数学原理（四）

＊20 的其余部分由定理组成，证明＊10 中开发的量化逻辑定理也适用于有关类的表达式，其中用“希腊”变量 α,β,... 代替各个变量 x,y,...。因为就量化逻辑而言，带有希腊变量的公式在外观和行为上与单个变量相同，因此有可能忽略类论与类型论的相互作用。正如哥德尔在上面引用的段落中指出的那样（Gödel 1944 [1951：126]），类变量 α、β 等的“上下文定义”并没有指定从所有可能的上下文中消除类抽象，特别是那些谈论课程的人。 Linsky (2004) 认为，PM 没有命题函数类的符号来区分它们与类的类，尽管可以添加一个符号。这是 PM 在初始部分（直到*21）之后转向类和关系的扩展系统的另一个迹象。

实际上，类变量可以被视为命题函数变量，仅限于仅出现谓词函数的 r 类型，在参数中也是如此，导致可能被视为“遗传谓词函数”。换句话说，类变量可以替换为命题函数变量，其中函数和所有参数的 r 类型的形式为 (β1,β2,…,βm)/1，这同样适用于 β1 ,β2,…,βm 也是如此。这意味着类的变量和术语将遵循简单的类型理论。通过提供简单类型或“s 类型”的替代系统，可以将它们与 r 类型进行对比。

Church (1974) 的“简单”类型理论

ι 是个体的 s 型。

其中 τ1…,τm 是任意 s 类型，则 (τ1…,τm) 是 m 元命题函数的命题函数的 s 类型，该 m 元命题函数的参数分别为 s 类型 τ1…,τm。

s-types系统中实体的阶定义如下：

个体（r型ι）的阶数为0

r 型函数 τ1…,τm 的阶数为 n+1，其中 n 是参数 τ1…,τm 阶数中最大的一个

丘奇的“秩序”概念并不像我们在“一阶逻辑”和“二阶逻辑”的讨论中所熟悉的那样。一阶逻辑将具有 s 类型 0 的绑定变量，以及对 s 类型 1 的变量进行量化的逻辑，因此熟悉的“阶”概念比 s 中任何可绑定变量的最高阶多一个。型系统。

应该指出的是，每个 s 型也是一种 r 型，即遗传性谓词型。因此，类论的表达式似乎都只是分支类型论完整系统的公式的特例。这对于变量的类型赋值来说是正确的，但必须记住，关于类的整个公式 phi{x∣ψ(x)} 是根据定义定义的

∃χ[∀x[χ(x)≡ψ(x)]&ψ(χ)]。

到目前为止我们讨论的是 phi 和 χ 的相对类型。可归约公理保证在类的定义条件中存在与任何 ψ 同延的谓词 χ。为了证明类项 {x∣ψ(x)} 的使用合理，必须证明存在某个具有高阶属性 phi 的函数。这个步骤相当于证明明确的描述是正确的，即对于一件事情来说是正确的，证明使用该描述作为单数术语是合理的。

PM类与公理集合论的比较

人们普遍认为，PM 系统提供了一种与 Zermelo-Fraenkel 系统 ZF 中表述的公理集合论截然不同的解决悖论的方法。虽然类型理论被认为是通过人为地引入类型来解决悖论来拯救逻辑主义纲领的绝望尝试，但公理集合论似乎只是简单地将集合假设为实体，并采用带有“ε”的一阶语言的公理将成员资格作为其一个非逻辑符号。蒯因有力地表达了这一观点：

无论类型理论有什么不便，诸如[罗素悖论]之类的矛盾足够清楚地表明，以前的朴素逻辑需要改革……还有其他达到相同目的的建议——其中一个与类型理论同时存在。 [Quine 引用 Zermelo 1908。] 但一个引人注目的情况是，这些建议（包括类型理论）都没有任何直观的基础。没有一个有常识的支持。常识已经破产，因为它最终陷入矛盾。 （蒯因 1951：153）

然而，类型论缺乏直观支持以及类型论和公理集合论基于相同直觉的观点都可以追溯到 1933 年哥德尔，他将集合论称为“聚合理论”：

迄今为止，至少只找到了一种满足这两个要求的解决方案[在保留数学和聚合理论的同时避免悖论]。...该解决方案包含在[简单]类型的理论中。...看起来似乎是另一种解决方案由策梅洛、弗兰克尔和冯·诺依曼提出的聚合理论的公理系统提供；但事实证明，这个公理系统只不过是类型论的自然概括，或者更确切地说，如果删除某些多余的限制，它就是类型论的结果。 （哥德尔 1933 [1995：45–46]）

