非良好的集合理论（四）

4.1集合，类别的类别

我们将读者推荐给类别理论的条目，以获取类别和仿函数的定义。

我们需要提及集合和课程类别的对象和态度，以及拼出对他们感兴趣的函数。

设置。 这些对象是集合，并且态度是三元triples⟨x，y，f⟩，其中f：x→y。 也就是说，每个三重x，y，f⟩是来自x到y的态度。 用于设置A的身份态度IDA是⟨a，a，f⟩，其中f是A上的身份函数，并且通过：

⟨y，z，g⟩，y，f⟩=⟨x，z，g⋅f⟩

套装上的仿函数。 套装上的多项式运营商延伸到嵌入式内的辅助液。 这些操作在态度上定义的方式是简单的，并且可以在任何关于类别理论上的书中找到。 这是一个简要摘要：对于任何SET，具有值S的常量函数是集合上的算子。 它需要每个函数到ID。 对于任何两个函数f和g，我们具有由（f×g）（a）= fa×ga定义的算子f×g; 在这里，我们在套装上使用Cartesian产品。 如果f：a→b那么

（f×g）f（a，b）=（ff（a），gf（b））。

我们还使用（f + g）（a）= fa + g使用集合上的FA + GA定义的函数f + g，即不相交的联合。 在这里，对态势的动作是案例

（f + g）（f）（inl x）= ff（x）

（f + g）（f）（inr x）= gf（x）

特殊情况是FX = x + 1.即，FX是X与单例的不相交联盟。 如果f：x→y，则ff：fx→fy以相同的方式工作，将x中的新点带到y中的新点，否则表现得像f。

电力多项式运营商也延伸到封闭件上的封面：在态度f：x→y，函数℘f：℘x→℘y，每个子集a∈X到它的图像

f [a] = {f（z）：z∈a}。

类。 这里，对象是集合理论φ（x，y1，...，yn）的语言的公式，与n设置a1，...，a。 我们认为这是

{B：φ[B，A1，...，AN]}。

然后，态度是由两个公式组成的，其中具有定义域和码头的参数，以及第三个具有定义态度作用的自由参数的第三个公式。

上课上的函数。 感兴趣的仿函数再次成为权力多项式。 它们在类上定义了它们在集合上定义的方式。 出于我们的目的，两类的主要区别在于，在集合中我们无法解决℘（x）= x，而我们可以在课堂上进行。

4.2算子的代数

让F成为C类的辅助源。F的代数是一对（c，f），其中c是c的对象，f：fc→c。

这是一个基本示例，说明了为什么这些称为代数。 让我们拍摄类集，以及仿函数

ha =（a×a）+（a×a）。

对于自然数的对象n，因此HN是n×n的两个副本。 我们将使用颜色来指示不同的副本，对于第一个复制和蓝色的红色，第二份。 所以我们可以查看HN

（0,0）（0,1）（0,2）...（1,0）（1,1）（1,2）...（2,0）（2,1）（2,2）...............（0,0）（0,1）（0,2）...（1,0）（1,1）（1,2）...（2,0）（2,1）（2,2）...............

该算子的代数的一个例子是（n，α），其中α（a，b）= a + b和α（a，b）= a×b。 换句话说，通过通过乘法添加和在蓝色对上通过添加和在蓝色对上进行红色对操作。

回到“代数”的术语，重点是功能α是两张表的工作。 函数“是”表格。

这是代数的另一个例子。 这次我们担心与上面定义的FX = x +1设置。 我们记住的代数是（n，s）。 这里S：n + 1→n将自然数n带到其继承者n + 1，n + 1到数字0的新点。

到目前为止，我们仅仅给了不同的仿函数的代数的例子。 分类制定的优点是代数态态的通常概念是更一般定义的特殊情况。

让（c，f）和（d，g）在C类上的相同函数f的代数。来自（c，f）到（d，g）的代数的态晶是形态α：c→d，使下面的图表通勤：

fcf

→cfα↓↓αfd→

gd

（这意味着两个组合物，α和g⋅fα是相同的功能。）

现在很清楚，我们有一类给定算子的代数。 所以我们立即拥有初始和最终代数的概念。 没有保证存在这些存在，但在许多有趣的情况下他们所做的。 我们对初始代数感兴趣的原因是他们与递归的联系。

