赫尔曼韦尔（三）

这可能是由于对他所要求的数学牺牲所要求的依赖于直觉主义的数学牺牲（例如，放弃最低上限的原理以及古典分析的其他重要结果）来证明是不可容忍的练习数学家。 证明了数学和自然科学哲学的这段经文：

与Brouwer的数学获得其最高的明确澄清。 他成功地以自然的方式发展分析的开始，一直保留与直觉的接触更加贴近之前。 然而，它不能被否认，在推进到更高，更一般的理论方面，古典逻辑简单定律的不适用最终会导致几乎无法忍受的尴尬。 而且数学家用痛苦的痛苦，他的高耸的大厦的大部分是他认为在眼睛前溶于混凝土块的建造。 （Weyl [1949]，54）

尽管如此，威尔很可能会令他信服的日子结束，尽管它的技术“尴尬”，最接近的所有数学方法，捕捉连续统一体的本质。

3.3 Weyl和Hilbert

Weyl在2020 - 21年在数学基础上的直觉角度的支持不可避免地导致他的旧导师希尔伯特摩擦。 希尔伯特的信念很长一点是，原则上没有限制对自然界充分科学的可能性，并且类似地，在数学的情况下，一旦出现问题，这是至少原则上，可溶。 1904年，他被搬到了埃米尔杜比斯 - 雷奥梅德的着名宣言，了解科学的极限，Ignoramus et Ignorabimus（“我们是无知的，我们将保持无知”）：

我们在我们内部听到永久电话。 有问题。 寻求解决方案。 你可以通过纯粹的原因找到它，因为在数学中，没有Ignorabimus。[24]

希尔伯特不利于对数学的任何限制“由法令”，他以莱奥多克克朗克（有影响力的19世纪德国数学家）的形式提出了他的职业生涯的早期阶段的障碍所有数学的尸体化超越有限的数学。 在Brouwer的直觉计划中 - 凭借其对数学论证所受理的武装限制，特别是其拒绝被排除的中间，“纯粹”存在证明，几乎整个Cantorian集理论 - 希尔伯特在数学上看到了克朗克克伦康的归来（也许，也许是一丝杜比斯 - 赛德的“Ignorabimus”），他已经挣扎了这么久。 那么，当Weyl加入Brouwerian阵营时，希尔伯特很难过。[25]

希尔伯特的回应是在数学的基础上为数学基础开展完全新的方法，最终目标是建立全球数学的一致性，包括算术，分析和卡斯特兰集理论。 随着该目标的实现，古典数学将被安全地放在直觉主义者的破坏范围之外。 希尔伯特计划的核心是古典数学示范的整个装置的翻译成一个简单的，有限的框架（他称之为“Metamathematics”），而不是原则上的符号的直接操纵符号纯粹的形式意义，缺乏进一步的意义。[26] 在Metamathematics本身内，甚至比直觉主义者所要求的竞争力的证明证据更严格的标准，一种精神主义的竞争对手（讽刺地）的形式。 然后通过展示在希尔伯特坚持的严格过度的证据的限制范围内实现了古典数学一致性的证明，该系统中经典证据的正式元素对应物永远不会导致断言显然是假的，如0 = 1。

希尔伯特的计划依赖于洞察力，Au喜欢，其可靠性完全超越问题的数学唯一的部分是有限的或具体的部分：特别是有限的操作，包括所呈现的数学符号的不同物体的可调查域的有限处理作为纸上的标记。 数学命题仅参考这个意义上的具体目的，称为真实，具体或内容的命题，以及他与理想或抽象性质的所有其他数学命题。 （例如，例如，2 + 2 = 4将计入真正的命题，而存在奇数完美的数字将被视为理想的数字。 正如这些不违反通常的笛卡尔飞机的“具体”几何形状的真相，所以他希望展示使用理想的命题 - 即使是卡托里亚集理论 - 也不会导致真正主张中的虚假，即，换句话说，这种用途永远不会与混凝土物体的任何不言而喻的事实矛盾。 由严格的混凝土建立这一目标，因此无法实现的手段是希尔伯特计划的核心目标。 可以看到希尔伯特遵循康德试图对施加时尚配置的逮捕地面数学; 但希尔伯特将这些配置限制在具体的迹象中（例如纸上的铭文）。 希尔伯特认为一致性作为存在的原因，因此对于他来说，重要的是，在具体迹象的领域中没有任何不一致性可能会出现不一致的事实，因为混凝土物体的正确描述总是相互兼容。 特别是，在具体迹象的领域内，实际的无限远不能产生不一致的，因为再次和康德一起举行，他认为这个概念不能对应任何具体对象。 希尔伯特的观点似乎是，数学问题的正式健全的声音最终，而不是来自逻辑来源，而是从一个具体的一个[27]，与真正报告的经验陈述的一致性相同，与具体的实证陈述的一致性相同外观[28]。

