联邦政治世界观()

N维歧管M，其是束缚连接的歧管，Weyl（1918b）将物理上以填充有引力场的n维世界（时尚）来解释。 Weyl说，“......仿射连接在物理学中出现在重力场......”由于每个时空点存在于其中部件γ的测地坐标系

一世

在对称线性连接消失的情况下，可以使引力场在歧管的每个点处消失。

由Helmholtz，Poincaré和希尔伯特开发的物理几何形式的经典理论认为，“公制一致”的概念作为几何形状的唯一基本关系，并在这个一个概念中构造了物理几何形状，即在相对位置的方面和物理一致标准的流离失所。虽然爱因斯坦的一般相对论冠军冠军，但与经典几何形状的间隔几何形状的动态视图，但爱因斯坦最初从韵律点接近时代的结构的问题。它是Weyl（1923B），他们强调并制定了对称线性连接的公制建设，谁指出了这样做的理由。在非相对论和相对论的环境中，它是对称线性连接，而不是度量，其在配方中起重要作用在分差方程方面表达的所有物理法。它是对称线性连接，其将Spacetime点处的系统的状态与在相邻的时空事件处的状态相关，并进入相应大小的差分。在牛顿物理学和一般相对论的理论中，所有动态法则都会预先假定投影和仿射结构，从而预先惯性。事实上，整个带有协助衍生物的张量分析是基于无限平行排量的仿射概念，而不是在公制上。

Weyl的公制独立施工不仅导致了对重力的数学表征的更深入了解，它也为差分几何形状的新建筑和概括制定了方法和相对论的一般理论。特别是，它导致了

路径几何形状的发展，1918年首次由Weyl引入。

Weyl发现了以非圆形，非传统方式制定了凭证测定的空间度量的方式的因果惯性方法。

Weyl的riemannian几何概括他试图统一重力和电磁。

Weyl在他试图统一重力和电磁共振的背景下介绍了衡量标准的概念。

有关Weyl的仿射连接（线性对称连接）的Moyl公制独立构建的详细信息，请参阅补充。

4.1.2投影几何形状或路径的几何形状

Weyl的公制结构的仿射结构构造导致差动投影几何形状或路径几何形状的发展。投影几何的兴趣在路径中，即在曲线的图像集的连续点集中，而不是在曲线的可能参数描述中。曲线有一种自由度; 它取决于一个参数，其图像集或路径是歧管的一维连续点。一个代表歧管M上的曲线，作为来自一些开放间隔I =（ - ε，ε）的光滑图（即，c∞）γ进入M.

图形

图3：歧管M上的曲线是光滑地图γ：i⊂r→m

重要的是要理解那种通过“曲线”的方式是地图（参数描述）本身，而不是其图像点的集合，路径。因此，如果它们由不同的映射给出（不同参数描述），则数学上被认为是不同的曲线，即使它们的图像集，即它们的路径是相同的。如果我们更改曲线的参数说明，我们更改曲线但不是其图像集（其路径），它通过它通过的点。因此，路径有时被定义为任意参数变换下的曲线等同类。因此，投影几何形状可以被定义为仿射几何的等同类。

平坦空间的测地曲线是直线。在一个点处切线与之前或后续点的切线平行。欧几里德空间中的直线是并行传输其自己的切向量的唯一曲线。该切线载体的并行传输的这种概念还表征了弯曲空间中的测地曲线。也就是说，弯曲空间中的曲线γ，其平行地传输其自己的切线载体沿其所有点，称为测地曲线。给出具有仿射结构和一些任意局部坐标系的歧管，测地曲线γ的坐标函数（组件）γi为二阶非线性微分方程

d2γi

ds2

+γ

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dγj

dγk

= 0。

一个可以根据任意参数扩散晶体下的测地曲线的等效类别在仿射歧管上表征投影几何π[40]，从而消除所有参数描述，从而消除所有可能的距离概念满足（6），[41]或者可以将方向的自动释放主义的过程作为限定投影结构的基础。

