数学哲学中的柏拉图（一）

1.什么是数学柏拉米语？

1.1历史评论

1.2数学拼盘的哲学意义

1.3对象现实主义

1.4真实价值现实主义

1.5柏拉打主义的数学意义

2. Freeean的存在论点

2.1论证的结构

2.2防守经典语义

2.3捍卫真理

2.4本体承诺的概念

2.5从存在数学柏拉米语？

3.对数学柏拉米语的反对意见

3.1认识学访问

3.2一种形而上学异议

3.3其他形而上学异议

4.在物体现实主义和数学柏拉蒙之间

4.1如何理解独立

4.2批准的老年人

4.3轻量级语义值

4.4亚里士多德的灵感

参考书目

学术工具

其他互联网资源

相关条目

1.什么是数学柏拉米语？

数学柏拉蒙中可以定义为以下三个论文的结合：

存在。

有数学对象。

abstractness。

数学对象是抽象的。

独立。

数学对象独立于智能代理及其语言，思想和实践。

补充中列出了“数学柏拉图主主义”的一些代表性定义

柏拉打主义的一些定义

并记录上述定义是相当标准的。

柏拉米粉化一般（特别是对数学的柏拉打主义）是通过通过任何其他形容词替换形容词的“数学”来源的任何视图。

对于目的目的，前两种权利要求是可耐受的。 存在可以形式化为“

∃

x

是

x

'，哪里'

是

x

'缩写谓词'

x

是一个数学对象'，所有这些都是真实的，并且只有纯数学研究的对象，例如数字，集合和功能。 抽象表明，每一个数学对象都是抽象的，其中一个物体据说是抽象的，以防是非时尚的，（因此）因果效率低下。 （有关进一步讨论，请参阅抽象对象的条目。）

独立性不如其他两个索赔清晰。 将这种独立性归于对象是什么意思？ 最明显的光泽可能是反事实条件，没有任何智能代理人，或者有他们的语言，思想或做法不同，仍然存在数学对象。 但是，这个光泽会做出独立应该做的所有工作是值得怀疑的（参见第4.1节）。 目前，独立将留下一些原理图。

1.1历史评论

必须从历史柏拉图的角度区分柏拉图。 关于柏拉图派的当代辩论的少数缔约方对柏拉图的观点进行了强烈的解释索赔，更少捍卫它。 虽然我们称之为“柏拉图主义”的观点受到柏拉图着名的摘要和永恒形式理论的启发（见柏拉图的形而上学和认识论），目前的柏金达主义是独立于其原始历史启发的辩论和辩论。

在讨论下的谷仓不是柏拉图的柏拉图，柏拉图主义，如上所述是纯粹的形而上学观点：它应该与具有实质性认识论内容的其他视图区分开来。 柏拉图主义的许多老特征增添了强烈的认识论声称，以至于我们立即把握或洞察抽象物体的洞察力。 （参见例如REES 1967.）但它是有用的（现在是公平标准的），以保护上述纯粹形而上学观点的“柏拉图主义”一词。 在这种纯粹形而上学意义上捍卫谷仓的许多哲学家将拒绝额外的认识论索赔。 例子包括奎因和其他哲学家吸引了所谓的不可或缺的论点，这些哲学家旨在为数学谷仓提供广泛的实证辩护。 （请参阅数学哲学中的不可或缺的争论。）

最后，上述“数学柏拉图主主义”的定义排除了据称，虽然这一索赔传统上是由大多数柏金斯主义者制定的，但仍然需要纯数学的所有真实性。 同样，这种排除是由一般被视为柏拉图主人的哲学家（例如，上述不可或缺性参数的一些罪名）拒绝这种额外的模态索赔。

1.2数学拼盘的哲学意义

数学柏拉米主义具有相当大的哲学意义。 如果看法是真的，它将对现实疲惫不堪的物理主义的想法产生很大的压力。 对于柏金塔国主义而言，这需要现实远远超出了物理世界，并且包括不属于物理科学研究的因果和时空秩序的对象。[1] 数学柏拉米主义，如果是真实的，也会对许多自然主义理论的知识造成很大的压力。 对于毫无疑问，我们拥有数学知识。 因此，数学柏拉蒙中的真相将确定我们具有摘要（并因此因果性低效）的物体。 这将是一个重要的发现，许多自然主义理论的知识理论将挣扎以容纳。

