十九世纪几何（一）
1. Lobachevskian几何
2.投影几何
3. Klein的Erlangen计划
4.公理学完善
5. riemann的差异几何形状
6.谎言群体
补充：现代制定黎曼理论
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相关条目
1. Lobachevskian几何
欧几里德（FL.300 BCE）放置在他的元素的头部，一系列“定义”（例如，“一点是没有部分”）和“常见概念”（例如，“如果等于等于等于，则相等的”）“）和五个”请求“。 据说这些项目传达了推断定理所需的所有信息，并解决几何问题，但事实上他们没有。 但是，请求（AITEMATA） - 以任何汇率或欧几里德的证据在任何汇率中呼吁英语中的“假设”。 其中一些是明显的：
1.从任何点到任何点绘制直线。 3.使用任何中心和任何半径绘制圆圈。
然而，第五个听起来更像是事实的陈述。 欧几里德的文本可以用英语呈现如下：“如果直线[c]落在两条直线[a和b]上，则在同一侧的内部角度在小于两个直角的情况下，两个直线[a和b]，如果无限期地生产，会相机侧面的角度小于两个直角的角度”（为清楚地添加括号中的术语）。 这听起来很远。 尽管如此，它可以容易地作为构造三角形的配方而被释放，（参见图1.）每个三角形由三个共面的三角形形成，通过成对地满足三个点。 给定任何段PQ，绘制直线A到P和直线B到Q，使A和B位于同一平面上; 验证PQ的两侧之一的PQ的A和B在PQ中的一个角度验证的角度增加到少于两个直角; 如果满足这种条件，则应授予A和B在PQ的同一侧的点R处见面，从而形成三角形PQR。 此请求被称为“欧几里德假设”。 如果请求被拒绝 - 说，因为我们相信世界是有限的，如果问题中的内部角度加入到两个直角的内部角度，那么没有空间就会容纳顶点 - 那么欧几里德的几何系统都不会经历。
图1

在较暗的年龄之后，欧几里德的数学自由感丢失，哲学家和数学家预期的几何形状依赖于不言而喻的理由。 现在，如果A垂直和B几乎垂直于PQ，A和B彼此在PQ的一侧彼此接近，则不是不言而喻的，即它们最终必须在那方面的某个地方见面。 毕竟，夸张无限期地接近其渐近，而且，易于达到它们。 通过几个世纪，一些作者要求 - 并试图 - 欧几里德假设的证据。 John Wallis（b。1616，D.1703）从假设中衍生出它具有具有相同形状的不同尺寸的多边形。 但是，这种假设反过来需要证明。 Girolamo Saccheri（b。1667，d。1733）尝试过索赔。 他从欧几里德假设的否定中推断了一系列的命题，直到他达成了一个他宣布“厌恶直线的性质”的主张。 但Saccheri对这种“自然”的理解植根于欧几里德几何形状，他的结论求了问题。
在1820年代，Nikolai I. Lobachevsky（b。1793，d。1856）和Janos Bolyai（b。1802，d。1860）独立地解决了这个问题。 Lobachevsky建立了欧几里德假设一个替代几何系统的否定，他被称为“虚构”，并通过计算由所形成的三角形的内部角度的总和来测试天文学规模的有效性。天空上的星星。 Bolyai切除了欧几里德系统的假设; 剩余的臀部是“绝对几何”，可以通过添加欧几里德的假设或否定来进一步指定。 从1790年的Carl Friedrich Gauss（b。1777，d。1855）一直在同一方向上的主题，但他没有出版恐惧丑闻。 由于Lobachevsky是第一个发布的，基于上述“绝对几何”的几何系统系统加上欧几里德假设的否定是正确称为Lobachevskian几何形状。
上面介绍的建筑以解释欧几里德假设也可用于阐明其否定。 将直线A通过点PQ绘制直线A直角P. 如果欧几里德的假设被拒绝，通过Q，与A的COPLANAR有无数的直线，使PQ的急性角度为但从未见过a。 考虑一组真实数字，这是这些锐角的大小。 让这组的最大下限为μ。 显然，μ＞0。通过Q，与A的共面，与A的共面μ有两条直线，这使得具有PQ的尺寸μ。 （见图2.）调用它们B1和B2。 B1和B2都没有满足A，但A通过Q与Q相遇，这与A的共面，并使PQ具有小于μ的角度。 Gauss，Lobachevsky和Bolyai-UnbeKnst彼此相互关联 - 恰逢呼叫B1和B2到A到A至Q.μ称为段PQ的Parallellism角度。 其尺寸取决于PQ的长度，随后随后的增加而降低。
