数学哲学中的柏拉图（二）

以下是自然主义策略如何发展的示例。将数学家对数学定理的态度称为“接受”。那么以下说法似乎是合理的：

（2）

数学家有理由接受数学定理。

（3）

接受数学陈述

S

涉及将

S

视为真实。

（4）

当数学家接受数学陈述

S

时，这种态度的内容通常是

S

的字面意思。

从这三个说法可以看出，数学专家有理由将数学定理视为字面真理。由此推论，我们其他人也有理由相信真理。请注意，与 (2) 有关的专家自己不必相信 (3) 和 (4)，更不用说有理由相信任何这样的信念。重要的是这三个主张是真实的。确定 (3) 和 (4) 的真实性的任务可能落在语言学家、心理学家、社会学家或哲学家身上，但肯定不是数学家自己。

不可否认，数学虚构主义者会试图抵制 (3) 或 (4)。参见 Field (1982)、Yablo (2005)、Leng (2010) 以及数学哲学中的虚构主义条目。

2.4 本体论承诺的概念

弗雷格论证的版本有时用本体论承诺的概念来陈述。假设我们采用标准的奎因本体论承诺标准：

奎因标准。

一阶句子（或此类句子的集合）在本体论上致力于那些必须被假定在变量范围内的对象，以使句子（或句子集合）为真。

然后，从古典语义学中可以得出，许多数学句子在本体论上致力于数学对象。要明白这一点，请考虑一个典型的数学定理

S

，它涉及单数项或一阶量词的一些正常外延出现。根据古典语义学，这些表达式旨在指代或涵盖数学对象。要使

S

为真，这些表达式必须成功完成它们声称要做的事情。因此，要使

S

为真，必须有数学对象在变量范围内。根据奎因标准，这意味着

S

在本体论上致力于数学对象。

奎因和其他许多人认为奎因标准只不过是对“本体论承诺”一词的定义（奎因 1969 年和伯吉斯 2004 年）。但这一标准仍然受到质疑。一些哲学家否认单称项和一阶量词会自动产生本体论承诺。也许句子为真的“世界要求”涉及量词范围内部分但不是全部对象的存在（Rayo 2008 年）。或者我们应该切断一阶存在量词和本体论承诺概念之间的联系（Azzouni 2004 年、Hofweber 2000 年和 2016 年）。

对这些挑战的一个回应是观察到，上面提出的弗雷格论证没有使用“本体论承诺”一词。因此，对奎因标准所提供的“本体论承诺”定义的任何挑战似乎都与上述弗雷格论证的版本无关。然而，这种回应不太可能让挑战者满意，他们会回应说，上述论证的结论太弱，无法达到预期的效果。回想一下，结论“存在”在我们的哲学元语言

L

P

中被形式化为“

∃

x

M

x

”。因此，除非这个元语言句子属于引起本体论承诺的类型，否则这种形式化将无法达到预期的效果。但这正是挑战者争论的。这场争论在这里无法进一步展开。现在，我们只是观察到，挑战者需要说明为什么他们的非标准本体论承诺概念比标准奎因概念更好、在理论上更有趣。

2.5 从存在到数学柏拉图主义？

假设我们接受存在，也许是基于弗雷格的论证。正如我们所见，这还没有接受数学柏拉图主义，它是在存在的基础上添加了两个进一步的主张：抽象性和独立性。这两个进一步的主张可以辩护吗？

按照哲学的标准，抽象性仍然相对没有争议。少数挑战它的哲学家包括 Maddy (1990)（关于不纯集）和 Bigelow (1988)（关于集合和各种数字）。这种相对缺乏争议意味着很少有明确的辩护来捍卫抽象性。但不难看出这种辩护会如何进行。这里有一个想法。对任何数学实践的哲学解释都有一个合理的表面约束，即它应该避免将任何会导致实际数学实践被误导或不充分的特征归因于数学。这种约束使得很难否认纯数学的对象是抽象的。因为如果这些对象具有时空位置，那么实际的数学实践就会被误导和不充分，因为纯数学家应该对他们的对象的位置感兴趣，就像动物学家对动物的位置感兴趣一样。纯数学家对这个问题不感兴趣这一事实表明他们的对象是抽象的。

