大型基团和决定性（二）

例如，Hydra定理和Kruskal定理实际上非常令人惊讶和反向直观。 这些绝对是根据更明显的陈述要求证明的陈述。

我们将通过更明显的关系组织每个可解释性程度的陈述，而我们将谈论所订购的所有陈述的收集，如“明智令”。

有关此订购需要几句小心谨慎。 首先，说X比Y更明显，我们不打算X（或Y）是不言而喻的。 为了强调这一点，我们经常使用表达式“x在y处于avidentness命令之前”。 其次，即使在X在神经顺序（在给定的可解释程度内）中最小的情况下，我们避免说X是不言而喻的; 实际上，如果学位足够高，那么这将不是这种情况。 第三，明显的顺序应理解为概念复杂性的顺序。 第四，我们并不是说每两个陈述x和y都是可比的，即在明示顺序中。 实际上，有些案件有关如何按照此订单进行比较两个陈述的情况。 但是，我们只能雇用广泛协议的概念。

此外，人们可能会提出持怀疑态度的令人疑惑的担忧。 例如，可能的判断表单“x在y处于y中的y”中真的只是对我们数学训练的反映。 消除这种问题和测试概念的最佳方法是检查示例。 比较，例如，Hydra定理的陈述以及ε0对原始递归关系的良好命令良好命令的陈述（ε0是令人息的陈述的弱（半建设性）形式）。 如果您将相关的数学家或Payperson描述了不熟悉的人，那么您会发现以下内容：赫拉克勒斯将不会赢得湿度。 事实上，如果您将该人指导到其中一个计算机程序（在线提供）模拟HYDRA，您会发现它们会惊讶于Hydra的生长程度，如果您向他们保证，如果他们保持播放，那么少年的时间比在物质上有原子宇宙（目前估计） - 潮汐最终会转动，他们将获得收益并最终将水加上的下降到大小，你会发现他们会惊讶地看着你。 这是一种需要证明的东西。 现在，如果你向他们描述了这个顺序，一直到ε0并且你描述了一个顺序顺序的概念并询问他们是否熟悉，你会发现答案完全依靠它们是否已经掌握了问题的对象。 得出的结论是，ε0是良好成立的，没有一些其他陈述的证据更明显。 相反，一个直接与所涉及的概念一起工作。 声明，因为它依赖于潜在的概念的合法性，并且通过抓住这些概念来接受它。 在这里，降压在寻求理由的过程中停止。 这就是我们说的说法“ε0是众所序有良好的”的说明顺序（Hydra定理程度）最小。

在给定的可解释性程度[6]中寻求原理的原理，我们寻求尽可能低的原理。 最终，人们想找到在明示顺序中最小的公理。 但问题仍然存在：（1）我们可以放心找出安全的最小点吗？ 关切的是，随着一个爬上可解释程度，最小点的安全将削弱到可怜地留下了很少安全的程度。 要查看此考虑形式“α是众所序有序”的陈述，其中α是可解释程度的证明性序数。 爬上一度的程度通过ε0，γ0和θωΩ。 这几乎没有划伤了表面，然而已经存在的相应陈述变得不太明显。 这导致了第二个问题。 （2）在证明顺序（给定的可解释程度的情况下）最小的点是最重要的，最重要的是可以希望或还有其他，更细微的累积证据的方式，这些方法也可能进一步支撑的方式，即使是神秘顺序中的最小点（给出的可解释程度）？

1.4.2内在与外在理由

讨论了哥特尔已经对这些问题的讨论，即他对其经典论文中的内在和外在理由的讨论（Gödel（1947），扩展为哥德尔（1964年））。

在引入内在理由的概念中，Gödel作为一个超出ZFC的范围的某些大型基本公理的示例：

[ZFC]设定理论的原理，绝不是一个系统自身关闭，但相反，相反，它们是基于它们所在的集合的概念表明他们的新公理的延伸，这使得仍然存在仍然进一步迭代“套装”（260）。

作为示例，他提到了主张断言不可接受的红衣主教和Mahlo红衣主教的存在：

这些公理显然显示，目前所使用的设定理论的公理系统不仅是不完整的，而且还可以通过新的公理来补充它，其仅展开如上所述所解释的集合概念的内容。 （260-261，我的重点）

