十九世纪几何（二）
4.公理学完善
根据亚里士多德的说法，科学知识（履行）必须以宣告，从宣告中遵循的陈述，从减少自我明确陈述（公理）（公理）的有限清单，只能使用从自我理解的术语（基元）的有限列表中定义的术语。 对于超过两千年，通常认为亚里士多德的理想实际上是在欧几里德的元素中实现的。 事实上，EUCLID I.1的逻辑间隙已经存在（解决问题的解决方案依赖于不列颠连续性的假设），并不清楚欧几雷德认为他的假期视为不言而喻（通过呼吁他们'请求'他建议他没有）。 通过逻辑推导来保护知识的想法从无可责任的原则中对伽利略和牛顿等现代科学家的强大迷恋，这些科学家，其中两者都是一个深情地练习公理学的，以任何速度作为文学形式，如他的道德。 仍然是一个真正令人满意的，如果可以这么说，那么在Moritz Pasch（b。1843，d.1930）发表了在现代几何形状的讲座之前，打印直到1882年，在印刷中没有提供严重的知识的公理化实例。
Pasch观赏了几何形状作为一种自然科学，其其他科学的成功利用和实际生活中的完全利用“专门的几何概念最初与经验对象完全同意”（PASCH 1882，第III）。 几何形状与其他自然科学区别于其他自然科学，因为它直接从经验中获得了很少的概念和法律，并通过纯粹的演绎手段来获得更复杂现象的法律。 几何形状的经验基础被PASCH封装在基本概念和基本陈述或公理的核心中。 基本概念是指身体的形状和尺寸和它们的位置相对于彼此。 它们没有定义，因为没有定义可以取代“适当的自然对象的展览”，这是理解这种简单，不可减少的概念的唯一道路（同上，第16页）。 所有其他几何概念必须最终根据基本概念定义。 基本概念通过公理彼此相连，“在某些非常简单的图表中陈述了观察到的内容”（第43页）。 必须通过最严格的演绎方法从公理中证明所有其他几何陈述。 必须在公理中记录证明它们所需的一切，无例外地记录。 因此，这些必须体现整个几何形状阐述的整个实证材料，因此“在建立它们之后，不再需要诉诸感知感知”（第17页）。 “在证据中发生的每一个结论都必须在图中找到它的确认，但它不受图表的合理性，而是通过明确的先前声明（或定义）”（第43页）。 PASCH清楚地了解他的方法的含义。 他写道（第98页）：
如果几何图形是真正的演绎，则推断过程必须与几何概念的含义的所有部分都是独立的，就像它必须独立于图表一样。 所有需要考虑的都是几何概念之间的关系，记录在陈述和定义中。 在扣除过程中，既允许和有用的是牢记在其中发生的几何概念的含义，但并非必要。 实际上，当它实际上是必要的蜜蜂时，这表明证明存在差距，并且 - 如果通过修改论证不能消除间隙 - 所以房屋太弱以支持它。
PASCH对现代几何的讲座处理投影几何形状。 欧几里德几何形状的第一次公理化由大卫希尔伯特（第1862号）的几何标准 - 几何图形的基础（b。1943） - 于1899年展示并对巨大的影响力二十世纪数学与哲学。 希尔伯特邀请读者考虑三个任意集合，他称之为“点”，“直线”和“平面”，（i）点和直线之间的五个未定义的关系，（ii）一条直线和平面，（iii）三点，（iv）两对积分（'段'）和（v）两个等同类的点三元组（'角度'）。 在希尔伯特20个公理中规定的条件 - 包括在第二版中添加的完整性的公理 - 足以表征所述对象和相同位的关系。 然而，结构等价 - 可以在不同，直观地不同，对象系统之间保持。 希尔伯特为自己提供了本特征的公理理论，用于研究一些公理的独立性。 为了证明，他提出了由所有公理确定的结构的实际情况（模型），而是一个，加上省略的结构。 弗赖吉抱怨说，在这些练习中保留的几何公理可以通过篡改单词的自然含义来应用于希尔伯特的远射模型（CF.Alice与Humpty Dumpty的谈话）。 希尔伯特于1899年12月29日回答：
