赫尔曼韦尔（二）

3.在数学的基础和哲学中工作

在他对统一知识的地址结束时，在1954年哥伦比亚大学毕业的庆祝活动中举行，威尔枚举了他认为是知识的基本组成部分。 在他的列表之上[7]来了

...直觉，介意看到给予它的普通行为。 （Weyl 1954,629）

特别是Weyl举行了直觉或洞察的观点，而不是证明提供了数学知识的最终基础。 因此，他在1918年的Das Kontinuum说：

在Dedekind（1888）的序言中，我们读到了“在科学中，无论在没有证据的情况下都不得不相信。” 这句话肯定是大多数数学家认为的方式。 然而，这是一个荒谬的原则。 仿佛对地面的这种间接相互作用，虽然我们可能会唤醒它，但可以唤醒任何“信仰”，除了确保自己的立即洞察力，每个阶段都是正确的。 在所有情况下，这种确认过程 - 而不是证据 - 仍然是知识来自其权限的最终来源; 这是“真理的经验”。 （Weyl 1987,119）

Weyl的理想主义自然倾向于认为他自己的主题的最终基础，必须在直观地给予超越时发现。 尽管如此，他认识到需要所有数学知识都有不合理的，以具有直观的即时性。 例如，在DAS Kontinuum中，他说：

数学交易的州除了最简单的人之外，这很复杂，实际上是不可能让他们在意识中充分掌握，以这种方式完全掌握它们。 （同上，17）

尽管如此，Weyl认为这一事实是不可避免的，可能是不可避免的，无法使数学的界限扩展到拥抱概念，例如实际无限，即使原则上也不能完全充分给予直觉。 相反，他举行，即将数学进入超越的这种延伸只能受到数学在物理科学中发挥不可或缺的作用，其中直观的证据必须超越。 正如他在开放世界所说的那样[8]：

......如果数学是自身的，那么人们应该将Brouwer限制为直觉可认识的真理......没有什么迫使我们走得更远。 但在自然科学中，我们与一个不受直观的证据的球体接触; 这里认识必然变得符号结构。 因此，我们不需要再要求数学，当数学被进入物理学的理论结构过程时，应该可以将数学元素分开作为一个特殊领域，其中所有判断都直观地确定; 从这个较高的角度来看，使整个科学出现为一个单位，我认为希尔伯特是对的。 （Weyl 1932,82）。

在数学（1929）的一致性中，Weyl表征了数学方法

可能的优先考虑与实际给出的后验描述的反对。[9]

在这个意义上识别构建“可能”的限制的问题占据了大量的大量。 他特别关注数学无限的概念，他认为在天真的落实理论上的“建筑”中阐明了[10]。 再次引用Das Kontinuum的一段段落：

除了指示集合元素的特征之外，没有人可以描述一个无限的设置...... 一套是“聚会”的概念通过无限的许多单独的选择，组装然后作为整体调查的，随着意识调查，是荒谬的; “无论是脱离的”对无限的至关重要。 （Weyl 1987,23）

但仍然，作为威斯的威力证明了开放世界的尽头，“完全的需求和现实的形而上学信仰不可避免地强迫思想，以象征建设所封闭的是闭环”。 完整的无限的概念，即使是荒谬的，也是不可避免的。

3.1 das kontinuum

威尔的另一个数学“可能”是大量思想的是连续体。 在1918年至1921年期间，他举行了提供数学连续体 - 实数线的问题 - 具有逻辑声音配方。 Weyl对数学连续体的设定理论建设的原则越来越批判。 他坚持认为整个设法的方法涉及恶毒的圆圈[11]，如同他所说，“每种强大的生物体（所以说话）的每个细胞（所以要说的）被矛盾渗透。” 在DAS kontinuum中，他试图通过使用谓词制定的分析来克服这一点 - 因为罗素和怀特在逻辑分布类型的层次阶层通过了russell和White的分析，Weyl似乎被认为是过度复杂的将理解原则限制在初始给定实体（数字）上绑定变量范围的公式范围内容。 因此，他通过三个基本逻辑运算限制了分析，以借助于三个基本的逻辑操作，以及替换的操作和“迭代”，即原始递归的过程。 Weyl认识到这种限制的效果是使许多古典分析的中央结果呈现不可推动 - 例如，Dirichlet的原则，任何有界的实数量具有最小的上限[12] - 但他准备作为价格的一部分接受这一目标必须支付数学的安全性。

由于Weyl看到它，直观地给予连续（例如空间，时间和运动）之间存在差距，并“离散”的数学精确概念（例如，自然数[13]）。 这种鸿沟的存在意味着数学连续体的构建无法简单地从直觉中“读出”。 在Weyl的观点中，在Weyl的观点中，必须将数学连续体视为超越境界的一个元素，因此，最后以与物理理论相同的方式证明。 数学理论是一致的，这还不够; 它也必须是合理的。

