非良好的集合理论（三）

基础公理和物体圆形。 我们提到与根据标准集理论的流有关，数字流不存在。 这是推理。 召回我们将流定义为一对数字和另一个流。 假设存在流S，因此流的集合n∞是非空的。 回想一下，我们拥有函数fs：n→n∞递归：

fs（0）= sfs（n + 1）=尾巴（fs（n））

为了在这一点上保存一些符号，让我们为尾部的头部（fs（n））和tn写入hn（fs（n））。 对于所有n，

fs（n）=⟨hn，tn = {{hn}，{{hn，tn}};

任何一对都是如此。 注意到

FS（n + 1）= tn {hn，tn}∈fs（n）。

所以我们有

FS（0）∋{H0，T0} fs（1）∋{H1，T1}∋FS（2）∋..

这是成员关系中的下降序列，FA禁止的东西。

当我们讨论它们时，同样的言论适用于无限的树木，肯定是过度的。 结论是，如果人们希望与FA的集合理论中的这些物体一起使用，那么一个必须间接地进行。

2.3反基础公理

反基础Axiom AFA表示如下：

每个图都有一个独特的装饰。

理论ZFA是ZFC，FA由AFA取代。 它包括首选的公理，即使首字母缩略词中没有“C”。

集合的概念。 AFA引起或反映了集合的概念，这是与迭代概念的赔率。 由于缺乏更好的名称，我们称之为概念。 据此，一组是通过拍摄图形g（具有关于它的关系）而获得的抽象结构，然后以与X相关联的组的方式将图形A中的每个节点X相关联，使得与X中的X的子组相关联的集合。 这种关联是我们之前所谓的装饰。 这种关联可能会被思考，但不需要被解释。 一个人可以在装饰和动力集之间发出一个和谐。[9]

与AFA有什么变化，什么不改变？ AFA为集合系统提供了独特的解决方案; 这几乎是从AXIM的立即和设置系统和图形的密切关系。 但它还为流系统和树系统提供了唯一的解决方案。 我们对与我们早些时候看到的流和对相关的图表的装饰作品建议的详细信息。

设置理论中的所有结果都不使用FA在AFA替换时进行。 特别是，以下主题不变：Russell的悖论和分离（子集）公理; 有序对，关系和功能的建模; 自然数，实数等; 顺序和序数; 在井订单和创立的关系中的经细制递归; 首选的公理; 关于无限集大小的问题和结果。 唯一的区别在于为各种各样的循环定义对象的建模问题，正如我们一直在讨论它们。

在建模圆形方面，AFA提供了几种新概念和技术。 这些都在我们的下一节中描述。

3.使用AFA

本节提供了对理论非良好套装的中心部分的快速介绍：需要了解使用该理论并阅读其上的论文。

3.1双刺激

双刺激的话题是治疗非良好套装的最早目标之一。

设（g，→）是一个图表。 如果下面的保留，则G上的关系是一种分布：每当x y，

如果x→x'，则有一些y→y'，使x'r y'。

如果Y→Y'，则有一些x→x'，使x'r y'。

这些有时被暗示名称Zig和Zag调用。

图之间的分析。 在举例说明之前，我们应该澄清一些用法。 在几点点，我们将在两个图表G和H之间谈论Bisimulation，而不是在单个图形之间。 这可以以相同的一般方式定义。 还要注意，人们可以采用图表G和H的脱节联合G + H，然后G和H之间的双刺激将是G + H的双刺激。

在图表上返回Bisimulation。 例如，让我们来看看以下图G：



所有3分都没有孩子。 （从任何其他点都没有到达POINT 3D，但箭头进入节点没有兴趣。因此，只有3分的每个关系都是对G.具体的双刺激性，

{（3a，3b），（3c，3a），（3d，3d）}

很容易被视为一种双刺激。

就此而言，空的关系也是G的双刺激。

另一个双刺激是

{（2a，2b），（2b，2c），（2c，2a），（3a，3b），（3b，3c），（3c，3a）}。

让我们称之为r。实际验证R是一种双刺激，需要大量检查。 这只是它的两个项目：我们看到了2b r 2c。 现在2c→2b。 因此，我们需要一些节点x，使x r 2b和2b→x。 为此，我们需要2a。 对于我们的第二次验证，再次注意到2b r 2c。 由于2b→3b，我们需要一些节点x使2c→x和3b r x。 我们采取x = 3c为此。