要详细了解此，我们返回到集合上的函数fx = x + 1。 我们看到上面的代数（n，s）。 我们声称这是一个初始代数。 这意味着对于任何代数（A，A），有一个独特的代数态态H：（n，s）→（n，s）。 也就是说，下面的图表通勤：

n +1

→nh + 1↓↓公顷+ 1→

AA

从A + 1到A的Thue函数A可以被分解成地图I：A→A与元素B≠A。 并且说上图的图表与H（0）= B，以及所有N∈n，h（s（n））= a（h（n））相同。

踩回，（n，s）的声称初始性与以下断言相同：

对于每个设置A，每个B≠A和每一个：A→A，存在一个唯一的功能H：n→a，使得h（0）= b，以及所有n≠n，h（s（n））= a（h（n））。

这是N的递归原则的标准形式。该原理是该原理相当于断言（n，s）是函数fx = x +1的初始代数。

解释这种等价的一种方法是，我们可以将FX = X + 1的初始代数作为设定理论的公理，代替无限的通常公理。 该AXIOM表示，在集合上的单例函数Sx = {x}有一个代数，其包含∅作为元素，其结构是包含的。 该原理比代数重构更容易态。 使用更简单的标准配方需要取得递归原理需要一些工作，这是任何基本集合理论课程中的基本主题之一。

两个一般事实：第一，集合上的初始代数的结构映射始终是一个自动影响。 由于J.Lambek，这在类别理论中的一般结果是遵循的。 从这个方面，我们认为℘在Cantor的定理中，℘在套装上没有初始代数。

套装上多项式仿函数的初始代数。

让F：SET→设置为电源多项式算盘。 我们知道f是单调（它保留了集合上的子集关系），并且不难检查稍微强的属性：f保留类之间的包含图：包含是地图IA，B：→“不做任何事物”的→B：一个必须是B的子集，以及所有x∈A，i（x）= x。 我们说F是标准的，如果它在FIA，B = IFA，FB的意义上保留夹杂物。 再一次，集合上的每个电力多项式辅助型是标准的。

套装上的多项式操作（没有电源）也是连续的：它们保留了集合的组合。

让F：SET→设置为多项式辅助程序。 我们绘制最少固定点F *携带初始代数的结构，以及其上的身份。

一种形成越来越多的序列

0⊆f0⊆f（f0）⊆f（f（f0））..

我们为∅写0。 显示的每个地图是含有标准性的包含。 让F *成为集合的增加序列Fn0的联合。 然后通过连续性f（f *）= f *。 所以（f *，ID）是f的代数。要检查初始性，让（a，a）是f的代数，所以a：fa→a。 通过递归定义地图GN：Fn（0）→a，使用g0：0→空函数（这是∅额为的初始性），而GN + 1 = A fgn。 检查我们是否具有越来越多的功能

g0⊆g1⊆g2⊆..

然后采取工会获得φ：f *→A.一个检查这个φ是f-algebras的态度，但实际上是唯一的这样的。

4.3仿函数的CoolgeBras

我们现在转向契机。 同样，让F是C类上的辅质通电。F的COMPEDBRA是一对（C，F），其中C是C的对象，F：C→Fc。 将其与代数的定义进行比较，我们可以看出，除了箭头的方向反转之外，我们可以看到绘制的基础是相同的结构。

例如，每个图形都是F：SET→SET上的℘的基础资料。 也就是说，每个图（G，→）可以重新打包为（g，e），通过e（x）= {y≥g：x→y}给出e：g→℘g。 用文字说，我们在与函数的边缘关系中交易，其中函数分配给它的一组孩子。 这种重新包装具有逆，因此在这意义上的变种中，“像与关系一样的”和“作为℘”的“图表”和“图表”的概念。[12]

让（c，f）和（e，g）是同一仿函数的基础资料。 来自（c，f）到（d，g）的态度的态势是类别c中的形态α：c→d，以便下面的图表：

cf

→fcα↓↓fαd→

gfd

CooldgeBra（D，G）是最终（或终端）的基础巴拉，如果每种聚合（C，F），α：（C，F）→（D，G）存在独特的态势。

这是我们将我们的方式返回设置理论的另一个例子。 这些基于本条目开头的讨论，关于数字流（第1.1节）。 我们正在处理函数fa = n×a。 然后，流方程系统是F的基础。要了解其在具体情况下的工作，我们返回等式（2），重申如下：