DAS Kontinuum体现了Weyl的尝试，制定了满足第一个，尽可能达到这些要求的连续体的理论。 在此工作的以下段落中，他承认这项任务的难度：

......数学的概念世界是如此外国，直观的连续性给我们对我们来说，这两者之间的巧合需求必须被视为荒谬。 （Weyl 1987,108）

......通过直觉（在时间和运动的流程中立即给出我们的连续性尚未按照其内容的一部分以确切的方式概念化的本部分作为离散的“阶段”的总体上。 （同上，24）[14]

确切的时间或空间点不是持续时间或延伸的最终原子元素，或者在经验中给予我们。 相反，只有原因，它彻底渗透到经验上给出的东西，能够掌握这些确切的想法。 只有属于纯粹正式领域的实数的算法的分析概念，这些想法将这些想法结晶为全面的明确性。 （同上，94）

当我们的经验变成了一个现实世界的真实过程，我们的现象时间已经展开了这个世界并假设宇宙维度，我们不满意通过实际数量的确切概念取代连续体，尽管有必要和不可否认的不精确性由给出的东西产生。 （同上，93）

随着这些报价表明，Weyl已经接受，原则上是不可能提供具有精确数学制定的直接的连续统一体：所以，不愿意，他降低了他的景点。 在DAS Kontinuum中，他的目标是，首先是通过将实际数量的算术概念放在坚实的逻辑基础上来建立连续性数学理论的一致性。 一旦实现了这一点，他就会继续表明，通过将其作为目标物理世界中连续过程的合理账户的基础是合理的，这一理论是合理的。[15]

DAS Kontinuum Weyl§6呈现出直观和数学持续的关系的结论。 他提出了这个问题：他已经竖立的数学框架是提供了足够的物理或时间连续性的代表，因为它实际上有经验？ 在构成这个问题时，我们可以看到Husserl和现象学学说的持续影响。 Weyl通过注意到，根据他的理论，如果一个人询问给定函数是连续的，则答案不是固定一次，而是依赖于已经定义的实际数字域的范围，而不是固定的。 因此，功能的连续性必须始终保持临时; 现在可以始终存在的可能性现在可能是“新”实数的出现，结果在未来是不连续的。 [16]

为了揭示基于实数的连续性的正式账户之间的差异以及直观给出的连续体的性质，Weyl接下来考虑了在整个时间间隔之前看到躺在桌子上的铅笔的经验。 在此间隔期间的铅笔的位置可以作为时间的函数来拍摄，并且Weyl将其作为观察到的事实，即在问题中的时间间隔期间，该功能是连续的，并且其值在明确范围内下降。 所以，他说，

这种观察赋予我在某个时期内断言这支铅笔在桌子上; 即使我这样做的权利不是绝对的，也是合理和良好的。 显然是假设这一权利可能会受到“我们定义原则的扩展” - 如果新的时刻，我的直觉被忽视的新时刻可以添加到这个间隔中，铅笔可能的时刻可能会在其中天狼星或谁知道在哪里。 如果时间连续体可以由“范围内的”实数“的变量表示，则似乎可以确定，从而勉强或广泛地我们必须了解概念”实数“，并且不得委托对定义原则的逻辑审议决定。等等。 （Weyl 1987,88）

为了推动点回家，Weyl将注意力集中在立即给予现象时间的基本连续体，即他的特征，

......对于我的意识经历的不断形式，凭借其中，他们似乎逐渐流动了。 （通过“经验”我的意思是我的经历，就像我体验它一样。我并不意味着在一个明确的心理 - 躯体个人中出现的真正的精神甚至物理过程，属于一个现实世界，也许是对应于直接经历。）（同上，88）

为了将数学概念与这种感觉中的现象时间相关联，威尔助记了刚性标点“现在”和识别和表现出所得到的时间点的可能性。 在这些时间点的集合上定义了比时间间隔平等的一致性的关系，简单的数学时间的基本组成部分。 现在Weyl观察到，如果可以将符合以下条件的条件，现象时间与实际数量概念之间的差异将消失：

直接表达直观发现，在一定时期，我看到铅笔躺在那里的铅笔以这样的方式被解释为使短语“在某个时期”中的短语“在一定时间跨越在一定时间跨越OE内的每个时间点”。 [Weyl继续在这里说谎，他承认“这不再再繁殖直觉存在，但如果它真的合法地将一段时间溶解在时间点，则必须让它通过。”）