每个理论只是一个脚手架或概念的架构以及必要的相互关系，并且可以以任何方式构思基本元素。 如果我考虑到我的任何系统系统，例如，系统爱情，法律，烟囱扫描，......以及我只是假设我的所有公理如何作为这些事情的关系，我的定理 - 例如，毕达哥拉斯的定理 - 也掌握了这些东西。 ......理论的这个特征永远不会是缺点，无论如何都是不可避免的。
当然，所有这一切都是从公理学的本质，如从帕西报告的段落中所述。 实际上，这种真实保留的语义排放是Gergonne（1771-1859）在1825年提请注意的几何中没有新闻，以以下原则为代骨原则：投射飞机几何的任何真实陈述都会产生另一个，同样真实通过代替“点”，“同时”，“同时”，“同时”，“与”加入“，”联接“，反之亦然是通过的，从而在前者发生。 （在投影空间几何形状中，二元性持有点和平面。）当然，通过交换不是单词来保护相同的结果，但其含义。
5. riemann的差异几何形状
在讲座中，“关于在几何基础上的假设”，于1854年在1854年在Göttingen哲学哲学的哲学，并于1867年出版，伯恩哈德里姆曼（b。1826年，d。1866）就此问题提出了一些彻底的创新意见。 他注意到，可以通过计数容易地确定离散歧管的可测量性质。 （想想一个国家的人口，以及出生的基督徒的比例，或者在他们婚姻的第一年中离婚的夫妻。）但是持续的歧管不承认这种方法。 特别地，物理空间的可测量属性，其是几何体的主体，取决于作用于其的绑定力。 可以用杆或磁带或通过光学装置确定空间中的两个点之间的距离，结果基本上取决于所用仪器的物理行为。 到目前为止，根据欧几里德几何形状成功地描述了空间的可测量特性。 然而，“空间的度量确定的经验概念是基于刚体的概念和在无限较小的小型中失去其有效性的概念; 因此，很可能在无限小的空间的度量关系不同意几何形状的假设，实际上，只要以更简单的方式解释现象“（Riemann 1854，P. 149）。 为这一目标准备物理学家，黎曼提出了一种更一般的几何构想。 Riemann的基本计划比他实际达到更大的普遍性; 但是，在他的判断中，它应该足够的时间来表征连续歧管的几何形状，使得它在每个点的小社区上用欧几里德几何来最佳地同意。
Riemann延伸到N尺寸Gauss（1828）在欧洲群空间中嵌入在欧几里德空间的固有几何形状的研究中（称为“内在”的研究，因为它描述了表面自身显示的度量属性，独立于他们在太空中的方式）。 回顾Gauss的工作，获得Riemann概念的更好直观的感受（参见Torretti 1978，PP。68-82）。 然而，为了简明和明显，建议我们期待和利用以后的数学家引入的某些概念，因为他们试图了解riemann的提议。 考虑瑞马在补充中的现代制定瑞马理论的现代制定。
在他对弯曲表面的研究中，高斯推出了一种真实值的函数，高斯曲率，这在表面的内在几何形状方面测量了表面的局部偏差。 riemann将这种曲率的概念扩展到riemannian n-fimbolds。 通过使用他的扩展曲率概念，他能够以优雅的方式表征，公制歧管，其中所有数字都可以在不改变其尺寸和形状的情况下自由地移动。 它们是恒定曲率的riemananian歧管。 这个想法可以很好地结合Klein的公制几何形状的分类。 被认为是黎曼3歧管，欧几里德空间具有恒定零曲率，Lobachevskian空间具有恒定的负曲率，椭圆空间具有恒定的正曲率。 根据ERLANGEN程序，这些恒定曲率的每个几何形状的特征在于它自己的一组体征。 但Klein的概念太狭隘，不能拥抱所有的riemannian几何形状，包括可变曲率的空间。 实际上，在一般情况下，Riemannian N-歧管的等体是由单独的身份组成的琐碎基团，其结构在各个几何形状中传送了任何信息。