图形

图4：路径ξ是所有参数扩散术下曲线的等价类[γ]μ：R→R;λ↦μ（λ）

Weyl采取后一种方法。根据Weyl，载体的平行位移的无限流程含有特殊情况，是指向其自身方向的无限位移。这种无限的自动滑动方向是脱毛歧管的射程结构的特征。

无穷大的自动滑动方向：

任意点P处的方向R的无限自动滑动率在于，在P到相邻点P'的平行位移中，其位于P的方向上。

如果沿着曲线的所有点移动时，曲线仅在其切线方向r时才能经历无穷大的自动驾驶型。测地曲线的这种表征构成来自仿射几何的抽象。通过这种抽象，测地曲线是可定义的，在切线方向的自动滑动方面，而不是切相向量。粗略地说，仿射几何形状基本上是投影几何形状，其沿曲线定义的距离概念。通过消除沿着曲线的所有可能的距离概念，或等效地，曲线的所有参数描述，一个摘要摘录射程几何形状仿射几何形状。

如上所述，投影几何π可以被定义为仿射几何类的等同类，即突出相关仿射连接的等同类[γ]。 Weyl在1922年春天在巴塞罗那和马德里交付的一组讲座中，提出了他对投影几何的概念的细节，它使用了自动驾驶般的方向的概念（Weyl（1923A）;另见Weyl（1921C））。 Weyl开始具有以下必要和充分的条件，以便在变换γ→下的投影结构π的不变性

仿射结构：

投影转型：

变换γ→

用仿射结构γ保留歧管的投影结构π，并且被称为投影转换，if且仅当

（

-γ）

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vjvkαvi，

其中vi是任意矢量。

Weyl的定义说，如果媒体v，则歧管M的仿射结构的变化会保留M的投影结构π

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和

一世

由矢量v导致的q

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在P通过γ和γ下的平行传输

分别在长度下不同但不朝向不同。[42]

时空歧管M是“突出歧管”（M，π），如果除了其歧管结构（差动拓扑结构），它也赋予投影结构π，其分配给其歧管64系数π

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XI（P））满足某些对称条件。[43] 这些投影系数表征了突出等效连接的等效类[γ]，即在投影转换下的连接等效应（7）。

在物理时期，投影结构根据Weyl立即直观意义。现实世界是一种填充有惯性重力场的非空的空间，Weyl调用了指导领域（Führungsfeld）[44]。根据Weyl（1923A，13），这是一种嵌合的事实，即在某个时空方向（时样化方向）中无释放的主体执行唯一确定的自然运动，其只能通过外力转移。因此，自动滑动方向的过程出现，因此作为运动所控制的自由粒子的时空方向的持续性，导电场（Führungsfeld）是什么。这种自然运动是基于持久性的有效无限的持续趋势发生的，该持续性趋势平行地使其在其轨迹上的任意点P处的间隔方向R在其轨迹上的轨迹P'上位于P处的方向R.

如果外力施加在身体上，那么通过引导领域和力导致持久性趋势之间的冲突确定的运动结果。引导场持续存在的趋势是一种限制引导，即惯性 - 重力场在每个主体上施加。 Weyl（1923b，219）说：

伽利略的惯性法秀，即世界上存在一种限制指导[Spacetime]，它施加在一些明确的世界方向上自由的一个独特的自然运动，它只能通过外力转移; 这是基于从点到点的持续存在的有效无限倾向，使得自然地将主体的世界方向r处于任意点P处于无限接近的相邻点P'，其位于P的方向R.