如果p是时间点，那么如果只有在比p比p的时间点l所属，则所属的有理数的域

ol = l.oe

可以根据我们的定义原则在纯粹的数字理论中算法地构建，因此是我们感觉的实际数字。 （同上，89）

条件2意味着，如果我们将时间跨度OE作为单位，则每个时间点P与明确的实数相关。 在一个附录中，Weyl也规定了交谈。

但是时间直觉本身可以为这两个条件的真理或虚假提供证据吗？ Weyl认为没有。 事实上，他完全明确地说明了这一点

......我们所要求的一切都是明显的废话：对于这些问题，时间的直觉不提供答案 - 就像一个人没有回复关于他错误的问题，因此，在向他发表的情况下是未理解的问题。 （同上，90）

这种断言的理由绝不会明显明显，但是一个人从段落中收集到博览会上，威尔致敬的持续的现象时间流动，这是构成一个难以置力的障碍，以代表个人所经历的持续存在的全民企业要点，甚至到“个人时间点”本身的表征。 他说，

由点组成的流量，因此，也溶解分别误解了：正是露出我们是连续性的性质，从点到点流动; 换句话说，持续持久的礼物的秘诀在于如何持续地溜走到后退的过去。 我们每个人都在每一刻，直接体验这种时间连续性的真实性质。 但是，由于神法时间的真正原始，我们不能将经验放入文字中。 因此，我们将满足以下描述。 我意识到的是对我来说是一个现在，并且在其本质上，有些东西，它的时间位置滑落。 通过这种方式，仍然存在持续的事实程度，有史以来持续的东西，持续和意识变化。 （同上，91-92）

Weyl总结了他认为“客观呈现的时间”-BY，他可能是指“以客观方式以客观方式描述的现象时间” - 在以下两个断言中，他声称适用于每次直观地适用于每次直观尤其是连续性的不断的空间延伸。 （同上，92）：

其中一个单独的点是非独立的，即，当自身拍摄时，纯粹的虚无，只存在于“过渡点”（当然，这当然不能在数学上被大学理解）;

它是由于时间的本质（而不是我们媒体中的缺失缺陷），不能以任何方式展示固定的时间点，总是只有近似，从未确切的确定是可能的。

真正的连续体“不能展出”的事实是出现的，Weyl Ssserts来自他们不是真正的个体，因此不能以他们的财产为特征。 在物理世界中，他们从未绝对定义，而只在坐标系方面，这在逮捕隐喻方面，威尔尤基描述为“根除自我的不可避免的残留” 这种隐喻，Weyl是雇用不止一次的雇用[17]，再次反映了现象学学说在他的思想中的持续影响：这里，现有的本文是作为意识的内容。

3.2 Weyl和Brouwerian直觉

到1919年，Weyl已经来拥抱Brouwer对直观连续体的看法。 鉴于总是动画的Weyl思想的理想主义，这并不奇怪，因为Brouwer分配了思维主题在创造数学世界中的核心位置[18]。

在他早期的思维中，Brouwer认为，连续体是一个整体的直觉，并且无法建造一个个人的一点。 但后来他从根本上改变了“点”的概念，赋予了足够的流动性的点，使它们能够作为“真实”连续体的发电机。 这种流动性是通过承认“点”来实现的，不仅是完全定义的离散数，例如1/9，e等 - 所以已经达到了“是” - 但是在条目中的“成为”的永久状态下也是“数字”在小数（或二元）扩展中是通过在整个无限延长时间内运营的主题的自由行为的结果。 不能构思生成的选择序列，完成对象：在任何时刻只知道初始段。 因此，Brouwer以与他的信仰相兼容的方式获得了数学连续体 - 作为一个未完成的，这是一个未完成的，实际上是一个永恒的生长状态，一个“自由发展媒介”。 在Brouwer的愿景中，数学连续体确实是“建造的”，而不是最初破碎的，因为Cantor和Dedekind，一个直觉的连续体进入孤立的点，而是通过从不断变化的复杂组装来组装它重叠的部分。

BRORWER在Weyl 1921纸上的影响良好的影响，关于新的数学基础危机。 这里Weyl识别了连续性的两个不同观点：“原子”或“离散”; 和“连续”。 在第一个中，连续体由单独的实数组成，这些数量是明确的，并且可以急剧区分。 Weyl描述了他早期的尝试在这种意义上作为原子制造的Das Kontinuum重建分析：

关于实数的存在性问题如果我们在这种基本确定和划定的方式中分析实际数量的概念，则只会变得有意义。 通过这种概念限制，各个点的集合是说话，从连续体的流体浆料中挑出。 连续uum被分解为隔离元件，并且其彼此的流入其部分被这些元素之间的某些概念关系取代，基于“较大较小”的关系。 这就是为什么我谈到连续统一体的原子概念。 （Weyl 1921,91）