由于哥德尔稍后指的是具有“内在必要性”的公理，因此我们将在根据集合的迭代概念的基础上谈论本质上证明的公理。

外汇理由的概念如下：

[e]忽视了一些新公理的内在必要性，甚至在其内在的内在必要性，也可以通过研究其“成功”来互动的可能性。 （261）

以下是“成功”哥德尔意味着“在后果的成果，特别是”可核实的“后果”。 在他写的着名段落中：

可能存在可验证后果的公理结构，在整个领域的阳光下脱落，并产生这种强大的方法，以解决问题（甚至可能是建设性地解决它们）的方法，无论它们是否是本质上的，他们都会有至少与任何既定的物理理论一样接受。 （261）

让我们现在考虑一些例子。 首先考虑基于PEANO算术（PA）理论的自然数的概念。 这种自然数的概念不仅仅是对PA语言的数学诱导证明，也是有意义的PA语言的任何数学延伸。[7] 例如，如果我们通过添加Tarski真理谓词来扩展PA的语言，并且我们通过添加Tarski真实性公理，因此在自然数量的概念的基础上延长PA的公理，我们是在接受数学归纳的情况下的合理性涉及真理谓词。 在由此产生的理论中，可以证明（PA）。 然后可以迭代此过程（此主题有更多关于该主题，参见其中的电气人（1991）和其中的引用）相反，π0

1

- 典型符（ZFC +“有ω-许多Woodin Cardinals”）（我们在下面返回的陈述）无疑没有根据自然数的概念本质上证明; 相反，它的正当化从当代设定理论中的复杂定理网络流出，正如我们在下面争论的那样。

考虑下一个迭代概念。 与算术的情况一样，这种概念（可以说）本质上证明了替代和理解的情况，以对集合理论语言的某些扩展。 但是，（可以在本概念的基础上本身证明的是更丰富的原则，即设定的理论反射原理。 这些原则宣称（粗略），任何持有一些初始段vα的财产的财产。 这些原则产生无法进入和Mahlo红衣主教（和更多），并且很可能在上述段落中遵守哥伦布的索赔。 有些人认为，这种反思原则是根据迭代概念的基础上的，而且，他们已经废止了可以在该概念上本质上证明的原则（例如，Tait（2001），重印（2005b），pp。283-284）。

有一个视图，根据哪个本质上证明的公理是神秘顺序中的最小点，而且，这是一个人能够希望的最多。 在这样的观点上，如果一个授予上述设定理论原则的基础上的迭代概念本质上是合理的，那么虽然一个人将具有远远超过劣化主义甚至ZFC的公理，但仍然存在局限性据推测，这种观点的支持者将拥抱其余的多元化。 例如，如果作为Tait（2001）所说，内在的理由被限制在泰尔（2005A）中调查的反思原则的层次，然后通过Koellner（2009A）的结果，这种观点将不得不接受关于pu的多元化。

外在理由为我们提供了保护具有更大达到的公理的希望。 因为他们为我们提供了一种额外的方法来保护公理，证明非常丰富。 在这方面，可以希望在明示秩序中能够大得多，可以希望获得掌握证据，以便一个提出与在明示订购中的其他陈述中的关系。 让我们在非常广泛的画笔描写中，这可能会有效。 首先，让我们说，如果它是“低”的“明确的”，如果它是“低”的“低”，但可以被其他证据推翻的那种东西。[8] Garner支持一个主张的一种方法是表明它导致内在的合理的后果。 如果一个人表明，它是唯一具有这些内在合理的后果的唯一声明，然后通过排除可能的不兼容的竞争对手来加强这种情况。 如果有人表明，还有其他本质上似乎似乎的陈述，实际上暗示了问题所暗示的公理，然后通过将附加到另一个陈述的内在合理性的程度绘制来加强这种情况。

在这张照片上，新公理的案例的一般结构是：首先，对于每个可解释程度，一个分离了一个分离了“明示顺序”中的最小点，一个人在一个陈述中组织的整个程度，比另一个陈述更明显。 爬上可解释性程度，最小点通常变得不太明显，因此寻求额外的支持。 其次，然后，一个人在可解释程度中的陈述中检查互连，特别是在证明顺序中低的陈述中。 希望是一系列深度数学定理将揭示结构联系，为陈述提供越来越多的证据支持。 如果这是这种情况，那么攀登可解释性等级的最小点的证据的损失将被揭示到数学富裕域名的结构联系中的增益来补偿。

在这个阶段，所有这些都是摘要。 现在是时候转向发现这种结构连接的具体数学案例。 当然，这个问题是，数学是否会对新公理进行令人信服的外在案例。 在这个级别的多元化问题 - 我们预期ZFC并试图解决二阶算术的选择问题 - 将依赖于案件的性质。

