数学原理（五）

相对类型

本节讨论不同类型的个体之间的关系，引入类型符号，t'x 表示 x 所属的类型。本节在第一卷中很少使用。在处理相对类型的基数时，这一概念的特殊后果是第二卷序言的主题，该主题是在第一卷印刷后添加的。由于制定这些细节而造成的延迟部分解释了 1910 年出版第一卷与 1913 年出版剩余的第二卷和第三卷之间的三年差距。第 65 节（关于不明确符号的典型定义）讨论了典型的歧义，变量相对于类型的歧义。

f:α→β=df

函数f从α到β，即Domainf=α和Rangef=β

类的相似性

α≈β=df(∃f)f:α

1−1

⟶

β。

存在将 α 映射到 β 的一对一函数（α 和 β 的相似性）。当代的讨论认为 α 和 β 是等数的。当基数涉及的相似关系具有不同类型的定义域和范围时，基数的定义就会出现困难。参见下面的*100。

本章的主要定理是康托-伯恩斯坦定理的证明，即如果一个集合 α 与另一个集合 β 的子集 z 相似，并且 β 与 α 的子集 δ 相似，那么 α 和 β 本身相似：

∀α∀β∀γ∀δ[(

α≈γ &β≈δ

&γ⊆β

&δ⊆α

)⊃α≈β]

这里的证明明确遵循 Ernst Zermelo 在 1908 年的证明。Whitehead 和 Russell 将其称为“Schröder-Bernstein”定理。

选择公理（乘法公理）

乘法公理，或选择的“公理”，不是 PM 的公理，即所谓的“原始命题”，而是一个定义的表达式，作为假设添加到所使用的定理中。这反映了选择公理在各种证明中的作用时的新兴意识，尤其是Zermelo的证据证明每个班级都可以井井有条。

乘法

公理

=df∀α{

∀β（β∈α⊃β≠∅）＆

∀βΔ[（（

β∈α＆

δ∈α＆

β≠δ

）⊃（β∩δ=∅）]⊃

∃β∀Δγ[

δ∈α

Δ∩β= {γ}

]

}

如果α是一类相互排斥，非空的类别，则有一个（“选择”）集β，使得β与α的每个成员的相交是δ的独特（选择）成员。

r ∗祖先关系

r ∗ = df {

⟨X，y⟩（∃uxru∨∃uurx）＆

∀α[[

x∈α＆

∀Z∀W（z∈α和zrw⊃w∈α）

]⊃y∈α]

}

这是弗雷格（Frege）的定义，即，y位于所有包含x或（x位于R的R-Hereditary类中）。

关系的权力

关系r（pot'r）的“权力”是R关系R，R2，R3，…

r2 =dfr∘r，rn+1 =dfr∘rn，…

这些定义以∗ 91·03开头，使用从R开始定义的关系之间的高阶关系的祖先概念。

本节的主要结果是Cantor-Bernstein定理的另一个证明：“此证明基本上与Berel [1898：Note 1，pp。102-7]最初出版的Bernstein相同。”（PM I，589）。在此证明中，集合α和β之间的单个关系是由将α映射到β的两个关系r的幂构建的，s将β映射到α中。一对一的映射是分阶段构建的。首先，所有α的所有α都由R映射到β上。 β中的一个新图像，再次由R进行。该过程通过R的所有力量迭代，然后表明所得关系是从α到β的一对一对一对一的关系。有关该定理的许多不同证据的历史，请参见Hinkis（2013）。

5。第II卷

5.1符号惯例的预言陈述

当怀特海和罗素在其引起的并发症上苦苦挣扎时，该序言的撰写推迟了第二卷PM的发布。困难来自类型理论的术语和公式的典型歧义。每个常数，例如数字0,1，…，ℵ0的每个常数都将具有相对于每种类型的定义。如果不假设个人的无限公理，则不能保证给定常数在给定类型中指定非空类。序言介绍了“正式数字”的概念，这些概念应解释为属于一种使它们与该类型不相同的类型。第二卷以第三部分开始，“基本算术”。基数的概念完全普遍开发，扩展到无限的红衣主教。因此，在PM中被称为“归纳枢机主教”的自然数理论是通过一系列适用于任何数字或类别的常规形式引入的特殊概念的定义。例如，添加自然数，如著名的证据，证明了∗ 110·04中的1+1 = 2是在添加适用于基本数字“+c”的类别的特殊情况下证明的。 A节的摘要介绍了同质枢机主教的概念，这些类似类别的类别都是相同类型的类似类别的类别。可以定义不同类型的两个类别α和β之间的相似性，即τ和τ'，红衣主教被归类为降和上升，作为相关相似性关系的域，范围比范围更高，而当较低的类型。基本数字理论与均匀的红衣主教很简单，但是必须牢记例外，如∗ 100所证明的那样。