哥德尔想要的两个“限制”是类型不可累积的限制以及类型的级别仅限于自然数 0, 1,...n,...。哥德尔建议采用一种累积类型系统，其中给定类型包括所有较低类型（或阶）的函数，并且这些类型扩展到 ω、ω + 1、…ωω、…，直至所有序数。他断言，类型理论的这种“自然概括”相当于策梅洛-弗兰克尔集合论（ZF）。哥德尔的主张被乔治·布洛斯（George Boolos，1971）阐明为集合的“迭代概念”，可以正式表达。如果我们认为集合是分阶段建立的，每个阶段都加上最后一个阶段的所有成员集合，并且这个过程无限延伸，那么ZF集合论的公理确实可以从“迭代理论”的公理证明出来。集合的概念”。反过来，“迭代概念”依赖于强烈的直觉，这与蒯因所说的相反。类型层次结构的基础也是同样的直觉。

在 Boolos 提出“集合的迭代概念”之后，公理集合论和 PM 似乎并没有太大的区别，并且表达了类似的直觉集合概念，为悖论提供了相同的解决方案。

然而，严格按照 PM 中的介绍，无类理论与 ZF 显着不同。 PM理论的句子是用类型理论来表达的，这与ZF的一阶理论相反。 ZF 和 PM 不能简单地根据定理进行比较。这两种理论不仅存在不同的公理，而且表达它们的语言在逻辑能力上也不同。然而，如果我们遵循哥德尔和布洛斯的话，除了对 PM 理论进行某些“多余的限制”之外，两者被视为基于相同的直观基础，并且差异被视为相同。

PM 中的关系

*21将类的概念扩展到了具有类似上下文定义的两个参数函数的“关系”的可比较概念，类的概念是单处命题函数的扩展。

扩展中关系的上下文定义

ψ{x;y∣ψ(x,y)}=df∃χ[

∀x∀y[χ!(x,y)≡ψ(x,y)]

&phi(λxλyχ(x,y))

]

（注意：在这个定义中使用这种不寻常的符号 phi{x;y∣ψ(x,y)} 是为了避免暗示关系被解释为一组有序对，这将由当代记号 phi{⟨x,y⟩∣ψ(x,y)} 命题函数的 PM 记号，如 phi 所示。

^

x

在变量上使用脱字符号，我们将在其中写入 λxphi(x)。一个类的 PM 表示法是

^

x

ψ(x)。两位命题函数用也带有插入符号的变量来标识： phi(

^

x

^

y

) 以及对应关系

^

x

^

y

ψ(x,y)。这种表示法并不将关系识别为有序对的类，这就是我们如何将 PM 和当代表示法混合在 ψ{x;y∣ψ(x,y)} 中。）

在 *20 中引入希腊字母表示类，并在 *21 中使用“罗马字母”R、S、…表示关系，标志着 PM 中使用的符号的变化。在 ∗21 之后，字母 phi,ψ,… 很少出现。正如奎因在他对怀特海和罗素的逻辑的研究中所评论的那样，似乎在某个点之后，PM 的主体在简单的类型理论中使用了外延高阶逻辑：

无论如何，在《原理》中，没有特定的属性[命题函数]可以被证明对于相同的事物是正确的，但彼此之间又存在差异。因此，属性理论没有得到任何应用，而类理论则无法满足这些应用。一旦引入了类，在这三卷的过程中就几乎不再提及属性。 （奎因 1951：148）

蒯因在这里暗示了数理逻辑学家广泛认同的 PM 观点，他们认为类型的分支理论及其伴随的公理或可还原性，是一种将逻辑带入模糊内涵概念领域的题外话，而逻辑相反，即使以类型理论表达，是可扩展的，并且与公理集合论相当，公理集合论提出了个体集合、个体集合的集合等的简单层次结构。

确实，PM 的其余部分致力于个人、阶级以及这些实体之间的关系（扩展）的理论。因此，这些后面部分的本体论是按简单类型理论排列的谓词函数的层次结构。这导致一位解释者 Gregory Landini (1998) 认为只有预测函数才是 PM 中绑定变量的值。我们所解释的变量范围可能是非谓语命题函数，ψ，ψ，…对于兰迪尼来说只是示意性字母，并且不是可绑定变量。他断言，PM 中唯一的绑定变量范围涵盖了预测函数。这是 Kanamori (2009) 等其他人所表达的观点的有力版本，可以追溯到 Ramsey (1931)，即引入可还原性公理具有消除类型理论的分支的效果，至少对于类理论而言，因此用于数学基础的高阶逻辑应该只有简单的类型结构。