虽然这些哲学后果对数学柏拉米主义的不同之明，但这种特殊形式的柏柏兰主义异常适合支持这种后果。 对于数学是一个非常成功的纪律，无论是自己的权利还是其他科学的工具。[2] 很少有当代分析哲学家愿意与纪律的任何核心声明相矛盾，其科学凭证与数学的核实一样强大（Lewis 1991，PP。57-9）。 因此，如果哲学分析显示数学有一些奇怪而令人惊讶的后果，那么拒绝数学就会没有吸引力。[3] 基于一项纪律的柏拉图主义形式，其科学凭证比数学令人印象深刻，不会在这个幸运的情况下。 例如，当神学证明有一些奇怪和令人惊讶的哲学后果时，许多哲学家毫不犹豫地拒绝拒绝神学的相关部位。

1.3对象现实主义

让对象现实主义成为存在抽象数学对象的观点。 因此，物体现实主义只是存在和抽象的结合。[4] 对象现实主义矗立在当代哲学中反对名义主义，通常定义为没有抽象对象的观点。 （在更传统的哲学用法中，“名义主义”这个词是指没有普遍的观点。看到Burgess和Rosen 1997，PP。13-25和抽象对象的条目。）

因为物体现实主义留下了独立性，所以这种观点比数学拼相曲目较弱。 物体现实主义的哲学后果并不像柏拉打主义那么强大。 许多物理主义者将接受非物理对象，只要这些是依赖于或可将物理对象删除。 他们可以例如接受公司，法律和诗歌等对象，只要这些是适当地依赖或可将物理对象销售。 此外，似乎没有关于认识到我们有以某种方式或“构成”的非身体对象的谜。 如果公司，法律和诗歌由我们制造或“构成”，我们可能会在制造或“构成”他们的过程中获取他们的知识。

数学哲学的一些观点是对象现实主义，而不是柏拉图主义者。 一个例子是传统的直觉观点，它确认了数学对象的存在，但是认为这些对象依赖于或由数学家和他们的活动构成。[5] 在第4节中将讨论一个没有柏拉图主主义的对象现实主义者的观点的一些进一步的示例。

1.4真实价值现实主义

真实性的现实主义是，每种良好的数学陈述都具有独特而客观的真实价值，这些实际值是独立于我们是否可以知道的，以及它是否从我们目前的数学理论逻辑上遵循。 该视图还拥有那种被认为是真实的数学陈述实际上是真实的。 所以真实价值的现实主义显然是一种形而上学的观点。 但与柏拉图主义不同，它不是一个本体论的观点。 尽管真实价值的现实主义声称数学陈述具有独特和客观的真实值，但它并未致力于明显地的柏金制品思想，即在数学对象的本体中要解释这些真实值。

数学柏拉力主义通过提供数学陈述如何获得真实价值观的说明来清楚地激励真实价值的现实主义。 但除非添加了进一步的房屋，否则前视图并不需要后者。 即使存在数学对象，参考和量化不确定性也可能剥夺唯一和客观真实值的数学陈述。 相反，真实性的现实主义并非本身不存在，因此既不意味着对象现实主义也不意味着柏拉米斗争。 对于各种各样的描述数学陈述如何拥有独特和客观的真理 - 值，这些值与数学对象的境界不存在。[6]

事实上，许多名义主义者都支持真值实在论，至少在数学的更基本分支（如算术）方面是如此。这种类型的名义主义者坚持一种听起来有点奇怪的观点，即虽然普通的数学陈述

(1)

