大型基团和决定性（一）

1960年集合理论的发展导致了一个独立的时代，其中许多中央问题被证明是在ZFC的标准系统的基础上尚未解决。 从分析（“所有投影仪Lebesgue衡量的Lebesgue衡量的区域），这是真实的，因为Cantor的连续假设（Ch）持有？”），组合学（“苏林的假设举行）？”），团体理论（“有一个Whitehead Group？”）。

这些发展产生了两个相互矛盾的立场。 第一个位置 - 我们将呼叫多元化 - 维持独立性结果在很大程度上破坏了集合理论作为客观企业的企业。 在这个观点上，尽管有一个实际的原因，人们可以在另一个方面给予一组公理说明，但它对于给定的任务来说更有用 - 没有理论上的原因可以给出; 而且，这要么意味着或者是事实 - 取决于视图的变体，特别是它在原因之前，还是相反地，在这个级别没有客观的数学领域。 第二个位置 - 我们应呼叫非多元化 - 保持独立性结果仅表明我们标准资源的缺乏，以证明数学陈述。 在这种观点上，根据视图的变体，可以给出新的公理和 - 这意味着，理论上的原因可以暗示，或者是在这个级别存在目标数学领域的事实的结果。

新公理的理论原因是非多元化的给予的理论原因是普遍存在数学中的理论原因，部分原因，部分原因，部分是因为已经进入独立领域，需要一种更加微妙的理由形式，依赖于更多严重对复杂的数学机械。 多元化和非多元主义之间的争议是一个在哲学和数学交叉口一方面，它与数学哲学的一些中央问题密切相关，例如现实主义的问题和理由的性质; 另一方面，它以一种对大量复杂数学敏感的方式解决了这些问题。

多元主义和非多元主义之间的辩论是辩论的等级。 在一个极端，关于所有数学的多元化，另一个极端关于所有数学都有非多元化。 中间位置（哪些更常见）涉及对某些域的非多元化，同时倡导关于其他域的多元化（例如，说完整Powerset的概念进入图片的那些。 幸运的是，在实践中出现的数学系统可以在罗宾逊的算术Q等弱系统中排列在雄厚的弱系统中，通过PEANO算术PA，二阶算术的子系统，设定理论的子系统，以及大型基本公理的层次结构。 因此，可以在良好的层次结构中布置混合非多元/多个位置和相应的辩论，其中一个人包含越来越多的非多元化。 非多元倾向的人的挑战是使非多元化进一步延伸并进一步进入高等学的情况。 对多元倾向的人的挑战是以原则的方式绘制线条，并使得非多元化的论证不会在该线上的数学领域取得成功。

以逐步的方式探讨寻找新的公理和多元化问题，寻求第一次解决某些低级问题并在该级别的非复数的情况下寻求第一个公理，然后对更大复杂性的问题和问题进行案例更高水平的多元化。 目前的条目侧重于在古典描述性集合的设置中进行了此辩论。 此选择有三个原因。 首先，流行的视图包含一阶算法的非复数，但拒绝寻找全新的算术和设定理论的新公理，并在这些层次上拥抱多元化。[1] 描述性集合理论的问题在这方面很重要，因为它们中的许多是二阶算法的陈述，它们与标准公理，ZFC无关。 因此，它代表了多元和非复数之间的辩论中的关键时刻。 其次，这里，关于新公理的影响的数学景观在很大程度上是稳定的，我们现在拥有解决多元化和非多元的问题之间的问题所需的资源。 （对于第三和高阶算术问题而言，此事仍然可以进一步等待数学发展。该主题在进入“连续假设”中对待。最后，该级别的新公理的情况涉及所谓的“外在理由”。（我们将描述的东西），而且，提供了最强烈的当前示例的这种理由。

以下是本入口的概述：第1节通过简要讨论可解释性等级，不完整性现象和公理性质，提供进一步的哲学动机，并锐化多元化问题。 第2节描述了古典描述性集合理论的中央概念以及关于持续开放的问题的独立性结果，并最终在标准公理ZFC的基础上毫无可辨别。 第3节描述了可定义决定性和大型基本公理的新公理 - 公理的两个主要方法 - 并探讨了这些公理对古典描述集理论的未定问题的影响。 第4节对两种方法之间的亲密关系进行了处理，并概述了用于可定义的确定性和大型基本公理的公理的案件。 第5条根据上述数学发展，重新审视多元主义和非多元人之间的辩论。

