数学原理（六）
5.3第四部分：关系算术
关系算术是对基于任意关系的相似性基于相似性的类似类别的基本和序数的概括的研究。关系p类似于关系q，如果有一个一对一的关系s（一个相关器）将p的域与q的域相关联，以便如果x \ relp y对于某些x和y，则如果x \ rels，则w和w \ relq z，然后z \ relbs y。映射s是关系p和q之间的同构。然后，关系编号将是彼此相似的一类关系。然后，关系算术将基本算术的概念（例如总和和产品）概括为任意关系数。罗素本人感到遗憾的是，第四部分中的材料并没有得到他的同时代人的仔细研究（Russell 1959：86）。如果一个系列\ relp排序良好，则与\ relp的关系类别类似的类别将是一个序数。在Tarski（1956）中研究了序数的总和，但是对PM的这些部分中提出的关系算术的更一般的概念几乎没有兴趣。参见所罗门（1989）。
顺序相似性
∗ 151·01 p和q是类似的\ eqdf \存在的[s：\ domain \; p \ stackrel {1-1} {\ longrightArrow} \ domain \; q \ amp p = s \ circ q \ circ {\ relbs}]]
p和q是类似的，书面p \ smor q，以防万一，如果x \ relp y，x \ rels z和z \ z \然后w \ relbs y。
P和Q系列的总和P \ oplus Q定义为：
\ begin {align} \ tag*{∗ 160·01}＆\ p \ p \ oplus q \ eqdf \\＆\ quad \ Quad \ {\ langle x，y \ rangle | \; x \ relp y \ lor x \ relq y \ lor [\存在z \ relp x \ lor x \ relp z）\; \ amp \; \存在z（z \ relq y \ lor y \ relq z）] \} \ end {align}
正如标题上的那样，指向 * 160：
…我们可以将p和q的总和视为x和y之间的关系，当x和y之前的x之前x和y之前，x系列或x系列x之前x，或x属于p系列，y属于p系列，y属于y Q系列。
P和Q系列的Q \ otimes P的产物将P的田地成员对与Q领域成员对如下所示。 （这不应与 * 34中定义的相对产品的更熟悉的概念相混淆。
当它被放在头衔中∗ 166：
产品\ relq \ otimes p是……与其领域具有的关系，所有夫妻都可以通过在c'p中选择a引用和c'q中的Relatum中形成。这些夫妻由\ relq \ otimes \ relp根据以下原则进行安排：如果一对夫妇的相对具有与另一个相关的关系\ relq，那么我们将一个与另一个相关，如果是另一个相关的关系夫妻是平等的，而一个人的指称具有与另一个指南的关系\ relp，我们将一只属于另一个。
\ begin {align} \ tag*{∗ 166·112}＆\ \ \ \ langle x，z \ rangle q \ otimes p \ langle y，w \ w \ rangle {} \\＆\ quad \ quad \ quad \ equiv [（x，x，x，x，y \ in \ p \; \ amp \; zqw] \ lor（z = w \; \ amp \; xpy）\ end {align}
（请注意，尽管两个二进制关系的总和是二进制关系，但它们的产品是对之间的关系。这是从类别到关系的概括，即两个类别的相对产物的基数是同类的基数从每个元素中有序成对的元素。）可以证明结果表明产品与关系和数字总和之间的差异。关系的产物是关联的：
\ tag*{∗ 166·42}（p \ otimes q）\ otimes r \ text {与} p \ otimes（q \ otimes r）合为相似
关系以一种方式分布：
\ tag*{∗ 166·45}（q \ oplus r）\ otimes p =（q \ otimes p）\ oplus（r \ otimes p）
但是，总体上并不认为：
p \ otimes（q \ oplus r）=（p \ otimes q）\ oplus（p \ otimes r）。
为了将有理数和实际数字定义为关系之间的关系，有必要定义与关系相关的个人之间的顺序关系，即在关系的域或范围或范围（字段）中。这在∗ 170的摘要和定理中描述如下：
…\ alpha据说在\ beta之前……如果我们考虑了两个类\ alpha -\ beta和\ beta -\ alpha，则有\ alpha -beta的成员 - \ beta的成员没有\ beta的任何成员 - \ alpha- \ alpha 。（第二卷，1912：411和1927：399）
∗ 170·01 \ alpha在关系p \ alpha p_ {lc} \ beta \ equiv \ equiv \ equiv \ exatist x \ in（\ alpha -beta）\ amp \ amp \ lnot [y \ in y in y（y in in y in y in y in y in y in y in y in y（y in） \ beta- \ alpha \ amp y \ relp x）] \}