我们对这种由符号的转变所表明的对类和关系的关注的变化的解释是，它表明了悖论的解决方案可能在多大程度上取代了基于命题函数的分支理论（可能是内涵性的）。关于类和数学函数以及它们之间关系的毫无问题的概念，在罗素注意到悖论之前就出现在《数学原理》的正文中。在下面对 PM 后面部分的总结中，实际上象征性的发展与十年前的 PoM 非常接近。虽然我们不太了解 PM 各部分的组成顺序，但从注意力从命题函数到类和关系的转变来看，后面的部分实际上是项目概念发展的早期阶段它最初是作为 PoM 之后的象征性“第二卷”。

为了提醒读者从谈论命题函数到谈论外延关系的变化，引入了两个进一步的符号改变。希腊字母，例如 α、β 等，也将用作跨类别的变量。就类型而言不明确的各个变量（“通常不明确”）现在也将分布在各个类别中。两个变量 x 和 y 的函数 phi 由函数变量后面括号中的参数表示： phi(x,y)。 x 和 y 之间的两位关系 R 写作 xRy，其中 R 处于“中缀”位置。这种表示法的明显局限性是它不容易扩展到三位关系，添加第三个变量，比如 z。我们就按照PM中的做法，将二元关系写成xRy。 PM 只要求三卷中的大部分存在二元关系，尽管预计的几何卷 IV 需要“x 位于 y 和 z 之间”的符号，这一点可以从亨利·谢弗 (Henry Sheffer) 未出版的罗素 1910 年几何讲座笔记中看出。剑桥。他在那里使用了混合了两种风格的符号 yB(x,y)。

类代数

子集关系以及集合的交集和并集的概念在 PM 中的定义与现在完全相同（尽管术语不同）。集合的补集和通用类 V 在集合论中是不允许的，并且被视为“真类”而被拒绝。在 PM 中，由于它们只是给定类型 τ 的一组实体，因此它们形成了下一个更高类型 (τ)/1 的集合。给定类型的集合的补集是不在该集合中的所有（该类型的）实体的集合。每个空集将是通用集（给定类型 τ ）的补集，因此将存在类型 τ 的空集。

α⊆β =df∀x(x∈α⊃x∈β)

α∩β =df{x∣(x∈α&x∈β)

α∪β=df{x∣(x∈α∨x∈β)

下面添加类型下标 τ 来提醒大家，全集 V 和补集的概念都是针对给定类型的（因此空集 ∅ 会在每种类型中重复出现。）

−α =df{xτ∣∼(xεα)}

α−β =dfα∩−β

通用类和空类

Vτ+1=df{xτ∣(x=x)}

“V”上的下标表示给定（简单）类型 τ 的类的集合将是下一个类型的成员。不存在任何类型的所有类的类。这与公理集合论相同，公理集合论认为不存在所有集合的集合。

∅τ=df−Vτ

PM 中的数学函数

PM的逻辑基于命题、命题函数和外延关系，与弗雷格的逻辑不同，弗雷格处理对象，特别是真值和函数，概念的特例是从对象到真值的函数。 PM 以基础课程中熟悉的方式将数学函数简化为“函数关系”。如果存在一个二元关系，每个第一个参数都有唯一的第二个参数，即

∀x∃y[xRy&∀z(xRz⊃z=y)]

那么我们可以引入一个新的函数符号 fR，使得

∀x∀y(xRyeqfR(x)=y)。

类似地，对于每个 x1, …, xn 的 n+1 位置关系，存在唯一的 y，使得 R(x1,…,xn,y)，然后可以引入一个 n 位置函数 g 将 x1,…,xn 映射到在PM中，数学函数的表达式是明确的描述，将关系的最后一个参数称为该关系所描述的函数的“值”。我们将使用表达式 fR 来指代从关系 R 派生的函数的函数术语。PM 使用显式确定描述“y 的 R”（写作 R‘y ），其中我们将使用函数表达式 fR。那么一元函数项的定义是：

fRy=df(ıx)(xRy)

具有从 n+1 位置关系 S 导出的 n 位置函数项 g 的一般形式（遵循讲座中的 Russell 符号）：

gS(x1,…,xn)=df(ıy)(x1Sx2,…,xn,y)

（勤奋的读者会发现这个表述并不完全遵循PM。基于表达“x是y的父亲”的关系R的“父亲”的例子将使“x的R”实际上指的是唯一的x它是 y 的父亲，因此上面的解释适用于该关系的逆过程，