我们的图表G上的最大的BISIMULICULICULIC是与本身相关的关系，所有2分到所有2分，以及所有3分的3分。 请注意，这是等价关系：反身，对称和传递。 这不是意外。

任何图表H的命题，H上存在最大的双刺激。该关系是表示≡b的等价关系，其特征在于

x≡by iff对h与x相关的同时刺激。

这一关系≡b称为BISIMILATY。

我们可以始终使用最大的双刺激形成商图。 以下是如何使用上面的工作方式作为示例。 在G /≡b中，我们将有三个节点，对应于最大的双刺激下的三等价类别; 让我们调用这些类1,2和3.如果第一个（每个）元素有一个箭头到第二个元素的某些（每个）元素，我们将箭头置于其中两个类之间的箭头。 通过这种方式，我们构建了商。 这是再次G的图片，以及其在最大的Bisimulation下的商G /≡b：



来自g到g /≡b的地图将2点到点2，3点到3点。

到目前为止，我们已经说过的Bisimulation是什么，但我们没有描述与其他任何东西的关系。 纠正事务，这是主要结果。

定理假设阿法。 设g是一个图，让x和y是g的节点，让d是g的装饰。然后以下是等同的：

d（x）= d（y）。

有一个有关x和y的分布。

我们不会在这里完整地证明这个定理，但这是两个提示。 为了证明（1）意味着（2），检查D的内核关系，

{（u，v）：d（u）= d（v）}

是对G的双刺激。

在另一个方向上，这个想法是将双刺激转变为图形本身，然后提取两个装饰; 由AFA的唯一性部分必须重合。 以下是在具体示例中完成的。 我们看到了上面

r = {（2a，2b），（2b，2c），（2c，2a），（3a，3b），（3b，3c），（3c，3a）}。

是一种双刺激。 我们通过拍摄产品关系来将其成格。 这为我们称之为H：



让D成为G的装饰（没有，装饰）。我们获得了两个H，K和L的两个装饰

k（u，v）= d（u），l（u，v）= d（v）。

（检查这些真的是H.）的装饰很好，但H只能有一个装饰。 所以k = b。 然后，对应于2a R 2c，例如，我们有的事实

D（2a）= k（2a，2b）= l（2a，2b）= d（2b）。

这是我们的草图结束。 有关详细信息，请参阅Aczel（1988）。

3.2没有AFA

我们上面的Bisimulation的工作可用于减少对普通集合的非良好集合的减少，这是我们在1.1节中所看到的流和功能的精神。 有几种方法可以描述这种减少。

尖锐的图是三倍（g，→，g），使得→是G和g = G的关系。尖锐图（g，→，g）和（h，⇒，h）之间的双刺激是双催化r（g，→）和（h，⇒）这样g r h。

在讨论的其余部分中，我们让P，Q，...表示指向图。 如果P和Q之间存在分发，则写入P≡bq。 如果存在尖图（g，→，g）和一些g→h在g所以，我们写pεq

P≡（g，→，h）和q≡（g，→，g）。

Set理论语言语言谈论集合，我们通过将所有量词限制为指向图的类，然后将∈转换为ε，≡为= = = = = = = = = = = = = =。 例如，扩展性的原理

∀x，y（x = y→∀z（z∈X→z∈y）））。

将转换为（其中P，Q，R范围以上指向图形）：

∀p，q（p≡→∀r（rεp→rεq））。

然后可以提供最后一句话。 （提示：图表上任何一组BIMULATION的联盟再次对其进行双刺激。）

实际上，ZFA的所有公理都是可证明的，包括AFA。 这是一个相当长的繁琐的验证，但它并不那么棘手。 它的一个版本（用于设置与utelements的理论，未设置的对象）是Barwork和MOSS（1996）中的一章的主题。