关系数的总和和产品的概念定义为关系的总和和产品的关系数，并进行了调整，以使关系类型均匀，并且数字包含不相交关系，如在上面∗ 110中基数的总和定义。如果x和y是关系编号，则它们的总和为x \ dot {+} y，并且产品为x \ dot {\ times} y。
事实证明，关系数的总和是关联的，而其他属性则直接从关系的总和和产品产物的相应属性中遵循。在许多定理中，关系数的总和是关联的事实：
\ tag*{∗ 180·56}（y \ dot {+} x）\ dot {+} \ rho = y \ dot {+}（x \ dot {+} \ rho）
关系编号在关系数量中的共同数字的分布以一种形式存在：
\ tag*{∗ 184·42}（x \ dot {+} \ rho）\ dot {\ times} y =（x \ dot {\ times} y）\ dot {+} } y）
5.4第五部分：系列
一个系列（线性排序）定义为一种关系，该关系是不reflexive \ forall x（\ lnot x \ re rr x），transitive \ forall x \ forall y \ forall y \ forall z（x \ realr y \ y \ amp y \ amp y \ relr z \ supse x \ supse x x \ re rrr z），并连接\ forall x \ forall y（x \ ryr y \ lor y \ re rr x）。 （ * 204·01）（这些属性仅限于每个关系的特定域。因此，连接的关系将在给定域的任意两个成员之间保持。）现在称为给定集的线性排序。
序列
因此，\ alpha的顺序是其直接继任者。如果\ alpha具有最大值，则序列是最大的直接继任者；但是，如果\ alpha没有最大值，则不会有一个\ alpha的术语立即由\ alpha的顺序成功。在这种情况下，如果\ alpha具有单个序列，则序列是\ alpha的“上限”。 （PM II，“ * 205的摘要”，1912：577或1927：559）
Dedekindian关系
当[Dedekindian》中，我们将其称为“ Dedekindian”。 （PM II，“ * 214的摘要”，1912：684或1927：659）
换句话说，当每个类\ alpha都具有相对于r的最大值或序列时，\ pmlt等关系r是dedekindian。这是标准定义，每个段都具有上限至少上限的标准定义。至少上限将是集合的最大值，或者是最低的个体，大于集合的所有成员。
6。第三卷
6.1第五部分：系列（续）
有序系列的基本特性。
在 * 250·51处，我们找到了一个证据，即选择的公理遵循良好的原理，即每个集合都可以井井有条。
一系列序数
在PM的简介中将“ Burali-Forti”悖论描述为可以通过类型理论解决的矛盾之一：
可以表明，每个有序的序列都有一个序数……并且所有序数（按数量级）的序列均已井井有条。 \ Omega说，所有序列的系列都有一个序数。但是在那种情况下，包括\ omega在内的所有序数具有序数\欧米茄 + 1，必须大于\ omega，因此\ omega并不是所有序数的序数。 （PM I，1925：61和1910：63）
在 * 256中，我们发现在观察序数类别的相对类型中，分辨率的分辨率。作为同构序列类别的序数数将比其成员高。所谓的“所有序数的序数数” \ Omega将仅限于其成员的序列类型上方的类型。就像没有所有类（某种类型或其他类）的类中一样，所有序数也没有序数。
定理 * 256·56表明，“在较高类型中，有比在较低类型中发现的序数更大”。 （PM Vol.III，75）
Zermelo的定理
* 258·326假设选择的公理，每个组都可以很好地排序。
Zermelo定理的证明遵循Zermelo的“新证明”（1908年）。与∗ 250·51一起，这表明选择的公理等效于井顺序。
跨足的祖先关系
* 257中对“经遗传性”特性的讨论构成了罗素（Russell）在Russell（1959：86）中报道的Reichenbach中指出的“诱导”的讨论。
有限序
在 * 262中显示的每个无限有序的串联都由一个序列（有序的）进行。 （\ Omega Orderings）。
一系列Alephs
Hausdorff在（1906年）中的结果，\ Omega_1，第一个不可数量的序数）并不是如果假定选择的公理（∗ 265·49），则显示出较小序的进展的极限。然后猜想，如果不依赖选择的公理，这将无法显示。有关Hausdorff对PM内容的影响的讨论，请参见Grattan-Guinness（2000：403）。
Dorothy Wrinch在战争期间曾是拉塞尔非官方学生圈子的成员，于1919年发表了一篇关于Dedekindian系列序数的文章。她将结果描述为调查“当p和q的序列序列良好时，P^Q应该是Dedekindian或Semi-Dedekindian的必要条件”（Wrinch 1919：219）。这项研究遵循Boolos（1994）中描述的∗ 124中的结果，是对序数算术的研究，而无需假设所选择的公理。 Wrinch的论文不仅遵循PM的符号，而且还遵循定理在串联第V节的末尾，并在点之后进行数字，因此很容易添加为 * 277。罗素打算找到“数学哲学”学校，当然也成功地吸引了路德维希·维特根斯坦（Ludwig Wittgenstein）来解决PM中的基础问题，但没有其他迹象表明逻辑学家试图在PM的框架内设定其结果。