1.哲学动机

1.1解释性层次结构

1.2独立现象

1.3多元主义的问题

1.4公理的性质

2.经典描述集理论

2.1历史概述

2.2基本概念

2.3古典结果

2.4限制结果

3.确定性和大型红衣主教

3.1确定

3.2大型红线拳

4.可定义的确定性的情况

4.1基本概念

4.2结构理论

4.3大型红衣主教

4.4通用绝对性

4.5重叠共识

4.6超越L（ℝ）

4.7摘要

5.哲学讨论

参考书目

学术工具

其他互联网资源

相关条目

1.哲学动机

锐化多元主义问题的一种方法涉及对可解释性等级的吸引力。 在本节中，我们将（1）介绍可解释性层次结构，（2）简要讨论不完整性现象，（3）锐化多元化问题，（4）通过简要讨论公理性质，提出涉及所涉及的哲学问题和数学的理由性质。

1.1解释性层次结构

假设T1和T2是递归令人享受的Axiom系统。 我们说T1在T2（T1≤T2）中可以解释（T1≤T2），粗略地说，从T1的语言到T2的语言存在翻译τ，使得对于T1语言的每个句子φ，如果T1⊢φ则t2⊢（φ）。 当T1≤T2和T2 t1时，我们将写入T1＜T2，并且当T1≤T2和T2≤T1都时，我们将写入T1≡。 在后一种情况下，据说T1和T2是相互解释的。 与T相互解释的所有本质的等价类被称为T的可解释程度。可解释性层次结构是在关系≤下订购的所有理论的集合。

当它限于我们将考虑的理论类型时，存在有用的关系≤≤≤当时的理论。 要描述这一点，我们需要更多的概念。 理论t是反身，但它证明了每个有限碎片的一致性，它是σ0

1

-C1，条件证明了每个真正σ0

1

- 它是σ0

1

-Sound提供它不证明错误Σ0

1

-statement。 让't1⊆π0

1

T2'对于所有π0的陈述是速记

1

- T1中可提供的义章在T2中可提供。 解释性的以下表征是可解释性理论的核心：如果T1是反身和σ0

1

- 那么

T1≤T2IFF T1⊆π0

1

t2的。

这个结果是由于OREY和Hájek（有关详情，请参阅第6页的定理6.1103的Lindström（2003）和事实为3.2 visser（1998））。 从这个结果和第二个不完整定理所遵循的是，对于任何理论T遇到这两个条件，理论t + con（t）严格强于t，即T＜t + con（t）。 此外，它从算术完整性定理中遵循T +¬CON（t）在t中可以解释，因此，t∈T+¬con（参见Feferman 1960）。

事实证明，可解释性顺序非常复杂。 例如，通过使用元素编码技术的用途，可以示出任何两个理论T1和T2，使得T1＜T2存在第三理论T，使得T1＜T＜T2。 对于任何理论T，可以证明存在T1和T2的理论T1和T2，使得T1＞T和T2＞T且既不是T1≤T2也不是T2≤T1（即，T1和T2高于T并且在可解释性顺序中是无与伦比的）。 因此，既不熟悉解释程度的顺序也不是线性排序。

然而，当一个人限制“本质上的出现”的理论时（即，那种正式的系统，即一个正式的系统，在数学文本中遇到的那种与上述类型的示例相反，这是由逻辑学者具有所讨论的偏差属性的元素地制造的。可解释性排序非常简单：没有下降链，没有无与伦比的元素。 换句话说，它是一个良好的顺序。 这是非常显着的：如果从完全不同的域中采取任何两个“自然理论”，那么从分析和来自组合学的分析中，一般来说，另一个是从另一个中解释一个，并且通过可解释性沿着良好的路径来解释。层次结构。

通过可解释性层次结构的这种良好的成立路径通过它具有规范序列，这使得一个能够以原则的方式爬上层次结构。 在底座上，一个具有非常弱的理论Q，并且通过增加“关闭原理”来向上攀升。 这首先从主题开始，即某些快速增长的功能 - 指数，超级指数等 - 总计，它通过集合存在原则向上进行，通过二阶算法，集合理论的子系统，以及集合理论的子系统大型基本公理的层次。

关于多元化问题特别令人兴趣的是沿着富裕的序列的那些点，这些点对应于数学性质的某些局限性概念，例如由Q的程度（罗宾逊算术），这对应于阐述的严格的精神度纳尔逊），由PRA标记的程度（原始递归算术，其对应于通过Teation阐述的意义上的精神度），并且由ATR0标记的程度（算术转留率递归，这对应于Quicicativivis在由Feferman阐述的意义上）。 在每种情况下，一个人在层次结构中的某个点绘制线，维持下面的非多个和上面的多个。

进一步阅读：对于更详细的解释性层次结构，查看条目“独立性和大型红星名”。 甚至详细介绍Lindström（2003）和visser（1998）。

1.2独立现象

我们上面注意到，第二个不完整性定理为我们提供了声明，即Con（t）的情况，导致可解释性等级的跳跃，而其否定没有。 这种现象也存在自然的例子 - 例如，大型基本公理。 当语句φ以这种方式独立于理论t时 - 这是因为T＜T +φ-我们将指代垂直独立性所涉及的独立性。 因此，第二个不完整性定理证明了Con（PA）垂直独立于PA（当然，当然，PA是一致的）并且大型基本公理“存在强烈不可接受的红衣主教”是垂直独立于ZFC（假设这一点ZFC +“有一个强烈难以接近的红衣主教”是一致的）。

