非良好的集合理论（二）



让我们试图了解这个图表的装饰d。 为了遵循下面的讨论，您应该从集合理论中记住，前几个自然数的标准渲染是由

0 =∅，1 = {∅}，2 = {0,1} = {∅，{∅}}

而且，有序对⟨x的标准定义，y⟩是{{x}，{x，y}}。

由于x0没有孩子，因此d（x0）必须是∅。 然后它遵循d（y0）= {d（x0）} = {∅} = 1.现在

d（z0）= {d（x0），d（y0）} = {0,1} = 2。

此外，D（z1）= {2}。 它遵循它

D（x1）= {0}，d（y1）= {1}，d（z1）= {2}。

然后

d（x2）= {d（y3），d（x1）} = {{0，d（y2）}，{0} =⟨0，d（y2）⟩d（y2）= {d（z3），d（y1）} = {{1，d（z2）}，{1}} =⟨1，d（z2）⟩d（z2）= {d（x3），d（z1）} = {{2，d（x2）}，{2}} =⟨2，d（x2）⟩

结果是我们可以在等式（2）中返回我们的原始流系统，然后通过放下我们的大图并装饰它来解决它。 解决方案是

x†= d（x2的），y†= d（y2），z†= d（z2）。

超出超阱或非井下的组是通过装饰任意图而获得的集合。

另一种关于SUPERSETS的思考方式是设置方程的系统，因为我们为流和树木做了它。 通过这样的系统，我们的意思是一个集合x，我们将其视为变量（任何集合将执行），然后从x到其电源集的函数e℘x。 也就是说，每个变量上的E值再次成为一组变量。 设置系统和相关概念与以下方式对应于图形的内容：

图表（g，→）设置方程式（x，e）G组的节点Gtheblesthe关系→在Nodesthe函数e：x→℘xthex x in gthe set e（x）∈℘xa装饰系统的Grapha解决方案

每个图表对应于设置方程的系统，反之亦然。 例如，对应于我们将采取的（9）图片

x = {x0，y0，z0，x1，y1，z1，x2，y2，z2，x3，y3，z3}

e（x0）=∅e（x1）= {x0} e（x2）= {x1，y3} e（x3）= {z0，x2} e（y0）= {x0} e（y1）= {Y0} E（y2）= {y1，z3} e（y3）= {x0，y2} e（z0）= {x0，y0} e（z1）= {z0} e（z2）= {z1，x3} e（z3）= {y0，z2}

因此，从图片到函数的方式是每个设置e（v）是v的一组v。在我们之前看到的那种符号方面，我们更愿意以ELIDE E的方式编写这个系统：

x0≈xx1≈{x0}x2≈{x1，y3}x3≈{z0，x2}y0≈{x0}y1≈{y0}y2≈{y1，Z3}Y3≈{x0，y2}z0≈{x0，y0}z1≈{z0}z2≈{z1，x3}z3≈{y0，z2}

对非井下集的研究建议将每个图视为独特集的图片。 为了做出这项工作，设定理论需要某种改变。 原因是在最常用的集合ZFC中不存在像Ω= {Ω}的设置。 这是由于基础公理（FA）：我们将在下面第2节进一步讨论此问题。 目前，FA意味着具有装饰的唯一的图表是箭头后不含无限点的图形。 我们制作的集合理论的变化只是用一个被称为AFA的不同之一来取代这个Axiom Fa。 AFA的内容是每个图表都有一个独特的装饰（或者，每个设置方程系统都有一个唯一的解决方案）。

与此同时，对普通集合有一个减少。 这意味着人们可以将所有讨论的过度讨论为仅仅是缩写。 这种减少相当复杂，我们将在适当的时候展示它。

采用AFA不仅有助于循环定义的集合，而且还有助于流和树木。 正如我们所提到的那样，如果一个使用FA，则根据我们的定义没有流或树。 也就是说，n∞实际上是带有fa的空集，如tr。 但随着AFA，这些套装是非空的。 此外，可以证明在AFA下，n∞和TR有一个人希望它们具有的属性。 （例如，人们可以证明n∞以我们讨论的方式对应于函数空间Nn。）最后，解决所得到的理论，提供了用于研究诸如流和树等循环定义对象的集合的工具。 这一点是，这是一个Axiom AFA给了我们所有这些等等。