6.2第六部分：数量
因此，应研究PM的后期部分，以暗示如何通过对关系理论的竞争基础来开发实际数字和数学在测量中的使用。 Gandon（2008，2012）认为，使用此逻辑学家帐户比竞争对手更好地解释了数学的应用。
在∗ 300– ∗ 314中，正整数和负整数，比率和实数均定义。本节的目的是开始研究这些数字如何用于测量几何和物理学数量的方法。
分别
r n/m s \ eqdf \ forall x \ forall y（x \ rels {r^n} y \ supset x \ rels {s^m} y）
对于n，m相对较好。
当x \ rels {r^n} y然后x \ rels {s^m} y时，关系r和s的比例为n与m的比率，其中r^n是r和s^m的n-th-th-the s的第三功率（见91）。两个关系的比率由数字n和m表示相对较好的数字，即
\ forall j \ forall k \ forall l [（n = j \ times l \ amp m = k \ times l）\ supset l = 1]。
因此，关系的比率是关系之间的关系。与PM中所有数字的普遍概念保持一致，理性数字将是相似比率类别的类别，因此，根据比率和比率之间的比率和关系，开发理性理论，然后是实数的工作。
实数
实际数字\ theta被定义为“一系列比率的一系列段”，或在其标准顺序中的一系列理性数字序列的摘要。从技术上讲，\ theta是扩展的关系。与比率相关的个体，因此，在一系列理性数字的基础上，实际数字的PM版本必须是无限的，才能具有我们期望的结构。
在本节的介绍性材料中，他们指出，虽然实数的构造因此需要无穷大公理，但他们在需要时将其明确地添加到定理中，并尽可能地尝试导出它不依赖的结果。做出这样的假设。
PM 中的实数理论比戴德金或康托的“算术”描述更接近弗雷格的理论。戴德金假设，无理数将被“创建”，以填补戴德金割断所标记的有理数序列中的空白（Dedekind 1872 [1901: 15]，而 Cantor (1883: §9, para. 8 [1996] : 899]）用有理数序列的极限来识别实数。
然而，弗雷格和 PM 认为实数是从具有某种结构的关系的相似性中抽象出来的。有关弗雷格和罗素结构的细粒度比较，请参见 Gandon (2012)。
有趣的是，《基本法》和《基本法》的整体结构和章节内容是相似的。他们的第一部分都是关于他们将使用的符号逻辑，然后是一系列关于数字概念和算术中使用的概念的定义和定理，最后一部分是关于实数的。虽然这两部著作中要归结为逻辑的数学范围是相同的，但弗雷格将他的著作更直接地限制在自然数和实数上，而 PM 则包括类理论以及关系、关系和无限集的算术。正如厄克特（Urquhart，2013）所指出的，虽然所有这些主题都在当代公理集合论教科书的最初章节中讨论，但这可能是即使是最具开创性的数学著作也不可避免的命运。
实数的加法和乘法在下一节中与其他数字一样定义，但采用每个数字相似类的不相交实例，并对它们执行相应的操作。许多结果都将无穷大公理作为假设。这些操作用 +_s 和 \times_s 表示。
测量——即比率和实数在量值中的应用——将在 C 节中讨论；目前，我们将把自己限制在测量所预设的那些大小属性上……
我们将幅度视为一个向量，即作为一个运算，即作为 30 意义上的描述函数。因此，例如，我们将这样定义我们的术语：1克不会是一个量值，但2克和1克之间的差将是一个量值，即关系“+1克”将是一个量值。另一方面，根据我们的定义，厘米和秒都是大小，因为空间和时间中的距离是向量。...
我们要求向量 (1) 它应该是一对一的关系，(2) 它能够无限重复，即，如果向量将我们从 a 带到 b，则始终存在一个点 c，使得向量将我们从 b 带到 c。 （PM，第 III 卷，“B 部分摘要”，1913 年：339 和 1927 年：339）
本节和下一节讨论的数量类型都是
向量族，即，一对一关系的类都具有相同的逆域，并且都具有包含在逆域中的域。 （PM 第 III 卷，350）
6.2.1 测量
PM 中的测量基于物体之间的关系，这是测量操作的基础，即一个物体比另一个物体重，或者比另一个物体长。那么，数量就是与其他对象具有相同关系的对象的等价类。操作是根据数量定义的，因此：
…也就是说，一磅奶酪的三分之二应该是（2/3 \times_s 1/2）一磅奶酪，在其他情况下也是如此。 （下午，第三卷，407）
PM 最后以看似悬而未决的方式探讨了“循环家庭”测量的特殊情况。对于“一点的角度或椭圆直线等情况，我们需要一种适用于非开放族的测量理论”（PM，第 III 卷，457）。将从 0 度到 360 度测量某个点的角度，然后从 0 度重新开始测量绕点旋转的物体。表示旋转的许多比率由“主比率”表示，用于指定度数的测量。
6.2.2 PM结束时没有“结论”
PM 以有关循环族的定理 (*375·32) 的证明突然结束，没有任何结论性评论或暗示稍后会发生什么。人们的想法是，进一步的数学，包括怀特海要写的关于几何的第四卷，必须逐步发展。首先，必须根据早期概念（例如具有给定结构的关系类）来定义特定数学分支的概念，然后以以下形式一一证明该领域的重要基本结果：到目前为止的工作。建立逻辑主义将是一个持续的项目，就像数学本身一样开放。
