大型基团和决定性（三）

一组真实无处可归处的IFF它在限制下关闭它不包含开放式套件。 一组真实是微薄的IFF，它是无处茂密的套装的可数联盟。 最后，一组真实的A具有贝雷尔IFF的属性，在有一个开放的设置o，使得O和A不重叠的区域（即对称差异（O-A）∪（A-O））是微薄的。 展示所有Borel套都有贝尔德的财产很简单。 所有的投影套都有Baire的财产吗？

Lebesgue测量性的性质熟悉分析，在这里我们将更简单。 首先，一个人介绍了一套实际概率。 一组真实是空IFF它有零尺寸。 一组真实的A是lebesgue可测量的影响，IFF在有意义的情况下是“几乎硼尔”，使得B和A不重叠的区域是空的。 通过调查Banach和Tarski的定理，可能会尽可能最好地提出这一概念。 Banach和Tarski表明，可以将单位球体切成有限的碎片，并将这些件（仅使用翻译和旋转）换档，使它们一起回到两倍尺寸的球体中。 这需要一个关键应用的首选。 即时不能测量这些部分。 问题是“必须多么复杂，这件作品是什么？” 这增加了这个问题“lebesgue是可衡量的？” 很明显，Borel套是Lebesgue可测量的。 Projective Sets Lebesgue是否可衡量？

在所有三种情况下，使用首选的公理表明有没有规律性的一组真实性。 问题是，所有可定义的真实集是否具有这些属性。

2.2.3结构性

有许多结构特性与实际集合 - 均匀化物业，分离性质，预调整性质，基础属性，鳞片，苏林红衣主教，均匀表示的存在等。我们将专注于一个这样的财产 - 均匀化物业。

让A和B是平面（ωΩ）2的子集。 A均匀化B IFF A≠B和所有x∈ωΩ，存在⟨x，y⟩存在唯一的y，使得⟨x，y⟩。换句话说，a为b的选择功能。使用aci清楚地，每个集合B都有一个均匀化设置A.但是，当均匀的限制时，均匀化是否存在的问题是有趣的。 让γ是真实集合（k元组）的集合。 这样的类被称为点。 点击点γ具有均匀化特性（UNIF（γ））IFF在γ中的平面的每个子集都承认也是γ中的均匀化。

2.3古典结果

在20世纪初，法国和俄罗斯分析师在建立可定定的情况下有许多进展，以上具有上述规律性和结构性。 我们应将我们的讨论限制在加强成就：

定理2.1（Luzin，Suslin 1917）。

假设ZFC。 σ̰1

1

套装具有完美的套装属性，拜尔斯的属性，是Lebesgue可衡量的。

请注意，Baire和Lebesgue测量性的属性具有特征，如果它们持有A然后持有A的补品，则完美的Set属性没有此功能。 它仍然打开了所有π̰1

1

设置具有完美的设置属性以及是否全部σ̰1

2

套装有贝尔德的财产，是lebesgue可衡量的。

定理2.2（Kondô1937）。

假设ZFC。 然后unif（σ̰1

2

）持有。

它仍然打开π̰1中的所有真实集

2

，σ̰1

3

等等具有均匀化性质。

2.4限制结果

事实证明，难以将上述结果扩展到更高的色调，因此在1925年的卢辛表示，“一个永远不会知道”的所有投影仪是否具有规律性。

我们现在知道困难的原因 - 早期分析师在ZFC工作，上述问题不能仅仅在ZFC的基础上解决。 它证明了早期分析师的权力，他们获得了在其背景假设范围内的最强烈的结果。

上述陈述的独立性从内模范理论的双重技术（由1938年的哥德尔发明了）和外模范理论（由1963年的Cohen发明）。

上半场由哥德尔和阿迪生建立：

定理2.3（Gödel）。

假设ZFC + v = L.然后有σ̰1

2

套件没有拜尔的财产，而不是lebesgue可衡量的并且有π̰1

1

设置没有完美的套装属性。

定理2.4（Addison 1959）。

假设ZFC + V = L.然后对于所有N≥2，UNIF（σ̰1

n

）。

因此（假设ZFC一致），ZFC不能证明这一σ̰1

2

套装有贝尔德的财产，是Lebesgue可衡量的，即π̰1

1

套装具有完美的集合属性，而且UNIF（σ̰1

n

）N≥2失败。它仍然打开ZFC可以建立否定。

下半场由Martin，Solovay和Levy建立：

定理2.5（Solovay 1965）。

假设ZFC并存在强烈难以接近的红衣主教。 然后有一个强制扩展，其中所有投影集都有完美的集合属性，贝尔德的属性，并且是lebesgue可衡量的。

完美的套装需要强烈不可接受的红衣主教（即使是π̰1

1

套装（Solovay））和Lebesgue测量性（Shelah），但不适用于Baire（Shelah）的财产。 然而，Martin和Solovay于1970年显示，如果ZFC一致，那么ZFC以及所有σ1的陈述