1.3.1术语和历史

1983年首次由Marco Forti和Furio Honsell学习的Axiom AFA。他们的论文（Forti和Honsell 1983）研究了许多公理，这与基础Axiom Fa相矛盾，继续在设定理论中进行更旧的工作处理FA的替代品。 他们称之为X1的人相当于现在所谓的AFA。

Peter Aczel的书（1988）对待违反FA的许多公理，但它对AFA表示最关注。 它还证明了该主题中的许多重要结果，包括本条目中提到的一个。 Aczel自己对该主题的入口是他一直在努力的语义建模领域，了解沟通系统的微积分（CCS）。 他发现它很自然地提出了一个设置的理论语义，但最明显的建模似乎遇到了基础的问题。 建议改变设定理论的公理以便应用主题是一个大胆的步骤。 通常它是狂热的举动。 对于大多数人来说，人们抵制了这个想法：当提案可能会以更标准的形式投放（可以使用AFA的工作，人们想知道为什么人们想要用标准理论篡改; 当不能以标准方式投射时，接收更差。

ACZEL的工作成为两个研究领域的影响力。 他于1985年访问了斯坦福国，其中Jon Barwore是语言和信息研究中心的主任（而这篇作者是那里的文件后）。 Barwise认识到工作的价值，部分原因是他在自己的情况下对地基进行了类似的问题，部分原因是他在工作中看到了一个有吸引力的概念，这与迭代概念有可能为他接受智慧，几乎所有其他人在数学逻辑的主流传统中提出。[5] 他认为应该被反映概念变化的名称调用非良好的套装，并且他提出与非标准分析的溢流数平行呼叫过度。 这个术语在大多数情况下都没有卡住，但也没有完全过时。 在此条目中，我们将互换地使用这两个术语。

也许我们在本入口处学习的工具的第一次严重应用来自这一时期。 这是摇摇晃晃的是骗子（BarWise和EtipeMendy 1987）的书。 其提案是对真理理论的贡献。 由于我们对SUPERSETS的那些应用没有兴趣，因此我们抵制了进一步讨论问题的诱惑。

ACZEL的书也立即有影响力地对理论计算机科学的语义问题的人们。 这不是因为它提出了关于集合理论的问题，而是因为它显示了使用基地的分类概念的价值。 本书的主要用途是将某些概念组织成优雅的主题。 但很明显，这种概念可以自己研究这本书的主题，这些主题有一个申请领域比纯粹的集合理论更宽。

此条目反映了所有这些来源的影响。 要确定，我们将在使用AFA获得的集合理论上看到主要结果。 此外，我们展示了足够的理论，以便有人需要阅读使用它应该能够开始这样做的文件。 我们还强调了该主题的概念性下划线，并将它们与更多标准的基础工作进行比较。 这几乎没有完成关于该主题的技术文件，但应该对哲学的几个领域的人感兴趣。 最后，我们的工作纳入了在ACZEL 1988出版后的众年上来自CooldeBrae Research Confire的许多想法和结果。

我们将本节缔结了以下两个补充文件的链接：

通用Harsanyi型空间

自相似的实数

这些包含介绍性点，以至于我们将在本条目结束时重新审视（再次在补充文件）。 分离的原因是，讨论的问题涉及到博弈论和一方面的测量理论，以及另一方面的分数分和度量空间。 也就是说，讨论并不完全设定理论。 此外，我们所有补充剂的数学先决条件大于本入口的主体。 它们可能会被省略而不会失去主线程。 然而，我们强调，本入口中提出的整体理论确实确实将所有这些圆形的圆形情况“在同一屋檐下

2.基础和反基础公理

我们故事的设定的理论一侧连接到两个公理，基础公理和反基础公理。 我们在这里介绍它们，并讨论一些相关的集合概念。

2.1集理论背景

我们开始提醒一些集合理论的基本事实。 人们可以在主题上的任何教科书中找到更多教科书，也可以参加集合理论，特别是在其补充文件基本集理论中。

电源集。 对于任何SET S，S的电源集是S的一组子集。 我们将此设置为℘（s）或正如℘s。

配对。 Kuratowski有序对⟨a，b⟩的两个组a和b是{{a}，{a，b}}。 [6]集合理论的标准呈现定义和研究该配对操作方面的关系，功能等。 然后，可以证明关于这些概念的所有数学事实都可以在集合理论中证明。