独立表示，如果有的话，数学对象是独立于智能代理及其语言，思想和实践的。 我们将在第4节中讨论本论文可能金额的金额以及如何辩护。

3.对数学柏拉米语的反对意见

已经开发出各种对数学柏拉力主义的反对意见。 这是最重要的。

3.1认识学访问

最有影响力的反对意见可能是BenaCerraf（1973年）的启发。 以下是由于领域（1989）的BenaCerraf异议的改进版本。[12] 此版本依赖于以下三个地区。

前提1。在意义上，数学家是可靠的，即几乎每个数学句子

s

，如果数学家接受

s

那么

s

是真的。

前提2。为了对数学的信念是合理的，至少原则上必须解释前提下描述的可靠性。

前提3。如果数学柏拉蒙闻名是正确的，那么即使原则上也不能解释这种可靠性。

如果这三个房屋是正确的，它将遵循数学柏拉米主义削弱了我们在数学中削弱了我们的理由。

但房屋是否正确？ 前两个房屋相对令人不安。 大多数柏金斯主义者已经致力于前提1.，前提是2似乎相当安全。 如果一些信念形成程序的可靠性甚至原则上不能解释，那么程序似乎纯粹是偶然的，从而削弱了我们为这种方式产生的信仰的任何理由。

前提3更有争议。 领域通过观察“我们数学断言的真实值依赖于涉及驻留在太空时间之外的领域的柏拉图实体的事实”（现场1989，第68页），因此即使原则上也是因果上的因因素分离而被视而不见的。 然而，这种防御假定有任何充分的解释有关可靠性必须涉及一些因果相关性。 这一直受到各种哲学家的挑战，他们提出了对可靠性索赔的更少解释。 （参见Burgess＆Rosen 1997，PP。41-49和Lewis 1991，PP。111-112; CF。也是克拉克Doane 2016.请参阅Linnebo 2006为批评。）[13]

3.2一种形而上学异议

BenaCerraf的另一篇着名文章对数学柏拉米语（BenaCerraf 1965，CF）产生了形而上学的反对意见。 虽然BenaCerraf侧重于算术，但异议自然地推广到大多数纯数学对象。

BENACERRAF通过捍卫现在被称为自然数的结构主义视图的内容，根据其依赖于某种职位的自然数没有属性

ω

-sequence。 例如，除了具有某些核心内确定的关系属性之外的数字3，例如成功2，是6的一半，并且是素数的比例更远。 无论我们如何努力学习算术和设定理论，我们都不会知道3是否与第四个von Neumann序列相同，或者与相应的Zermelo序数，或者也许，随着Frege建议，与所有三个成员类的类别（在某些系统中）允许存在此类类）。

BENACERRAF现在得出以下结论：

因此，数字根本不是对象，因为在给出了数字的属性......仅仅表征了抽象结构 - 而且区别在于，结构的“元素”没有与它们相关的其他“元素”相关的属性。 （Benacerraf 1965，第291页）

换句话说，BenaCerraf声称可以没有任何物体，没有任何结构性属性。 所有对象也必须具有一些非结构性属性。 （见Benacerraf 1996年对此论点的一些稍后反映。）

BenaCerraf的两个步骤都是有争议的。 第一步 - 即天然数量只有结构性属性 - 已经被各种数学结构主义者（帕斯顿1990，Resnik 1997和Shapiro 1997，以及Schiemer＆Wigglesworth 2019的概念为结构性的财产）。 但这一步被逻辑家和新逻辑家拒绝，他声称自然数目本质上与他们编号（Wright 2000）的集合的基数相关联。 和第二步 - 即没有只有结构属性的对象 - 被捍卫第一步的所有结构主义者明确拒绝。 （对于一些声音同情到第二步，请参阅Hellman 2001和MacBride 2005.请参阅Linnebo 2008进行讨论。）