图2

假设PQ的Parallellism角度是一个半角度的半角。 在这种情况下，B1和B2在Q处形成直角，因此我们在同一平面上具有两个相互垂直的直线作为a，这不能满足a。
Lobachevsky的几何形状令人惊讶的定理（许多人已经发现了Saccheri）。 以下是一些：三角形的三个内部角度加到少于两根直角。 差异或“缺陷”与三角形的区域成比例。 因此，在Lobachevskian几何形状中，类似的三角形是一致的。 此外，如果三角形被分成较小的三角形，则整体的缺陷等于部件的缺陷之和。 由于缺陷不能大于两根直角，因此三角形区域具有有限的最大值。 如果通过施工具有三个直角，则第四个角必须锐尖。 因此，在Lobachevskian几何中，没有矩形。
Lobachevskian三角学的方程与标准球面三角学的方程之间存在简单的正式对应。 基于它，Lobachevsky认为他几何形状产生的任何矛盾都不可避免地通过欧几里德几何形状的矛盾匹配。 这似乎是最早的相对一致性证据的最早示例，其中一个理论被证明是一致的一种，其另一个理论 - 其一致性通常被视为理所当然 - 不一致。
Lobachevskian几何形状在1860年代后期之前收到了很少的关注。 当哲学家终于注意到它时，他们的意见就被分裂了。 有些人认为它是逻辑扣除的正式运动，没有身体或哲学意义，雇用普通词 - 如“直”和“飞机” - 具有隐蔽的意义。 其他人欢迎其作为足够的证据，与康德的有影响力的论文相反，欧几里德几何形状并没有表达人类经验的任何先决条件，并且物理空间的几何结构对实验查询开放。 其他人同意非欧几里德几何形状是合法的替代品，但指出物理实验的设计和解释通常预先推出了一个明确的几何形状，并且这一角色已被欧几里德的系统抢占。
无论哲学家可能会说，对于数学家Lobachevskian几何，如果没有发现在投影和差分几何形状中，第十九的两个主要电流尚未找到奇怪的好奇心-Century几何研究（§§2和5）。
2.投影几何
今天，投影几何在数学中没有发挥着重要作用，但在十九世纪末，它是现代几何形象的代名词。 脱肢（b。1591，d.1661）和pascal（b。1623，d.1662）雇用了投影方法，但后来被笛卡尔坐标的方法黯然失色。 然而，他们繁荣昌盛·维克多·吉隆力（第1788号，第1867号）繁荣，表明，数据的投影特性提供了至少与之强大的证据，并且肯定更直观，视言比令人信服表现出数字之间的数字设定和解决方程的笛卡尔术。
投影属性是由预测保存的属性。 以例如，使用两个平面γ和h以及它们以外的点p。 设φ是γ上的任何数字。 从P通过φ的每个点绘制直线。 由这些线达H的点形成的图形是来自P的φ上的φ的投影。通常该图将不同于φ的尺寸和形状。 但是在某些点处彼此相遇的任何直线的任何直线的投影通常由分别在这些点的投影中进行相同数量的H会议。 然而，如果使用某个点q的直线q的直线，γ从不符合h，因为pq发生在平行于h的平面上？ （见图3.）
图3

为了避免这种令人讨厌的例外，投影几何形状在空间中添加到每个直线的理想点，由与其平行的每一行共享。 连续性要求所有理想点都位于一个理想的平面上，它沿着不同的理想线遇到每个平行的平行系列。 原教旨主义者可能在这个看似肆意繁殖的实体繁殖。 然而，它已经在几个世纪以算术实施，因为自然数1,2,3，...的初始库存，零，负整数，非整数理由，非不合理理由，非构成性，以及所谓的虚数。
直线的积分站在邻里的相互关系和订单中。 要了解理想点如何适应这些关系，请围绕其交叉的直线M循环旋转。 （参见图4.）当H平行于PQ时，在时间t-从p的时间t- Q上的Q的投影是通过p和q的直线和q的理想点。在t前面的突起之前是一个普通点，远离m。 在t之后，投影再次是一个普通点，远离m，但在平面的另一端。 研究在围绕T的短时间间隔期间突出的连续位移，一个结论：如果A和B分别位于M的任一侧，直线通过A和B的理想点必须放置在A和B之间。因此投影几何形状，直线的点是循环排序的，即，像圆圈一样。 因此，投影空间点和投影平面点之间的邻居关系从标准几何形状熟悉的那些令人兴奋地不同，并且具有高度逆行的。 它可以说，投影几何形状意味着在人类思想中的更深层次和深远的革命，而不是仅仅是欧几里德的假设。