4.1.3保形几何，Weyl Geometry和Weyl的统一场理论

在1915年完成相对论的一般性理论之后不久，爱因斯坦，韦尔韦尔和其他人开始致力于统一的场地理论。当时这次是自然的[45]这项任务仅涉及重力和电磁统一。在爱因斯坦的重力的几何化中，牛顿重力潜力和牛顿重力，分别由公制张量Gij（x）的组件以及对称线性连接的组件替换

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（x）。在相对论的一般理论中，由于时空的曲率而言，重力场占据了重力场，但电磁场与时空几何形状保持完全无关。然而，爱因斯坦的数学制定他的一般相对论的理论并没有为其他长距离力场，电磁场提供空间的空间。[46] 因此，询问大自然只有两个长范围的力领域是否具有共同的原点。因此，建议电磁场也可能归因于时空的某些性质，而不是仅嵌入时空的东西。然而，由于指标张量的组件Gij（x）已经通过Einstein的现场方程充分确定，这需要设置比艾辛斯坦理论的理论的更加通用的微分几何形状，以便为合并空间电磁分为时空几何形状。这种广义差分几何形状将描述长距离力，并且基于该几何形状的新理论将构成电磁和引力的统一场理论。

1918年，Weyl提出了这样的理论。在Weyl（1918A，1919A）和Raum-Zeit-Materie的第三版（1920）中，Weyl提出了他通过构建规格不变的几何形状来统一引力和电磁的巧妙尝试（见下文），或者他称之为纯粹无限的“公制”几何形状。由于SpaceTime的共形结构C（见下文）不确定独特的对称线性连接γ，但仅是相同等效的对称线性连接的等效类k = [γ]，因此Weyl能够显示这种自由度Spacetime的保形结构为电磁电位的几何设计提供了足够的空间。所得到的几何形状，称为Weyl几何形状是一种中间几何结构，其位于保形和黎曼结构之间。

由本地描述的公制张量字段

ds2 = gij（x（p））dxidxj，

是riemannian几何的特征。该几何形状需要对称线性连接γ，矢量的无限并行传输始终保留矢量的长度。因此，Riemannian几何中的度量场确定唯一的对称线性连接，满足并行传输的长度保存条件的“度量连接”。这意味着由（8）本地表示的度量字段是不变的并行传输。这种独特的对称线性度量连接的系数由

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少女（grj，k + gkr，j-gjk，r）。

如果vp是p∈m的载体，则其长度

| vp | 2 = gij（x（p））v

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。

此外，在p∈m处的两个载体VP和WP之间的角度

cosθ=

gij（x（p））v

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| vp || wp |

。

虽然在riemannian几何形状中，但是长度的并联传输是路径，即，即使它们位于两个有限不同的点，也可以比较任何两个向量的长度，载体在平行运输下患道方向上的路径依赖性变化; 也就是说，以路径无关的方式，不可能定义位于不同点的两个向量之间的角度。因此，如果沿着两个向量沿着相同路径传输，则给定点处的两个向量之间的角度在并行传输下不变。特别地，通过持续的并行位移返回到起始点围绕闭合电路承载的向量将具有相同的长度，但是通常不会返回其初始方向。

图形

图5：从二维表面S2上的大约→B→C→A围绕一个→B→C→A并联传输，从A→B→C→A在二维表面S2上，在返回A时最终以不同的方向指向。

对于闭环，该闭环围绕着无限小部分的空间，每单位面积的载体的旋转构成了空间局部曲率的量度。因此，无论是否有限的平行位移是可集成的，即无关的，就取决于曲率张量是否消失。

根据Weyl，Riemannian几何形状，不是纯或真正的无限差分（公制）几何形状，因为它允许在有限距离处比较长度。在他的精英1918年题为引主unektrizität（引力和电力）Weyl（1918a）说：

然而，在上面描述的riemannian几何体中，仍然存在最后一个遥远的几何[蕨类植物触控元素 - 没有任何声音原因，据我所知; 唯一的原因似乎是从表面理论的黎曼几何的发展。度量允许比较两种向量的长度不仅在同一点，而且在任何任意分离的点处比较。然而，真正的近几何（Nahegeometrie）可以仅识别在指向点到无限邻点的指向处的长度的原则，然后假设从一个点到有限的远角点转移长度的转移是不合理的可积，然后假设方向转移是可集成的。