2

套装有贝尔德的财产，是lebesgue可衡量的。

定理2.6（Levy 1965）。

假设ZFC。 然后有一个迫使unif（π̰1

2

）失败。

事实上，征收指出，科恩引入的原始模型中是这种情况。

将所有东西放在一起我们有以下几个：（1）如果ZFC是一致的，则ZFC无法确定是否全部σ̰1

2

套装有贝尔德的财产，是lebesgue可衡量的。 （2）如果ZFC +“有强烈无法访问的红衣主教”是一致的，那么ZFC无法确定是否全部π̰1

1

套装有完美的套装属性。 （3）如果ZFC是一致的，则ZFC不能确定均匀化物质的模式; 更确切地说，它与ZFC一致，均匀化属性具有模式

这是一个2行乘5列，第一行是4个Sigmas，每个都有下面的波浪和1到1的上标的，分别是1到4的下标。第二行具有4个PI符号，每个下面有一个下面的波浪和1个且分别为1个下标为1到4.第五列在顶行上设置了“...”。 PI 1,1被圈出并链接到Sigma 1,2，其也圈出，依次环绕每个连续的Sigma - 全部盘旋。

图1：v = L下的均匀化。

或模式

这是一个2行乘5列，第一行是4个Sigmas，每个都有下面的波浪和1到1的上标的，分别是1到4的下标。第二行具有4个PI符号，每个下面有一个下面的波浪和1个且分别为1个下标为1到4.第五列有“...”在两行之间设置中间。 PI 1,1被圈出并链接到Sigma 1,2，其也圈出。

图2：COHEN模型中的均匀化。

进一步阅读：有关经典描述性集合理论的更多信息，请参阅Kanamori（1995）。 有关古典描述性集合理论的更多信息，请参阅Kanamori（2003），Kechris（1995）和Moschovakis（1980）的第12和13节。

3.确定性和大型红衣主教

上述局限性结果表明，ZFC缺乏足够的力量来解决有关简单可定义的真实集的许多问题 - 它无法确定是否σ̰1

2

设置具有规则性属性，无法确定超出σ̰1的均匀化属性的模式

2

。 这将数学家放在一个有趣的困境中。 为了解决这些问题，他们必须扩展其超越ZFC之外的资源。 但是有很多方法可以这样做，并且目前尚不清楚是否有正确的扩张方向。

在20世纪70年代和20世纪80年代，有两名新公理的主要候选人：可定义的决定性和大型基本公理的公理。 在本节中，我们将（1）介绍决定性的基本机制，并描述了可定义的确定性定义对经典描述集理论的可定义的影响和（2）描述了大型基本公理对经典描述集理论的影响，并简要触及了古典描述性集合理论的影响两种方法之间的连接。

3.1确定

对于一组真实的真实，请考虑两个玩家轮流播放自然数字的游戏：

我x（0）x（2）x（4）...

二x（1）x（3）...

在这场比赛的一轮结束时，两名球员将产生一个真正的X，通过“交织”获得他们的戏剧。 我们说，如果x∈a，我会赢得圆的球员; 否则玩家II赢得了这一轮。 据说该组A可以确定如果其中一个玩家在相关游戏中具有“赢得策略”，即确保玩家在其他玩家如何播放的情况下赢得一轮的策略。 确定性（AD）的公理是确定每组实际情况的声明。 该公理由1962年由Mycielski和Steinhaus引入。