（2）x≈0，y⟩y，z⟩z，x⟩

我们将该系统视为CooldeBra（x，e），其中x = {x，y，z}，e（x）=⟨0，y∈，类似于e（y）和z（x）。 所以现在我们有一个具体的例子是该F的CoathgeBra的实例。F的另一个CathgeBra使用流的溪流作为其运营商集。 CooldeBra本身就是

（n∞，⟨head头，尾部）。

这煤炭是最终的。 我们不会在此处验证这一点，而是我们应用这一点。 通过校尾，有一个唯一的e：x→n∞，使得下面的图表通勤：

fcf

→cfα↓↓αn∞→

⟨头，尾巴⟩n×n∞

我们现在遵循图表周围的X的元素。 对于x，这告诉我们

⟨head头，尾部（e（x））=⟨0，e†（y）⟩

也就是说，e∈（x）是第一组件为0的流，其第二组件是e∈（y）。 当然，类似的观察结果持有†（y）和†（z）。 结果是三流e∈（x），e∈（y）和e∈（z）正是我们之后的。

与第1.2节的树示例相同，相同的情况非常相同。

4.4同工

此时，我们将FA和AFA进行比较。 回想一下，v是所有集合的类，并且v =℘v。 这意味着（琐碎）宇宙上的身份映射到℘v，反之亦然。 尽管如此，我们希望为这两张地图引入符号，使它们不同。 我们会写

I：℘v→v

因此，我采用多个（一组集合）并将其视为一个单位（集合）。 我们还有另一个地图

j：v→℘v

这个j需要一个设置并将其视为一组集合。

代数形式的基础公理。 除非不是一个集合，（v，i）是初始代数为℘：对于所有设置A和所有F：℘→A，有一个唯一的S：V→F，使得m = m：

℘vi

→v℘m↓↓m℘a→

发

浅埋基础公理在陆基形式。 除非不是一个集合，（v，j）是℘的最终的基础资料：对于每个集合b且每一个e：b→℘b，存在一个唯一的s：b→v，使得s =℘s∈E：

是

→℘bs↓↓℘sv→

i℘v

地图S称为系统E的解决方案。

类表格。 我们只提到了与集合有关的公理形式。 当在课堂上表示公理时，它们是一个小的更好：

FA相当于断言（v，i）是课堂上的初始代数。

AFA相当于断言（v，j）是课堂上的最终的基础巴拉。

4.5概念比较

下面的图表表明了一种迭代和加管思想的概念比较。 顶部的条目是分类意义的二元性。 向下移动，图表中的行更像是研究方向，而不是实际结果。 因此，图表中的详细信息更像是一个持续的研究项目而不是定居的问题。

对于套装上的许多函件，特别是多项式仿函数和有限功率设定算子，初始代数是最少的固定点与身份。 对于多项式函数，该最小固定点本身就是术语的代数。

用于汇流量代数的汇丰基础布拉的代数固定的分子固定点耦合关系基调相等的相当于逻辑逻辑逻辑报废：映射出来初始代数：地图成了最终的基础凸起Axiomanti-Foundation Axiomitient概念概念概念概念，具有转换和观察的操作集，在语法中在语法中脱颖而出

最大的固定点和最终的基础资料之间的连接是以下结果的内容。

对于各种电力多项式F的定理[Aczel]，最大的固定点与其上的身份，（f *，ID）是课堂上的最终基础巴拉。 此外，如果F是多项式算法，则F *是一个集合，并且（F *，ID）是集合上的F的最终基地。

原始结果在F上使用了更弱的假设，使用我们没有定义的概念，所以我们的陈述比Aczel的书更弱。 几篇论文已经削弱了加强这一决赛地区定理。

相似。 在第3.1节之前，我们提前对Bisimulation的定义。 我们与图表讨论了它，但读者还可以知道具有来自模态逻辑的相同名称的概念。 实际上，煤炭地区的理论研究了一个更一般的概念，对给定仿函数的合并基础的双层刺激，首先在Aczel和Mendler（1989）中定义。 这一更普遍的概念专门用于几个在自己的领域提出的概念。 此外，它（几乎）代数上一致的双重概念; 这解释了我们在概念比较图表中的线路。