5.2第三部分：基本算术

基数的定义

nc = df {x∀y（y∈X↔∀Z∀W（z，w∈Y↔Z≈W）}

基数是等等（类似）类的类别。我们可以添加一个类数量的概念，以允许与弗雷格进行直接比较：

＃{x ϕ（x）} = df {yy≈{x ϕ（x）}}。

（当然，在集合理论中，这太大而无法成为一组，这只是一个“适当的阶级”。）

休ume在下午的原则

休ume在弗雷格（1884：§63）中描述的原则是断言命题的内容“属于概念f的数字与属于概念g的数字相同”等同于“概念F类似于概念g”。就类别而言，这将变成α≈β≡＃α=＃β。休ume的原则是关于“新逻辑主义”讨论的大部分内容的重点，弗雷格的数字构建可以建立在一致的基础上（请参阅弗雷格定理的条目）。

在PM中只能证明这个等价的一个方向：

α≈β＃α=＃β

另一个方向的故障，从右到左的含义是由于α和β具有不同类型的可能性，因此它们之间的任何相似性关系都将其域和不同类型的范围。假设有ℵ0个个体，并考虑两种较高类型的红衣主教，其中有更大但独特的红衣主教，例如某些高类型的α具有基数ℵ1，并且β在更高的类型中，并且具有基数ℵ2。没有类似于α或β的个体集，因此与α或β中的域相似的相似性关系将与个人类型中的任何集合相对于任何集合。假设＃是根据这种下降关系定义的。因此，＃α= {λ} = 0和＃β = {λ} = 0 so ＃α =＃β，但是α≉β在任何域和范围的任何相似性关系上，因为它们的基础性不同。怀特海和罗素断言，α和β处于不同类型的情况是构造休ume原理方向的例外的唯一方法，并作为受限版本提供：

∃γ[γ∈（α∩β）]⊃（α≈β＃α=＃β）

先决条件保证α和β是相同类型的，因此所涉及的基数是同质的基数。 （Landini（2016）认为PM的这一部分很困惑。）

定义为0

0 = DF＃∅

所有类的类与空集的类别仅是包含空集的单例，因此0 = {∅}。

阶级和红衣主教的算术总和

α+β= df [{β∩∅}×{α}]∪[{α×{β}]

（如果α，β≠∅，否则α+∅=α，∅+β=β）。通过使用表达式来实现有时不确定的功能关系，该资格隐藏在PM中。 α和β的算术总和是通过将β的元素与{α}元素配对的元素以及α元素与{β}元素的元素的元素相结合，使它们与α和β的耦合。 （γ和δ，γ×δ的笛卡尔产物为{⟨x，y⟩|x∈γ＆y∈δ}）。类α和β与空的类别∅相交，以调整总和的元素类型。通过等效定义，它更容易被当代集合理论（如果以下情况相同的例外：

α+β= df {⟨∅，x⟩|x∈α}∪{⟨y，∅⟩|y∈β}

Y和X的基金总和

y+cx = {z∃α∃β[（y = ＃α＆x =＃β）＆z≈α+β]}}

Y+CX表示红衣主教Y和X的基本添加。它是“同质红衣主教”的算术和均匀类型的红衣主教的算术和，α和β与N0C相关（本身定义为[∗ 103·01]）。表明α是同质基础α的符号是N0C'α，我们可以将其写为＃0，以替换上面的＃替换＃的当代符号的扩展。

现在，读者可以欣赏一个臭名昭著的事实，即1+1 = 2是算术的最基本真理，直到Mathematica principia II卷的第83页，即使在那时，几乎是事后才想到的：

1+C1 = 2

怀特海和罗素说：“上述命题有时很有用。它至少使用了三次，在…”。这种智慧提醒我们，自然数的理论是弗雷格作品的核心，出现在PM中，这只是基本和顺序数字的一般理论，甚至是同构结构的一般类别。