看到非常简单的集合是直接的。 例如，如果a是所有真实的集合，那么我有一个赢得策略; 如果a是空的，那么明确的II有一个获胜战略; 如果a是可数的，那么II有一个获胜策略（通过“对角化”）。 这可能会导致人们期望确定所有实体集。 然而，使用首选公理（AC）构建非确定集（通过列出所有获胜策略和“对角度”），这很简单。 因此，广告从未被视为新公理的严重候选人。 然而，存在与AC的一致的有趣类，即可定义的确定性的公理。 这些公理通过断言，确定在给定的复杂程度的所有基团的所有基团都是确定的，值得注意的例子是δ̰1

1

- 确定（确定所有Borel集合），PD（确定了所有投射的实体集合）和ADL（ℝ）（确定L（ℝ）中的所有Reals）。

一个问题是这些是否真的是新的公理或者是否遵循ZFC。 主题的最早结果之一（由于1953年的大风和斯图尔特）是（在ZFC中）所有π̰0

1

（即，关闭）游戏确定。 该结果延伸到Borel层次结构的未来几个级别。 最后，1974年，马丁证明了δ̰1的标志性结果

1

- 在ZFC中可提供etminacy。 事实证明，该结果接近最佳 - 随着δ̰1之后短暂爬上可定定的层次结构

1

一个到达差别ZFC出处的公理。 例如，这是π̰1的真实

1

-determinacy，pd和adl（ℝ）。 因此，我们在这里有一个合理的层次结构（包括Pd和Adl（ℝ）），这是新公理的真正候选者。

对于（k元组）的实体集的点γ，让det（γ）是确定γ中所有Real集合的语句。 在下文中，我们将假设γ具有一定的最小闭合性能; 更确切地说，我们将假设γ是MoSchovakis（1980）感的足够的点。 这种概念的精确细节对于我们的目的并不重要; 足以说迄今为止引入的所有刻度都是足够的。

定理3.1（Banach，Mazur，oxtoxy 1957）。

假设ZFC + DET（γ）。 然后在γ中的真实集具有拜尔德的财产。

定理3.2（Mycielski-Swierczkowski 1964）。

假设ZFC + DET（γ）。 然后在γ中的真实集是lebesgue可测量的。

定理3.3（戴维斯1964）。

假设ZFC + DET（γ）。 然后γ中的集合具有完美的集合属性。

特别地，如果一个假设PD，那么所有的项目集都具有规律性属性，如果一个假设ADL（ℝ），则L（ℝ）中的所有Real集合都具有规则性属性。

事实上，通过修改上述证据，可以获得更大的点类的规律性，即∃ℝγ。 这是通过在γ中的投影来获得的点。 因此，例如，如果γ是ΔΣ1

1

然后∃ℝγ是σ̰1

1

。 它遵循假设δ̰1

1

-determinacy（在ZFC中提供的）一个人得到了σ̰1

1

真实套装具有规律性属性（请参阅6.g的Moschovakis（1980）中的练习）。 在这个意义上，确定性在于规律性属性的核心，并且可以被视为他们的真实来源。

上述结果表明可定义的确定性的公理扩展了可以在ZFC中证明的规律性的结果。 ZFC可以建立所有σ̰1

1

一组实际具有规律性属性和ΔΣ1

1

- 确定（ZFC的定理）位于这一结果的核心。 δ̰1的延伸

1

- 更强的可定义确定形式（PD，ADL（ℝ）等）通过将规则性属性扩展到相应的角度（L（ℝ）等）来概括这些结果

以类似的方式，可定定的确定性的公理延长了均匀化性质的结果。

定理3.4（Moschovakis 1971）。

假设ZFC + DET（δ̰1

2n

）。 然后unif（πə1

2n + 1

）和Unif（σ̰1

2n + 2

）。

因此，在PD下，均匀化属性具有以下模式：

这是一个2行乘5列，第一行是4个Sigmas，每个都有下面的波浪和1的上标的，分别是1到4的下标，第五个元素是'...'。 第二行具有4个PI符号，每个符号下面有一个下面的波浪和1到1的上标，分别为1到4，第五列具有'...'。 PI 1,1被圈出并链接到Sigma 1,2，其圈环并与PI 1,3连接，其与Sigma 1,4盘旋并连接到“...”