到这时，Weyl已经透断了连续体的原子理论，包括Das kontinuum。[19] 虽然直观的考虑因素与Brouwer的影响力一起，但肯定必须推动Weyl的对这些理论的拒绝，它也有逻辑的基础。 对于Weyl来说，对于DAS Kontinuum的缺乏正式的程序 - 否定了有关构思的实际数字或作为理性组织的普遍和存在的陈述。 这使得破坏其理论已经竖立的整体基础，同时认为这类陈述的“被排除的中间”的制定是不可能的。 因此，Weyl发现自己超出了比较强烈的位置，而不是布鲁瓦尔的位置，对量化陈述的否定具有完全明确的建设性意义，在其中排除中间的法律是不可分割的。

存在的陈述Weyl说：

存在的陈述 - 例如，“有一个偶数” - 而不是正确的意义上的判断，这是一种事态; 存在的事态是逻辑学家的空发明。 （Weyl [1921]，97）

Weyl称为这样的假期“判断摘要”，将它们与典型的文学风潮相喜欢“一张宣布存在宝藏的纸张，而不泄露其位置。” 普遍陈述虽然具有比存在性的更大的物质，但仍然只按照判断的暗示，“判断指令”，韦斯提供以下隐喻描述：

如果知识与果实的果实相比，那么对水果的消耗来实现这一知识，那么将与填充水果的硬壳进行普遍陈述。 但是，显然，有些价值，而不是本身的壳，而且只为其果实的含量。 只要我不打开它，就没有用对我来说并实际上吃水果并吃它。 （同上，98）

以上和超出逻辑的索赔，Weyl欢迎Brouwer通过自由行为产生的序列建造连续体，因此将其识别为“自由变为”，“不溶解成一组实体的实数”。 Weyl觉得Brouwer通过他的直觉主义学说[21]，比其他任何人都越来越多地弥合直观和数学连续性之间的“不可逾越的鸿沟”。 特别是，他发现引人注目的是，布鲁瓦野连续体不是两个不可拍的零件的结合 - 这是一个字，不可分离。 “真正的连续统一体”，“Weyl说，”不能分为单独的碎片。“[22]在后来的出版物中，他通过引用Anaxagoras来表达这种更加多种多样的效果，即连续uum”用斧头砍掉它的零件。“

Weyl还同意布鲁瓦尔，所有在连续体上定义的所有功能都是连续的，但这里的某些微妙的差异出现了。 Weyl认为数学家被认为是不连续的功能实际上包括在分离的连续核查中定义的几个连续功能组成。 例如，在Weyl的视图中，由f（x）= 0定义的x <0和f（x）= 1定义的“不连续”函数实际上由两个函数分别在分离的连续{x：x <0上定义的恒定值和图1组成。和{x：x≥0}。 （这两个连续之后的联盟未成为整个真正的连续体，因为中间的法律失败：不是这种情况，因为任何真实的x，x <0或x≥0。）brouwer，另一方面，没有驳回了可能在连续性的适当部分地定义不连续功能的可能性，似乎仍然一直在寻找制定这个想法的适当方式。[23] 特别是，当时，Brouwer可能已经倾向于将上述功能F视为在真正连续体的适当部分上定义的真正不连续的功能。 对于Weyl来说，它似乎是一种不言而喻的事实，即连续体上定义的所有功能都是连续的，但这是因为Weyl局限于根据定义持续持续的函数。 Brouwer的函数概念比Weyl的概念更少，而且它绝不会立即明显，这种功能必须始终是连续的。

Weyl定义了真实功能作为映射，作为在选择序列中确定每个间隔的映射，以确定序列中的间隔在选择序列中确定值“间隔的间隔”，该想法是对函数的输入的近似应该有效地引导到输入的相应近似。 这些功能通过定义是连续的。 相比之下，Brouwer认为真实的功能作为与选择序列相关的选择序列，并且这些连续性绝不是明显的。 拒绝授予（免费）选择序列的事实 - 其身份绝不是预定的 - 足够的个性，以承认他们作为函数的论据令人兴奋地承诺作为“自由变得越来越”的“自由之媒”。或许是更深的而不是brouwer。

因此，Weyl和Brouwer对连续体的账户之间只有微小的差异，因此Weyl因此抛弃了他早期的分析重建，并加入了Brouwer。 他解释说：

我试图在分析状态解散的即将说明的情况下找到坚实的地面（虽然仍然只承认少数人）而没有纯粹诚实地履行其基本原则的命令，但仍然只承认。 而且我相信我成功 - 就这是可能的。 因为这个命令本身就是站不住脚的，因为我现在已经相信自己，而且是革命！......这对旧争端导致了旧争端的结论，这将是一个很好的原子概念可以通过。 相反，后者胜利胜过前者。 我们欠谁是连续内问题的新解决方案是令人满意的。 历史在伽利略的临时解决方案中再次被摧毁，以及差分和整体微积分的创始人。 （Weyl 1921,98-99）

Weyl对直觉主义的初步热情似乎似乎已经过了。