进一步阅读：进一步讨论数学的公理性质和数学的理由，参见帕森斯（2008）和Maddy（2011）。

2.经典描述集理论

描述性集合是研究可定数套装结构的结构性。 在本节中，我们将（1）提供简要的历史概览，（2）介绍描述性集合理论的基本概念（解释我们的“可定定集”和“结构性”），（3）描述了中央经典结果，（4）讨论了局限性结果最终解释了为什么经典描述性集合在尝试概括其结果时遇到困难。

2.1历史概述

专注于可定义的真实集中的一个原因是，它通常更容易获得可定义的真实集中的洞察，而不是任意的真实套装，并且有希望这种洞察力将在后者上脱光。 例如，在主题的最早结果之一中，陈列森和树德森表明，每个封闭的组都是可数或具有连续体的大小; 换句话说，封闭的集合满足CH。

主题的主要原因在20世纪初，在法国分析师博尔，拜雷和勒贝尤的工作中。 主题通过俄罗斯数学家卢先生的工作增长了一个独立的纪律（在巴黎的学生那里学到了学生），并由他的学生开发，最典型的苏琳。 这一描述性集合理论的结束是由日本MathematicianKongô的主要定理标志，1937年。经过近40年的发展，进展突然停止了。 对此的解释是由哥特尔和科恩（1938年和1963年）的独立结果提供的。 由于，使用此机器，表明，早期描述集理学家试图回答的开放性问题无法在数学，ZFC的标准公理的基础上解决。 这证明了早期描述落实理论家的聪明才智，他们将他们的主题发展到未可偏见性的边缘。

因此，Gödel和Cohen的独立性结果表明，如果其中一个人进一步开发了描述性集合理论，那么必须调用其他公理。 有两种主要方法，每个方法都导致了描述性集合理论的重生。 第一种方法是调用可定义的确定性的公理。 Mycielski和Steinhaus于1962年引入了确定性（AD）的公理，并迅速被认为是产生经典描述理论的结果的概括。 不幸的是，广告矛盾是AC，因此它从未真正提出作为新的公理。 然而，Solovay和Takeuti指出，存在自然这样的亚偶偶联，即L（ℝ），其中广告可以在全宇宙中的假设AC保持持续。 这导致了在20世纪70年代和20世纪80年代接受密集调查的可定定数决定性的公理层次。 这一时期的主要来源是MoSchovakis（1980）和1977-1985期间的Cabal研讨会的体积。 第二种方法是调用大型基本公理。 这种方法是由Solovay于1965年启动的。最后，在20世纪60年代后期的Solovay推测，大型基本公理实际上意味着可定义的确定性的公理。 如果是，这将为统一两种方法开辟道路。 这希望在马丁，钢铁和伍德的工作中实现了1984年的。

进一步阅读：有关经典描述性集合理论的更多信息，请参阅Kanamori（1995）。

2.2基本概念

2.2.1可定性的层次结构

在描述性集合理论中，使用“逻辑学家的真实”，即拜尔斯空间：ωΩ，方便。 这是所有无限的自然数序列的集合（具有产品拓扑（以离散的离散）为单位）。[9] 在下面的情况下，当我们写'ℝ'时，我们将始终意味着'ωΩ'。

我们对一套真实的真实群体感兴趣，这些实际是“可定义”或“从下面的简单操作建立的” 我们将讨论明确的三个中央区域 - 博尔斯的实际套装，项目的实际集合，以及L（ℝ）的实际集合。

通过从ωΩ（或（ωΩ）k的闭合子集开始，在可数联盟和可数交叉点的操作下结束，通过从ωΩ（或（ωΩ）k）开始和关闭的闭合子集来获得真实的真实型（或k形元组）。 这可以按照以下级别描述级别：设k＜Ω。 在基础级别，让σ̰0

1

由（ωΩ）k的开放子集组成，让π̰0组成

1

由（ωΩ）k的闭合子集组成。 对于每个序数α，使得0＜α0＜ω1，递归定义σ0

α

由某些π̰0中出现的可数工会的集合组成

β

，对于β＜α，并限定π̰0

α

由某些Σ∞0中出现的集合交叉点的集合组成

β

，对于β1。 （k元组）真实的BOREL集是出现在此层次结构中的集合。[10] 1905年，Lebesgue雇用了Cantor对对角化技术的概念，以表明Borel集的层次结构是一个适当的层次结构（即，新的集合在每个级别出现。