6.谎言群体
对于哲学家来说，19世纪数学达到的巨大复杂性的最令人满意的特征可能是新创造的（或发现？）数学结构的迅速性地发现了他们进入实证科学的方式，实现了知识分子掌握和处理实际现象。 我们将在这项对19世纪几何形象的情况下结束了几种浅谈，有一些富有富有成效的结构，它在当前物理学中具有骄傲，即谎言群体，所谓的大碟谎（1842-1899），挪威数学家谁在1870年后深入研究了它们。当然，谎言组是在§3中遇到的代数感觉中的一个组，即，一个设置的g，使得（i）每个有序对＜x，y＞∈g与唯一的元素x·y∈G相关联（i）被称为x和y的产品或总和; （ii）产品操作是关联的，即（x·y）·z = x·（y·z），每个x，y，z∈g; （iii）存在一个且只有一个元素0≠g，使得对于每个x∈g，x·0 = 0·x = x（0是g）的标识或中性元素 （iv）对于每个x∈g，有一个且只有一个元素x-1∈g，使得x·x-1 = 0（x-1称为x的逆）。 但是一个谎言组也是一个平滑的歧管，如补充中所描述的riemann理论的现代制定：设置g可以通过实际值（或可选的复值）坐标的系统，通过定义良好的，可分辨率相互连接坐标变换，无论它们各自的修补程序都重叠。 G的组和歧管结构通过产品操作是G×g进入G的可分离映射来啮合在一起。
一个简单但重要的，谎言组的示例是基团所以（2），其由平面的旋转围绕任意的固定点的旋转。 歧管是拓扑结构的，因此不能被单个坐标贴片覆盖，但是三个会足以表示，一个包括超过三个弧度的逆时针旋转，并且少于四个，这可以在开放间隔中使用实际数字自然地协调（3，4）; 包括前者的反相的另一个补丁，其可以被映射到打开间隔（-4，-3）上，以及覆盖所有逆时针旋转的第三个覆盖较小的角度，并且顺时针逆转，可以映射到开放间隔（-IN，Π）。 实际上，我们在§3中遇到的所有群体，用于表征空间的欧几里德几何形状的Klein和经典的非欧几里德几何形状，是谎言组，它们各自的平滑歧管结构允许拓扑怪癖。 因此，欧几里德等物构成断开的歧管，镜面反射不包括在与欧几里德运动的子组相同的组件中。
与所有光滑的歧管一样，LIE组G具有连接到每个元件的切线矢量空间。 特别地，G的中性元件0的切线空间通过所谓的Lie括号的定义，将T0g×T0g的双线性映射到T0g的双线性映射，对于所有U，V，W在T0G中满足条件[u，u] = 0和jacobi标识：[u，[v，w]] + [v，[w，u]] + [w，[u，v]] = 0。G的谎言代数在g的结构上投掷了很多灯Orforphic（“指数”）映射0 t0g进入0°G的邻域。
在补充的现代制定riemann的理论中，我们触摸了纤维束的想法，由两个平滑的歧管F和m形成，通过将F的“投影”映射π绑定在M上，将歧管F分隔成“纤维”，映射到“纤维”。通过π到M的不同点。纤维束＜f，m，π＞变为主纤维束＜f，m，π，g＞如果称为束结构组的Lie组g，则以例如f的每个光纤是轨道的方式起作用达到行动和一些其他条件。 例如，Lorentz组是任何相对论的时期的四分之一的四分之一的四纤维（正交4元组）的结构组，无论奇异如何。 通过这种方式，Lie Groups提供了统一物理理论允许的许多模型的手段，并在它们之间引入某种程度的同质性。
在20世纪的最后三分之一，纤维束及其谎言群体几乎取决于基本物理学。 这不是解释如何或为什么的地方，但物理学的不可转化的演变在数学上更加复杂，Prima面对其主题的简单表现不太直接，值得哲学家的注意。 很明显，其中一个明确稳定的东西的概念，至少原则上，至少是原则上的，不再适合我们，因为它是我们的燧石雕刻的祖先。