Weyl很快抓住了希尔伯特计划的意义，并提出了“巨大意义和范围”[29]。 当然，该计划是否可以成功开展，仍然是一个开放的问题。 但是，独立于这个问题Weyl对他所看到的内容丧失，因为希尔伯特彻底正式化了数学。 “毫无疑问，”Weyl警告说：“如果数学是仍然是一个严肃的文化关注，那么某种意义必须依附于希尔伯特的公式游戏。” Weyl认为这种意义只能通过“融合”数学和物理来提供，使“数学，功能等的数学概念”一般地参与现实的理论建设，以与能量概念相同的方式，引力，电子等。“[30]实际上，在Weyl的观点中，”这是数学是在自然科学的服务中“。 但仍然：

理论物理的命题......缺乏对数学命题的需求，即每个人都应该在自己自己的直观综合意义中携带它的特征。 相反，通过面对与经验的理论物理来测试的是整个系统的测试。 似乎我们必须区分现象知识或洞察力 - 例如在声明中表达：“这片叶子（在目前的感知行为给我）有这种绿色（在同样的感知中给予我）” - 理论建设。 知识提供真理，它的器官在最广泛的意义上是“看到”。 虽然受到错误，但它基本上是明确和不可改变的。 理论建设似乎仅限于一个严格可制性的理性原则，一致性，在数学中，在数学中，感觉数据的领域保持不变，降低到一致性; 它的器官是创造性的想象力。 （Weyl 1949,61-62）

Weyl指出，就像理论物理学一样，希尔伯特对数学的叙述“已经......超越了通过...理想的假设的直观别无心的状态。” （Weyl 1927,484.）如果Hilbert的内容或“真实”命题 - Metamathematics的领域 - 对应世界的那部分，直接可以通过Weyl术语“洞察力”或“现象知识”，然后“严肃的”数学 - 练习数学家的数学实际上从事与希尔伯特的“理想”命题的境界进行做法。 Weyl认为这个领域是“象征性建设”产生的域的对应，超越世界侧重于理论物理学。 因此他令人难忘的表征：

设定理论方法是天真现实主义的阶段，这是不知道从给予超越的过渡。 Brouwer代表了理想主义，通过要求将所有真相减少到直观地给出。 在[希尔伯特]的形式主义中，最终，意识使得试图“跳过自己的影子”，留下给定的东西，代表超越 - 但是，否则怎样？，只有通过符号。 （Weyl 1949,65-66）

在Weyl的眼中，希尔伯特的方法体现了“超越的象征意见，要求满足”，所以他认为其作为自然发展的出现。 但到1927年的Weyl看到希尔伯特的教义开始占用直觉主义，并且在这种情况下，“纯粹现象学的哲学态度的决定性失败，因此证明是对创造性的理解不足科学即使在认知领域，也是最原始的，最容易对证据数学开放。”纯粹的现象学无法核对理论物理，更不用说整个存在。 但是，他必须对数学的类似索赔一定是痛苦的。 1932年，他断言：“如果数学本身就是这样，人们应该将自己带到直觉可认识的真理......没有什么迫使我们走得更远。” 如果数学可能是“自身”，那么它就不需要通过诉诸“象征性建设”来证明其实践，以采用自己“象征”的符号，这些符号 - 至少可以访问它。 但是，与Brouwer不同，Weyl似乎终于来到了数学不能简单地“自行”的想法来实现，即它在世界上以其服务中的服务而言，它具有更大的作用，无论是纯粹的主观肯定的。

Gödel的不完整定理后来对希尔伯特计划的影响LED Weyl于1949年备注：[32]

数学的终极基础和最终意义仍然是一个公开的问题; 我们不知道它会发现它的解决方案，甚至可以预期最终的客观答案。 “数学”可能是男人的创造性活动，如音乐，它的产品不仅是形式，而且在物质上无视完整的客观合理化。 希尔伯特大胆企业的未透明结果不能影响哲学解释。 （Weyl 1949,219）