10 到 20 之间有质数。

是正确的，但实际上没有数学对象，因此也没有数字。但这里并不矛盾。我们必须区分数学家提出主张的语言

L

M

和名义主义者和其他哲学家提出主张的语言

L

P

。陈述 (1) 是在

L

M

中做出的。但名义主义者断言 (1) 为真但没有抽象对象是在

L

P

中做出的。因此，只要 (1) 从

L

M

以非同音形式翻译成

L

P

，名义主义者的断言就是完全一致的。事实上，当唯名论者声称

L

M

句子的真值以一种对数学对象没有吸引力的方式固定时，她所想的正是这种非同音翻译。上文中提到的观点提供了一个例子。

这表明，为了使存在论达到预期的效果，它必须用我们哲学家使用的语言

L

P

来表达。如果这个主张是用数学家使用的语言

L

M

来表达的，那么唯名论者可以接受这个主张，同时仍然否认存在数学对象，这与这个主张的目的相反。

哲学家们有一个虽小但很重要的传统，他们敦促用真值现实主义的辩论来取代柏拉图主义的辩论，或者至少将其转变为真值现实主义的辩论。支持这一观点的一个理由是，前者的争论非常不明确，而后者更容易处理（Dummett 1978a，第 228-232 页和 Dummett 1991b，第 10-15 页）。另一个理由是，关于真值现实主义的争论对哲学和数学都比关于柏拉图主义的争论更重要。[7]

1.5 柏拉图主义的数学意义

工作现实主义是一种方法论观点，认为数学应该像柏拉图主义是真的一样来实践（Bernays 1935，Shapiro 1997，第 21-27 页和第 38-44 页）。这需要一些解释。在关于数学基础的辩论中，柏拉图主义经常被用来捍卫某些数学方法，例如：

古典一阶（或更强）语言，其单数项和量词似乎是指代和涵盖数学对象。 （这与数学史上早期占主导地位的语言形成了鲜明对比，这些语言更依赖于构造性和模态词汇。）

古典逻辑而非直觉逻辑。

非构造性方法（如非构造性存在性证明）和非构造性公理（如选择公理）。

非预测性定义（即，对被定义对象所属的总体进行量化的定义）。

“希尔伯特乐观主义”，即相信每个数学问题原则上都是可解的。[8]

根据工作现实主义，这些方法和其他古典方法在所有数学推理中都是可以接受和可用的。但工作现实主义并不表明这些方法是否需要任何哲学辩护，如果需要，这种辩护是否必须基于柏拉图主义。简而言之，柏拉图主义是一种明确的哲学观点，而工作现实主义首先是数学本身内部关于该学科正确方法论的观点。因此，柏拉图主义和工作现实主义是截然不同的观点。

然而，这两种观点之间当然可能存在逻辑关系。考虑到工作现实主义的起源，这一观点得到数学柏拉图主义的强烈支持也就不足为奇了。假设数学柏拉图主义是正确的。那么显然数学语言应该如 (i) 中所述。其次，只要对现实中任何独立存在的部分进行经典推理是合法的，(ii) 也随之而来。第三，由于柏拉图主义确保数学是被发现而不是发明的，数学家就没有必要将自己限制在建设性的方法和公理中，这确立了 (iii)。第四，哥德尔 (1944) 提出了一个有力而有影响力的论据，即只要定义的对象独立于我们的定义而存在，非谓词定义就是合法的。（例如，“班上最高的男孩”虽然是非谓词，但看起来没有问题。）如果这是正确的，那么 (iv) 就会随之而来。最后，如果数学是关于某种独立存在的现实，那么每个数学问题都有一个独特而确定的答案，这至少为希尔伯特乐观主义提供了一些动机。（但请参见第 4.2 节中关于充分柏拉图主义的讨论。）

因此，数学柏拉图主义的真理性将在数学本身中产生重要影响。它将证明与工作现实主义相关的经典方法的合理性，并鼓励寻找新的公理来解决我们当前数学理论未解决的问题（例如连续统假设）。

然而，工作现实主义并不以任何明显的方式暗示柏拉图主义。虽然工作现实主义说我们有理由使用当代数学的柏拉图主义语言，但这至少在两个方面不符合柏拉图主义。正如上面关于真值现实主义的讨论所示，数学的柏拉图主义语言可以以避免引用和量化数学对象的方式进行分析。此外，即使对数学语言进行表面分析是合理的，这也只能支持对象现实主义，而不能支持柏拉图主义。柏拉图主义的第三个组成部分，即独立性，需要额外的论证。第 4.1 节讨论了这种论证的前景。

2. 弗雷格的存在论证

我们现在描述一个数学对象存在论证的模板。由于第一个提出这种一般形式论证的哲学家是弗雷格，因此我们将称之为弗雷格论证。但这个模板是通用的，它抽象了弗雷格自己对数学对象存在辩护的大多数具体方面，例如他认为算术可以归结为逻辑。弗雷格逻辑主义只是开发这个模板的一种方式；下面将提到其他一些方式。