与垂直独立性相反，当句子φ独立于理论t时，存在类型的独立性是因为

T∈T+φ和t∈T+¬φ。

这种句子φ是关于T的orey句子。我们将把这种独立称为水平独立。 使用元素映射技术可以构建这种句子。 但是，与垂直独立的情况一样，也存在自然的非元度示例 - 例如，PU（投影集具有均匀化财产的声明，我们将在下面讨论的财产）是一种（原理图）二阶算术，这是一个orey句子尊重ZFC，CH是三阶算术的陈述，这是关于ZFC的orey句子。

1.3多元主义的问题

与这些作品到位，我们现在可以开始锐化多元化的问题。

作为第一步，我们将限制我们注意以共同语言制定的理论，我们的选择语言将是集理论的语言。 限制对共同语言的原因是否则将存在仅仅是彼此的符号的理论。 专注于集合理论语言的原因是，它是一种普遍的语言，即任何数学系统都与在集合理论的语言中配制的理论相互解释; 例如，PA与ZFC-Infinity相互解释。 因此，我们将抛开多元化的问题，因为它可能在更加形而上的环境中产生的，其中一个人认为自然数是“真的”设置的问题，或者是否有两个对象 - 自然数和集合理论的有限阶段的不同域。 我们的重点是对复数的问题，因为它为应对独立现象而产生的，并且在本次讨论中的发挥问题在上述形而上学问题上的不同立场中不变。 关于我们的问题，在确定PA的新公理的问题中，没有对集合理论的语言的限制没有损失，因为对PA转换（通过数字理论的自然解释）进入寻找新公理的问题，而相反地。 尽管如此，在以下，我们将在很大程度上不用于方便和熟悉，继续谈论以其他语言制定的理论 - 例如Q和PA - 但读者应该始终了解我们以集合理论的语言严格地谈论相应的理论。

多元化的问题是最普遍的制定的问题是通过对解释性等级的正确路径的问题，或者是否必须从理论原因和数学的观点来看，必须与众多相互不相容的理论相同的合法承认真相。 真的必须解决两个问题。 首先是解释性等级延伸的差异的问题，即，这是一种非琐碎的，因为它们内的理论是一致的。 这是一致性（或非琐事）的问题。 第二是关于给定（非琐碎）的可解释性的问题是有理论上的原因，可以在另一个理论上给出一个理论原因。 这是选择的问题。 如果一个人设法解决两个问题 - 确定非琐碎程度的程度并定位通过它们的正确路径 - 那么一个人会完全解决数学真理问题。 然而，有两个重要的事情要强调这一点。 首先，由于定理不完整，任何这样的解决方案都必须是关于第一部分（垂直独立性）的“示意图”。 其次，即使ZFC的程度也是一个非常困难的解决方案的解决方案是非常困难的，因为它涉及解决了在这个级别已经出现的CH和多个其他独立陈述。

由于第二个问题的难度，通过在他们的复杂性方面通过分类陈述将其分成自己的层次结构是有用的。 我们将在下一节更详细地讨论声明复杂性的层次结构。 但是，目前就是这样说（粗略地说）一个人从二阶算术（根据他们的复杂性分层分层）开始，然后一个动作到三阶算术（根据他们的复杂性分层），等等。 因此，首先尝试解决二阶算法的级别的选择的选择，然后一个移动到三阶算法的语句的选择问题，等等。 多元化的问题，我们将要解决的属性位于层次结构中，如下所示：对ZFC进行了非持怀疑态度的立场，并寻求解决了解决二阶算法水平的选择的公理和稍微超出。[2]

让我们现在给出各种多元/非多元职位的一些例子。 在一个极端，存在激进的多元化，认为，可解释性等级中的所有非琐碎理论都是一个标准的，并且没有理论上的原因可以在另一个理论上给予任何理论。 这种形式的多元态是难以清晰的，因为例如假设Q是一致的理论Q +¬CON（Q）是一致的。 但很难看出，由于它包含一个原则 - 即，¬CON（Q） - 那么与多元员所采用的背景假设争论该理论是一个合法的背景假设，这很难成为合法候选者。候选人。 出于这个原因，大多数人都是关于某些域名的非复数，但仍然是别人的多元主义。