“哥德尔让我们毫不少的希望能够通过一致性证据来支持足够宽容的正式主义，这似乎已经支持了一致性的证据”似乎有LED Weyl在没有如此雄心勃勃的梦想之前对“希尔伯特之前的”公理系统中的“公理系统进行了重新兴趣”，例如Zermelo的集合理论，Russell的和Whitehead的分布式理论和希尔伯特自己的几何系统（也可能，作为DAS Kontinuum中的Weyl自己的系统，他谦虚地没有提及）。 在他的最后一篇论文中，在1953年之后的某个时候写的公理与建设性程序，在某个时候写的是希尔伯特形式和布鲁瓦里直觉，他参加了20世纪20年代的争斗，就像使某人一样“Dextrous混合”由Bourbaki和代数（Hilbert的数学后代）与几何和拓扑相关的建设程序相结合“的分析方法。

通过允许男人自己拥有最后一句话：

这个历史应该明确一件事：我们肯定比以往任何时候都达到（逻辑和）数学的终极基础; 像今天的每个人和世界上的一切都一样，我们有我们的“危机”。 我们有近五十年。 外表似乎妨碍了我们的日常工作，但我对我的数学生活产生了相当大的实际影响：它针对我认为相对“安全”的田地，我的热情和决心是一种不断的流失追求我的研究工作。 这些经验可能是由其他数学家分享，这些数学家并不对他们的科学努力在人类整个关怀和认识，遭受世界的知识，痛苦和创造性存在的情况下意味着什么。 （Weyl 1946,13）

4.对物理基础的贡献

4.1时空几何形状和Weyl的统一场理论

Weyl澄清了坐标，不变性或对称性原则的作用，他的衡量标准不变性的重要概念，他的群体理论结果，了解公制的毕达哥式形式的独特性，他的列维的概括CIVITA的平行概念，他的发展概念，他的几何形状，他发现了因果关系的因果惯性方法，这些方法以非圆形，非常规方式的虚拟确定空间度量，他对运动概念和作用的深刻分析马赫的原则，是他对现代时空理论的哲学和数学基础的重要贡献的一些例子。

Weyl的书籍Raum-Zeit-Materie，精美地举例说明了数学，物理和哲学的丰富和谐相互作用。 这里Weyl是一般的空间和时间问题的数学和哲学阐明。 在1923年的卓越古典工作的序言中，第五次德国版，在提到数学对他的作品的重要性之后，Weyl说：

尽管如此，这本书并不禁止其基本的，哲学定位：其中心重点是概念分析; 物理学提供了体验基础，数学是锋利的工具。 在这个新版本中，这种趋势得到了进一步加强; 虽然调整了猜测的增长，但支持的基础思想更直观，更仔细，更完全开发和分析。

4.1.1 Weyl的对称线性连接的公制式结构

RIEMANN从高斯在欧几里德空间中的弯曲表面处理延伸和摘要，构建了一条不含N维歧管的无限几何形状。 在这种n维里雅曼歧管中的点P的坐标分配XK（P）[k∈{1，...，n}]非常任意，仅受到任意差分坐标变换的要求。[33] Riemann的假设在一个点的无限社区，欧几里德几何和理想的毕达哥拉斯的定理持有，在黎曼方程中发现了它的正式表达

ds2 =

σ

我，j

gij（xk（p））dxidxj [哪里gij（xk（xk（xk（p））= gji（xk（p））]

对于从点p = x（p）=（x1（p），...，xn（p））引导的无限线元素的长度Ds，无限地近点p'= x（p'）=（x1（p）+ dx1（p），...，xn（p）+ dxn（p））。

假设欧几里德几何形状以无限小的表示，DXI（P）在任意坐标变换下线性变换。 使用爱因斯坦求和约定[34]，等式（1）可以简单地写为

ds2 = gij（xk（p））dxidxj。

Riemann仅在无限的小小的情况下承担了毕达哥拉斯度量的有效性。 里曼尼亚几何基本上是无限近点的几何形状，并符合要求所有法律作为实地法规的要求。 田间法是近距离的法律，该法则将场幅度与空间中的无限相邻点相关联。[35] 每个点处的某些场幅度的值仅取决于相应点的无限邻域中的其他字段幅度的值。 场幅度在某个点处由位置函数的部分衍生物组成，这需要了解该点的邻域的位置函数的行为[36]以构建田间法，只需要在无限较小的小型中的世界行为。[37]