图3：PD下的均匀化。

这种模式以更强的确定形式的确定性较高。 例如，在ADL（ℝ）下，在L（ℝ）内的投影集的整个Transfinite延伸中的模式恢复。 对于L（ℝ）的全部有：

定理3.5（马丁钢1983）。

假设ZFC + ADL（ℝ）。 然后在l（ℝ），σ̰2

1

有统一化财产。

（这里是σ̰2

1

被定义为σ̰1的（逻辑版本）

1

除了现在初始量码依赖于真实集而不只是真实（如上标表）。）

此外，均匀化属性不是孤立的情况。 相同的模式适用于其他属性，例如预制属性和刻度属性。

3.2大型红线拳

新的公理的第二种方法 - 使用可定定的确定 - 是与使用可定义的确定 - 的方法平行 - 是调用大型基本公理。 事实上，它逐渐被展示（因为Solovay在20世纪60年代后期猜想），大型基本公理实际上意味着可定义的确定形式。

强调大型基本公理的重要性为简单可定义的实际结构结构理论的重要性是索诺维尔的早期结果：

定理3.6（Solovay 1965）。

假设ZFC并且有一个可测量的红衣主教。 然后是所有σ11

2

一套实际拥有完美的套装属性，拜尔斯的财产，是Lebesgue可衡量的。

鉴于π̰1

1

-determinacy意味着σ̰1的规律性属性

2

真实的套装（在定理3.1-3.3之后看到讨论），怀疑一个可测量的红衣主教实际上隐含了π̰1是合理的

1

-determinacy。 这是由马丁建立的：

定理3.7（Martin 1970）。

假设ZFC并且有一个可测量的红衣主教。 然后π̰1

1

- 持有。

由于可定定的决定性躺在结构理论的核心，因此大部分能量都集中于试图表明它跟随大型基本公理。 下一个重大进展是在1978年进行的。

定理3.8（Martin 1978）。

假设ZFC，并且存在非平凡的基本嵌入J：Vλ+ 1→Vλ+ 1。 然后π̰1

2

- 持有。

（马丁实际上使用了一些较弱的假设，但它有点技术，它不会在这里陈述它。）

1979年初，伍德拓展了这一点，表明PD从更强大的大型基本假设遵循。 要描述这一点，让我们介绍一些术语：假设J：Vλ+ 1→Vλ+ 1是非琐碎的基本嵌入。 让κ0（j）是j的临界点，并且对于每个n，LetκN+ 1（j）= j（κλ（j））。 让κW（j）= {sup} n＜ωκn（j）。 （请注意，J（κΩ（j））=κΩ（j）。）一系列嵌入式J0，...，Jn是一个n倍的强度，如果存在一个λ，则为嵌入序列

对于每个i≤n，

ji：vλ+ 1→vλ+ 1

是一个非琐碎的基本嵌入和

每个我＜n，

κΩ（ji）＜κΩ（ji + 1）。

定理3.9（伍德林1979）。

假设ZF。 对于每个n＜ω，如果有n倍强度等级排名嵌入序列，则π̰1

n + 2

- 持有。

因此，PD从假设中遵循，对于每个n，存在n倍的强度依次缩小嵌入序列。

关于这些大型主流假设的有趣的是，对于N＞0，它们与AC不一致（通过KUNEN的结果）。 此外，现在有理由相信，它们是彻头彻尾的不一致（在ZF中）（参见WOODIN（2011））。 如果事实证明，这将是相当有趣的，因为它将是一个来自不一致的一个导出结构理论而不意识到不一致的情况。

幸运的是，1983年12月，伍德林都加强了结论，并将大型基本假设减少到不知道与AC不一致：

定理3.10（伍德林1984）。

假设ZFC，并且存在非平凡的基本嵌入J：L（Vλ+ 1）→L（Vλ+ 1），临界点小于λ。 然后ADL（ℝ）持有。

事实上，伍德林比ADL（ℝ）得到了更可定义的决定性。

尽管如此，大规模的假设被认为太强烈。 此时，前面描述的历史集 - 涉及索洛瓦伊的定理1965年和马丁的定理，1970年重复。 对于1984年，伍德林表明，如果存在超级组件基本主教，那么所有投影集都有规律性。 在与Shelah的联合工作中，假设明显减少。

定理3.11（Shelah-Woodin 1984）。

假设ZFC，并且有N伐红衣主教，在它们上面有一个可测量的红衣主教。 然后是σ̰1

n + 2

拥有完美的套装属性，贝尔德的财产，是Lebesgue可衡量的。

如在早期的剧集中，这表明上述大型基本假设实际上隐含了π̰1

n + 1

-determinacy。 这很快是由马丁和钢铁的标志性结果建立。