我们提到的局限性意见，我们提到了严格严格的精神度，精神学和劣化主义 - 是这种混合观点的例子。 例如，严格的精神派（在一个构建）接受Q和与Q相互解释的某些理论，从而采用该领域的非多元化。 此外，严格的精神讨论这些理论将使客观数学领域排出，并采用剩余的多元姿态。[3] 以类似的方式，优化主义和替代主义为我们提供混合的非多元/多个位置的例子。

由于它授予自然数量的框架，但拒绝大部分算法，劣化主义对我们的目的进行了特别令人感兴趣的令人兴趣，而且事实上，大多数二阶算法。 QuidaTivist是关于一阶算术的非多元化，并认为有关在一阶算法语言中制定的每个陈述的目的事实。 并且替代主义者接受多大的二阶算术和设定理论，可以在诸如ATR0（artiteMinite递归）的理论中模拟。 但卓越主义者仍然是一个关于上述内容的多元主义。 替代主义者通常会授予有用在采用设定理论的公理系统中有实用性，但是将保持真理问题在这种水平上不会出现，因为集合没有单一的潜在概念。 例如，卓越主义者将认为PA和PA +¬CON（PA）之间存在客观选择，但并不认为PA2 + PU和PA2 +¬PU（这里的PA2是（示意图）二阶算术）之间存在客观选择ZFC和ZFC +“没有强烈无法访问的红衣主教”。 在替代主义者认为，关于二阶算法的集合理论中的独立性导致独立性导致关于二阶算法的理由是关于ZFC和PA2的多元化的原因，我们将在下面呈现的非多元案例直接与替代主义者直接接合。 但是，我们应该强调，对于本次讨论，我们将推定ZFC，因此我们将与之从事的非多元/多元化的最直接品牌，这是一个对ZFC的非多元阶级，而是对PU等陈述的多元姿态在ZFC的基础上正式毫无名义。 这是一个相当普遍的观点（例如，Shelah（2003））。

进一步阅读：有关严格的精神动派，请参阅纳尔逊（1986年）; 对于更多的精神学，看泰特（1981）; 有关更多关于替代主义，请参阅Feferman（1964,2005）。

1.4公理的性质

上述复数问题的表征使得它明确认为它与有关数学的理由性质的问题密切相关。 数学中最传统的理由形式涉及通过从公理证明它来证明声明。 然后提出这个问题：公理的理由的源是什么？

激进的多元家认为，没有任何证明公理; 相反，他们只是假设一个给定的目的而假设一个人。 这个观点面临上面提出的困难。 大多数人将维持该公理具有特权状态，并且此状态不仅仅是假设。

1.4.1明确顺序

一个流行的观点是，公理是关于他们的域的不言而喻的真理。 难以难以置疑的是，数学的基础上存在广泛的分歧，以及哪些陈述是不言而喻的，如果我们将自己限制在所有数学家将视为不言而喻的陈述中，那么结果将相当有限，也许与q或稍微略微相吻。[4] 马尔可夫对“直观清楚”的相关概念进行了类似的抱怨：

我绝不会同意“直觉清除”作为数学中真理的标准，因为这个标准意味着主观主义的完全胜利，并将导致对科学的理解作为一种社会活动的形式。 （马尔可夫（1962））

由于这些原因，我们不会雇用自我证据的概念。

然而，我们将采用的相关概念，即一个陈述的概念比另一个陈述更明显。 与自我证据的情况相比，一般达成广泛的一致性（在我们关心的情况下）关于更明显的问题而不是什么。

为了说明这，最好给出一些例子。 考虑以下等价性：

在基础理论EFA（指数函数算术）上，有限的Ramsey定理相当于超引爆性的总体（见Friedman（2011），§0.5）。[5]

在基础理论RCA0（递归理解公理）中，希尔伯特基础定理等同于ωΩ是众多订购的声明（见弗里德曼（2011），§0.6d）。

在基础理论ACA'（artithematem理解公理公理（为所有真实的有限跳跃）），Goodstein的定理和Hydra定理各自相当于σ0

1

PA（见弗里德曼（2011），§§0.8b，0.8e）。

在基础理论RCA0，Kruskal的树定理等同于θωΩ是众多订购的语句（请参阅Friedman（2011），§0.9b）。

在基础理论上，异国情调的案例（布尔关系理论）相当于Σ0

1

- Smah（ZFC具有强烈N-Mahlo Cardinals的ZFC）（见弗里德曼（2011），§0.14C）。

在上述每个案件中，第二个陈述比第一个陈述更为明显，并且对此事实普遍同意。 例如，希尔伯特基础定理远非立即。 我们列出了从更明显的事情中证明的事情是一种。 相比之下，ωω的陈述是充分创建的，这是通过反映所涉及的概念而变得清晰的东西。 我们列出了从更明显的东西被证明是一种不可思议的事情。 这就是人们背后的事实，即希尔伯特基础定理被称为定理，而不是公理。 随着爬上其他实例，不对称变得更加戏剧性。