3.3其他形而上学异议

除BenaCerraf之外，还开发了各种对数学柏拉力主义的形而上学异议。 一个更名的例子之一是纳尔逊古德曼反对集合理论的论点。 Goodman（1956）捍卫名义主义的原则，尽管两个实体具有相同的基本成分，它们是相同的。 这一原则可以被视为加强熟悉的扩展性理论理公理。 扩展性的原理状态表示，如果两组

x

和

y

具有相同的元素 - 即，如果

∀

u

（

u

∈

x

↔

u

∈

y

）

- 然后它们是相同的。 通过将成员关系与其传递闭合的成员关系取代来获得名义上的原则。[14] 因此，原则是指的那个

x

和

y

是承担的

∈

*

由同一个人 - 即，如果

∀

u

（

u

∈

*

x

↔

u

∈

*

y

）

-then

x

和

y

是相同的。 通过认识到这一原则，古德曼不允许形成和课程的形成，只允许形成信息总和和申请到标准的信息操作（如他的“个体微积分”）。

然而，Goodman对名义主义原则的辩护现在被广泛被认为是令人难以承切的，如哲学家和数学家的广泛认可作为数学的合法和有价值分支的哲学家和数学家。

4.在物体现实主义和数学柏拉蒙之间

物体现实主义表示存在抽象的数学对象，而柏拉米主义则增加了独立性，这表示数学对象与智能代理及其语言，思想和实践无关。 最后一节调查了一些轻量级形式的物体现实主义，即停止完全落实的柏拉米斗争。 这种中间视图吸引了越来越多的兴趣。

4.1如何理解独立

独立性的自然光泽是以下反事工程：

反事实独立。

如果没有任何智能代理人，或者有他们的语言，思想或做法相似，仍然存在数学对象。

这种反事工程是由大多数分析哲学家接受的。 要了解为什么，考虑数学在我们推理中发挥的作用。 我们经常理由是不实际的情景。 我们要在这座峡谷中建一个桥梁，说，能够承受强大的风力有多强大？ 可悲的是，以前的桥梁崩溃了。 它是否已经这样做了，钢梁厚度是厚度的两倍？ 这种建议的理由是我们日常审议和科学方面不可或缺的。 这种推理的允许性具有重要的结果。 由于纯数学的真理可以在我们的反事实上可以自由地吸引，因此这些真理正在完全独立于美国人类，以及对此重要的所有其他智能生活。 也就是说，已经没有聪明的生活，这些真理仍然保持不变。

纯数学与普通实证真理相比，这方面非常不同。 有聪明的生活从未存在过，本文不会写。 更有趣的是，纯数学也与各种社会惯例和建筑形成鲜明对比，其中有时比较（Hersh 1997，Feferman 2009，Cole 2013）。 有聪明的生活从未存在过，不会有法律，合同或婚姻 - 然而数学真理仍然是一样的。

因此，如果仅仅被理解为反事实独立，那么接受物体现实主义的任何人也应该接受柏拉米斗争。

然而，这是值得怀疑的，这种理解完全捕获论文的预期内容。 对于独立性来说意味着在数学对象和普通物理对象之间证实了类比。 正如电子和行星一样独立于我们的那样，所以数字和集合。 与关于电子和行星的陈述一样，由它们所关注的对象以及这些对象完美的客观属性的对象进行了真或假，因此是关于数字和集合的陈述。 （请参阅Dummett 1978B和1990年的Quice在补充中的报价。）简而言之，我们有以下论文：

强大的独立性。

数学对象在与普通物理对象的标准下略有。

让我们现在考虑一些拒绝强大独立论证的观点。 因此，这些观点是轻量级的物体现实主义形式，这阻止了全吹的拼盘。

4.2批准的老年人

一种轻量级形式的物体现实主义是Balaguer的“全血柏拉图主义”1998.这一观点的特点是宽大原则，以至于任何存在实际确实存在的数学对象的效果。 例如，由于连续的假设与设定理论的标准公务化无关，因此有一个集合的宇宙，其中假设是真实的，另一个是假的。 既不是宇宙的特权（Hamkins 2012）。 相比之下，传统的柏拉力主义断言，其中有一个独特的集合宇宙，其中连续假设是真实的或确定的。[15]

这个顽固的观点的一个涉嫌益处是数学的认识学。 如果每个一致的数学理论都有一个数学对象的宇宙，那么数学知识将在某种意义上是易于获得的：只要我们的数学理论是一致的，它们就可以保证某些数学对象的宇宙。