人们也可以进一步进一步：而不是将身份关系转换为更复杂的东西，我们可以保持语言简单并使解释复杂化。 我们希望通过“尖级图形”取代“指向图”。 由于这些不是设置，因此我们使用斯科特的诀窍并使用“一组熟的尖锐的图形，其节点集是等效的，并且与较小等级没有指向图的属性也是相当于它们的。”

做所有这些都会导致相对一致性结果：

定理。 如果ZFC一致，那么ZFA也是如此，反之亦然。

3.3扩展图

我们提出了图形，装饰和AFA的方式是一个非常“极简主义”的演示文稿。 如果一个图表g的一些节点要由某些设置装饰，则最明显的方式是将TC（{x}）的所有元素添加为G中的新节点，用Y→Z IFF Z y y。 这意味着如果TC（{x}）中的一些集合已经碰巧为G.这通常会遇到新的副本，这通常是麻烦的：在使用图形和装饰时，人们可能希望预先指定节点上装饰的值。 有几种方法可以用AFA做到这一点，我们将在这里表明一个。

如果它们的交叉点为空，则两组是不相交的。 当一个人带来两套的联合时，说A和B，有时候确保在两组中没有发生任何元素是个好主意。 这样做的方法是用副本替换一个或两个a和b。

设置A和B的脱节联合是A + B，由

a + b =（a×{0}）∪（b×{1}）。

很容易看出，联盟中的两套是不相交的：A + B“穿着袖子上的磨损”的元素，其标记它们来自它们来自的标记。

不相交的联盟附带了两个自然功能：

INL：A→A + B和INR：B→A + B

由InL（x）=⟨x，0⟩和inr（x）=⟨x，1⟩定义。 [10]

使用SET参数（或短的延长图形）扩展的图形是与函数E：G→℘g+ v一起的集G. 如果e（g）是⟨s，0⟩对于某些s∈G，则我们将其作为节点作为我们之前的治疗。 特别是，我们希望用孩子的装饰装饰。 如果e（g）=⟨x，则为1⟩，那么我们希望装饰被迫在g上具有值x。

正式地，扩展图的装饰是在G上定义的函数D，以使所有g≠g，

d（g）= {{d（h）：g→h}

XIF E（g）=⟨s，0⟩

如果e（g）=⟨x，1¼

以下是一个示例：设g是带有节点{w，x，y，z}的扩展图，并使用e

e（w）=⟨{w，x，y}，0⟩（y）=⟨2,1⟩e（x）=⟨{z}，0⟩（z）=⟨∅，0⟩

然后，该扩展图的装饰D将满足以下条件：

d（w）= {d（w），1,2} d（y）= 2d（x）= {0} = 1 d（z）=∅= 0

定理假设阿法。 然后每个扩展图都有一个独特的装饰。

我们试图使我们试图成为的观点是，围绕在ZFA的工作中有相当多的理论，以便进行各种形式的循环现象的建模。

3.4 ZFA中的集合圆形

事实上，AFA允许我们解决各种设置方程系统只是一个开始。 当我们在第1.2节中讨论无限的树木时，我们指出的是，无限树木的收集Tr应满足（7），重复下文：

tr = {x，y}∪（{•}×tr）∪（{*}×tr×tr）。

类似的等式应该从第1.1节举行流

n∞= n×n∞。

就此而言，宇宙V的套装应该满足

v =℘v

假设电源集公理和℘的配方作为课程上的操作员，宇宙V确实满足了这种等式。

我们可以自由退步并将这些视为我们希望解决的等式。 例如，我们可以将SET N视为已知的n，将n 1视为变量，然后考虑像x = n×x这样的等式。 然而，这些都不是我们可以希望以完全一般的方式使用AFA来解决的那种等式：右手侧面不是在左侧的对象组方面给出的。 解决更复杂的系统需要特别的额外工作。 这是对此所知道的。