通过从（ωΩ）k的闭合子集开始并迭代互补和投影的操作来获得项目的实物的投影集（或实际的k元组）。 对于⊆（ωΩ）k，A的补码是简单的（ωΩ）k - a。对于⊆（ωΩ）k + 1，投影是

p [a] = {⟨x1，...，xk⟩（ωΩ）k | ⟨x1，...，xk，y⟩∈a}。

（想想k + 1 = 3的情况遵循：在基础上，让σ̰1

0

由（ωΩ）k的开放子集组成，让π̰1

0

由（ωΩ）k的闭合子集组成。 对于每个n，使得0＜n＜ω，递归定义π̰1

n

包括在σ̰1中的补果组成

n

，并定义σ̰1

n + 1

由π̰1中的设置的投影组成

n

。 （k元组）实体的投影集是出现在此层次结构中的集合。 此层次结构也是一个合适的层次结构，可以使用通用集合和对角化。

还可以介绍ΔΣ1是有用的

n

设置。 一组（k元组）实际是δ̰1

n

iff它都是σ̰1

n

和π̰1

n

。 1917年，苏琳表明Borel套装正是δ̰1

1

设置。 因此，投影层次结构扩展了BoRel层次结构。

将上述层次结构视为可定义的层次结构似乎是奇数。 然而，随着符号所示，上述层次结构可以在可定定性方面重新循环。 例如，投影集正是在二阶算术中可定义（具有参数）的集合。 在符号中σ̰1

n

，上标表示我们允许量化在二阶的对象（即，整数集（或等效，实数）），'σ'表示启动量化是存在的，下标表示有量词有n交替。，“〜”表示我们正在允许真实参数。 在禁止真实参数的情况下，相应的调节器表示为σ1

n

，π1

n

和Δ1

n

。 前层次结构（允许实际参数）称为粗体层次结构，而后者（禁止真实参数）称为Lightface层次结构。 以类似的方式可以定义Borel层次结构的亮度版本。[11] 因此，我们真的有两个可定义的层次结构：Lightface层次结构和粗体层次结构。

投影层次结构可以扩展到TransFinite，如下所示：对于SET X，让DEF（x）由x从x中的参数可定义的x的子集组成。这是可定义的Powerset操作。 层次结构L（ℝ）是从ℝ开始的结果，并迭代沿顺序的可定义的Powerset操作; 更确切地说，我们让L0（ℝ）=Vω+ 1，Lα+ 1（ℝ）= def（lα（ℝ）），lλ（ℝ）=⋃α＜λlα（ℝ）用于限制序数λ，最后，

L（ℝ）=⋃α∈on（ℝ）。

我们对该层次结构中出现的真实型（K-T元组）感兴趣，即α1的p（（ωΩ）k）∩lα（ℝ）。 请注意，在投影集的定义中，互补对应于否定和投影对应于实数的存在量化。 因此，（k元组）实体的投影集正准确p（（ωΩ）k）∩l1（ℝ）。 因此，设置P（（ωΩ）k）∩lα（ℝ）（对于α∈上）的层次结构确实产生了投影集的经菲尼斯延伸。

通过考虑最明确的概念，人们可以超越上述真实组的层次结构。 我们将对这些阶段几乎不这么说，除了请注意，易于对智能面和粗体层次结构存在自然限制，即可定义从序数参数（OD）和可定义的可定义和实数（OD（ℝ））。 为了看出，序列定义的概念是Lightface层次结构的限制情况首先，可以超越任何不可定义的可定定性的任何概念，可以超越可定义的所有序列（可以通过考虑所述最小序列，这是根据不定义的最小序列概念），第二，序号可定性的概念不能如此超越（因为通过反射OD是序命令）。 （类似的考虑适用于粗体层次结构。）因此，Gödel提出了“绝对”可明确的“绝对”概念的候选人的序言的概念。 作为Lightface和粗体层次结构的限制情况，我们因此具有od的实际实际集合，并且分别是OD（ℝ）的真实集。

2.2.2规则性

有许多属性由“表现良好”的真实集共享。 这些称为规则性。 我们将专注于三个最中心规律性 - 完美的套装属性，贝尔堡的财产和勒贝因可测量性。

一组真实是完美的iff，它是非空的，关闭，没有孤立的点。 为我们目的的关键特征是，如果一组真实包含一个完美的子集，那么它必须具有与连续体相同的大小（即，实际）。 据说一组真实的实体具有完美的Set属性IFF，它是可数或包含一个完美的子集。 这个财产的利益是，具有完美套装属性的真实集合满足CH。 在早期工作中，陈列森和树林森建立（1883年），所有封闭式套装都有完美的套装。 因此，连续假设没有关闭的反逆示例。 后来，在1903年，年轻人展示了π̰0

2

套装有完美的套装属性。 一个核心问题是这个属性传播的速度。 所有的Borel套装都有完美的套装吗？ 所有的项目套装都有完美的套装吗？