自然数。 人们还可以定义自然数字的版本：0 =∅，1 = {∅}等。再次，可以证明它们的数字和功能的所有事实都可以证明它们的结构理论。 事实上，基本上所有的数学事实都可以在正式中说明并证明设定理论。

联盟和传递闭合。 对于任何SET A，∪a是a的元素的集合元素集。 如果它的每个元素也是它的子集，则设置是传递的。 A的传递闭合是

一个∪∪a∪∪∪a...。

此集合表示TC（A）。 它是包含作为子集的最小传递集。

定理[CANTOR]。 对于所有集合S，所有功能F：S→℘s，f不是形状的。 实际上，{x∈S：x∈F（x）}不在图像集f中[s]。 （这里，图像集F [S] = {F（x）：x∈S}。）

证明。 让C = {x∈S：x∈F（x）}。 假设对C'F的矛盾是矛盾的。 修复一个∈s，使得c = f（a）。 然后是一个∈c iffa∈F（a）iffa∈C。

推论。 对于所有集合S，℘s不是s的子集。

证明。 如果℘s⊆s，我们将一个函数f从s到℘s：让ff（f）= a如果是一个，否则让ff（f）=∅。 所以我们不能拥有℘s⊆s，以免我们矛盾的定理。

Corollary [Russell的Paradox] ..没有集合r，使每个集合属于R.

证明。 这样的一套将具有℘s⊆r，特别是⊆，与我们的上一个结果相矛盾。

鉴于其内容，我们呼吁上次结果拉塞尔的悖论。 我们的陈述也不是我们的证据是最标准的。

有序的集合和序号。 我们需要几个地方需要序数的概念。

有序的集合是一对w =（w，＜），其中＜是集合w的关系，它是一个严格的线性顺序，并且每个非空子集的属性都具有＜-least元素。 例如，（n，＜）是一个井顺序，其中＜由此提供

0＜2＜4＜...1＜3＜5＜..

人们可以使用替换公理显示，每次有序的设置都有独特的装饰。 序数（或序数）是一组形式D（w），用于某种有序的设置（w，＜）和一些w∈。

一个人通常使用诸如α和β的希腊字母进行序数，并且还为α＜β提供∈β。 有多个标准事实有关序数，包括以下内容：

如果α是序数，则α{α}也是如此。

自然数的标准建模使它们呈现为顺序，并且自然数的设定ω也是一个序数。

序数号不是集合。

除非不是一组，序数号码与＜具有良好有序集的所有属性。

如果α=β{β}，则序数α是某些（其他）β的继承序数。 既不是0也不是后继序数的秩序称为限量序列。 最小的极限序数为Ω; 它是D（1）在上面看到的井顺序，0＜2 ＜4＜... 1＜3＜5 ＜..

累积层次结构。 有一个独特的操作，采用秩序α来设置Vα

V0 =∅vα+ 1 =℘vαvλ=∪βλ的λ＜λvβ极限序数

该零场冷却公理。 我们不会在这里陈述他们，但看到集合理论的条目。

类。 设定理论的公理不是围绕集合宇宙的围绕。 理论的直观原则之一是，数学对象的任意集合“应该是”集。 由于悖论，这种直观的原则在标准设置理论中不直接正式。 从某种意义上说，一个人的确实旨在给出足够的集合来构成数学宇宙，同时没有这么多风险不一致。 但是，在这方面是很自然的，以考虑一些易于设置的物体集合。 这些称为适当的类。 术语类非正式地指的是数学对象的集合。 类通常不是集合中的一流对象。 （当然，它们不是最标准的集合理论，ZFC。但是，替代公理设定理论的SEP进入确实提到了几个将课程视为一流的物品的理论。）相反，关于其他一些课程的声明被视为其他一些（更多关于集合的复杂和通常不太直观）的陈述。 这可能不是讨论形式化细节的好地方; 一个有用的来源是Azriel Levy（1979）的第1章。