首先，在FA下，我们三个方程中的前两个方程中有一个唯一的解决方案：空集。 在AFA下，他们有很多解决方案。 例如，对于流方程，对应于最终0的功能的一组流是解决方案。 但是，最大的解决方案是特别兴趣的。 对于这些，可以证明，最大的解决方案与我们称之为解开的形式一对一的对应关系。 出于我们认为的其他原因，有一个充分的理由接受最大的解决方案是直观概念的好的数学模型。

在AFA下，事情是不同的。 这是常规图片：如果每当一个⊆b，那么，设置f上的操作员是单调的，然后是fa⊆fb。 这是集合上运营商的一个非常常见的功能。 套装上的多项式运算符是包含恒定运算符的最小集合，并在笛卡尔产品，不相交的联合下关闭，并从固定集中函数。 例如，如果a和b是固定集合，则fs =（a×s）+ b（s + a）是集合上的多项式运算符。 如果还允许电源集运算符发生，则我们得到电力多项式运算符。 每个电力多项式操作员都是单调。 现在，由于ACZEL，我们有以下结果：

命题。 然后，集合上的每个单调运算符F具有最小固定点F *和最大的固定点F *。 特别是，在类上的每个多项式操作员具有最少和最大的固定点。 在课堂上，对于电力多项式运算符的较大集合也是如此。

假设FA，固定点是独一无二的; 经常是空集。 随着AFA，最大的固定点通常具有非良好的成员。 我们将在转向Coaldebra时更详细地研究这一点。 目前，我们返回到本节顶部的示例方程的最后一个等式，v =℘v。 由于Cantor的定理，该等式没有解决方案。 但是，就课程而言，此类等式确实具有解决方案，就像我们所知道的那样。 通用类v是一个解决方案，正如我们所看到的那样。 和成立的良好集的课程是一个解决方案。 这是最小的解决方案℘*，v是最大的。 在fa，℘* = v =℘*下。 在AFA下，℘*和℘*不同：℘* = wf，和℘* = v，因此包含ω= {Ω}的组。

4.比较基础和反基金

本节的目的是使用类别理论的想法进行比较FA和AFA。 也就是说，类别理论的语言和尤其是二元性的内置特征习惯于对FA和AFA之间的关系进行了解。 此外，关于公理组织的双重陈述表明了一个关于许多其他概念的更系统和彻底的二元性。 这个更深入的点不是严格的数学结果，而是更多的研究计划，因此这里的最后一小节将详细介绍一些所知的内容。

正如我们所说，我们的工作开始使用类别理论。 我们意识到并非所有读者都将熟悉这一主题。 所以我们将尽力使本节尽可能访问。 特别是，我们只会从类别理论中介绍那些我们实际需要在我们本节的工作中的那些概念。 我们还说明了几个类别的所有定义，这将是一个感兴趣的。 随着我们在未来的部分中继续，我们只会开发我们需要的背景。[11]

我们使用类别理论主要是为了术语和直觉。 我们知道，在使用类别理论作为数学基础时，存在与数学基础有关的哲学问题。 此条目不会以前进方式处理这些问题。

初始和最终对象。

我们需要一个类别理论的定义。 修复类别C.对象X是初始IF如果每个对象Y均匀，则恰好有一个态度f：x→y，对象x是最终的，如果每个对象y都有一个态度f：y→x。

在SET中，空集是初始对象; 对于每个集合Y，空函数是∅到y的唯一功能。 此外，空集是唯一的初始对象。

至于最终对象，每个单例{x}是最终对象。 对于每个组y，具有值x的常量函数是y到x的唯一函数。 单身是类别中唯一的最终对象。

命题设为一个类别，A和B是初始对象。 然后A和B是同义对象：有态度F：A→B和G：B→A，使得g⋅f= IDA和f⋅g= IDB。

通过初始性证明，我们在我们的陈述中获得（独特的）态度f和g。 请注意，g⋅f是来自A本身的态势。 由于A是初始和IDA也是这样的态度，我们看到了g⋅f= IDA。 同样为b。