求幂

枢机主教的指示与Cantor的观念相吻合，即α级powerset的基数升高为2升高到α的基数的力量：

||℘α|| = 2 ||α||

更大和更少

康托尔定理：

2y＞y

这是Cantor的定理，即IF集合α具有基数y，那么α的powerset的基数2y大于y。

自然数

与弗雷格自然数的发展的最直接比较是感应性基数的概念，pm表示自然数0、1、2，…，这些数字的理论包括诱导原理。尽管数字0和1以及添加自然数 +C的添加已定义为基础数字，但将其定义为基数，并将其添加适用于所有基数，有限和跨足限。对于有限的自然数，需要首先定义特殊概念。为了证明Peano的证据假设，不仅有必要定义0，而且还必须是继任者的概念。对于弗雷格（Frege），定义了一个数字的（弱）前身的概念，因此0和1是1的前身，而0、1和2是2的前身。一个数字，就数字的定义而言，它是前任类别的数量。此定义对于PM不起作用，在该PM中，每个数字都具有较高的类型，因为它定义为包含该数字的集合。实际上，每种类型都会有自然数，因此每对0的个体，一组对每种类型的一组类型1等。但是，没有一种类型，在没有假设某种类型的无限很多成员的情况下，都有所有自然数（该类型的等等集的集合）。

PM中的解决方案是确保对于类型0的n个个体的每个有限集，该集合中没有某些对象，可以将其包含在定义后继器的集合中。可以找到这样一个新的个体可以通过无限的公理来保证，这实际上断言了任何有限数量的不同个体的存在。有趣的是，注意无穷大的“公理”不是PM逻辑的原始命题。取而代之的是，这是一个额外的假设，可以用作其依赖数学断言的前提。因此，没有通过指出必须假设无限的公理，而是通过确定该“公理”是否仅凭逻辑原理来确定是否可以假定无限的公理来解决逻辑主义的问题的问题。

在公理集理论中，“无穷大的公理”保证了特定集合的存在，即顺序ω：

∃x[∅∈X＆∀Y（y∈X⊃Y∪{y}∈X]]

电感基数（自然数）被定义为+1关系的祖先的数字。鉴于+1关系是继任者的PM帐户，这与弗雷格的定义相同。

电感枢机主教n

n = df {x ^ 0s ∗ x}

感应性红衣主教n是熟悉的自然数，即0，所有与0相关的基数由“继任关系” s的祖先相关，其中xsy在y = x+1的情况下。

Infinity的公理=df∀y（y∈{x {x ^ x}⊃y≠∅）

这种无穷大的公理断言，所有感应性枢机主教都是非空的。 （回想一下0 = {∅}，所以0不是空的。）公理不是“原始命题”，而是使用的“假设”，而不是使用的“假设”，那是条件性的前提，其中因此，将说取决于公理。从技术上讲，不是PM的公理，因为 * 120·03是一个定义，因此在PM中进一步定义了符号！

Whitehead和Russell确实根据Russell后来（1919年）描述了该项目的自然数字，0和继任者的先前定义，执行了逻辑学家计划的逻辑学家计划的步骤。实际上，这是PM的 * 120“电感基础”中所做的，但并不是这样，无论是在那里还是入门材料中。结果并非分别证明，而是出现在有关自然数量的各种结果的发展中。确实，有些（例如 * 120·31）只能被认为是带有一些工作的Peano Axiom的版本。

0是自然数字。

0∈N

任何数字的继任者都是数字。

n∈N⊃n+c1∈N

没有两个数字具有相同的继任者（假设无穷大的公理）。

Infinity⊃的公理（n+c1 = m+c1⊃n= m）

鉴于定义后继操作的方式，逻辑上并不是要添加一个额外的个人来给出尺寸n的尺寸n+c1之一。通过将无穷大的公理作为定理的假设来保证。

0不是任何数字的继任者。

N+C1≠0

任何属于0的属性ϕ，属于M的继任者，只要它属于M，属于所有自然数n。

∀n{[n∈N＆∀M（ϕm⊃ϕ（m+c1））＆ϕ0]⊃ϕn}

在当代集理论中，一个数字的继任者的概念直接定义为序列为s（x）=x∪{x}，而不是通过添加1来定义，并且使用熟悉的递归定义来定义添加：

\ begin {align} x + 0＆= x \\ x + s（y）＆= s（x + y）\ end {align}

递归定义的使用是通过一个定理证明它们描述了独特功能的理由。通过证明任何包含0的类，并且对于任何数字n，包含s（n）都将包含\ omega中的所有数字，可以证明感应公理是合理的。 \ Omega的存在由Infinity的ZF公理保证。