等式逻辑和模态逻辑。 大量的工作已经显示了等于逻辑和模态逻辑的方式是“双重”，而是详细阐明这一点需要比我们在此条目的其余部分中所需的比例更加类别。

有一个日益越来越多的模型逻辑的概括领域。 有关该地区的调查，请参阅Kurz（2006）。

算子的最终基地可以被视为完全观察的空间。 （与本节中的所有要点一样，该陈述主要针对集合的函数，当然，“完全观察”的概念仅仅是暗示的。）例如，让AtProp是一个集成元素称为原子命题的集合，并考虑函数f（a）=℘fin（a）×℘（ATPROP）。 这是一个聚合的基础是一个设置的一个地图，其中一个地图进入其有限子集，另一个地图进入了一组原子命题。 将这两张地图放在一起给出一个有限分支的克里普克模型：每个点都有大量的许多孩子和一些原子命题。 现在，模态逻辑为我们提供了一种“观察”聚会资料（Kripke Models）点的“观察”的性质。 并且可以从一个点观察到的一切的记录是那个点的模态理论。 此外，人们可以在所有有限分支的Kripke模型中获取所有要点的所有要点的所有理论，并使该集合（它是一个集合）进入算子的最终基地的载体中。 实际上，这将是构建最终的基础巴拉的一种方式。

corecursion。 现在返回图表，我们展示了一个核查定义的示例。 上面给出的zip的等式显示了如何工作的zip函数是如何工作的。 它应该满足

Zip（S，T）=⟨head头（s），zip（t，尾（s））⟩

这是ZIP如何通过CoreChoreive定义唯一定义。 在本讨论中写入n∞×n∞。 我们希望从s到n的地图。 我们正在处理F函数FA = n×a的最终基础地板。 我们将在最终的基础上写下结构，如⟨头，尾部和丁片;⟩，就像我们在第1.1节那样做到。 这个想法是将S转入CathgeBra的载体组，例如，S，F）。 然后拉链将是来自（S，F）到（S，Head，Tail⟩）的独特的派对地板态态。 它仍然可以定义f。 让我们

F（s，t）=⟨head头（s），⟨t，尾部。

如上所述，通过校尾有一个独特的ZIP：S→n∞，使下面的图表通勤：

sf

→fszip↓↓fzipn∞→

⟨head，tail⟩fn∞

为了确保这是有效的，我们遵循一对任意的溪流，比如在广场周围，从左上角开始。 下来，我们有流Zip（s，t）。 由此，该结构将此取向⟨head头（Zip（S，T）），尾部（ZIP（S，T））⟩∈fn∞。 但我们也可以在顶端通过f over ove，以获得⟨head头（s），⟨t，尾部。 现在fzip适用于这对，这是f作为仿函数进入的动作的地方。 我们得到⟨head头（s），zip（尾部（t），s）⟩。 总的来说，我们有

ZIP（S，T））=头部

尾部（Zip（S，T））=拉链（尾部（T），S）

就根据需要。 它说：向zip两个流，从第一个头开始，然后在第二个中重复这个非常处理的过程，然后是第一个的尾部。

这一示威的主要观点在于，终结原则足以定义和研究心群定义。 这方面有许多进一步的发展。

再次设置。 我们已经讨论了关于基金会和反基础公理的表格中的线条，以及他们的服务员概念背景。 本节的重点是主席较大的讨论。

最终的基础资料和心群定义的例子。 我们的概念比较使得代数与运营中的集成。 这一点几乎太容易了：类别理论中“代数”术语背后的原因在于，在分类意义上可以以代数建模的操作。 对于CooldeBras，使它们直接对应于“转换”或“观察”的组是更难的。 但是，我们提出了一个激励这一点的一些例子。

仿函数facoalgebrafinal聚合的×asteam systemfinite在sa上的asteam systeminfinite流，对于a∈S（s×a）+ 1stream系统，允许过度菲涅石和无限流过sadd一个“流标记的末端”手表= kripke帧=设置方程式的图表，无限性模态的Modulo Bisimulationa片段，没有atoms℘fina×℘（ATPROP）在集合ATPROP上有限分支克里普克模型原子命题ATPROP模态逻辑的规范MOLUSA片段的某些子集

上表列出了一组或课堂上的一些函数以及来自概念比较图表的最终的CooldeBras或其他数据。