黎曼的想法是在爱因斯坦一般的相对论理论中进行了五十年的具体实现。 一般的相对论理论的基本思想是爱因斯坦的认可，即公制场对物质具有如此强大的实际影响，不能是一个刚性的一次，并且对于空间的所有给定的几何结构，但本身必须是真实的，这不仅是对物质的影响，但轮流也受到物质的影响。 Riemann已经建议类似于电磁场，公制场与物质相互相互作用。 爱因斯坦在物质和领域之间独立于黎曼，以及他的一般相对论理论的背景下，将这种互惠原则应用于四维空间。 因此，爱因斯坦可以采用黎曼的无穷大的几何形状，重要差异：鉴于爱因斯坦的特殊关系理论的因果要求，黎曼的二次形式不是积极的明确但无限期; 它有签名1. [38] Weyl（1922a）说：

我们所有的考虑因素到现在都是基于假设，空间的度量结构是固定和给出的。 Riemann已经指出通过一般相对性实现的另一种可能性。 外部世界的广泛媒体的度量结构是物理现实领域，这导致依赖于物质状态。

在另一个地方weyl（1918b）备注：

度量不是世界上的属性[spacetime]本身，而是时尚，作为一种形式的外观是一种完全无形的四维连续体，在分析的情况下，但是度量表达了真实的东西，世界上存在的东西，施加在世界上存在的东西离心和引力力对物质的物理效应，并通过物质的分布和性质相反地调节其状态。

在爱因斯坦施加黎曼的几何形状到他的一般相对论之后，黎曼几何形状成为激烈研究的重点。 特别是，G. Ricci和T. Levi-Civita的所谓绝对差分微积分开发并阐明了仿射连接和协调性分化的riemananian概念。 然而，这种发展的决定性步骤是在1917年的无限平行矢量位移的概念中发现了Levi-Civita的发现，以及这种平行矢量位移由黎曼几何的公制场唯一确定。 Levi-Civita在歧管上的无限平行运输的构建需要将歧管嵌入扁平高维度量空间的过程。 1918年，Weyl广义Levi-Civita通过内在结构的平行传输的概念，不需要这种嵌入的过程，因此独立于度量。 Weyl的内在结构导致公制无关的对称线性连接。 Weyl简单地称为后者作为仿射连接。[39]

Weyl以下列方式定义了他的意思：歧管M上的点P与其即时邻域，如果且仅针对P处的每个切线向量VP，则确定正切向量VP的切线载体Vq产生Q.在P到无限相邻点Q的平行位移下。 如果它承认载体的无限并行位移的过程，则该定义仅说歧管束缚。

Weyl的下一个定义表征了无限平行位移的基本性质。 该定义表明，在歧管的任何任意点处存在一个测地坐标系，使得该点处的任何载体的组分未被相对于它的无限平行的位移改变。 这是表达爱因斯坦要求的几何方式，即引力场总是可以在本地消失。 根据Weyl（1923b，115），它表征了歧管上的仿射连接的性质。 在这个意义上是仿射歧管的歧管是均匀的。 此外，歧管不存在，其仿射结构具有不同的性质。

在P到无限附近的点Q处的切线向量Vp的传输导致正线载体VQ，即，

vq = vp + dvp。

如果且仅存在坐标系

¯

x

，称为P的邻域的测地坐标系，相对于传输的切线向量

¯

v

Q在Q处具有与原始切线矢量相同的组件

¯

v

p在p; 那是，

¯

v

一世

q

-

¯

v

一世

p

= d

¯

v

一世

p

= 0。

图形

图1：测地坐标系中的并行传输

¯

x

对于任意坐标系X组件DV

一世

p

每当v时消失

一世

p

或dx

一世

p

消失。 因此，DV

一世

p

在v中是双线性的

一世

p

和dx

一世

p

; 那是，

dv

一世

p

=-γ

一世

jk

（西安（p））v

一世

p

dx

k

p

，

其中，在四维的情况下，43 = 64系数γ

一世

jk

（xi（p））是坐标函数，即xi（p）的功能（i = 1，...，4），并介绍负符号同意约定。

图形

图2：任意坐标系x中的并行传输

重要的是要理解，在可分辨率的歧管上没有无限的平行位移没有内在概念。 “平行性”的概念不是歧管的东西仅仅是凭借流畅的流形; 必须介绍额外的结构，其驻留在歧管上，允许无穷无胆的并行性的概念。 如果除了其歧管结构（差分拓扑结构）之外，歧管是“仿射歧管”（M，γ）也赋予其分配给其每个点64系数γ的仿射结构γ

一世

jk

（XI（P））满足对称条件γ

一世

jk

（西安（p））=γ

一世

kj

（西安（p））。