2.1 论证结构

弗雷格论证基于两个前提，第一个前提涉及数学语言的语义：

古典语义学。

数学语言的单称项旨在指代数学对象，其一阶量词旨在涵盖此类对象。

“意图”一词需要解释。当句子

S

旨在以某种方式指代或量化时，这意味着

S

为真，

S

必须以这种方式成功指代或量化。

第二个前提不需要太多解释：

真理。

大多数被接受为数学定理的句子都是真的（无论其句法和语义结构如何）。

考虑被接受为数学定理并包含一个或多个数学单称项的句子。根据真理，这些句子中的大多数都是真的。[9] 让

S

成为这样的一个句子。根据古典语义学，

S

的真值要求其单称项能够成功指代数学对象。因此，正如存在论所断言的那样，必须存在数学对象。[10]

2.2 捍卫古典语义学

古典语义学声称，数学语言在语义上的作用与语言的一般功能非常​​相似（或至少传统上被认为是这样）：单称项和量词的语义功能分别是指代对象和遍历对象。这是一个关于专业数学家群体使用的半形式语言运作方式的广泛经验性主张。 （在 Burgess & Rosen 1997，第 6-7 页）广泛采用的术语中，古典语义学是一种解释学主张；也就是说，它是关于某种语言实际使用方式的描述性主张，而不是关于应该如何使用这种语言的规范性主张。）还要注意，古典语义学与大多数传统语义观点兼容；特别是，它与所有关于句子含义的标准观点兼容，即它们是真值、命题或可能世界集合。

古典语义学具有很强的表面可信度。因为数学语言似乎具有与普通非数学语言相同的语义结构。正如 Burgess (1999) 所观察到的，以下两个句子似乎具有将谓词归于主语的相同简单语义结构（第 288 页）：

Evelyn 是 prim。

Eleven 是 prime。

语言学家和语义学家提出的标准语义分析也证实了这种现象。

然而，古典语义学受到了挑战，例如 Hellman (1989) 等名义主义者和 Hofweber (2005 和 2016)。（另请参阅 Moltmann (2013) 中与自然语言中的算术词汇有关的一些挑战，以及 Snyder (2017) 中的讨论。）这里不适合对此类挑战进行深入讨论。我只想指出，要证实这种挑战，还需要做大量工作。挑战者必须争辩说，数学语言和非数学语言之间明显的语义相似性是欺骗性的。而且这些论点必须是语言学家和语义学家——对数学哲学没有既得利益——能够认识到的重要论点。[11]

2.3 捍卫真理

可以用各种不同的方式来捍卫真理。所有辩护的共同点是，它们首先确定一些可以评估数学陈述的真值的标准，然后论证数学定理符合这一标准。

一种选择是诉诸比数学本身更基本的标准。逻辑主义就是一个例子。弗雷格和其他逻辑学家首先声称纯逻辑的任何定理都是正确的。然后他们试图证明某些数学分支的定理可以仅从纯逻辑和定义中得到证明。

另一种选择是诉诸经验科学的标准。奎因-普特南不可或缺论证就是一个例子。首先，有人认为经验科学中任何不可或缺的部分都可能是真实的，因此我们有理由相信它。然后有人认为，大量的数学知识对经验科学来说是必不可少的。如果这两种说法都是正确的，那么真理很可能是真实的，因此相信真理是合理的。（参见数学哲学中关于不可或缺论证的条目。）

第三种选择是诉诸数学本身的标准。为什么人们必须诉诸非数学标准，比如逻辑或经验科学的标准，才能捍卫数学定理的真理性？当我们捍卫逻辑和物理学主张的真理性时，我们不需要诉诸逻辑和物理学之外的标准。相反，我们假设逻辑和物理学提供了它们自己独特的论证标准。为什么数学应该有所不同？近年来，第三种策略受到广泛关注，通常被称为“自然主义”或“数学自然主义”。（参见 Burgess & Rosen 1997、Maddy 1997，有关批判性讨论，请参阅数学哲学中的自然主义条目。）