Weyl希望公制几何形状，其不会允许位于有限不同点的两个向量之间的长度比较。在纯无限的几何形状中，Weyl认为，如果注意被限制在歧管的单点，则必须在测定向量长度之前任意选择一些长度或规格。因此，纯无穷小型度量差分几何形状的内在的所有内在的内部是能够在一个点处确定任何两个向量的长度的比例和任何两个向量之间的角度。并且因为我们可以在点处确定任意两个向量之间的角度，因此纯无限的公制歧管必须至少具有共形结构C. [47]

由等式给出了保形时空结构的定义特性

0 = ds2 = gij（x（p））dxidxj，

这决定了p的光锥。测量标准的转换是地图

gij（x（p））→λ（x（p））gij（x（p））=

ij（x（p）），

将度量保存在正极和光滑的，而另外的标量因子或仪表功能λ（x（p））上。在伪riemananian结构的情况下，这种规格变换离开了不妨碍的光锥体。 P的两个载体之间的角度由（11）给出。显然，仪表转型

IJ（x（p））=λ（x（p））gij（x（p））是角度保存，即共形化。两个由保形仪表转换相关的度量称为相同的相同。共形结构不确定在点处的任何一个载体的长度。只有相对长度，任何两种载体的长度的比例，Vp | / | WP | 确定。

Weyl利用了这种共形结构的这些特征，并建议给定保形结构，可以在平滑但否则的方式中以平滑但是任意的方式选择测量值，使得歧管的任何点处的度量（8）是常规的或未确定的这是指标

2 =λ（x（p））gij（x（p））dxidxj

同样有效。

但是，本身不确定结构不确定独特的对称线性连接; 它只确定同一等效连接K = [γ]的等效类，即，在并行传输期间保留共形结构C的连接。任何两个共形等同的对称线性连接之间的差异

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，γ

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∈[γ]给出

一世

-γ

一世

（δ

一世

θk+δ

一世

θj-gjkgirθr），

在哪里

θj（x（p））dxj

是一个任意的一个形式领域。

由于保形结构仅确定了相同的相同对称线性连接k = [γ]的等效类，因此在这种类型的几何形状中的仿射连接不是唯一地确定的，并且通常不明确地定义矢量的并行传输。此外，即使以路径依赖性方式也不确定位于不同点的两个载体的长度的比率。根据Weyl，它是无限几何形状的基本原理，即歧管M上的度量结构决定了M的独特仿射结构。如前所述，这一原理在黎曼的几何中满足度量标准确定a唯一的对称线性连接，即根据（9）的度量连接。显然，由于共形结构仅确定了一个共形结构的结构，不满足无限几何形状的这种基本原理，因为保形结构仅确定相同的对称连接的等同类。 Weyl表示，除了共形结构之外，还需要另外的结构，以便确定来自相同等效的对称线性连接的等效类k = [γ]的唯一对称线性连接。 Weyl表明，这种附加结构由长度连接或规格域Aj提供，管辖长度的一致性位移。 Weyl称为额外的结构在歧管上的“公制连接”; 然而，我们将使用术语“长度连接”，以避免与术语“公制连接”的现代使用混淆，这意味着根据（9）的riemannian度量张量唯一确定的对称线性连接。

Weyl的长度连接：

点P是与其无穷大的邻域连接的长度，如果且仅在P处的每个长度，则在每一个点q无限地接近p的每个点q时，在P到Q中的通信时，在p的长度产生的长度上升的长度。

如果它承认无穷大的长度流离失所的过程，则该定义仅说歧管是“长度连接”。对长度的一致流离失所概念施加的唯一条件如下：

长度流离失所：

关于P的邻域的测量值的选择，如果才有才能且仅存在用于PAUGE的ZH相对于哪个群体的仪表的选择，则长度LP的传输构成一致的位移。运输长度

q具有与此相同的值

p; 那是

p = d

p = 0。

Weyl在p的P. [48]处于P的Geodesic仪表处称为这样的仪表。[48] Weyl证明以下定理与定理A.3的证据紧密相似。

定理4.1：

如果在M的邻域U中的每个点P，则存在测量的选择，使得在一致位移到无限近点Q的全体位移下P的任意长度的变化