图4

在新设置中，可以解释地定义数字的投影属性。 如果将任何三个共线点A，B和C为三个点（a），（b）和（c），则投射空间的一个映射F的映射F也是CONSINATION。 投影物业（和关系）是由Collinations保留的物业。 以下是一些投影属性的示例。 三个或更多点：躺在同一个直线上; 躺在同一平面上。 三个或更多的直线：在同一点见面; 躺在同一平面上。 三个或更多架飞机：沿着相同的直线相交; 分享同一点。 曲线：成为圆锥形。 表面：是一只二次。
3. Klein的Erlangen计划
在一本小册子中发布的小册子（1872年），Felix Klein（b。1849，d。1925）占据了几何的巨大成长和多样化，并提出了许多分支机构的观点组织成系统。 从这个角度来看，可以说明几何分支的任务：
给定歧管和歧管的一组变换，以研究关于这些特征的歧管配置，这些特征不被组的变换更改。 （Klein 1893，第67页）
在十九世纪的数学中，“歧管”经常指定我们现在称之为一套，但克莱因显然有更多更具体的事物：
如果给出了n变量x1，...，xn，我们获取的...值系统如果我们让变量x独立地从-∞到+ +构成我们所要叫的东西...... n尺寸的歧管。 每个特定值系统（x1，...，xn）称为歧管的元素。 （克莱林1873，第116页）
如果s在任何一种意义上是歧管，则通过转换，我们的意思是s到自身上的单一映射。 很明显
如果T1和T2是S的转换，则复合映射T2○T1，其由T1组成，其次是T2，也是S的变换;
转化的组成是关联的，因此如果T1，T2和T3是S的转化，（T3○T2）○T1 = T3○（T2○T1）;
将每个S到自身发送的标识映射I的标识映射I是S这样的转换，因为任何转换T，T○I = I○t = t;
对于每个转换T，有变换T-1，T的倒数，使得T-1○T = i（T-1向其返回到由T）带来的每个点。
凭借条件（i） - （iv），S形成组GS的转换，以至于该术语在代数中的精确感。 GS包括子组，即包含I和满足条件（i）和（iv）的子集。 如果H是GS和φ的子组是S的一个特征，或其元素或部件的特征，其不受φ的变换的影响，我们说φ是H-不变的。 唯一的GS不变量是S的基数（即，歧管中的元素数量）。 另一方面，仅由单独的身份组成的组{i}，使每个可想象的特征术语。 在这两个极端之间，可以有许多不同的子组，具有各种有趣的不变性，具体取决于各个组结构。 如果s不是任意（结构）设置，但是如klein所述的数字歧管，它继承了来自实数字段的结构，这有助于表征GS及其不变的不同子组。 因此，连续变换组保留了拓扑特性（邻域关系），并且线性变换组保留了投影属性。
可以以这种方式修复度量特性吗？ 传统上，一个定义数值歧管的两个点（X1，...，Xn）和（Y1，...，Yn）之间的距离，作为（X1 - Y1）2 + ... +（XN - Y N）2的正平方根。 体内等待组由保持该功能的变换组成。 然而，这只是一个公约，通过确保几何是欧几里德的。 利用投影几何形状，Klein想到了更好的东西。 没有在所有投射空间上定义的点对的实际函数，是投影组的不变性，但是共线点四分之一的函数，称为横幂，这是一种不变的。 通过Arthur Cayley（b。1821，d.1895）绘制上班，Klein（1871,1873）认为是点四肢的横向比＜p1，p2，p3，p4＞。 这样P3和P4属于突起平面上的给定圆锥κ，而P1和P2范围在由κ限定或以其他方式固定的区域R上。 由于P3和P4必须是直线通过P1和P2达到κ的点，所以所述横乘可以被视为点对＜P1，P2＞的函数。 将给定圆锥形映射到其自身形成一个组的Collinations，并且所述函数显然是该组的不变性。 Klein表明，这种功能的某种功能表现得像普通距离功能一样。根据圆锥形κ的性质，通过该功能确定的结构满足（i）欧几里德平面几何形状的所有定理，或（ii）所有的结构Lobachevskian架几何形状，或（iii）克莱因自己发现和称为'椭圆形'的第三几何形状。 （在椭圆形几何形状中每一条直线相遇，三角形的三个内角总是加起来增加了两大角。Klein的欧几里德和Lobachevsky的几何形状的名字是'抛物线'和'分别为双曲线。）