˘

右

将关系函数的参数读作 x，将值读作 y 的做法已经非常成熟，以至于我们可以随意使用 PM 中的实际定义。）

回想一下，从 PM 中的这一点开始，关系将被视为“扩展中的关系”，因此很容易看出如何将关系视为有序的 n+1 元组，其中最后一个成员是唯一的，因为前 n 个参数。特别是，一元函数 f 可以用熟悉的方式看作函数域中每个参数 x 的一组有序对（⟨x,fR(x)⟩）。

鉴于将“关系”视为“外延中的关系”，*30-*38 中关系逻辑的发展对于当代逻辑学​​家来说看起来很熟悉，这并非偶然，甚至 PM 中的一些符号仍然保留到当代使用中。一系列概念的定义方式与现代关系处理方式非常相似，即 n 元组集：

关系的逆

˘

右

={λxλy(yRx)}

或者，以对的形式：

˘

右

={⟨x,y⟩∣(yRx)}

关系的领域、范围和领域

关系的域、值域和域的概念也给出了当代的定义（函数的域、值域和域的概念也是如此）。

定义域R=df{x∣∃y(xRy)}

范围R=df{y∣∃x(xRy)}

场R =df{x∣∃y(xRy∨yRx)}

请注意，关系可能在一种类型中具有其域，在另一种类型中具有范围。当不同类型的类之间存在相似关系（等数性）时，这会增加基数理论的复杂性。 （参见下面对*100的讨论。）

两种关系的乘积

关系 R 和 S 的组合称为它们的相对积，并使用不同的符号 R∣S，其中我们写作 R∘S：

R∘S=dfλxλz{∃y(xRy&ySz)}

限制性关系

在将关系 R（的范围）限制为特定类 β 的情况下，给出以下定义，现在使用符号来代替域的限制：

R↾β=dfλxλy(xRy&y∈β)

奎因（Quine，1951：155）在他对 PM 的调查中抱怨说，第一部分的最后 100 页忙于证明与相同概念的冗余定义相关的定理。因此，PM 定义了域和范围的概念，然后引入了再次定义相同类的概念，这些类被证明是等价的。 PM 将“R”“β”的符号定义为“与 R 与 β 的成员有关系的术语”，并使用以下示例：

如果β是伟人阶层，R是妻子与丈夫的关系，则R‘β将意味着“伟人的妻子”。 （下午，278）

在上面使用集合论符号的当代逻辑中，这个概念不需要特殊的符号，因为它被写为：

R‘‘β=df{x∣∃y(y∈β)&xRy}

类的乘积和类的和

∩α=df{x∣∀β(βεα⊃xεβ)}

这是 α 的交集。

∪α=df{x∣∃β(βεα&xεβ)}

是 α 的并集。

4.2 第二部分：基数算术序言

基数 1

1=df{α∣∃x(α={x})}

所以基数1是所有单例的类别。每种类型的 x 都会有不同的数字 1。相比之下，弗雷格将自然数1定义为某个概念的外延，即与数字0相同，而数字0本身就是不自同一的（空）概念的外延。在公理集合论中，自然数是特定的有限序数，特别是以 0 为空集 ∅、1 为 {0}、2 为 {0,1} 等的级数。这种结构被称为冯·诺依曼序数。

对

2=df{α∣∃x∃y(x≠y&α={y}∪{x})}

同样，数字 2 是所有对的类别，而不是特定对的类别。在 PM 的类型论中，y 和 x 的类型将有不同的对。当他们属于同一类型时，这对夫妇被称为“同质”。即使对于同质对，每种类型也会有不同类别的对，因此每种类型都有不同的数字 2。同样的概念也适用于关系。

有序对

有序对的概念，称为“序数对”，定义为：

⟨x,y⟩=df λxλy(x∈{x}&y∈{y})的外延

这个想法是，关系 λxλy(x∈{x}&y∈{y}) 的阶数决定了有序对的第一个和第二个元素。它是外延中的关系，类似于外延或类中的属性。由于定义关系的顺序，外延关系在第一元素和第二元素之间具有区别。用当代语言最接近的是：

ψ⟨x,y⟩=df∃ψ∀u∀v(ψ(u,v)≡λxλy[x∈{x}&y∈{y}](u,v)&ψ(ψ))

给定关系扩展的定义，这是关系无类理论的版本。在前一年参加了罗素的课程并进行了几次讨论后，诺伯特·维纳（Norbert Wiener，1914）提出了以下定义（用现代符号表示）：

⟨x,y⟩=df{{{x},∅},{{y}}} 其中 ∅ 是空集。

维纳的成就是捕获了对的排序，在 PM 中，这对排序是通过关系参数的排序与集合成员资格的无序概念来捕获的。

PM结束至*56

PM 至*56 的平装缩本版仅到此为止，因此其余定义仅提供给那些能够访问完整三卷 PM 的人。