然而，“全血柏拉图尔蒙”得到了很多批评。 科尔维曼和齐齐拉1999批评了破坏参考数学对象的可能性，以及延迟2003，缺乏对视图所基础的慈善原理的精确和连贯的制定。 Martin（2001）提出了不同的套装融合，以产生一个最大宇宙，这将通过拟合我们的概念而言比任何其他套装更好的概念。

Linsky＆Zalta 1995年和一系列进一步的文章开发了不同版本的塑料金铂。 （例如，参见，Linsky＆Zalta 2006和其中引用的其他文章。）传统的柏拉图众主义在“物理对象模型上的抽象对象”（Linsky＆Zalta 1995，第533页）中的“复苏”出错了想法，这些物体是“稀疏”而不是顽固的。 Linsky＆Zalta在第二作者的“对象理论”的基础上制定替代方法。 对象理论的主要特征是一种非常一般的理解原则，它断言了抽象对象的宽大的存在：对于任何属性集合，有一个抽象对象，即精确的这些属性“编码”。 此外，在对象理论中，两个抽象对象是相同的，以防他们对相同的属性进行了编码。 对象理论的理解原则和身份标准据说“提供了我们认知的理解和抽象对象之间的联系”（同上，第547页）。 （参见Ebert＆Rossberg 2007，以便进行批判性讨论。）

4.3轻量级语义值

假设物体现实主义是真的。 为方便起见，也承担经典语义。 这些假设确保了数学语言的奇异术语和量词是指抽象对象的范围。 鉴于这些假设，应该是一个数学柏拉票主义者吗？ 换句话说，执行数学句子的对象是指的，并量化满足独立论证的满足？

将我们的假设以更中立的术语重建将是有用的。 我们可以通过调用语义值的概念来完成此目的，这在语义和语言哲学中起着重要作用。 在这些领域中，广泛假设每个表达式对表达发生的句子的真实值作出一些明确的贡献。 此贡献称为表达式的语义值。 它被广泛地假设（至少在扩展上下文中）单个术语的语义值只是其指指的。

我们的假设现在可以中性说明，因为索赔数学奇异术语具有抽象的语义值，并且其量词范围在用作语义值的各种项目上。 让我们专注于关于奇异术语的主张。 这项索赔的哲学意义是什么？ 特别是，它是否支持某些版本的独立性？ 答案取决于数学奇异术语具有语义价值所需的内容。

一些哲学家认为不太需要（Frege 1953，Dummett 1981，Dummett 1991a，Wright 1983，Hale＆Wright 2000，Rayo 2013和Linnebo 2012和2018）。 这个词足以

t

对其发生的句子的真实值做出一些明确的贡献。 语义价值概念的整体目的是代表这种贡献。 因此，它足以满足一个单一的术语来拥有它产生一些如此合适的贡献的语义价值。

这甚至可以为数学对象（Dummett 1991a，Linnebo 2018）开辟了一种非消除还原主义的方式。 虽然数学奇异术语是完全正确的

t

有一个抽象对象作为其语义价值，这种事实可能会因为没有提及或涉及相关抽象对象的更多基本事实而获得。 例如，单个术语可以指借助于与适当定向的线相关联的方向，并且经受身份的标准，该标准说明两条线仅在它们是平行的情况下指定一个和相同的方向。 因此，虽然这是完全正确的，但是该术语是指抽象对象，但这种真理缺乏一些没有提及或涉及该抽象对象的基本事实。 Linnebo（2018年，CH.11）认为这种方法对数学对象仍然验证了反事实独立性。

但是，没有理由，为什么这种方法应该致力于稳健的独立性。 相反，这种方法需要数学和物理对象之间的一些重要侵权。 例如，对于存在的方向，它足以存在一个适当的导向线，指定方向。 由于该线可以位于任何地方，因此方向的存在不会对空间的任何特定区域施加任何限制。 相比之下，物理对象的存在对物体所在的时空的特定区域施加大量约束。

简而言之，如果一些轻量级的语义值是可取的，我们可以接受对象现实主义和反事实独立，而不会使自己更加强大的柏拉力主义形式。