这就是Klein的方法如何在飞机上为Lobachevskian几何工作。 让κ是一个真正的圆锥形圆锥形圆锥，仅包括实际点 - 在投影平面上。 让Gκ是将κ上κ上的所有Collinations的集合。 Gκ是投射组的子组。 现在考虑点四分之二的横比＜p1，p2，p3，p4＞使得p3和p4属于κ，而p1和p2在由κ限定的真实平面区域的内部int（κ）上。 （p∈int（κ）如果才能且仅当p是实点并且没有真正的切线通过p.）如上所述，选择点P1和P2修复P3和P4，因此可以将所述横乘值被视为第一对的函数只有点，比卡（P1，P2）。 功能fκ显然是Gκ的不变。 PutDκ（P1，P2）= C logfκ（p1，p2），其中c是任意的实值常数，不同于0，并且log x表示x的自然对数的主要值。 Klein能够表明DK表现得正当在int（κ）上的Lobachevskian距离功能。 换句话说，Lobachevskian几何形状的每个定理对于由int（κ）的点形成的合适图，如果这些点中的任何两个之间的距离由函数dκ给出。 例如，考虑Int（κ）的四个点P1，P2，P3和P4，使得Dκ（P1，P2）=Dκ（P2，P3）=Dκ（P3，P4）=Dκ（P4，P1）。 它们是Lobachevskian等边四边形Q的顶点，其可以具有三个直角，在这种情况下，Q的第四内部角度必须是尖锐的。 （其中'正确的角度'表示像往常一样，如果一个是由Gκ的变换），则据说是等于其相邻角度的角度等于其相邻角度，并且在int（κ）中的两个角度相等。
如果κ代表不同类型的圆锥形，而不是普通的真实，则通过上述过程获得的功能Dκ在突出的平面的适当区域的区域上表现在欧洲距离功能或类似于椭圆几何的距离功能（这取决于圆锥形κ）。 因此，取决于κ是否属于三种圆锥中的一种或另一种，将κ上κ本身的群组组与三组Lobachevskian，Euclidean或椭圆等异象中的一个结构相同。 与三维壳体相似的结果，具有κ一种二次表面。
Klein的结果LED Bertrand Russell（b。1873，d。1970）在他的新康安书上宣称几何（1897年）的基础，即普通“外部性形式”是投影中的先验几何形状，但其公制结构 - 只能是Lobachevskian，Euclidean或椭圆形 - 必须通过实验确定后验。 HenriPoincaré（b。1854，d。1912）采取了更激进的立场：如果几何学只是对一个团体的研究，
有人可以说，欧几勒的几何形状的真相与Lobachevsky的几何形状的真理不兼容，因为一个组的存在与另一个组的存在不兼容。 （Poincaré1887，p。290）
在物理学中的应用是立即的：“在所有可能的组中，我们尤其选择了一个，以便引用它的所有物理现象，就像我们选择三个坐标轴一样，以便将它们引用几何图”（同上，第291页）。 这种特定群体的选择是通过其数学简单的动机，也是由于“本质上存在一些称为固体的物体，并且经验告诉我们这些体的不同可能运动与不同的操作相同的方式相同所选组”（同上）。 这些普内加雷斯的言论称为常规主义在科学哲学中的开始，并提供了初步动机。
Klein的群体 - 几何的理论观点在数学家和哲学家之间享有很多青睐。 当Minkowski（1909）展示了爱因斯坦特殊的相对论的要点是Lorentz集团的（Spacetime）几何形状时取得了重大成功，这是Klein（1911）居住的重要结果。 它意味着最近关于Minkowski Chronogeomicry在Lorentz Invariance的优先级的争论完全是空闲的，因此对于这些是相当的，因此，实际上，同一硬币的两侧（如上所述Acuña（2016））。 然而，Klein的Erlangen计划未能覆盖Riemann（§5）的差分几何形状，其中Einstein（1915,1916）放置在他一般的相对论的核心。