在这一点上，在第二卷225页之后，读者将看到如何将PM中算术的逻辑学家与弗莱格的竞争对手和当代集合理论进行比较。

弗雷格（Frege）在1903年出版的《基本算法定律》第68页的第68页上完成了他的自然数量的发展，该法律遵循1893年出版的250页的第一页。只有在基于自己形式化的符号逻辑的一系列密切争论的引理链之后才能证明更先进的定理。

弗雷格（Frege）结束了他对算术定律的扣除，并获得了关于0，继任者和归纳原理的结果，其中包括Peano Axioms。他不考虑算术函数，例如加法或乘法，因此并未定义一个数字n的继任者，因为将1添加到n。

弗雷格的帐户也以其他方式简化了。他一直认为对简单身份句子的分析对他的逻辑主义很重要，可以追溯到Begriffsschrift（1879），通过他的算术基础（1884年）和他的“理性和参考”（1892），甚至在示例“ 2^2 = 2 + 2”的外观在算术的基本定律中。的确，对身份句子的分析是他在1879年引入意义和参考理论的起点，但弗雷格与他的项目没有足够的分歧，无法证明如何证明这种身份。因此，怀特海和罗素很可能想在 * 110·643处包括1+1 = 2的证明，以提醒您使用∗ 30的“描述函数”对PM中数学方程的分析，然后说明确定描述的说明在 * 14中。

弗雷格还没有构建在第三部分中大部分PM的基本和序数算术的一般理论。的确，在第54节中关于算术的算术定理的定理结束了算术基本定律的第二部分之后，弗雷格在第二卷的其余部分中直接跳到了实数的主题。简单地从必须证明的导致Peano算术的定理数量来判断，PM与Frege的早期尝试并没有大差异。

诚然，如果算术理论是唯一的目标，那么PM的系统是一个间接而繁琐的系统。但是，首先，对逻辑所提供的逻辑基础的类型理论的系统独立有趣。 * 20之后，阶级理论和随后关系的算术概念的发展确实提出了自然数的算术，作为一种特殊情况，可以将其推广到逻辑中的序数和基数和基本数字的算术，均以逻辑为简单类型的层次。以下对II卷和第三卷下列内容的调查显示了发展理性理论的特殊方式，然后遵循PM的实数。集合理论的结果似乎是原始的，因为结果的历史可追溯到1908年左右，就在公理设置理论开始其非凡的发展时。怀特黑德（Whitehead）和罗素（Russell）并不是集体理论的积极贡献，因此不应研究PM以获得以后在此可能会预期的技术结果。罗素总结了他在巴黎的一份论文中，从当前的无限枢机主教和序中的研究状态中总结了PM，这是“关于无限和跨足石的公理”的论文（Russell 1911）。但是，有一个关于两个无穷大概念的结果，似乎起源于PM。

Dedekind Infinity

在PM中，只有可以将其放入自然数小于或等于某些自然数n的一对一信件中，则只有将其放入一对一的对应中时，是一个有限的“归纳”类。当且仅当它不是电感时，它将是无限的。

当且仅当可以将其放入具有适当子集的一对一信件中时，一个类是Dedekind Infinite（反射）。

本节中的关键定理是：

\ tag*{∗ 124·57} \ textrm {if} y \ textrm {不是归纳}} 2^{2^y} \ textrm {是反思。}

如果一个人假定所选择的公理，则无限的感应性和反思性概念重合。该结果不假定选择的公理。

乔治·布洛斯（George Boolos，1994：27）将这种论点的细节描述，并引用了J.R. Littlewood的话说：

他[罗素]有一个秘密渴望证明了一些直接的数学定理。事实上，有一个：“如果\ alpha是无限的，则“ 2^{2^{\ alpha}}＞ \ Aleph_0”。完全好的数学。

由于选择的公理的使用是明确指出的，而且许多结果不使用它，因此对PM设定理论的独特贡献可能表明没有选择可以证明的是什么。