出于我们的目的，课程可以作为集合宇宙的可定义亚级。 例如，如果a是任何设置，那么所有设置为元素的所有集合的类都是{x：a∈X}。 在指定类时，可以使用具有隶属符号的一阶语言和逻辑的其余语法，并且还可以使用特定集合作为参数，就像我们刚才完成一样。

所有集的V类是{x：x = x}。 这里的可定定性在一阶逻辑中，只有一个符号为∈成员资格，并且量词范围在集合上（不是类）。 另一类兴趣是WF，所有良好成立的套装的课程。 这与∪α相同，该组属于某些序数α的Vα。

如果c是一个类，我们定义了C，℘c的电力类

℘c= {x：对于所有y，如果y∈X，那么φc（y）}，

其中φc是定义c类的公式。重要的是在这个定义x中，x范围窗口而不是类; 所用的正式语言在第一个不直接谈论课程。 例如，℘v= v，和℘（wf）= wf。 我们还以相同的一般方式定义其他操作的操作。 例如，有限功率集℘fin将C类T级C为C的C.

2.2基础公理

基础公理（FA）可以以不同的方式说明。 以下是一些配方; 它们在其他公理存在下的等价是基本集合理论的标准结果。

没有无限的套件

x0∋x1∋x2 x2 ... xn∋xn + 1∋..

其每个术语是上一个术语的一个元素。

对于每个非空组X，有一些Y x x使y∩x=∅。

让A有任何集合，让F：℘a→a。 让B成为任何传递集。 然后有一个唯一的函数g：b→a，使得所有x∈b，g（x）= f（g [x]）。

对于每个SET X，有一个序数α，使得x≠vα。

v = wf。

第一个可能是最容易记住和思考的。 第二个是重要的，因为它是最容易以一阶逻辑表达的。 第三是递归原则; 我们将在第4.4节中考虑一个密切相关的原则。

2.2.1集合的迭代概念

正如我们所看到的，FA的一个配方说，每套都属于一些vα。 这是集合迭代概念的数学制定：集合只是通过迭代井下序类的功率集操作来实现的。 我们没有什么，空的集。[7] 这是v0。 然后我们形成v1 =℘v0。 然后v2 =℘v1。 继续，当我们来到第一极限ω时，我们将vΩ作为所有集合Vn的联合。 然后我们前往Vω+ 1 =vω。 我们将永远持续这样的生活，经历“所有序数”。 所描述的集合是集合的宇宙v。

这种描述迭代图片的方式表明，在某种方式“之前”在某种程度上存在“之前”，或者至少它们与剩余的套件相比的生命。 有一种不同的方法来了解迭代构想，一个强调电力集合操作的迭代与替换公理之间的和谐：因为一个迭代电源集公理，出现越来越多的顺序的组。 替换允许我们装饰这些有序的集合，在过程中创建新的秩序。 因此，整个画面是平衡之一。 实际上，这一点可以涉及任何“迭代”的任何“迭代”：在“侧面”推动动力集理的“侧面”推动之间的“侧面”推动的“向上”推动替换公理的“向上”推动的情况下，可以进行措辞。[8]

使用基础公理。 FA在数学的形式化或无限内的研究中发挥作用。 这是数学的“可选额外”。 FA用于澄清我们的套装的图片，就像我们所描述的那样。 这通常具有大致如以下形状的隐式参数：

一个论点。 一个人沿着以下行理致力于对FA（：

罗素的悖论表明，没有一套所有集合：V类不能成为本身的成员。

迭代图片显示为什么没有设定可以是本身的成员。

迭代图片还提出了每种集合属于某些vα的形式。

因此，FA反映了一张避免罗素的悖论的图片，因此接受它是明智的。

这里的Rejoinder是可能还有其他直观的图片或概念，也可以解释或绘制悖论的课程。 因此，在这方面，他们会像FA一样明智。

由于FA起概念角色但没有数学作用，因此对标准集理论ZFC的重要组成部分是否存在广泛不同的看法并不令人惊讶。 对于关于FA的角色的一系列报价，请参阅Barwise和Moss（1991）。